第四章 向量组的线性相关性
1．教学目的和要求：
（1）理解n 维向量、向量的线性表示的概念.
（2）理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用向量组线性相关、线性无关的
有关性质及判别法.
（3）了解向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及
秩.
（4）了解向量组等价的概念以及向量组的秩与矩阵秩的关系. （5）理解线性方程组解的性质.
（6）理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念。掌握齐次线性方程组的基础解系和
通解的求法.
（7）理解非齐次线性方程组的解结构系及通解的概念. （8）会用初等行变换求解线性方程组.
2．教学重点：向量组的线性相关性、向量组的秩、线性方程组的解的结构. 3．教学难点：
（1）向量组的线性相关性中相关定理的证明. （2）求向量组的秩及最大线性无关组. （3）线性方程组的解的结构定理及其应用. 4．教学内容：
§1 向量组及其线性组合 定义1 n 个有次序的数n αα,,1 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n
个分量,第i 个数称为第i 个分量.
定义2 对n 维向量β及m αα,,1 , 若有数组m k k ,,1 ,
使得m m k k ααβ++=11 ， 称β为m αα,,1 的线性组合,或β可由m αα,,1 线性
表示．
例1 设
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1011β, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1112β, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1133β, ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=1354β 试判断4β可否由321,,βββ线性表示? 解 设
3322114ββββk k k ++=，比较两端的对应分量可得
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡--32111111031
1k k k ⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=135, 求得一组解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡120321k k k 于是有3214
120ββββ++=, 即4β可由321,,βββ线性表示．
[注] 取另一组解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡032321k k k 时, 有3214
032ββββ++=．
定理1 向量b 能由向量组A :m a a ,,1
线性表示的充分必要条件是矩阵A =),,(1m a a 的秩等于矩阵的秩B =
),,,(1b a a m .
定义3 设有两个向量组A :m a a ,,1
及B :l b
b ,,1 , 若B 组中每个向量都能由向量组A 线性表示, 则称向量组B 能由向量组A 线性表示.若向量组A 与向量组B 能互相线性表示, 则称这两个向量组等价.
定理 2 向量组B :
l b b ,,1 能由向量组A :m a a ,,1 线性表示的充分必要条件是矩阵
A =),,(1m a a 的秩等于矩阵的秩B)(A,=),,,,,1l 1m b b a (a 的秩, 即B)R(A,R(A)=
推论 向量组A :m a a ,,1
与向量组B :l b b ,,1 等价的充分必要条件是
B)R(A,B R R(A)==)(, 其中A 和B 是向量组A 和B 所构成的矩阵.
定理 3 设向量组B :l b b ,,1
能由向量组A :m a a ,,1 线性表示, 则
),,(),,1m 1l a a R b R(b ≤
课后作业: 习题四 1，2，3，4，5
§2 向量组的线性相关性 定义4 线性相关：对n 维向量组m αα,,1 , 若有数组m k k ,,1 不全为0, 使得
0=++11m m k k αα
则称向量组m αα,,1
线性相关, 否则称为线性无关．
线性无关：对n 维向量组m αα,,1 , 仅当数组m k k ,,1 全为0时, 才有
0=++11m m k k αα
则称向量组m αα,,1
线性无关, 否则称为线性相关．
[注] 对于单个向量α：若0=α, 则α线性相关；
若0≠
α, 则α线性无关． 对于两个向量的向量组,若对应分量成比例,则该向量组线性相关,否则线性无关.
例2 判断例1中向量组4321,,,ββββ的线性相关性．
解 设
0=+++44332211ββββk k k k , 比较两端的对应分量可得
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--00011113110531
143
21k k k k
即0=Ax ．因为未知量的个数是4, 而4)有非零解, 由定义知4321,,,ββββ线性相关．
例3 已知向量组
321,,ααα线性无关, 证明向量组
211ααβ+=, 322
ααβ+=, 133ααβ+= 线性无关．
证 设
0=++332211βββk k k , 则有
0k k k k k k 322131=+++++321)()()(ααα
因为321,,ααα线性无关, 所以
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k , 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡000110011101321k k k 系数行列式 021100111
01≠=, 该齐次方程组只有零解．
故321,,β
ββ线性无关．
例4 判断向量组
)0,,0,0,1(1 =e , )0,,0,1,0(2 =e , …, )1,0,,0,0( =n e
的线性相关性．
解 设 0=+++2211n n e k e k e k , 则有
⇒0=),,,(2
1n k k k 只有0,,0,021===n k k k
故n e e e ,,,2
1 线性无关.
定理4
（1）向量组m ααα,,,2
1 )2(≥m 线性相关⇔其中至少有一个向量可由其余1-m 个
向量线性表示．
证 必要性 已知
m ααα,,,21 线性相关, 则存在m k k k ,,,21 不全为零,
使得
0=+++2211m m k k k ααα
不妨设01≠k , 则有 m
m k k k k
ααα)()(1
2121-++-= ．
充分性 不妨设 m m k k ααα++= 221
, 则有
0=+++)(221m m k k 1ααα -
因为
m k k ,,,)1(2 -不全为零, 所以m ααα,,,21 线性相关．
（2）若向量组m ααα,,,2
1 线性无关, βααα,,,,21m 线性相关，则β可由
m ααα,,,21 线性表示, 且表示式唯一．
证 因为
βαα,,,1m 线性相关, 所以存在数组k k k m ,,,1 不全为零,
使得 0=+++1
1βααk k k m m
若0=k , 则有 0=++1
1m m k k αα ⇒0,,01==m k k ．矛盾!
故0≠k , 从而有 m
m k k k k ααβ)()(11
-++-= ．
下面证明表示式唯一：
