专题复习2 图形折叠问题
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2008年专题复习2 图形折叠问题
图形折叠问题是近年来中考的一个热点，其实质是轴对称问题，折叠重合部分必全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴，互相重合的两点（对称点）连线必被折痕垂直平分。要充分运用以上结论，作辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数定义等知识来解决折叠问题。解这类题目，通常可以借助现成材料，亲自动手操作，然后观察思考，得出答案。但由于考场环境和条件的限制，应根据上述知识，动手画出折后的图形。
【例题经典】
1．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（ ）
A．600 B．750 C．900 D．950
2．如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
3． 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝
度.
4．在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（ ）
A. B. C. D. 图（1）
第3题图 D E B
A
图 （2）
第4题图
5．如图a，ABCD是一矩形纸片，AB＝6cm，AD＝8cm，E是AD上一点，且AE＝6cm。操作：
（1）将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；（2）将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c。则△GFC的面积是（ ）
A.1cm2 B.2 cm2 C.3 cm2 D.4 cm2
6．如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是
A．2 B．4 C．8 D．10
7．如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ ）
8．如图（5），把矩形纸条ABCD沿EFGH，同时折叠，BC，两点恰好落在AD边的P点处，若90FPH∠，8PF，6PH，则矩形ABCD的边BC长为（ ）
Ａ．20 Ｂ．22 Ｃ．24 Ｄ．30
E A A A
B B B
C C C G D D D
F F F
图a 图b 图c
A
E P D
G
H F B A
C D
图（5）
【 探究思考】
9．如图5，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若6CD，则AF等于（ ）
Ａ．43 Ｂ．33
Ｃ．42 Ｄ．8
10.如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm, BC=10cm ,
求EC的长.
11.如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB = 2，BC = 1，求AG.
12.在矩形纸片ABCD中，AB=33，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，•点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°．（1）求BE、QF的长；（2）求四边形PEFH的面积．
Ｂ Ｆ Ｃ Ｅ Ｄ Ａ
图5
A
B D
F E
C
G A1 D
A B C
如图一
13. 如图，矩形纸片ABCD的边长分别为a，b（a
（1）猜想两折痕PQ，MN之间的位置关系，并加以证明．
（2）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ，•MN间的距离有何变化？请说明理由．
（3）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中都为45°（如图10），每次翻折后，非重叠部分的四边形MC′QD，及四边形BPA′N的周长与a，b有何关系，为什么？（2006•年湖南郴州市）
（7） （8） （9） （10）
14．如图13，在锐角ABC△中，9BC，AHBC于点H，且6AH，点D为AB边上的任意一点，过点D作DEBC∥，交AC于点E．设ADE△的高AF为(06)xx，以DE为折线将ADE△翻折，所得的ADE△与梯形DBCE重叠部分的面积记为y（点A关于DE的对称点A落在AH所在的直线上）．
（1）分别求出当03x≤与36x时，y与x的函数关系式；
（2）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
A
E F D
A
B C H
图13 A
B H C
【 当堂测试】
1、如图所示，有一块直角三角形纸片，90C，4cmAC，3cmBC，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（ ）
A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm
2、如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且EDBC，则CE的长是（ ）
（A）10315 （B）1053
（C）535 （D）20103
3、如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN（图甲），再把B点叠在折痕MN上的B'处。得到RtABE'（图乙），再延长EB'交AD于F，所得到的EAF是（ ）
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形
D. 直角三角形
4、如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则A与12
之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A. A12 B. 212A
C. 3212A D. )21(23A
5、如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝a cm，宽BC＝b cm，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a∶b等于（ ）．
A．1:2 B．2:1 C．1:3 D．3:1
A
B C D E
F B D C A
6、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连结AE．
证明：（1）BFDF．
（2）AEBD∥．
7、生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状 ，折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面)：
如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为2 6 cm，宽为xcm，分别回答下列问题：
(1)为了保证能折成图④的形状(即纸条两端均超出点P)，试求x的取值范围．
(2)如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示)．
A
B C D E
F
8、已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合.
(1)如果折痕FG分别与AD、AB交与点F、G(如图1)，23AF，求DE的长；
(2)如果折痕FG分别与CD、AB交与点F、G(如图2)，△AED的外接圆与直线BC相切，
求折痕FG的长．
【部分答案】
12.解：（1）由折叠知，∠Q=∠D=90°，EP=EC，PQ=CD=33，在Rt△PBE中，∠BPE=30°，∴PE=2BE，又EC=6-BE，∴2BE=6-BE，∴BE=2；EC=BC-BE=4，∴易证得△HQF∽△HAP，∠QHF=∠AHP
=∠BPE=•30°∴HF=3QF，∴QFAPHFHP．
∴33232333QFABPBQFPQHQQF． ∴QF=1，∴BE=2，QF=1．（2）由折叠知FD=FQ=1，四边形PEFQ≌四边形CEFD， ∵SPEFH=SPEFQ-S△HQF =S梯形CEFD-S△HQF=12（FD+EC）·CD-12HQ·QF=12（1+4）·33-123×1=73．
13 解： （1）PQ∥MN．因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC，且M在AD直线上．
则有AM∥BC，所以∠AMP=∠MPC．由翻折可得：
∠MPQ=∠CPQ=∠MPC，∠NMP=∠AMN=∠AMP．
所以∠MPQ=∠NMP，故PQ∥MN．
（2）两折痕PQ，MN间的距离不变．
过P作PH⊥MN，使PH=PM．sin∠PMH．因为∠QPC的角度不变，所以∠C′PC的角度也不变，则所有的PM都是平行的．又因为AD∥BC，所以所有的PM都是相等的．
又因为∠PMH=∠QPC，故PH的长不变．
（3）当∠QPC=45°时，四边形PCQC′是正方形，四边形
C′QDM是矩形．因为C′Q=CQ，C′Q+QD=a，所以矩形C′QDM的周长为2a．同理可得，矩形BPA′N的周长为2a．所以两个四边形的周长都为2a，与b无关．
14．解：（1）①当03x≤时，由折叠得到的AED△落在ABC△内部如图13（1），重叠部分为AED△
DEBC∥
ADEBAEDC，
ADEABC△∽△ ····································································································· 1分
DEAFBCAH，96DEx，即32DEx ································································· 2分
又FAFAx
