第十四讲作业

第14课时二面角分层训练1.已知二面角α- l –β为锐角，点ＭÎα，Ｍ到β的距离ＭＮ＝，Ｍ到棱的距离ＭＰ＝６，则N点α的距离是( )A.2B. 3C.22.过正方形ABCD的顶点A作线段PA垂直于平面ABCD ,如果PA=AB , 那么平面ABP与平面CDP所成的锐二面角为 ( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3.已知钝二面角α- l –β等于θ, 异面直线a、b满足aÌα, bÌβ, 且a⊥l , b⊥l , 则a , b 所成的角等于 ( )A. θB. π－θC.2－θ D. θ或π－θ4.等边三角形ＡＢＣ的边长为１，ＢＣ边上的高是ＡＤ，若沿高ＡＤ将它折成直二面角Ｂ－ＡＤ－Ｃ，则Ａ到ＢＣ的距离是．5.在直角三角形ＡＢＣ中，两直角边AC=b,BC=a,CD⊥AB于D，把三角形ABC沿CD折成直二面角A-CD-B，求cos ∠ACB＝．6.如图, 已知AB是平面α的垂线, AC是平面α的斜线, CDÌα, CD⊥AC, 则面面垂直的有_____________ . 7.在四棱锥P-ABCD中, 若PA形, 求证: 平面PAC⊥平面PBD.8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1 , 求二面角C1-BD-C的正切值．D1AC1拓展延伸正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为１，Ｐ是ＡＤ的中点，求二面角Ａ－ＢＤ１－Ｐ的大小．。

