对数函数与指数函数的导数

求导法则及基本求导公式求导法则是微积分中的重要内容，用于求解函数的导数。

通过求导法则，我们可以将复杂的函数求导问题转化为简单的计算问题。

本文将介绍常见的求导法则及基本求导公式。

1.基本求导公式：（1）常数函数求导公式：如果f(x)=C（C是常数），那么f'(x)=0。

（2）幂函数求导公式：如果f(x) = x^n （n是实数），那么f'(x) = nx^(n-1)。

其中，对于n不等于1的情况，需要注意一点：如果n是一个整数，那么求导过程中，指数函数仍然满足乘法法则，即令n作为常数处理；如果n是一个实数但不是整数，那么求导过程中，必须使用指数函数的导数公式。

（3）指数函数和对数函数求导公式：（a）指数函数求导公式：如果f(x) = a^x （a>0，且不等于1），那么f'(x) = ln(a) * a^x。

（b）自然对数函数求导公式：如果f(x) = ln(x)，那么f'(x) = 1/x。

（4）三角函数求导公式：（a）正弦函数求导公式：如果f(x) = sin(x)，那么f'(x) =cos(x)。

（b）余弦函数求导公式：如果f(x) = cos(x)，那么f'(x) = -sin(x)。

（c）正切函数求导公式：如果f(x) = tan(x)，那么f'(x) =sec^2(x)。

2.求导法则：（1）和差法则：如果f(x)=g(x)+h(x)，那么f'(x)=g'(x)+h'(x)。

同样地，对于减法来说，如果f(x)=g(x)-h(x)，那么f'(x)=g'(x)-h'(x)。

（2）乘法法则：如果f(x)=g(x)*h(x)，那么f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)。

（3）除法法则：如果f(x)=g(x)/h(x)，那么f'(x)=(g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x))/(h(x))^2（4）复合函数求导法则（链式法则）：如果f(x)=g(h(x))，那么f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。

求导公式大全24个1.常数函数的导数为零：(c)'=0。

2.幂函数的导数：(x^n)'=n*x^(n-1)。

3.反比例函数的导数：(1/x)'=-1/x^2。

4. 指数函数的导数：(a^x)' = a^x*lna，其中lna为以e为底数的对数。

5. 对数函数的导数：(ln x)' = 1/x，其中x>0。

6. 正弦函数的导数：(sin x)' = cos x。

7. 余弦函数的导数：(cos x)' = -sin x。

8. 正切函数的导数：(tan x)' = sec^2 x = 1/cos^2 x。

9. 反正弦函数的导数：(arcsin x)' = 1/√(1-x^2)。

10. 反余弦函数的导数：(arccos x)' = -1/√(1-x^2)。

11. 反正切函数的导数：(arctan x)' = 1/(1+x^2)。

12. 双曲正弦函数的导数：(sinh x)' = cosh x。

13. 双曲余弦函数的导数：(cosh x)' = sinh x。

14. 双曲正切函数的导数：(tanh x)' = sech^2 x = 1/cosh^2 x。

15. 反双曲正弦函数的导数：(arcsinh x)' = 1/√(x^2+1)。

16. 反双曲余弦函数的导数：(arccosh x)' = 1/√(x^2-1)。

17. 反双曲正切函数的导数：(arctanh x)' = 1/(1-x^2)。

18.真分式的导数：(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-g'(x)f(x))/g^2(x)。

19.复合函数的导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。

20.积的导数：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。

高等数学导数公式大全1.基本导数公式：-若f(x)=c（c为常数），则f'(x)=0；- 若f(x) = x^n（n为正整数），则f'(x) = nx^(n-1)；- 若f(x) = a^x（a为常数），则f'(x) = a^x * ln(a)；-若f(x)=e^x，则f'(x)=e^x；2.三角函数与反三角函数的导数公式：- 若f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)；- 若f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)；- 若f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)；- 若f(x) = cot(x)，则f'(x) = -csc^2(x)；- 若f(x) = sec(x)，则f'(x) = sec(x) * tan(x)；- 若f(x) = csc(x)，则f'(x) = -csc(x) * cot(x)；- 若f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)；- 若f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)；- 若f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1 / (1 + x^2)；- 若f(x) = arccot(x)，则f'(x) = -1 / (1 + x^2)；- 若f(x) = arcsec(x)，则f'(x) = 1 / (x * sqrt(x^2 - 1))；- 若f(x) = arccsc(x)，则f'(x) = -1 / (x * sqrt(x^2 - 1))；3.对数函数与指数函数的导数公式：- 若f(x) = log_a(x)，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))；- 若f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1 / x；- 若f(x) = ln，u(x)，则f'(x) = u'(x) / u(x)；- 若f(x) = a^x（a>0且a ≠ 1），则f'(x) = a^x * ln(a)；-若f(x)=e^x，则f'(x)=e^x；4.复合函数的导数公式：-若g(x)可导，f(x)可导，则(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)；-若f(x)可导，f^-1(x)可导，则(f^-1(x))'=1/f'(f^-1(x))；5.乘积与商的导数公式：-若f(x)与g(x)都可导，则(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)；-若f(x)与g(x)都可导，且g(x)≠0，则(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g^2(x)6.反函数的导数：-若f(x)在x_0处可导，且f'(x_0)≠0，则f^(-1)(x)在f(x_0)处可导，且(f^(-1))'(f(x_0))=1/f'(x_0)；7.链式法则：- 若y = f(u)且u = g(x)都可导，则y = f(g(x))也可导，且dy/dx = f'(u) * g'(x) = f'(g(x)) * g'(x)；8.泰勒展开式：-若f(x)在x_0处有n阶导数，则它在x_0处的泰勒展开式为：f(x) = f(x_0) + (x - x_0)f'(x_0) + (x - x_0)^2f''(x_0)/2! + ... + (x - x_0)^nf^n(x_0)/n!；这只是高等数学导数公式的部分内容，实际上导数公式非常多且多样化，可以根据需要不断学习和掌握。

