河北省衡水中学2016届高三(下)同步月考数学试卷(理科)(解析版)

河北省衡水中学2016届高三下学期二调考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1.已知集合,集合,则地子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．162.如图,复平面上地点到原点地距离都相等,若复数所对应地点为,则复数（是虚数单位）地共轭复数所对应地点为（ ）A ．B ．C ．D ．3.下列四个函数中,在处取得极值地函数是（ ）①；②；③；④A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．②③4.已知变量满足:,则地最大值为（ ）AB ．．2 D ．45.执行如下图所示地程序框图,输出地结果是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86.两个等差数列地前项和之比为,则它们地第7项之比为（ ）{}1,3,4,5A ={}2|450B x Z x x =∈--<A B 1234,,,Z Z Z Z z 1Z z i ⋅i 1Z 2Z 3Z 4Z 0x =3y x =21y x =+y x =2xy =,x y 202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩2x yz +=n 51021n n +-A ．2B ．3C ．D ．7.在某次联考数学测试中,学生成绩服从正态分布,若在（80,120）内地概率为0.8,则落在（0,80）内地概率为（ ）A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.28.函数地部分图象如下图所示,地值为（ ）A ．0B ．． D ．9.若,则地值是（ ）A ．-2 B．-3 C ．125 D ．-13110.已知圆,圆,椭圆（,焦距为）,若圆都在椭圆内,则椭圆离心率地范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11.定义在上地函数对任意都有,且函数地图象关于（1,0）成中心对称,若满足不等式,则当时,地取值范围是（ ）A ． B ． C ． D ．12.正三角形地边长为2,将它沿高翻折,使点与点间地距离为,此时四面体外接球表面积为（ ）A ．7B ．19 CD第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分,满分20分,将解析填在答题纸上）45137027ξ()()21000，σσ>ξ()()sin 0,0f x A x A ωω=>>()()()()1232015f f f f +++⋅⋅⋅+()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+127a a a ++⋅⋅⋅+221:20C x cx y ++=222:20C x cx y -+=2222:1x y C a b+=0a b >>2c 12,C C 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭102，⎛⎤ ⎥⎝⎦⎫⎪⎪⎭0⎛ ⎝R ()f x ()1212,x x x x ≠()()12120f x f x x x -<-()1y f x =-,s t ()()2222f s s f t t -≤--14s ≤≤2t ss t-+13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ABC AD B C ABCD ππ13.一个几何体地三视图如下图所示,该几何体体积为 .14.已知向量与地夹角为60°,且,若,且,则实数地值为 .15.已知双曲线地半焦距为,过右焦点且斜率为1地直线与双曲线地右支交于两点,若抛物线地准线被双曲线截得地弦长是（为双曲线地离心率）,则地值为 .16.用表示自然数地所有因数中最大地那个奇数,例如:9地因数有1,3,9,地因数有1,2,5,10,,那么.三、解答题 （本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分)在锐角中,角所对地边分别为,已知.(1)求角地大小；(2)求地面积.18.(本小题满分12分)某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场地销售量（单位:台）,并根据这10个卖场地销售情况,得到如下图所示地茎叶图.为了鼓励卖场,在同型号电视机地销售中,该厂商将销售量高于数据平均数地卖场命名为该型号电视机地"星级卖场".(1)当时,记甲型号电视机地"星级卖场"数量为,乙型号电视机地"星级卖场"数量为,比较,地大小关系；AB AC ||||2AB AC ==AP AB AC λ=+ AP BC ⊥ λ()222210,0x y a b a b-=>>c 24y cx =2e e ()g n n ()99,10g =()105g =()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-=ABC ∆,,A B C ,,a b c sin a b B A ==+=A ABC ∆3a b ==m n m n(2)在这10个卖场中,随机选取2个卖场,记为其中甲型号电视机地"星级卖场"地个数,求地分布列和数学期望；(3)若,记乙型号电视机销售量地方差为,根据茎叶图推断为何值时,达到最小值.(只需写出结论)19.(本小题满分12分)如图1,在边长为4地菱形中,,于点,将沿折起到地位置,使,如图2.(1)求证:平面；(2)求二面角地余弦值；(3)判断在线段上是否存在一点,使平面平面？若存在,求出地值；若不存在,说明理由.20.(本小题满分12分)如图,已知椭圆:,点是它地两个顶点,过原点且斜率为地直线与线段相交于点,且与椭圆相交于两点.(1)若,求地值；(2)求四边形面积地最大值.21.(本小题满分12分)设函数.(1)求函数地单调区间；(2)若函数有两个零点,求满足条件地最小正整数地值；(3)若方程有两个不相等地实数根,比较与0地大小.