新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数对数的运算讲义

知识点一 对数的运算性质

若a＞0，且a≠１，M＞0，N＞0，那么：

（１）loga（M·N）＝logaM＋logaN，

（２）loga错误!＝logaM—logaN，

（３）logaMn＝nlogaM（n∈R）．

错误! 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log２[（—３）·（—５）]＝log２（—３）＋log２（—５）是错误的．

知识点二 对数换底公式

logab＝错误!（a＞0，a≠１，c＞0，c≠１，b＞0）．

特别地：logab·logba＝１（a＞0，a≠１，b＞0，b≠１）．

错误! 对数换底公式常见的两种变形

（１）logab·logba＝１，即错误!＝logba ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 .

（２）logNnMm＝错误!logNM，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的错误!倍．

[教材解难]

换底公式的推导

设x＝logab，化为指数式为ax＝b，两边取以c为底的对数，得logcax＝logcb，即xlogca＝logcb.

所以x＝错误!，即logab＝错误!.

[基础自测]

１．下列等式成立的是（ ）

Ａ．log２（8—４）＝log２8—log２４

Ｂ．错误!＝log２错误! Ｃ．log２8＝３log２２

Ｄ．log２（8＋４）＝log２8＋log２４

解析：由对数的运算性质易知C正确．

答案：C

２．错误!的值为（ ）

Ａ．错误! Ｂ．２

Ｃ．错误! Ｄ．错误!

解析：原式＝log３9＝２．

答案：B

３．２log５１0＋log５0．２５＝（ ）

Ａ．0 Ｂ．１

Ｃ．２ Ｄ．４

解析：原式＝log５１0２＋log５0．２５

＝log５（１0２×0．２５）＝log５２５＝２．

答案：C

４．已知ln ２＝a，ln ３＝b，那么log３２用含a，b的代数式表示为________．

解析：log３２＝错误!＝错误!.

答案：错误!

题型一 对数运算性质的应用[教材P１２４例３]

例１ 求下列各式的值：

（１）lg 错误!；

（２）log２（４7×２５）．

【解析】 （１）lg错误!＝lg １0015＝错误!lg １00＝错误!；

（２）log２（４7×２５）＝log２４7＋log２２５ ＝7log２４＋５log２２

＝7×２＋５×１

＝１9．

利用对数运算性质计算．

教材反思

１．对于同底的对数的化简，常用方法是：

（１）“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数；

（２）“拆”，将积（商）的对数拆成对数的和（差）．

２．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg ２＋lg ５＝１在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．

跟踪训练１ （１）计算：lg错误!＋２lg ２—错误!—１＝________.

（２）求下列各式的值．

１log５３＋log５错误!

２（lg ５）２＋lg ２·lg ５0

３lg ２５＋错误!lg 8＋lg ５·lg ２0＋（lg ２）２.

解析：（１）lg错误!＋２lg ２—错误!—１＝lg ５—lg ２＋２lg ２—２＝（lg ５＋lg

２）—２＝１—２＝—１．

（２）１log５３＋log５错误!＝log５错误!＝log５１＝0．

２（lg ５）２＋lg ２·lg ５0

＝（lg ５）２＋（１＋lg ５）lg ２

＝（lg ５）２＋lg ２＋lg ２·lg ５

＝lg ５（lg ５＋lg ２）＋lg ２

＝lg ５＋lg ２＝lg １0＝１．

３原式＝lg ２５＋lg 823＋lg错误!·lg（１0×２）＋（lg ２）２

＝lg ２５＋lg ４＋（lg １0—lg ２）（lg １0＋lg ２）＋（lg ２）２ ＝lg １00＋（lg １0）２—（lg ２）２＋（lg ２）２＝２＋１＝３．

答案：（１）—１ （２）见解析

利用对数运算性质化简求值．

题型二 对数换底公式的应用[经典例题]

例２ （１）已知２x＝３y＝a，错误!＋错误!＝２，则a的值为（ ）

Ａ．３6 Ｂ．6

Ｃ．２错误! Ｄ．错误!

（２）计算下列各式：

１log89·log２7３２．

２２lg ４＋lg ５—lg 8—错误!2-3.