导数的原函数公式导数是微积分中一个非常重要的概念，描述了函数在其中一点处的变化率。

对于一个函数f(x)，其导数的计算方法有很多种，下面将逐一介绍常用的导数公式，以及一些特殊函数的导数。

1.常数函数的导数：对于常数c而言，其导数为0，即：f'(x)=0。

2.幂函数的导数：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，其导数为：f'(x) = nx^(n-1)。

3.指数函数的导数：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数且a>0，其导数为：f'(x) = ln(a) * a^x。

4.对数函数的导数：对数函数f(x) = ln(x)，其导数为：f'(x)=1/x。

5.三角函数的导数：(1)正弦函数的导数：f(x) = sin(x) 的导数为：f'(x) = cos(x)。

(2)余弦函数的导数：f(x) = cos(x) 的导数为：f'(x) = -sin(x)。

(3)正切函数的导数：f(x) = tan(x) 的导数为：f'(x) = sec^2(x)。

(4)余切函数的导数：f(x) = cot(x) 的导数为：f'(x) = -csc^2(x)。

6.反三角函数的导数：(1)反正弦函数的导数：f(x) = arcsin(x) 的导数为：f'(x)=1/√(1-x^2)。

(2)反余弦函数的导数：f(x) = arccos(x) 的导数为：f'(x)=-1/√(1-x^2)。

(3)反正切函数的导数：f(x) = arctan(x) 的导数为：f'(x)=1/(1+x^2)。

(4)反余切函数的导数：f(x) = arccot(x) 的导数为：f'(x)=-1/(1+x^2)。

7.对数函数与指数函数的复合函数导数：(1) f(x) = ln(g(x)) 的导数为：f'(x)=g'(x)/g(x)。

基本初等函数的求导公式
基本初等函数的求导公式包括：常数函数的导数为零，指数函数的导数为零，对数函数的导数为零，三角函数的导数如下：
- 正弦函数的导数是余弦函数，即 $(sinx)" = cosx$
- 余弦函数的导数是正弦函数，即 $(cosx)" = -sinx$
- 正切函数的导数是余切函数，即 $(tanx)" = -cscx$
- 余切函数的导数是正切函数，即 $(cotx)" = cscx$
- 自然对数的导数是自然对数，即 $(lnx)" = 1/x$
- 换底公式的导数是换底公式，即 $(ex)" = e^x$
此外，还有一些其他的基本初等函数的求导公式，例如反三角函数、双曲函数等。