第十四讲有特殊要求的挑选之前我们已经学习过了排列组合的公式及其应用．排列问题与组合问题都需要从若干个对象中挑出一些对象来．前两讲涉及的问题相对简单，因为对挑出的对象没有什么特殊的要求．本讲我们就来学习如何解决对挑出的对象有特殊要求的问题．对挑选元素有要求的排列组合问题，需要综合利用加法原理、乘法原理以及排列组合的相关知识．对于存在多种可能的情况，我们要适当的分类进行计算．例题1从5瓶不同的纯净水，2瓶不同的可乐和6瓶不同的果汁中，（1）拿出2瓶两种不同类型的饮料，共有多少种不同的选法？（2）拿出3瓶两种不同类型的饮料，共有多少种不同的选法？「分析」要拿出2种不同类型的饮料，那么就需要分类讨论了，可以是纯进水+可乐、纯进水+果汁、可乐+果汁，共三类；拿出3瓶和2瓶会有什么区别呢？练习1商场里举行抽奖活动，在一个大箱子里放着9个球．其中红球、黄球和绿球各有3个，而且每种颜色的球都分别标有1、2、3号．顾客从箱子里摸出2个球，如果2个球的颜色不相同，就可以中奖．问：有多少种中奖情况呢？例题2从4台不同型号的等离子电视和6台不同型号的液晶电视中任意取出3台，其中等离子电视与液晶电视至少要各有1台，共有多少种不同的取法？「分析」两种电视至少各有1台，那么分别可能是几台呢？需要分几类？练习2周末大扫除，老师要从第一组的5名男生和5名女生中选出5人留下打扫卫生．如果男、女生至少要各选出2人，那么一共有多少种不同的选择方法？前面所遇到的问题我们都可以从正面直接入手进行计算．当满足要求的情况很多时，可以尝试用排除法计算不满足要求的情况，再从所有可能的情况中排除不满足要求的，也能得到问题的答案．例题3从4台不同型号的等离子电视和6台不同型号的液晶电视中任意取出4台，其中等离子电视至少要有1台，共有多少种不同的取法？「分析」两种电视至少各有1台，那么分别可能是几台呢？需要分几类？如果分类太多，是否可以从反面考虑，采用排除法呢？练习3周末大扫除，老师要从第一组的5名男生和5名女生中选出5人留下打扫卫生．如果男生至少要选出1人，那么一共多少种选择方法？遇到一些和几何有关的计数问题时，如从一些点中选3个点就可以构成一个三角形，这个结论总是成立吗？当这3个点同一条直线上时是构成不了三角形的，此时我们要排除这种特殊情况．例题4如图，在半圆弧及其直径上共有8个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形？「分析」什么样的3个点构不成三角形呢？能否采用排除法呢？练习4图中两条直线上各有4个点，请问：以这8个点为顶点可以画出多少个三角形？排队问题是我们排列组合问题中的经典题型，我们往往需要优先考虑那些有特殊要求的对象．例题5墨莫、小高、卡莉娅、萱萱和大头5名同学站成一排照相，请分别求出以下每种情况各有多少种排成一排的站法：（1）5个人站成一排；（2）5个人站成一排，小高必须站在中间；（3）5个人站成一排，小高和大头必须有一人站在中间；（4）5个人站成一排，小高和大头必须站在两边；（5）5个人站成一排，小高和大头都没有站在边上．「分析」除了第（1）题之外，其他题都对某些人的站位提出了特殊的要求，因此最优先考虑的就是这些特殊对象．数字问题是我们排列组合问题中的另一类经典题型，在下面这道数字问题中我们一样要注意那些有特殊要求的数位或数字．例题6用0、1、2、3、4这五个数字组成多位数：（1）能组成多少个没有重复数字的自然数？（2）能组成多少个没有重复数字的奇数？（3）能组成多少个没有重复数字的偶数？「分析」跟自然数相比，奇数、偶数有什么特殊要求呢？应该怎么考虑问题呢？课堂内外键盘字母的排列问题键盘字母是按照字母使用频率的高低来排序的．大家也许会感到奇怪：为什么要把26个字母作这种无规则的排列呢？既难记忆又难熟练．据说其原因是这样的：在19世纪70年代，肖尔斯公司是当时最大的专门生产打字机的厂家．由于当时机械工艺不够完善，使得字键在击打之后的弹回速度较慢，一旦打字员击键速度太快，就容易发生两个字键绞在一起的现象，必须用手很小心地把它们分开，从而严重影响了打字速度．为此，公司时常收到客户的投诉．为了解决这个问题，设计师和工程师伤透了脑筋．后来，有一位聪明的工程师提议：打字机绞键的原因，一方面是字键弹回速度慢，另一方面也是打字员速度太快了．既然我们无法提高弹回速度，为什么不想办法降低打字速度呢？这无疑是一条新思路．降低打字员的速度有许多方法，最简单的方法就是打乱26个字母的排列顺序，把较常用的字母摆在笨拙的手指下，比如，字母“O”、“S”、“A”是使用频率很高的，却放在最笨拙的右手无名指、左手无名指和左手小指来击打．使用频率较低的“V”、“J”、“U”等字母却由最灵活的食指负责．结果，这种“QWERTY”式组合的键盘诞生了，并且逐渐定型．后来，由于材料工艺的发展，字键弹回速度远大于打字员击键速度，但键盘字母顺序却一直没有改动．至今出现过许多种更合理的字母顺序设计方案，但都无法推广，可知社会的习惯势力是多么强大．作业1. 书架上摆着18本不同的书，总共分为3类：一类是科幻小说，一类是科普读物，一类是人物传记．每一类书都有6本．小高想从中借2本，而且要求借的2本书类型不相同，那么共有多少种不同的借法？2. 一个黑色的口袋里放了6个不同的红球和3个不同的黄球．小丁从中取出5个球，如果其中两种颜色的球至少各有2个，那么共有多少种不同的取法？