专题检测（十一） 三角函数的图象与性质一、选择题1．(2017·贵阳检测)已知角θ的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点M (－3,4)，则cos 2θ的值为( )A ．－725 B ．725C ．－2425D ．2425解析：选A 由题意得，cos θ＝－3(－3)2＋42＝－35.所以cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝⎛⎭⎫－352－1＝－725. 2．(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．πC.3π2D ．2π解析：选B ∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.3．(2017·石家庄一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的最小正周期为π，其图象关于直线x ＝π3对称，则|φ|的最小值为( )A.π12B.π6C.5π6D.5π12解析：选B 由题意，得ω＝2，所以f (x )＝A sin(2x ＋φ)．因为函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π－π6(k ∈Z)，当k ＝0时，|φ|取得最小值π6.4．(2017·福建质检)若将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是( )A.⎝⎛⎭⎫π6，0 B.⎝⎛⎭⎫－π6，0 C.⎝⎛⎭⎫π12，0 D.⎝⎛⎭⎫－π12，0 解析：选A 将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，得y ＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π2＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，当k ＝0时，x ＝π6，所以平移后图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0. 5．(2018届高三·湘中名校高三联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋12，ω>0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则函数f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π＋2k π，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤π＋2k π，5π2＋2k π，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤π＋3k π，5π2＋3k π，k ∈Z解析：选B 由f (α)＝－12，f (β)＝12，|α－β|的最小值为3π4，知T 4＝3π4，即T ＝3π＝2πω，所以ω＝23，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6＋12， 由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π(k ∈Z)，故选B.6．(2017·太原模拟)已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)在(0，π)上有且只有两个零点，则实数ω的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，43B.⎝⎛⎦⎤43，73 C.⎝⎛⎦⎤73，103D.⎝⎛⎦⎤103，133解析：选B 法一：易得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3，设t ＝ωx －π3，因为0<x <π，所以－π3<t <ωπ－π3.因为函数f (x )在(0，π)上有且仅有两个零点，所以π<ωπ－π3≤2π，解得43<ω≤73. 法二：当ω＝2时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，设t ＝2x －π3，因为0<x <π，所以－π3<t <5π3，此时函数f (x )在(0，π)上有且仅有两个零点x ＝π6，2π3，满足题意，只有选项B 的取值范围中含有数值2，故选B.二、填空题7．已知α为第二象限角，cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－33，则tan α的值为________． 解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α，∴sin α＝33， 又α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－63，∴tan α＝sin αcos α＝－22. 答案：－228.(2017·沈阳质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．解析：由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2，∵当x＝π6时，函数f (x )取得最大值， ∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 则f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3. 答案： 39．已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.解析：令ωx ＝X ，则函数y ＝2sin X 与y ＝2cos X 图象交点坐标分别为⎝⎛⎭⎫π4＋2k π，2，⎝⎛⎭⎫5π4＋2k π，－2，k ∈Z.因为距离最短的两个交点的距离为23，所以相邻两点横坐标最短距离是2＝T2，所以T ＝4＝2πω，所以ω＝π2.答案：π2三、解答题10．已知m ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，1，n ＝(cos x,1)． (1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．解：(1)由m ∥n 得，sin ⎝⎛⎭⎫x －π6－cos x ＝0，展开变形可得，sin x ＝3cos x ，即tan x ＝ 3. (2)f (x )＝m ·n ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6cos x ＋1 ＝32sin x cos x －12cos 2x ＋1 ＝34sin 2x －cos 2x ＋14＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π6－cos 2x sin π6＋34 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋34， 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z.又x ∈[0，π]，所以当x ∈[0，π]时，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π. 11．已知函数f (x )＝cos x (23sin x ＋cos x )－sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，不等式f (x )≥m 有解，求实数m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝23sin x cos x ＋cos 2x －sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x＝2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝π. (2)由题意可知，不等式f (x )≥m 有解， 即m ≤f (x )max ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 故当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值，且最大值为f ⎝⎛⎭⎫π6＝2. 从而可得m ≤2.所以实数m 的取值范围为(－∞，2]．12．已知函数f (x )＝3sin 2ωx ＋cos 4ωx －sin 4ωx ＋1(其中0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)求f (x )的解析式，并求距y 轴最近的一条对称轴的方程； (2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象． 解：(1)f (x )＝3sin 2ωx ＋(cos 2ωx －sin 2ωx )·(cos 2ωx ＋sin 2ωx )＋1 ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1.∵点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心， ∴－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，∴ω＝－3k ＋12，k ∈Z.∵0<ω<1，∴k ＝0，ω＝12，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1. 由x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋π3，k ∈Z ，令k ＝0，得距y 轴最近的一条对称轴方程为x ＝π3.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1，当x ∈[－π，π]时，列表如下：则函数f (x )在区间[－π，π]上的图象如图所示．。