这些函数的导数可以通过基本的求导法则推导出来。

●课题§3.5.1 对数函数与指数函数的导数(一)——对数函数的导数●教学目标(一)教学知识点对数函数的导数的两个求导公式：(ln x )′=x 1、(log a x )′=x 1log a e . (二)能力训练要求1.理解掌握对数函数的导数的两个求导公式.2.在学习了函数四那么运算的求导法那么与复合函数求导法那么的基础上，应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数.(三)德育渗透目标1.培养学生的推理论证能力.2.培养学生灵活运用知识和综合运用知识的能力.●教学重点结合函数四那么运算的求导法那么与复合函数求导法那么，应用对数函数的求导公式.●教学难点对数函数的导数的记忆，以及运用对数函数的导数法那么.●教学方法讲、练结合.●教具准备幻灯片两X第一X ：(ln x )′=x1的证明记作§3.5.1 A第二X ：(log a x )′=x1log a e 的证明记作§3.5.1 B●教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们已经学习了六种基本初等函数中的三种:常数函数，幂函数，三角函数的导数.这节课就来学习一下另一种基本初等函数的导数，对数函数的导数.Ⅱ.讲授新课［师］我们先给出以e 为底的自然对数函数的导数，然后介绍一下它的证明过程，不过要用到一个结论x x x 10)1(lim +→=e［板书］(一)对数函数的导数 1.(ln x )′=x 1 (打出幻灯片§3.5.1 A ，给学生讲解)［师］下面给出一般的对数函数的导数.这里要用到对数函数的换底公式a x x b b alog log log = (b ＞0，b ≠1).证明过程只作了解.2.(log a x )′=x1log a e . (打出幻灯片§3.5.1 B ，给学生讲解).［师］我们运用学过的函数四那么运算的求导法那么与复合函数求导法那么，来看一下有关含有对数的一些函数的导数.(二)课本例题［例1］求y =ln(2x 2+3x +1)的导数.分析：要用到对数函数的求导法那么和复合函数的求导法那么，以及函数四那么运算的求导法那么. 解：y ′=［ln(2x 2+3x +1)］′=13212++x x (2x 2+3x +1)′ =132342+++x x x ［例2］求y =lg21x -的导数. 解法一：y ′=(lg 21x -)′=211x -lg e ·(21x -)′ =21lg x e-·21·(1－x 2)21-(1－x 2)′=21lg x e -·2121x -·(－2x ) =1lg 1lg 22-=--x e x x e x 分析：对数函数，可以先把它化简，然后根据求导法那么进行求导.解法二：y =lg 2112=-x lg(1－x 2) ∴y ′=［21lg(1－x 2)］′=21121x-lg e (1－x 2)′ =)1(2lg 2x e -·(－2x )=1lg 2-x e x (三)精选例题［例1］求函数y =ln(12+x －x )的导数.分析：由复合函数求导法那么：y ′x =y ′u ·u ′x 对原函数由外向内逐个拆成几个简单的基本初等函数. ［学生板演］解：)1(1122'-+⋅-+='x x x x y111111)11(11)12)1(21[112222222122+-=++-⋅-+=-+-+=-⋅+-+=-x x x x x x x x x x x x x x ［例2］假设f (x )=ln(ln x )，那么f ′(x )|x =e =.(B)A.eB.e 1C.1D.以上都不对解：f ′(x )=［ln(ln x )］′=x ln 1·(ln x )′=xx ln 1 f ′(x )|x =e =e e ln 1⋅=e1 ［例3］y =ln ［ln(ln x )］的导数是 (C) A.)ln(ln 1x x B.)ln(ln ln 1x x C.)ln(ln ln 1x x x D.)ln(ln 1x 解：y ′=)ln(ln 1x ［ln(ln x )］′=)ln(ln 1x ·xln 1 (ln x )′ =)ln(ln 1x ·x ln 1·x 1=)ln(ln ln 1x x x ⋅ ［师生共议］所以用复合函数的求导法那么时，要由外向内逐层求导，直到不能求导为止.［例4］求y =ln|x |的导数.［生甲］y ′=(ln|x |)′=||1x ［生乙］当x ＞0时，y =ln x .y ′=(ln x )′=x1 当x ＜0时，y =ln(－x )，y ′=［ln(－x )］′=x -1 (－1)= x 1， ∴y ′=x1 ［师生共评］学生乙的做法是正确的.学生甲做的时候，|x |可以看成ln|x |的中间变量，对|x |还要求导.所以以后遇到要求含有绝对值的函数的导数时，首先要把绝对值去掉，分情况讨论.［例5］求y =n x x )(ln 的导数.［师析］这类函数是指数上也是含有x 的幂函数.这样用以前学过的幂函数的求导公式就行不通了.以前指数是常数的幂函数.像形如(u (x ))v (x )的函数的求导，它的方法可以是两边取自然对数，然后再对x 求导.解：y =n x x )(ln 两边取自然对数.ln y =ln n x x )(ln =(ln x )n ·ln x =(ln x )n +1.两边对x 求导，y1 y ′=(n +1)(ln x )n ·(ln x )′=(n +1)x x n )(ln ∴y ′=x x n n ))(ln 1(+·y =x x n n))(ln 1(+·nx x )(ln =(n +1)(ln x )n ·1)(ln -n x x .［例6］求y =log a 21x +的导数. ［学生板演］解：y ′=(log a 21x +)′=211x +log a e ·(21x +)′221221log 2)1(211log x e x x x x e a a +=⋅+⋅+=-. Ⅲ.课堂练习求以下函数的导数.1.y =x ln x解：y ′=(x ln x )′=x ′ln x +x (ln x )′=ln x +x ·x1=ln x +1 2.y =ln x1 解：y ′=(ln x1)′=x11 (x 1)′ =x ·(－1)·x －2=－x －1=－x1. 3.y =log a (x 2－2). 解：y ′=［log a (x 2－2)］′=2log 2-x e a (x 2－2)′=2log 22-x e x a . 4.y =lg(sin x )解：y ′=［lg(sin x )］′=xe sin lg (sin x )′ =xe sin lg cos x =cot x lg e .5.y =ln x -1.解：y ′=(ln x -1)′)1(11'--=x x )1()1(211121---=-x x )1(21)1(21-=--=x x 6.y =ln 12+x解：y ′=(ln12+x )′)1(1122'++=x x ⋅+⋅+=-2122)1(2111x x 122+=x x x . 7.y =1ln +x x x －ln(x +1). 解：y ′=(1ln +x x x )′－［ln(x +1)］′ 2222)1(ln )1(1ln 1ln ln 11)1(ln )1)(1(ln 11)1()1(ln )1)(1(ln +=+---+++=+-+-++=+-+'+-+⋅+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x8.y =aa x x a a x x 22222ln 22++⋅++. 解：y ′=)ln 2()2(22222'+++'+aa x x a a x x22222222222222222222222222222122222222222222221222222)(22)1()(2221]2)(211[)(2221)(122)(21221a x a x a a x a x x a x a x x a a x x a x a x x a x x a a x x a x x a x a x x a a x x a x a x x aa x x a a x a x x a x +=+++=+++++++++=++⋅++++++=⋅++++++++='++⋅++⋅+⋅+⋅++=-- Ⅳ.课时小结(学生总结)本节课主要学习了对数函数的两个公式(ln x )′=x 1(log a x )′=x 1log a e .以及运用函数的四那么运算的求导法那么和复合函数的求导法那么，求一些含有对数的函数的导数.Ⅴ.课后作业(一)课本P 127、1、3(2)(4)(二)预习内容.课本P 127指数函数的导数.2.预习提纲.(1)预习(e x )′=e x 及它的应用.(2)预习(a x )′=a x ln a 及它的应用.●板书设计。