请从下面所给地22 , 23 ,24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做地第一题计分.X X 1a =2s b 2s ABCD 60BAD ∠=DE AB ⊥E ADE ∆DE 1A DE ∆1A D DC ⊥1A E ⊥BCDE 1E A B C --EB P 1A DP ⊥1A BC EPPB2214x y +=,A B k lAB D ,E F 6ED DF =k AEBF ()()22ln f x x a x a x =---()f x ()f x a ()()f x c c R =∈12,x x 12'2x x f +⎛⎫⎪⎝⎭22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,直线与⊙相切于点是⊙地弦,地平分线交⊙于点,连接,并延长与直线相交于点.(1)求证:；(2)若,求弦地长.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,直线地参数方程为（为参数）,在以原点为极点,轴正半轴为极轴地极坐标中,圆地方程为.(1)写出直线地普通方程和圆地直角坐标方程；(2)若点坐标,圆与直线交于两点,求地值.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲(1)已知函数,求地取值范围,使为常函数；(2)若,求地最大值.PQ O ,A AB O PAB ∠AC O C CB PQ Q 22QC BC QC QA ⋅=-6,5AQ AC ==AB xoyl 3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t O x C ρθ=l C P (C l ,A B |||PB |PA +()13f x x x =-++x ()f x 222,,z R,x 1x y y z ∈++=m y =++。

2016年河北省衡水中学高三二模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 设全集 U =R ，集合 A = x x 2−1<0 ，B = x x x −2 ≥0 ，则 A ∩ ∁U B = A. x 0<x <2B. x 0<x <1C. x 0≤x <2D. x −1<x <02. 已知复数 z 满足 1+z i=1−z ，则 z 的虚部为 A. iB. −1C. 1D. −i 3. 已知等比数列 a n 中，a 5=10，则 lg a 2a 8 等于 A. 1B. 2C. 10D. 1004. 已知向量 a = 1,n ，b = −1,n ，若 2a −b与 b 垂直，则 n 2 的值为 A. 1B. 2C. 3D. 45. “m >2”是“函数 f x =m +log 2x x ≥12 不存在零点”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 在 x x3 12 的展开式中，x 项的系数为 A. C 126B. C 125C. C 127D. C 1287. 如图，在矩形 ABCD 中，AB =32，BC =2，沿 BD 将矩形 ABCD 折叠，连接 AC ，所得三棱锥 A −BCD 的正视图和俯视图如图所示，则三棱锥 A −BCD 侧视图的面积为 A. 925B. 125C. 3625D. 18258. 若当 x ∈R 时，函数 f x =a x 始终满足 0< f x ≤1，则函数 y =log a 1x的图形大致为A. B.C. D.9. 执行如图所示的程序框图，输出z的值为 A. −1008×2015B. 1008×2015C. −1008×2017D. 1008×201710. 已知函数f x=sin2x+φ，其中φ为实数，若f x≤fπ6对x∈R恒成立，且fπ2>fπ，则f x的单调递增区间是 A. kπ−π3,kπ+π6k∈Z B. kπ,kπ+π2k∈ZC. kπ+π6,kπ+2π3k∈Z D. kπ−π2,kπ k∈Z11. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F2,0，设A，B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为377，则双曲线的离心率为 A. 3B. 5C. 2D. 412. 已知f x是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f x=x2，当x>1时，f x+1=f x+f1，若直线y=kx与函数y=f x的图象恰有7个不同的公共点，则实数k的取值范围为 A. 22−2,26−4B. 3+2,3+6C. 22+2,26+4D. 4,8二、填空题（共4小题；共20分）13. 从编号为001，002，⋯，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本编号从小到大依次为007，032，⋯，则样本中最大的编号应该为．14. 设变量x，y满足约束条件y≤x,x+y≥2,y≥3x−6,则目标函数z=2x+y的最大值为．15. 已知点A，B，C，D在同一个球面上，AB=BC=2，AC=2，若球的表面积为25π4，则四面体ABCD体积的最大值为．16. 有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a mk m,k=1,2,3,⋯,n,n≥3，公差为d m，并且a1n，a2n，a3n，⋯，a nn成等差数列．若d m=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），则p1+p2=．三、解答题（共8小题；共104分）17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知cos2A−3cos B+C=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积S=53，b=5，求sin B sin C的值．18. 某校为了解2015届高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前3个小组的频率之比为1:2:4，其中第二小组的频数为11．