3. 一个黑色的口袋里放了6个不同的红球和4个不同的黄球．小丁从中取出5个球，取出的球中有黄球的取法有多少种？4. 赵、钱、孙、李、周、吴、郑七人站成一排照相，孙、李都不站在边上，一共有多少种站法？5．用0、1、2、3、4、5一共可以组成多少个没有重复数字的六位数？第十四讲 有特殊要求的挑选1. 例题1答案：52；196种详解：（1）52265652⨯+⨯+⨯=（种）；（2）分类讨论，先选出两种不同类型的饮料，有1、2和2、1两种情况，也需要分类讨论．即2222222562655+2+2+6+5+65+20+30+6+75+60=196C C C C C C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种．2. 例题2答案：336；56详解：方法一：可分类讨论，符合题意的有2台等离子+1台液晶：214636C C ⨯=种选法； 1台等离子+2台液晶：124660C C ⨯=种选法． 最后把不同类的结果相加：36696+=种取法．方法二：可以想一下从这些电视中随便抽3台，有310120C =种取法；其中与“等离子电视与液晶电视至少要各有1台”不符合要求的取法是怎样的呢．即全是等离子或全是液晶电视时，这两种情况是不符合的，我们只要从120种取法种排除掉这两种类型．共有333104612042096C C C --=--=种取法．3. 例题3答案：195种详解：方法一：可分类等离子有1台、2台、3台、4台这4种类型分别有多少种取法．方法二：可在一共10台电视中任选4台，把一些不符合要求的类型排除掉．不符合的类型有4台全是液晶电视．所以共有4410621015195C C -=-=种取法．4. 例题4答案：55个详解：从8个点中任选3个点就可以构成一个三角形，但观察图形，其中直径上的这3个点构成不了三角形，所以要排除掉这3个点构成的1个三角形．共有38156155C -=-=个三角形．5. 例题5答案：120；24；48；12；36详解：（1）5554321120A =⨯⨯⨯⨯=种站法；（2）小高只有一种站法，其他四个人排列即可，44432124A =⨯⨯⨯=种站法；（3）先从小高和大头中选择一个人站在中间的位置，然后剩下四个人排列，即14 242432148C A⨯=⨯⨯⨯⨯=种站法；（4）小高和大头在两边的位置上排列，剩下的3个人在另外三个位置上排列，即23232132112A A⨯=⨯⨯⨯⨯=种站法；（5）先让小高和大头在中间三个位置上选择两个，剩下三个人排列，即23 333232136A A⨯=⨯⨯⨯⨯=种站法．6.例题6答案：261；98；163详解：（1）一位数有155C=个；两位数有114416C C⨯=个；三位数有12 4448C A⨯=个；四位数有134496C A⨯=个；五位数有144496C A⨯=个；一共有516489696261++++=个．（2）一位奇数有122C=个；两位奇数有11236C C⨯=个；三位奇数有111 23318C C C⨯⨯=个；四位奇数有11223336C C A⨯⨯=个；五位奇数有113 23336C C A⨯⨯=个；一共有2618363698++++=个．（3）一位偶数有133C=个；两位偶数按照末位是0和不是0分为两类，即111 42310C C C+⨯=个；三位偶数按照末位是0和不是0分为两类，即2111 423330A C C C+⨯⨯=个；四位偶数按照末位是0和不是0分为两类，即3112 423360A C C A+⨯⨯=个；五位偶数按照末位是0和不是0分为两类，即4113 423360A C C A+⨯⨯=个；一共有310306060163++++=个．7.练习1答案：27种简答：分类讨论，可以是红、黄球各1个，可以是红、绿球各1个，也可以是黄、绿球各1个，即33+33+3327⨯⨯⨯=种．8.练习2答案：200简答：可分类讨论，符合题意的有2男3女：2355100C C⨯=种选法；3男2女：3255100C C⨯=种选法．最后把不同类的结果相加：100100200+=种取法．9.练习3答案：251简答：可在一共10名学生中中任选5名，把一些不符合要求的情况排除掉．不符合的情况即全是女生．所以共有551052521251C C-=-=种取法．10.练习4答案：62个简答：43384462C C C--=个三角形．11.作业1答案：108简答：从3类书中挑出2本类型不同的书，那么选择的类型有233C=种情况；如在科幻和科普两种类型中借书，有116636C C⨯=种．3种情况都是类似的，共有336108⨯=种不同的借法．12.作业2答案：75简答：如果取出的是2个红球和3个黄球，那么有236315C C⨯=种选法；如果取出的是3个红球和2个黄球，那么有326360C C⨯=种选法，所以共有75种选法．13.作业3答案：246简答：如果随意取，那么共有510252C=种取法；如果全取红球，那么共有566C=种取法；所以至少有1个黄球的取法共有2526246-=种．14.作业4答案：2400简答：首先从中间5个位置中选2个位置安排孙、李，剩下5个位置随意安排5个人．一共有25552400A A⨯=种．15.作业5答案：600简答：首位不能为0，在剩下5个位置选一个放0，剩下5个数随便排，共有15 55600A A⨯=个．。