对数函数与指数函数的导数——指数函数的导数●教学目标(一)教学知识点指数函数的导数的两个求导公式：(e x )′=e x .(a x )′=a x ln a .(二)能力训练要求1.理解掌握指数函数的导数的两个求导公式.2.在学习了函数的四那么运算的求导法那么与复合函数的求导法那么的基础上，应用指数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数．(三)德育渗透目标培养学生灵活运用知识和综合运用知识的能力.●教学重点结合函数四那么运算的求导法那么与复合函数的求导法那么，以及四种基本初等函数的求导公式，应用指数函数的求导公式.●教学难点指数函数的求导公式的记忆，以及应用指数函数的求导公式.●教学方法讲练结合.●教学过程Ⅰ.课题导入［师］先复习一下四种基本初等函数的求导公式.常数函数，幂函数，三角函数，对数函数.［生］C ′=0(C 是常数)(x n )′=nx n －1(n ∈R )(sin x )′=cos x (cos x )′=－sin x .(ln x )′=x 1 (log a x )′=x1log a e . ［师］这节课要学习第五种基本初等函数的求导公式，就是指数函数的求导公式.Ⅱ.讲授新课(一)指数函数的导数［板书］1.(1)(e x )′=e x(2)(a x )′=a x ln a［师］这两个公式的证明需要用到反函数的求导法那么，这超出了目前的学习X 围，所以这里就不再证明.只需记住它的结论，以e 为底数的指数函数的导数是它本身，以a 为底数的指数函数的导数是它的本身乘以ln a .我们利用这两个公式就可以求一些关于指数函数的导数了.(二)课本例题［例3］y =e 2x cos3x 的导数［分析］ 这题先要用到两个函数乘积的求导法那么，再要用到复合函数的求导法那么.解：y ′=(e 2x )′cos3x +e 2x (cos3x )′=e 2x (2x )′cos3x +e 2x (－sin3x )(3x )′=2e 2x cos3x －3e 2x sin3x=e 2x (2cos3x －3sin3x )［例4］求y =a 5x 的导数.［分析］这题只需用复合函数的求导法那么.解：y ′=(a 5x )′=a 5x ln a ·(5x )′=5a 5x ln a .(三)精选例题［例1］求函数y =e -2x sin3x 的导数.［学生分析］先用积的求导法那么，(uv )′=u ′v +uv ′，再用复合函数的求导法那么求导，y x ′=y ′u u ′x . ［学生板演］解：y ′=(e -2x )′sin3x +e -2x ·(sin3x )′=e -2x (－2x )′sin3x +e -2x cos3x (3x )′=－2e -2x sin3x +3e -2x cos3x=e -2x (3cos3x －2sin3x ).［例2］求y =xe x3sin 2-的导数. ［学生分析］先用商的求导法那么2)(v v u v u v u '-'='，再用复合函数求导法那么求导.y ′x = y ′u ·u ′x .［学生板演］解：y ′=(x e x 3sin 2-)′=222)3(sin )3(sin 3sin )(x x e x e x x '-'-- xx x e x x e x e x x x 3sin )3cos 33sin 2(3sin 33cos 3sin )2(22222+-=⋅--=--- ［例3］求y =x sin x 的导数.y =ln x sin x =sin x ·ln x两边对x 求导y y '=cos x ·ln x +sin x ·x1 ∴y ′=(cos x ln x +x x sin )y =(cos x ·ln x +xx sin )·x sin x . y =f (x )都可以用指数函数的形式表示出来y =)(log x f a a，为了方便起见，我们取a =e .∴y =)(ln x f e .这道题转化成指数函数的形式怎么做呢？［学生板演］解：由所给函数知x ＞0∵x x x x e e x y x ln sin ln sin sin ⋅===∴y ′=)ln (sin )(ln sin ln sin '⋅⋅='⋅⋅x x e e x x x x)sin ln (cos )sin ln (cos sin ln sin xx x x x x x x x e x x x +⋅=+⋅=⋅ ［师］当用第二种方法求导的时候，要说明一下x ＞0，∵x sin x 是幂函数的形式，所以x ＞0，否那么x n (xx sin x ＞0，所以在用第一种方法求导时，等于默认了y ＞0.［师生共同总结］形如(u (x ))v (x )的幂指函数，可以用两种方法求导，其一，是两边取对数后再对x 求导；其二，是把它化成指数函数与其他函数复合.［例4］求y =32x lg(1－cos2x )的导数.