（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）若以该学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选3人，设X表示体重超过60 kg的学生人数，求X的数学期望与方差．19. 如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A=D1D=2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD的中点．（1）求证：A1O∥平面AB1C；（2）求平面AC1D1与平面C1D1C所成锐二面角的余弦值．20. 已知椭圆x2a +y2b=1a>b>0的离心率为22，且过点2,．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形 ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线 AC ，BD 过原点 O ，若 k AC ⋅k BD =−b 2a ． （i ）求 OA ⋅OB 的最值；（ii ）求证：四边形 ABCD 的面积为定值．21. 已知函数 f x =ln x +1x ，且 f x 在 x =12处的切线方程为 y =g x ．（1）求 y =g x 的解析式；（2）证明：当 x >0 时，恒有 f x ≥g x ； （3）证明：若 a i >0，且 a i n i =1=1，则 a 1+1a 1a 2+1a 2⋯ a n +1a n≥n 2+1nn1≤i ≤n ,i ,n ∈N ∗ ．22. 如图，圆 O 的直径 AB =8，圆周上过点 C 的切线与 BA 的延长线交于点 E ，过点 B 作 AC 的平行线交 EC 的延长线于点 P ．（1）求证：BC 2=AC ⋅BP ； （2）若 EC =2 5，求 PB 的长．23. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x =2+t ,y =t +1（t 为参数），在以该直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线 P 的方程为 ρ2−4ρcos θ+3=0． （1）求曲线 C 的普通方程和曲线 P 的直角坐标方程； （2）设曲线 C 和曲线 P 的交点为 A ，B ，求 AB ．24. 已知函数 f x = 2x −1 + 2x −3 ，x ∈R ．（1）解不等式 f x ≤5；（2）若不等式 m 2−m <f x ，∀x ∈R 都成立，求实数 m 的取值范围．答案第一部分1. B 【解析】A=x−1<x<1，B= x x≥2或x≤0，∁U B=x0<x<2，所以A∩∁U B=x0<x<1．2. C 【解析】由已知得1+z=1−z i=i−i z，则z=−1+i1+i =−1+i1−i2=i，虚部为1．3. B 【解析】由等比数列的性质可知lg a2a8=lg a52=lg100=2．4. C 【解析】由a=1,n，b=−1,n，得2a−b=3,n，若2a−b与b垂直，则2a−b⋅b=0，则有−3+n2=0，解得n2=3．5. A【解析】函数f x的值域是m−1,+∞，当m>2时，f x>1，不存在零点．若函数f x不存在零点，则m>1，所以“m>2”是“函数f x=m+log2x x≥12不存在零点”的充分不必要条件．6. A 【解析】第r+1项T r+1=C12r x12−r x−r3=C12r x6−56r，故当r=6时，x项的系数为C126．7. D 【解析】由正视图及俯视图可得在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，该几何体的侧32×222+22=65的等腰直角三角形，其面积为12×652=1825．8. B 【解析】因为当x∈R时，函数f x=a x 始终满足0<f x≤1，所以0<a<1，则当x>0时，函数y=log a1x=−log a x，显然此时函数单调递增．9. A 【解析】第一次运行时，S=12，a=2；第二次运行时，S=12，a=3；第三次运行时，S=121+2+3，a=4；第四次运行时，S=121+2+3+4，a=5；⋯⋯，以此类推，第2015次运行时，S=121+2+3+4+⋯+2015，a=2016，此时满足a>2015，结束循环，输出z=log2121+2+3+4+⋯+2015=−1+20152×2015=−1008×2015．10. C【解析】∵f x≤fπ6对x∈R恒成立，∴fπ6为函数f x的最大值，即sinπ3+φ =1，∴π3+φ=kπ+π2k∈Z，φ=kπ+π6k∈Z．由fπ2>fπ，可知sinπ+φ>sin2π+φ，即sinφ<0，∴φ=2k+1π+π6k∈Z，代入f x=sin2x+φ，得f x=−sin2x+π6，由2kπ+π2⩽2x+π6⩽2kπ+3π2k∈Z，解得kπ+π6⩽x⩽kπ+2π3k∈Z．11. C 【解析】设点A x0,y0在第一象限．因为原点O在以线段MN为直径的圆上，所以OM⊥ON，又因为M，N分别为AF，BF的中点，所以AF⊥BF，即在Rt△ABF中，OA=OF=2，因为直线AB的斜率为377，所以x0=72，y0=32，代入双曲线x2a−y2b=1中得74a−94b=1，又a2+b2=4，解得a2=1，b2=3，所以双曲线的离心率为2．12. A 【解析】由x>1时，f x+1=f x+f1=f x+1可得当x∈n,n+1，n∈N∗时，f x=f x−1+1=f x−2+2=⋯=f x−n+n=x−n2+n．因为函数y=f x是定义在R上的奇函数，所以其图象关于原点对称，因此要使直线y=kx与函数y=f x恰有7个不同的公共点，只需满足当x>0时，直线y=kx与函数y=f x恰有3个不同的公共点即可．作出x>0时函数y=f x图象，由图可知，当直线y=kx与曲线段y=x−12+1，x∈1,2相切时，直线与函数y=f x恰有5个不同的公共点．与曲线段y=x−22+2，x∈2,3相切时，直线与函数y=f x恰有9个公共点，若恰有7个，则介于此两者之间．由直线方程y=kx与y=x−12+1，x∈1,2，消去y得x2−2+k x+2=0，因为相切，所以Δ=2+k2−8=0，又k>0，所以k=22−2．由y=kx与y=x−22+2，x∈2,3，消去y得x2−4+k x+6=0，因为相切，所以Δ=0，得到k=26−4，所以k的取值范围为22−2,26−4．