３6４错误!＋lg ４＋２lg ５．

【解析】 （１）因为２x＝３y＝a，

所以x＝log２a，y＝log３a，

所以错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝loga２＋loga３＝loga6＝２，

所以a２＝6，解得a＝±错误!.

又a＞0，所以a＝错误!.

（２）１log89·log２7３２＝错误!·错误!

＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!.

２２lg ４＋lg ５—lg 8—错误!2-3＝lg １6＋lg ５—lg 8—错误!＝lg错误!—错误!＝１—错误!＝错误!.

３6４错误!＋lg ４＋２lg ５＝４＋lg（４×５２）＝４＋２＝6．

【答案】 （１）D （２）见解析

错误! １．先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值． ２．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分．

方法归纳

（１）换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底．

（２）换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；loganbm＝错误!logab.

跟踪训练２ （１）式子log9１6·log88１的值为（ ）

Ａ．１8 Ｂ．错误!

Ｃ．错误! Ｄ．错误!

（２）（log４３＋log8３）（log３２＋log98）等于（ ）

Ａ．错误! Ｂ．错误!

Ｃ．错误! Ｄ．以上都不对

解析：（１）原式＝log３２２４·log２３３４＝２log３２·错误!log２３＝错误!.

（２）原式＝错误!·错误!

＝错误!·错误!

＝错误!×错误!log３２＝错误!.

答案：（１）C （２）B

利用换底公式化简求值．

题型三 用已知对数表示其他对数

例３ 已知log１89＝a,１8b＝５，用a，b表示log３6４５．

解析：方法一 因为log１89＝a，所以9＝１8a.

又５＝１8b，

所以log３6４５＝log２×１8（５×9）＝log２×１8１8a＋b＝（a＋b）·log２×１8１8．

又因为log２×１8１8＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，所以原式＝错误!.

方法二 ∵１8b＝５，∴log１8５＝b.

∴log３6４５＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!. 错误! 方法一 对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值．

方法二 先求出a、b，再利用换底公式化简求值.

方法归纳

用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：

（１）增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；

（２）巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；

（３）注意一些派生公式的使用．

跟踪训练３ （１）已知log6２＝p，log6５＝q，则lg ５＝________；（用p，q表示）

（２）１已知log１４7＝a,１４b＝５，用a，b表示log３５２8．

２设３x＝４y＝３6，求错误!＋错误!的值．

解析：（１）lg ５＝错误!＝错误!＝错误!.

（２）１∵log１４7＝a,１４b＝５，

∴b＝log１４５．

∴log３５２8＝错误!＝错误!

＝错误!＝错误!.

２∵３x＝３6,４y＝３6，

∴x＝log３３6，y＝log４３6，

∴错误!＝错误!＝错误!＝log３6３，

错误!＝错误!＝错误!＝log３6４，

∴错误!＋错误!＝２log３6３＋log３6４＝log３6（9×４）＝１．

答案：（１）错误! （２）１错误! ２１

（１）利用换底公式化简．

（２）利用对数运算性质化简求值．

课时作业 ２２

一、选择题

１．若a＞0，a≠１，x＞y＞0，下列式子：

１logax·logay＝loga（x＋y）；２logax—logay＝loga（x—y）；３loga错误!＝logax÷logay；４loga（xy）＝logax·logay.其中正确的个数为（ ）

Ａ．0个 Ｂ．１个

Ｃ．２个 Ｄ．３个

解析：根据对数的性质知４个式子均不正确．

答案：A

２．化简错误!log6１２—２log6错误!的结果为（ ）

Ａ．6错误! Ｂ．１２错误!

Ｃ．log6错误! Ｄ．错误!

解析：错误!log6１２—２log6错误!＝错误!（１＋log6２）—log6２＝错误!（１—log6２）＝错误!log6３＝log6错误!.

答案：C

３．设lg ２＝a，lg ３＝b，则错误!＝（ ）

Ａ．错误! Ｂ．错误!

Ｃ．错误! Ｄ．错误!

解析：错误!＝错误!＝错误!＝错误!.

答案：C

４．若log３４·log8m＝log４１6，则m等于（ ）

Ａ．３ Ｂ．9

Ｃ．１8 Ｄ．２7