方法一：y =32x lg(1－cos2x )=9x lg(1－cos2x )y ′=9x ln9·lg(1－cos2x )+9xx e2cos 1lg -·(1－cos2x )′ =9x ln9·lg(1－cos2x )+9xx e2cos 1lg -sin2x ·2. =9x ·ln9·lg(1－cos2x )+29x ·lg e ·xx x 2sin 2cos sin 2 =9x ·2ln3·lg(1－cos2x )+29x ·lg e ·cot x=2·9x ［ln3·lg(1－cos2x )+lg e ·cot x ］方法二：y ′=(32x )′lg(1－cos2x )+32x ·［lg(1－cos2x )］′=32x ·ln3·2lg(1－cos2x )+32x ·x e 2cos 1lg -·sin2x ·2=2·32x ln3·lg(1－cos2x )+2·32x lg e ·cot x=2·32x ［ln3·lg(1－cos2x )+lg e ·cot x ］［例5］求y =f (e x )e f (x )的导数，其中f (x )为可导函数.解：y ′=［f (e x )］′e f (x )+f (e x )·(e f (x ))′=f ′(e x )·e x e f (x )+f (e x )·e f (x )·f ′(x )=e f (x )［f ′(e x )e x +f (e x )·f ′(x )］.［例6］求y =2x x 的导数.(请两位同学用两种不同的方法做)(方法一)解：两边取对数，得ln y =ln2+x ln x .两边对x 求导y 1y ′=(x )′ln x +x (ln x )′=21x 21-ln x +x ·x 1 )2(ln 21ln 21212121+=+=---x x x x x ∴y ′=)2(ln 2)2(ln 212121+=⋅+--x x x x x x x (方法二)解：x x x x e e xy x ln 2ln 2ln 2+===. (方法二)解：x x x x e e xy x ln 2ln 2ln 2+=== y ′=)1ln 21()ln (21ln 2ln ln 2ln xx x x e x x e x x x x ⋅+='⋅-++)2(ln )2(ln 2122121+=+⋅=--x x x x x x x ［师］比较这两种方法，是不是难易程度差不多，都只要对x ln x 求导就可以了.所以碰到这类题目，两种方法可以任选其一.Ⅲ.课堂练习.求以下函数的导数.1.y =x 2e x .解：y ′=(x 2e x )′=2xe x +x 2e x =(2+x )xe x2.y =e 3x解：y ′=(e 3x )′=e 3x ·3=3e 3x3.y =x 3+3x解：y ′=3x 2+3x ·ln3.4.y =x n e －x解：y ′=nx n －1e －x +x n e －x ·(－1)=(n －x )x n －1e －x .5.y =e x sin x解：y ′=e x sin x +e x cos x =e x (sin x +cos x )6.y =e x ln x 解：y ′=e x ln x +e x ·x 1=e x (ln x +x 1)7.y =a 2x +1解：y ′=a 2x +1ln a ·2=2a 2x +1·ln a8.y =2〔22x xe e -+〕解：y ′=22222)2121(x x x xe e e e ---=-⋅.f (x )=2x e +1那么f ′(x )=(C )A.(x 2+1)2x e B.(x 2+1)12+x e x 12+x e xe 2x解：(2x e +1)′=12+x e ·2x =2x 12+x e .10.假设f (x )=e cos x .求f ′(x ).解：f ′(x )=(e cos x )′=e cos x ·(cos x )′=－sin x ·e cos x .y =xe 1－cos x 的导数. 解：y ′=(xe 1－cos x )′=e 1－cos x +xe 1－cos x ·(1－cos x )′ =e 1－cos x +xe 1－cos x ·sin x =(1+x sin x )e 1－cos xy =2x e +ax 导数.解：y′=(2x e+ax)′=2x e·2x+a=2x2x e+a.Ⅳ.课时小结这节课主要学习了指数函数的两个求导公式.(e x)′=e x，(a x)′=a x ln a，以及它们的应用.还有形如(u(x))v(x)的函数求导有两种方法：其一，两边取对数，再两边对x求导，其二是把它化成指数函数与其他函数复合，再进行求导.Ⅴ.课后作业(一)课本P127~128.习题3.5 2、3(1)(3).近似计算.128~129131~1322.预习提纲.(1)自变量的微分概念、表示.(2)函数的微分概念、表示.(3)Δy与y的微分的关系.(4)导数用微分如何表示.(5)求微分的方法.(6)微分的四那么运算法那么.●板书设计。