第二部分13. 482【解析】由题意可知系统抽样的每组元素个数为32−7=25个，共20个组，故样本中最大的编号应该为500−25+7=482．14. 9【解析】作出不等式组对应的平面区域如下图（阴影部分）．由z=2x+y得y=−2x+z，平移直线y=−2x+z，由图象可知当直线y=−2x+z经过点A时，直线y=−2x+z的截距最大，此时z最大．由y=x,y=3x−6解得x=3,y=3,即A3,3，将A3,3的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×3+3=9．即z=2x+y的最大值为9．15. 23【解析】由题知AC2=BC2+AB2，所以∠ABC=90∘，设AC的中点为E，球的半径为R，过A，B，C三点的截面圆半径r=AE=12AC=1，由球的表面积为25π4知4πR2=25π4，解得R=54，因为△ABC的面积为12AB×BC=1，所以要使四面体ABCD体积最大，则D为直线DE与球的交点且球心在线段DE上，所以球心到过A，B，C三点的截面的距离d=2−r2=34，所以DE=34+54=2，所以四面体ABCD体积的最大值为13×1×2=23．16. 1【解析】由题意知a mn=1+n−1d m，则a2n−a1n=1+n−1d2−1+n−1d1=n−1d2−d1，同理，a3n−a2n=n−1d3−d2，a4n−a3n=n−1d4−d3，⋯⋯，a nn−a n−1n=n−1d n−d n−1．又因为a1n，a2n，a3n，⋯，a nn成等差数列，所以a2n−a1n= a3n−a2n=⋯⋯=a nn−a n−1n，故d2−d1=d3−d2=⋯⋯=d n−d n−1，即d n是公差为d2−d1的等差数列，所以d m=d1+m−1d2−d1=2−m d1+m−1d2．令p1=2−m，p2=m−1，则d m=p1d1+p2d2，此时p1+p2=1．第三部分17. （1）由cos2A−3cos B+C=1，得2cos2A+3cos A−2=0，即2cos A−1cos A+2=0，解得cos A=12或cos A=−2（舍去）．因为0<A<π，所以∠A=π3．（2）由S=12bc sin A=12bc⋅32=34bc=53，得bc=20．又b=5，故c=4．由余弦定理，得a2=b2+c2−2bc cos A=25+16−20=21，故a=21．又由正弦定理，得sin B sin C=ba sin A⋅casin A=bcasin2A=2021×34=57．18. （1）设该校报考飞行员的总人数为n，前三个小组的频率为P1，P2，P3．则P2=2P1,P3=4P1,P1+P2+P3+5×0.017+0.043=1.解得P1=1 ,P2=1 ,P3=2 5 .由于P2=15=11n，故n=55．（2）由（1）知，一个报考学生的体重超过60公斤的概率为P=P3+5×0.017+0.043=710．由题意知X服从二项分布即：X∼B3,710，所以P X=k=C3k710k3103−kk=0,1,2,3，所以E X=3×710=2110，D X=3×710×310=63100．19. （1）如图，连接CO，则四边形ABCO为正方形，所以OC=AB=A1B1，且OC∥AB∥A1B1，故四边形A1B1CO为平行四边形，所以A1O∥B1C，又A1O⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，所以A1O∥平面AB1C．（2）连接D1O．因为D1A=D1D，O为AD的中点，所以D1O⊥AD，又侧面ADD1A1⊥底面ABCD，故D1O⊥底面ABCD．以O为原点，OC，OD，OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，则C1,0,0，D0,1,0，D10,0,1，A0,−1,0，所以DC=1,−1,0，DD1=0,−1,1，D1A=0,−1,−1，D1C1=DC=1,−1,0．设m=x,y,z为平面CDD1C1的法向量，由m⊥DC，m⊥DD1得x−y=0,−y+z=0,令z=1，则y=1，x=1，所以m=1,1,1．又设n=x1,y1,z1为平面AC1D1的法向量，由n⊥D1A，n⊥D1C1得−y1−z1=0, x1−y1=0,令z1=1，则y1=−1，x1=−1，所以n=−1,−1,1，则cos⟨m,n ⟩=3⋅3=−13，故所求锐二面角的余弦值为13．20. （1）由题意知e=ca =22，4a2+2b2=1，又a2=b2+c2，解得a2=8，b2=4，所以椭圆的标准方程为x 28+y24=1．（2）设直线AB的方程为y=kx+m，设A x1,y1，B x2,y2，联立y=kx+m,x2+2y2=8得1+2k2x2+4kmx+2m2−8=0，Δ=4km2−41+2k22m2−8=88k2−m2+4>0, ⋯⋯①x1+x2=−4km1+2k2,x1x2=2m2−81+2k2,因为k OA⋅k OB=−b2a =−12，所以y1y2x1x2=−12，y1y2=−12x1x2=−12⋅2m2−81+2k2=−m2−41+2k2，又y1y2=kx1+m kx2+m=k2x1x2+km x1+x2+m2=k2⋅2m2−81+2k2+km⋅−4km1+2k2+m2=m2−8k2,所以−m 2−41+2k =m2−8k21+2k，所以−m2−4=m2−8k2，所以4k2+2=m2．（i）OA⋅OB=x1x2+y1y2=2m2−81+2k2−m2−41+2k2=m2−4 1+2k2=4k2+2−4 1+2k2=2−42,所以−2=2−4≤OA⋅OB<2，当k=0（此时m2=2满足①式），即直线AB平行于x轴时，OA⋅OB取最小值为−2．又直线AB的斜率不存在时，OA⋅OB=2，所以OA⋅OB的最大值为2．（ii）设原点到直线AB的距离为d，则S△AOB=12AB ⋅d=121+k⋅ x2−x1m1+k2=mx1+x22−4x1x2=m2−4km1+2k22−42m2−81+2k2=m64k22−16m2−42=24k2−m2+4=22,所以S四边形ABCD=4S△AOB=82，即四边形ABCD的面积为定值．