第十四讲数据的表示与分析一、知识点1、复式条形统计图（1）图例：在统计图中用不同颜色（或底纹）的直条表示不同类别的数据，并在右上方标注出来，这叫作图例。

（2）特点：能在一幅图中表示两组数据，一方面使数据的描述更直观，能清楚地看出数量的多少，另一方面便于两组数据的比较。

（3）制作：要写上标题，图中各直条的宽窄要相同，间隔要一致，单位长度要统一，要用两种不同颜色（或底纹）的直条来表示两组不同的数据，同时标注图例。

另外，当数据较大时，为了能够直观地反映数据的差异，制图时可以采用起始格表示较大的单位量，这样的起始格是用折线表示的，以和其他的格有所区别。

2、复式折线统计图（1）特点：不但能表示出两组数据数量的多少，反映出数量的增减变化情况，而且能反映出两组数据的变化趋势。

（2）制作：与单式折线统计图的制作方法基本相同，只是需要用不同的图例表示不同的数据。

3、复式统计图的分析要充分运用横向、纵向、综合、对比等不同的方法多角度观察统计图，从中获取尽可能多的信息。

4、平均数的再认识（1）意义：能较好地反映一组数据的平均水平。

（2）求法：公式1：平均数＝总数量÷总份数；公式2：总平均数＝（第1组平均数×份数十第2组平均数×份数）÷总份数。

（3）优点：第一，计算简单；第二，反应灵敏，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化。

（4）缺点：容易受到极端数据的影响，任何一个极大或极小数据都会导致平均数与真实的平均水平的极大偏差。

（5）计算比赛平均分时，为了减小极端数据对平均分的影响，通常采用去掉最高分和最低分再计算平均分的方法。

二、学习目标1、我能够认识柱状统计图和折线统计图及其特点。

2、我能够理解统计图上各个量的含义；能够把各个量在图中表示出来。

3、我能够从图中读取信息，并能做进一步分析。

三、课前练习1、朝阳小学要统计各年级同学做好事的件数，应选用（）比较好。

A.条形统计图B.折线统计图2、表示一年里12个月的气温变化情况，选用（）比较好。

第五讲作业2018.3.27一一ORB一一一1.1 ORB 提取1.2 ORB 描述1.3 暴力匹配问题回答如下：1.ORB 的描述子是用许多对像素点坐标（此处坐标需要经过旋转校正）所在位置的灰度值的大小对比来组成，对比结果为0 和1，假设有256 对像素点，那么ORB 的特征点描述子便有256 个0 或1 组成，因此称ORB 是一种二进制特征；2.ORB 匹配时是计算两个描述子之前的汉明距离，即计算两个二进制值在每一位上不相等的个数，当然我们希望这个不相等的个数越少越好，当个数为0，则说明两个描述子的特征完全一致，随着个数越多，说明两个特征不一致的程度也就越高，因此若将阈值取小，则匹配点对的数量越少，但是误匹配几率越小，反之，若将阈值调高，则匹配出的点对数量增加，但误匹配几率也增加。

3.匹配出107 组点，耗时为3329.67ms 。

若在CMakeLists 中增加-O2 编译优化，则耗时可减小至160.675ms，若改为-O3 编译优化，耗时可继续减小至154.373ms。

一一一E一一R,t三一一G-N 一一Bundle Adjustment问题回答如下：1.重投影误差：(ξ) = P uv − 1 Kexp(ξ∧)P wz c2.雅可比矩阵为：f xJ(ξ)=−zc0 [0z c −−f x zx2c2−−ff xy zx cc−2y c z c f2x2+ff yx zzxx c c c2c2y2c−f y zfx c x z c y c ] z cf y f y y c f y y cc3.更新之前估计：T k+1 exp T k四一一ICP一一一一一一11。