对数函数与指数函数的导数（1）课题： 3．5对数函数与指数函数的导数(1)教学⽬的：1.理解掌握对数函数的导数的两个求导公式.2.在学习了函数四则运算的求导法则与复合函数求导法则的基础上，应⽤对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数教学重点：应⽤对数函数的求导公式求简单的初等函数的导数．教学难点：对数函数的导数的记忆，对数函数求导公式的灵活运⽤. 授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：⼀、复习引⼊：1. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -??=≠3.复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u )′(x ).4.复合函数的求导法则复合函数对⾃变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对⾃变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．⼆、讲解新课：⒈对数函数的导数（1）： xx )'(ln = 证明：∵ x x f y ln )(==∴ x x x x x x y ?+=-?+=?lnln )ln()1l n (xx+=，∴ )1l n (1x x x x y ?+?=??=)1ln(1xxx x x ?+?x xx x x ??+=)1ln(1∴ =??=→?x y y x 0lim 'x xx x x x ?→??+)1l n (l i m 10])1(lim ln[10x xx x x x ?→??+=xe x 1ln 1==．即 xx 1)'(ln =．附：重要极限e xxx =+∞→)11(lim 或e x x x =+→10)1(lim2.对数函数的导数（2）： xx a a log 1)'(log = 证明：根据对数的换底公式 e xx a a x x a a l o g 11ln 1)'ln ln ()'(log =?==．根据对数函数的求导公式以及函数的四则运算的求导法则、复合函数的求导法则，我们可以求⼀些简单函数的导数．三、讲解范例：例1求)132ln(2++=x x y 的导数．解： y ′=［ln(2x 2+3x +1)］′=13212++x x (2x 2+3x +1)′=132342+++x x x 例2求21lg x y -=的导数．解法⼀：y ′=(lg21x -)′=211x-lg e ·(21x -)′=21lg x e-·21·(1－x 2)21-(1－x 2)′=21lg x e -·2121x-·(－2x )=1lg 1lg 22-=--x e x x e x分析：对数函数，可以先把它化简，然后根据求导法则进⾏求导解法⼆：∵ y =lg2112=-x lg(1－x 2) ∴y ′=［21lg(1－x 2)］′=21121x -lg e (1－x 2)′ =)1(2lg 2x e -·(－2x )=1lg 2-x ex 说明：真数中若含乘⽅或开⽅、乘法或除法的，均可先变形再求导．实际上，解法1中u y lg =，v u =，21x v -=，取了两个中间变量，属于多重复合．⽽解法2中u y lg 21=，21x u -=，仅有⼀次复合，所以其解法显得简单，不易出错．例3求函数y =ln(12+x －x )的导数.分析：由复合函数求导法则：y ′x =y ′u ·u ′x 对原函数由外向内逐个拆成⼏个简单的基本初等函数.解：)1(1122'-+?-+='x x xx y 1221[(1)21)2x x -=+?-1)=-==例4 若f (x )=ln(ln x )，那么f ′(x )|x =e = .(B) A.e B.e1 C.1 D.以上都不对解：f ′(x )=［ln(ln x )］′=xln 1·(ln x )′=x x ln 1f ′(x )|x =e =e e ln 1?e例5 y =ln ［ln(ln x )］的导数是 (C)A.)ln(ln 1x x B.)ln(ln ln 1x x C.)ln(ln ln 1x x x D.)ln(ln 1x解：y ′=)ln(ln 1x ［ln(ln x )］′=)ln(ln 1x ·xln 1 (ln x )′=)ln(ln 1x ·x ln 1·x 1=)ln(ln ln 1x x x ? 所以⽤复合函数的求导法则时，要由外向内逐层求导，直到不能求导为⽌. 例6求y =ln|x |的导数.解：当x ＞0时，y =ln x . y ′=(ln x )′=x1；当x ＜0时，y =ln(－x )，y ′=［ln(－x )］′=x -1 (－1)= x1，∴y ′=x1错误⽅法：y ′=(ln|x |)′=||1x ，|x |可以看成ln|x |的中间变量，对|x |还要求导.所以以后遇到要求含有绝对值的函数的导数时，⾸先要把绝对值去掉，分情况讨论.例7求y =log a 21x +的导数. 解：y ′=(log a21x+)′=211x+log a e ·(21x +)′221221log 2)1(211log x e x x x x e a a +=?+?+=- 例8（仅教师参考）求y =nx x)(ln 的导数.分析：这类函数是指数上也是含有x 的幂函数.这样⽤以前学过的幂函数的求导公式就⾏不通了. 以前指数是常数的幂函数.像形如(u (x ))v (x )的函数的求导，它的⽅法可以是两边取⾃然对数，然后再对x 求导.解：y =nx x )(ln 两边取⾃然对数.ln y =ln nx x)(ln =(ln x )n ·ln x =(ln x )n +1.两边对x 求导，y 1 y ′=(n +1)(ln x )n·(ln x )′=(n +1)x x n )(ln∴y ′=x x n n ))(ln 1(+·y =xx n n ))(ln 1(+·nx x )(ln =(n +1)(ln x )n ·1)(ln -nx x.四、课堂练习：求下列函数的导数.1.y =x ln x 解：y ′=(x ln x )′=x ′ln x +x (ln x )′=ln x +x ·x1=ln x +1 2.y x 解：y ′=(ln x 1)′=x11 (x 1)′=x ·(－1)·x －2=－x －1=－x 1.3.y =log a (x 2－2). 解：y ′=［log a (x 2－2)］′=2log 2-x e a (x 2－2)′=2log 22-x e x a . 4.y =lg(sin x )解：y ′=［lg(sin x )］′=x e sin lg (sin x )′=xe sin lg cos x =cot x lg e . 5.y =lnx -1.解：y ′=(ln x -1)′)1(11'--=x x)1()1(211121---=-x x )1(21)1(21-=--=x x6.y =ln12+x解：y ′=(ln12+x )′)1(1122'++=x x++=-2122)1(2111x x 122+=x x x . 7.y =1ln +x xx －ln(x +1). 解：y ′=(1ln +x xx )′－［ln(x +1)］′ 21(ln )(1)ln (1)1(1)1x x x x x x x x x ' +?+-+=-++2(ln 1)(1)ln 1(1)1x x x x x x ++-=-++ 2ln ln 1ln 1(1)x x x x x x x x +++---= +2ln (1)xx =+8.y =a a x x a a x x 22222ln22++?++. 解：y ′=)ln 2()2(22222'+++'+aa x x a a x x1222211()2(222x a x a x x a-'=?+?+1222221()2]2x a x -++?22(1+222=222==五、⼩结：⑴要记住并⽤熟对数函数的两个求导公式；⑵遇到真数中含有乘法、除法、乘⽅、开⽅这些运算的，可以先利⽤对数运算性质将函数解析式作变形处理，然后再求导，以使运算较简便六、课后作业：求下列函数的导数：⑴)1(log 22x x y ++=；⑵2211ln xx y -+=；⑶xx y 2sin ln=；⑷)(sin ln 2x e y -=．解：⑴)'1(1log '222x x x x ey ++++=??+++++=)'1(12111log 2222x x x x e++++=222111log x x x x e221log x e +=；⑵)]1ln()1[ln(2122x x y --+=---++=22221)'1(1)'1(21'x x x x y ??---+=22121221x x x x 412x x-=；⑶)'2sin (2sin 'x x x x y =22sin 2cos 22sin xx x x x x -?=x x 12cot 2-=；⑷cot(2)(sin )1)(cos()sin(2)(sin )]'([sin '222x e x e x e x e x e x e y --=----=--=七、板书设计（略）⼋、课后记：。