21. （1）因为fʹx=xx+11−1x=x2−1x+x，所以f x在x=12处的切线的斜率k=fʹ12=−65，又因为 f 12 =ln 52， 所以 f x 在 x =12 处的切线方程为 y −ln 52=−65 x −12， 即 y =g x =−65x +35+ln 52．（2） 令 t x =f x −g x =ln x +1x +65x −35−ln 52x >0 ， 因为 tʹ x =x 2−1x 3+x+65=6x 3+5x 2+6x−55 x 3+x = x−12 6x 2+8x +10 5 x 3+x ， 所以当 0<x <12 时，tʹ x <0；x >12 时，tʹ x >0； 所以 t x min =t 12=0． 故 t x ≥0，即 ln x +1x ≥−65x +35+ln 52． （3） 先求 f x 在点 1n ,ln n +1n处的切线方程， 由（1）知 fʹ 1n =n−n 31+n ， 故 f x 在点 1n ,ln n +1n 处的切线方程为 y −ln n +1n=n−n 3n 2+1 x −1n ， 即 y =n−n 31+n 2x −1−n 2n 2+1+ln n +1n． 再证 f x ≥n−n 3n +1x −1−n 21+n +ln n +1n ． 令 x =ln x +1x −n−n 3n +1x +1−n 21+n −ln n +1nx >0 ， 因为ʹ x =x 2−1x 3+x −n −n 3n 2+1= n 3−n x 3+ n 2+1 x 2+ n 3−n x −n 2−1=x −1n n 3−n x 2+2n 2x +n 3+n x 3+x n 2+1 .所以 0<x <1n 时， ʹ x <0； x >1n 时， ʹ x >0． 所以 x min = 1n=0， 所以 f x ≥n−n 3n 2+1x −1−n 21+n 2+ln n +1n ．因为 a i >0，所以 ln a i +1a i ≥n−n 3n 2+1a i −1−n 21+n 2+ln n +1n ， 所以 ln a i +1a i n i =1≥n−n 3n +1 a i n i =1−n 1−n 2 1+n +n ln n +1n =n ln n +1n ． 所以 a 1+1a 1 a 2+1a 2 ⋯ a n +1a n ≥ n +1n n．22. （1） 因为 AB 为圆 O 的直径，所以∠ACB=90∘．又AC∥BP，所以∠ACB=∠CBP，∠ECA=∠P．因为EC为圆O的切线，所以∠ECA=∠ABC，所以∠ABC=∠P，所以△ACB∽△CBP，所以ACBC =BCBP，即BC2=AC⋅BP．（2）因为EC为圆O的切线，EC=25，AB=8，所以EC2=EA⋅EB=EA EA+AB，所以EA=2．因为∠ECA=∠ABC，所以△ACE∽△CBE，所以ACBC =EAEC=5．因为AB为圆O的直径，所以∠ACB=90∘，所以AC2+BC2=AB2，所以AC=463，由ACBP=EAEB可得PB=2063．23. （1）曲线C的普通方程为x−y−1=0，曲线P的直角坐标方程为x2+y2−4x+3=0．（2）曲线P可化为x−22+y2=1，表示圆心为2,0，半径r=1的圆，则圆心到直线C的距离为d=2=22，所以AB=22−d2=2．24. （1）原不等式等价于x<12,4−4x≤5 ⋯⋯①或12≤x≤32,2<5 ⋯⋯②或x>32,4x−4≤5. ⋯⋯③解①求得−14≤x<12，解②求得12≤x≤32，解③求得32<x≤94，因此不等式的解集为 −14,94．（2）因为f x=2x−1+2x−3 ≥ 2x−1−2x−3=2，所以m2−m<2，解得−1<m<2，即实数m的取值范围为−1,2．。

C
5.(2015·天津卷）790多年前，成吉思汗带领蒙 古大军挥舞弯刀驰骋征战，如今他的后代用马头 琴向世界传递和平之声。为纪念世界反法西斯战 争胜利70周年，内蒙古野马乐团准备了《初升的 太阳》等曲目，寓意“和平就是我们的太阳”。 这反映了（ ） A.世界和平面临诸多难题和挑战 B.和平与发展是当今时代的主题 C.中国人民爱好和平的真诚愿望 D.我国奉行独立自主的和平外交政策
4．中国坚持走和平发展道路的原因
(1)中国和平发展是时代主题的要求：和平与发展是当今时代 的主题，和平崛起有利于维护世界和平与安全，促进世界的合作 与发展。 (2)世界多极化不可逆转。当前国际竞争的实质是以经济和科 技为基础的综合国力的竞争，和平崛起有利于为我国经济发展创 造良好的外部环境，增强综合国力。 (3)主权国家是国际社会的主要成员，履行不侵犯别国，不干涉他 国内政，以和平方式解决国际争端的义务，中国和平发展充分彰 显中国是负责任大国的形象。 (4)国家利益决定国际关系，维护国家利益是主权国家对外活 动的出发点和落脚点。中国和平发展，根本上是由我国的国家利 益决定的。 (5)我国的国家利益和国家性质决定我国奉行独立自主的和平 外交政策。中国的和平发展是我国外交政策的要求和体现。
①当前国际竞争的实质是以经济和科技实力 为基础的综合国力的较量。 ②机器人是新技术革命的重要技术且市场前 景广阔,发展机器人产业对维护国家利益具有重 要意义。 ③许多国家都想抓住和利用这一重要战略机 遇期,抢占科技制高点,在世界多极化格局中占据 有利地位。
12.（西北狼教育联盟高2016级摸底考试 ）（26分）阅读材料，回答问题。 材料一 美国主导的跨太平洋伙伴关系协定(TPP) 12个谈判国达成基本协 议，规模占全球四成的巨大经济圈将应运而生。TPP极为强势，对成员国的主 权有所削弱。媒体解读TPP是与中国主导的“一路一带”经济圈相抗衡的。美 国总统奥巴马声称：“当超过95%的潜在客户生活在我们的国境之外，我们不 能让像中国这样的国家书写全球经济的规则。”美国遏制中国的意图非常直白。 材料二 国家主席习近平对美国进行国事访问，双方就中美在亚太地区实 现积极互动等国际和地区问题进行沟通协调，在5大方面，49项问题上达成广 泛共识，取得了一系列重要成果。中美是当前国际舞台上经济总量占世界三分 之一、贸易总量占世界五分之一的两个“大块头”，经贸交流素来密切，相互 依赖日趋加深。但随着中国在全球的影响力逐渐增强，美国出现了一些声音， 守成大国和新兴大国会不会陷入发生冲突的“修昔底德陷阱”等等疑虑影响着 中关两国关系的进一步发展。同时，中美在网络安全、南海问题、民主主权等 问题上仍有明显分歧。 材料三 习近平参加联合国成立七十周年纪念活动，在联合国发展峰会上 宣布，中国将免除对有关最不发达国家、内陆发展中国家、小岛屿发展中国家 截至2015年底到期未还的政府间无息贷款债务。同时，宣布将设立“南南合作 援助基金”，首期提供20亿美元。

河北省衡水中学2015-2016学年度下学期高三年级二调考试理科试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,3,4,5A =，集合{}2|450B x Z x x =∈--<，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．162.如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数z i ⋅（i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ） A ．1Z B ．2Z C ．3Z D ．4Z3.下列四个函数中，在0x =处取得极值的函数是（ ）①3y x =；②21y x =+；③y x =；④2xy =A ．①②B ．①③C ．③④D ．②③5.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．86.两个等差数列的前n 项和之比为51021n n +-，则它们的第7项之比为（ ）A ．2B ．3C ．4513D ．70277.在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布()()21000，σσ>，若ξ在（80,120）内的概率为0.8，则落在（0,80）内的概率为（ ）A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.28.函数()()sin 0,0f x A x A ωω=>>的部分图象如图所示，()()()()1232015f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．0B ．32C ．62D ．2-9.若()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+的值是（ ） A ．-2 B ．-3 C ．125 D ．-13110.已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>，焦距为2c ），若圆12,C C 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．102，⎛⎤⎥⎝⎦ C ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．202，⎛⎤ ⎥ ⎝⎦11.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 12.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体ABCD 外接球表面积为（ ）A ．7πB ．19πC ．776π D ．19196π 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为 .14.已知向量AB 与AC 的夹角为60°，且||||2AB AC ==，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为 .15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的半焦距为c ，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线24y cx =的准线被双曲线截得的弦长是2223be （e 为双曲线的离心率），则e 的值为 .16.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g =，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-= .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分)在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知7,3,7sin sin 23a b B A ==+=.(1)求角A 的大小；(2)求ABC ∆的面积. 18. (本小题满分12分)某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.(1)当3a b ==时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；(2)在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望；(3)若1a =，记乙型号电视机销售量的方差为2s ，根据茎叶图推断b 为何值时，2s 达到最小值.(只需写出结论)19. (本小题满分12分)如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，DE AB ⊥于点E ，将ADE∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D DC ⊥，如图2. (1)求证：1A E ⊥平面BCDE ； (2)求二面角1E A B C --的余弦值；(3)判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC ？若存在，求出EPPB的值；若不存在，说明理由.20. (本小题满分12分)如图，已知椭圆：2214x y +=，点,A B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于,EF 两点.(1)若6ED DF =，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值.21. (本小题满分12分)设函数()()22ln f x x a x a x =---.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； (3)若方程()()f x c c R =∈有两个不相等的实数根12,x x ，比较12'2x x f +⎛⎫⎪⎝⎭与0的大小.