16个基本导数公式详解在微积分中，导数是指函数在其中一点的切线斜率或变化率。

它在计算斜率、切线和极值时起着重要作用。

以下是16个基本导数公式的详解。

1. 常数函数导数：对于常数函数y=c，导数为dy/dx = 0。

这是因为常数函数在任何点的斜率都是零。

2. 幂函数导数：对于幂函数y=x^n（这里n是常数），其导数为dy/dx = nx^(n-1)。

这个公式可以通过使用极限定义导数来证明。

例如，对于y=x^2，导数为dy/dx = 2x。

3. 指数函数导数：对于指数函数y=a^x（这里a是常数且a>0），其导数为dy/dx = a^x * ln(a)。

这个公式可以通过使用极限定义导数和对数函数的导数来证明。

4. 对数函数导数：对于自然对数函数y=ln(x)，其导数为dy/dx =1/x。

对数函数的导数是指数函数导数的倒数。

这个公式也可以通过使用极限定义导数来证明。

5. 正弦函数导数：对于正弦函数y=sin(x)，其导数为dy/dx =cos(x)。

这个公式可以通过使用极限定义导数和三角函数的定义来证明。

6. 余弦函数导数：对于余弦函数y=cos(x)，其导数为dy/dx = -sin(x)。

这个公式可以通过使用极限定义导数和三角函数的定义来证明。

7. 正切函数导数：对于正切函数y=tan(x)，其导数为dy/dx =sec^2(x)。

这个公式可以通过使用sin(x)和cos(x)的导数公式来证明。

8. 反正弦函数导数：对于反正弦函数y=arcsin(x)，其导数为dy/dx = 1/√(1 - x^2)。

这个公式可以通过使用反三角函数的定义和导数的链式法则来证明。

9. 反余弦函数导数：对于反余弦函数y=arccos(x)，其导数为dy/dx = -1/√(1 - x^2)。

这个公式可以通过使用反三角函数的定义和导数的链式法则来证明。

10. 反正切函数导数：对于反正切函数y=arctan(x)，其导数为dy/dx = 1/(1 + x^2)。

微积分必背公式大全微积分是数学中重要的分支，涉及到许多重要的公式。

以下是一些微积分中常用的公式大全：1. 导数公式：常数函数的导数，(k)' = 0。

幂函数的导数，(x^n)' = nx^(n-1)。

指数函数的导数，(e^x)' = e^x.对数函数的导数，(ln(x))' = 1/x.三角函数的导数，(sin(x))' = cos(x), (cos(x))' = -sin(x), (tan(x))' = sec^2(x)。

2. 积分公式：幂函数的不定积分，∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中C为积分常数。

指数函数的不定积分，∫e^x dx = e^x + C.对数函数的不定积分，∫1/x dx = ln|x| + C.三角函数的不定积分，∫sin(x) dx = -cos(x) + C,∫cos(x) dx = sin(x) + C.3. 微分与积分的基本关系：牛顿-莱布尼茨公式，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫f(x) dx = F(b) F(a)，其中a和b是积分区间的端点。

4. 微分方程的基本公式：一阶线性微分方程的通解，dy/dx + P(x)y = Q(x)的通解为y = e^(-∫P(x)dx) (∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx + C)，其中C为积分常数。

以上是微积分中一些重要的公式，掌握这些公式对于理解微积分的基本原理和解题非常重要。

当然，微积分领域的公式远不止这些，还有一些特殊函数的导数和积分公式，以及微分方程的高阶解等。

希望这些公式对你有所帮助。

自然对数函数与指数函数的导数自然对数函数与指数函数是高等数学中重要的函数之一，它们的导数在许多应用领域中都有着重要的作用。

本文将探讨自然对数函数与指数函数的导数，并分析它们的性质和应用。

一、自然对数函数的导数自然对数函数以常数e为底，通常表示为ln(x)，其中x为函数的自变量。

求ln(x)的导数时，可以运用链式法则。

设y = ln(x)，则x = e^y。

对x = e^y两边同时求导，得到dx/dy =e^y。

由于x = e^y，所以dx/dy = e^y = x。

所以，ln(x)的导数为1/x。

自然对数函数的导数具有一些重要的性质。

首先，它对应的曲线y = ln(x)在x > 0时是递增的，也就是说其斜率始终大于零。

其次，ln(x)的导数在x > 0时无界，说明ln(x)在无穷大处的导数也是无穷大。

这些性质在实际问题的求解中有重要的应用。

二、指数函数的导数指数函数以常数e为底，通常表示为f(x) = e^x，其中x为函数的自变量。

求e^x的导数时，可以直接求得。

设y = e^x，对y求导得到dy/dx = e^x。

所以指数函数的导数为e^x。

指数函数的导数也具有一些重要的性质。

首先，它对应的曲线y = e^x在整个实数集上都是递增的，说明其斜率始终大于零。

其次，e^x的导数为其本身，这个性质在微分方程和积分学中有广泛的应用。

三、自然对数函数和指数函数导数的应用自然对数函数和指数函数的导数在很多学科和领域中都有广泛的应用，以下是其中一些典型的应用：1. 计算复杂函数的导数：利用链式法则和指数函数的导数，可以求解复杂函数的导数。