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，直线PQ 与⊙O 相切于点,A AB 是⊙O 的弦，PAB ∠的平分线AC 交⊙O 于点C ，连接CB ，并延长与直线PQ 相交于Q 点. (1)求证：22QC BC QC QA ⋅=-； (2)若6,5AQ AC ==，求弦AB 的长.23. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为25sin ρθ=. (1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 坐标()3,5，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求|||PB |PA +的值. 24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲(1)已知函数()13f x x x =-++，求x 的取值范围，使()f x 为常函数； (2)若222,,z R,x 1x y y z ∈++=，求225m x y z =++的最大值.参考答案及解析一、选择题1. C2.B3.D4.D5.B6.B7.B8.A9.C 10.B 11.D 12.A 二、填空题13. 433 14.1 15. 62 16. 2015413-三、解答题17.解：(1)在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=，得73sin sin A B =，即7sin 3sin B A =.(3分)又因为7sin sin 23B A +=，所以3sin 2A =. (5分)当1c =时，因为2227cos 0214a c b B ac +-==-<，所以角B 为钝角，不符合题意，舍去.当2c =时，因为2227cos 0214a cb B ac +-==>，又,,b c b a B C B A >>⇒>>，所以ABC ∆为锐角三角形，符合题意.所以ABC ∆的面积11333sin 322222S bc A ==⨯⨯⨯=. (12分) 18.解：(1)根据茎叶图，得2数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=.(1分)乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=.(2分)由茎叶图，知甲型号电视剧的“星级卖场”的个数5m =，乙型号电视剧的“星级卖场”的个数5n =，所以m n =. (4分)(2)由题意，知X 的所有可能取值为0,1,2. (5分)且()025*******C C P X C ===，()()11025555221010521299，C C C C P X P X C C ======，（8分） 所以X 的分布列为X 0 1 2P所以()2520121999+=E X =⨯+⨯⨯. （10分） （3）当0b =时，2s 达到最小值. (12分)19.解：（1）∵DE BE ⊥，//BE DC ，∴DE DC ⊥，又∵1A D DC ⊥，1A DDE D =，∴DC ⊥平295929面1A DE .∴1DC A E ⊥，又∵1A E DE ⊥，DC DE D =，∴1A E ⊥平面BCDE ；(4分)（2）∵1A E ⊥平面BCDE ，DE BE ⊥，∴以EB ，ED ，1EA 分别为x 轴，y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，易知23DE =，则1(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(4,23,0)C ，(0,23,0)D ，∴1(2,0,2)BA =-，(2,23,0)BC =，平面1A BE 的一个法向量(0,1,0)n =，设平面1A BC 的法向量(,,)m x y z =，由10BA m ⋅=，0BC m ⋅=，得2202230x zx y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，得(3,1,3)m =--，∴7c o s ,7||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图，得二面角1E A B C --为钝二面角，∴二面角1E A B C --的余弦值为77-； （8分） （3）假设在线段EB 上存在一点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A B C ，设(,0,0)(02)P t t ≤≤，则1(,0,2)A P t =-，1(0,23,2)A D =-，设平面1A DP 的法向量为111(,,)p x y z =，由10A D p ⋅=，10A P p ⋅=，得1111232020y z tx z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令12x =，得(2,,)3t p t =，∵平面1A DP ⊥平面1A BC ，∴0m p ⋅=，即23303tt -+=，解得3t =-， ∵02t ≤≤，∴在线段EB 上不存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ．(12分 )20.解：(1)依题设得椭圆的顶点()()2,0,0,1A B ，则直线AB 的方程为220x y +-=.(1分)设直线EF 的方程为()0y kx k =>.设()()()001122,,,,，D x kx E x kx F x kx ，其中12x x <.联立直线l 与椭圆的方程2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得方程()22144k x +=.(3分)故212214x x k=-=+，由6ED DF =知，()02206x x x x -=-，得()021221510677714x x x x k=+==+，由点D 在线段AB 上，知00220x kx +-=，得0212+x k =，所以221012714=++k k ，化简，得2242560k k -+=，解得23k =或38k =.（6分）(2)根据点到直线的距离公式，知点,A B 到线段EF 的距离分别为122221,1414k h h kk==++，又2241||14k EF k +=+，所以四边形AEBF 的面积为()()212222121144||221414k k kS EF h h k k+++=+==++ 2442121221144k+kk k==+≤++，当且仅当14k k =，即12k =时，取等号.所以四边形AEBF 面积的最大值为22.(12分)21.解：(1) ()()()22221'220-（）（)(）a x a x a x a x f x x a x x x x---+=---==>．当0a ≤时， ()'0f x >，函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 所以函数()f x 的单调增区间为()0,+∞，无单调减区间．当0a >时，由()'0f x >，得2a x >；由()'0f x <，得02a x <<. 所以函数()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭.（4分）(2)由(1)得，若函数()f x 有两个零点，则0a >，且()f x 的最小值02a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即244ln 02a a a a -+-<.因为0a >，所以4ln 402aa +->. 令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数，且 ()()381220,34ln 1ln 10216h h =-<=-=->，所以存在()()002,3,0a h a ∈=.当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <.所以满足条件的最小正整数3a =.又当3a =时，()()()332ln 30,10f f =->=，所以3a =时，()f x 有两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3.(3)证明：因为12,x x 是方程()f x c =的两个不等实根，由(1)知0a >.不妨设120x x <<，则()()22111222-2ln ,-2ln ,x a x a x c x a x a x c --=--= 两式相减得()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，即()2211221122112222ln ln ln ln x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+--．所以221122112222ln ln ＋－－＋－－x x x x a x x x x =.因为'02a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，故只要证122x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋> 2a即可，即证明22112211221222ln ln ＋－－＋－－x x x x x x x x x x +>， 即证明()()22221212121122ln ln 22x x x x x x x x x x -++-<+--，即证明11221222ln－＋x x x x x x <.设t ＝()1201xt t x =<<． 令()22ln 1－＋t g t t t =-，则()()()222114'11（）t g t t t t t -=-=++. 因为0t >，所以()'0g t ≥，当且仅当1t =时，()'0g t =， 所以()g t 在()0,+∞上是增函数．又()10g =，所以当()()0,1,0t g t ∈<总成立．所以原题得证．（12分）22. 解：(1)∵PQ 与⊙O 相切于点A ,∴由切割线定理得()2QA QB QC QC BC QC =⋅=-⋅，∴22QC BC QC QA ⋅=-.(5分)(2)∵PQ 与⊙O 相切于点A ,∴PAC CBA ∠=∠,∵,PAC BAC BAC CBA ∠=∠∴∠=∠,∴5AC BC ==.由6AQ =及(1)知，9QC =.由QAB QCA ∠=∠，知QAB QCA ∆=∆，∴A B Q AC A Q C=，∴103AB =.(10分) 23. 解：(1)由232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得直线l 的普通方程为350x y ---=.(2分)又由25sin ρθ=得圆C 的直角坐标方程为22250x y y +-=，即()2255x y +-=.(5分)（2）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22223522t t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23240t t -+=，由于()2324420∆=-⨯->，故可设12,t t 是上述方程的两实数根，所以1212324t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，又直线l 的过点()3,5，,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，所以12|||PB||||t |32PA t +=+=.(10分)24.解：(1) ()22,3134,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩.(4分)则当[]3,1x ∈-时，()f x 为常函数.(5分)（2）由柯西不等式得()()()()()2222222x 225225y z x y z ⎡⎤++++≥++⎢⎥⎣⎦，所以32253x y z -≤++≤，当且仅当222x y z ==，即225,,333x y z ===时，取最大值，因此m 的最大值为3.（10分）。