这在微积分、物理学和工程学中经常被使用。

2. 统计分布：正态分布是自然界和社会现象中最常见的分布之一。

它的概率密度函数正比于e^(-x^2)。

通过求导数，我们可以计算正态分布的密度函数和分布函数，并进一步研究其统计特性。

3. 化学反应动力学：在化学反应动力学中，指数函数和自然对数函数的导数被广泛应用于反应速率的研究。

16个微积分公式微积分是数学的一个重要分支，研究的是函数的极限、导数和积分等概念及其应用。

下面将介绍16个微积分公式，包括导数和积分的基本公式以及一些常用的微积分技巧。

一、导数的基本公式1. 常数函数的导数公式：常数函数的导数为0。

这是因为常数函数在任意点的斜率都是0。

2. 幂函数的导数公式：幂函数的导数等于指数乘以底数的指数减1。

3. 指数函数的导数公式：指数函数的导数等于该函数自身乘以底数的自然对数。

4. 对数函数的导数公式：对数函数的导数等于该函数自身除以自变量。

5. 三角函数的导数公式：三角函数的导数可以通过基本的三角函数关系推导得出。

二、积分的基本公式1. 定积分的基本公式：定积分可以看作是函数在给定区间上的面积。

计算定积分可以使用牛顿-莱布尼茨公式，即求导和积分的逆运算。

2. 不定积分的基本公式：不定积分是积分的一种形式，表示函数的原函数。

计算不定积分可以使用导数和积分的基本公式。

三、微积分的常用技巧1. 函数的导数与原函数的关系：函数的导数可以用来求函数的原函数，而函数的原函数可以用来求函数的积分。

2. 导数的链式法则：如果一个函数是两个函数的复合函数，那么它的导数可以通过链式法则来计算。

3. 积分的换元法：积分的换元法是一种常用的求积法则，可以通过变量代换来简化积分的计算。

4. 积分的分部积分法：分部积分法是积分的一种常用技巧，可以将一个复杂的积分转化为两个简单的积分。

5. 积分的化简技巧：有时候，积分的式子可以通过一些化简技巧来简化，如分子分母的拆分、积分区间的变换等。

6. 导数的极值问题：导数可以用来求函数的极值点，通过判断导数的正负可以确定函数的增减性。

7. 积分的应用：积分在物理学、经济学等领域有广泛的应用，如求曲线的长度、求物体的质心等。

8. 微分方程的解法：微分方程是微积分的一个重要应用，可以用来描述物理系统的变化规律。

求解微分方程可以通过积分的方法来得到解析解。

9. 隐函数的求导：隐函数是指用一个方程来表示的函数，它的导数可以通过求偏导数来计算。

导数与函数的对数与指数在微积分学中，导数是一项非常重要的概念。

它与函数的对数与指数有密切的联系。

本文将探讨导数与函数的对数与指数之间的关系，并展示它们在实际问题求解中的应用。

1. 导数的概念导数是用来描述函数在某一点上的变化率的概念。

对于给定的函数f(x)，在某一点x处的导数可以通过求取函数在该点处的切线的斜率来计算。

记作f'(x)，表示函数f(x)在x处的导数。

2. 对数函数与导数对数函数是指以某个正数为底数的函数，常用的对数函数有以e为底数的自然对数函数(ln x)和以10为底数的常用对数函数(log x)。

这两种对数函数与导数之间有着密切的联系。

2.1 自然对数函数的导数自然对数函数ln x的导数可以通过求极限得到。

具体而言，ln x的导数等于1/x，即：(ln x)' = 1/x。

2.2 常用对数函数的导数常用对数函数log x的导数也可以通过求极限得到。

具体而言，log x的导数等于1/(x ln 10)，即：(log x)' = 1/(x ln 10)。

3. 指数函数与导数指数函数是以某个正数为底数的幂函数，常见的指数函数有以e为底数的指数函数(e^x)以及以常数a为底数的指数函数(a^x)。

指数函数与导数之间也存在紧密的联系。

3.1 自然指数函数的导数自然指数函数e^x的导数等于自身，即：(e^x)' = e^x。

3.2 一般指数函数的导数一般指数函数a^x的导数可以通过连锁法则来求解。

具体而言，(a^x)' = ln a * a^x，其中ln a为常数。

4. 应用举例导数与函数的对数与指数在实际问题求解中有广泛的应用。

以下是一些应用举例：4.1 金融领域在金融领域，复利计算是非常重要的概念。

复利计算涉及到指数函数和导数的应用。

通过对复利计算公式的导数求解，可以确定最优投资策略，以获得最大的利润。

4.2 物理学在物理学中，研究物体的运动是一项重要的任务。

高等数学积分导数公式高等数学中的积分和导数是两个重要的概念，它们在微积分中起着至关重要的作用。

积分和导数的公式是我们研究和解决各种数学问题的基础工具。

本文将介绍一些高等数学中常用的积分和导数公式，帮助读者更好地理解和掌握微积分的核心概念和方法。

一、基本积分公式1.常数函数积分公式：∫kdx=kx+C，其中k为常数，C为常数项。

2.幂函数积分公式：∫x^ndx=1/(n+1)x^(n+1)+C，其中n不等于-13.指数函数积分公式：∫e^xdx=e^x+C。

4.三角函数积分公式：（1）∫sinxdx=-cosx+C。

（2）∫cosxdx=sinx+C。

（3）∫sec^2xdx=tanx+C。

（4）∫csc^2xdx=-cotx+C。

（5）∫secxdxtanxdx=secx+C。

二、基本导数公式1.常数函数导数公式：d/dx(k)=0，其中k为常数。

2.幂函数导数公式：d/dx(x^n)=nx^(n-1)，其中n是任意实数。

3.指数函数导数公式：d/dx(e^x)=e^x。

4.对数函数导数公式：d/dx(lnx)=1/x。

5.三角函数导数公式：（1）d/dx(sinx)=cosx。

（2）d/dx(cosx)=-sinx。

（3）d/dx(tanx)=sec^2x。

（4）d/dx(cotx)=-csc^2x。

（5）d/dx(secx)=secxtanx。

（6）d/dx(cscx)=-cscxcotx。

三、基本积分和导数公式的应用1.利用基本积分公式计算确定积分的值。

例如，∫(2x+3)dx=x^2+3x+C。

2.利用基本导数公式计算函数在特定点的导数。

例如，求函数f(x)=3x^2-8x+5在x=2的导数，可使用f'(2)=6(2)-8=43.应用积分和导数来求解各种数学问题。

例如，利用导数和积分来计算曲线的切线和曲线下面积，求解极值点等。

四、基本积分和导数公式的拓展1.利用线性公式，可以把求和的情况化为求一个个积分，例如∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx。