专题30 复数的概念及运算(检测)-2019年高考数学(理)名师揭秘之一轮总复习(解析版)
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本专题特别注意： 1.复数四则运算 2. 复数加减的几何意义 3. 复数与数列的综合 4.复数与二项式定理的综合问题 5. 复数的模和共轭复数问题 【学习目标】 1．理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用． 2．了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算． 3．了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用． 【方法总结】 1.设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法. 2.实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是实数. 3.复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义，转化条件和结论，有效利用数和形的结合，取得事半功倍的效果.
【高考模拟】 一、单选题 1．已知，其中是虚数单位，是复数的共轭复数，则复数（ ）
A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 化简原式，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，求得复数，从而可得结果. 【详解】 ， ，故选C. 【点睛】 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
2．已知是虚数单位，则复数在复平面上所对应的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 将复数的分子分母同乘以1+i，利用多项式的乘法分子展开，求出对应的点的坐标．
【点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．
3．（2017·太原市一模）已知是虚数单位，则复数的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的除法计算后取所得结果的共轭即可. 【详解】 ，故所求共轭复数为，故选A. 【点睛】 本题考察复数的概念及其运算，是基础题.
4．已知为虚数单位，复数，则下列命题为真命题的是（ ） A． 的共轭复数为 B． 的虚部为-1 C． 在复平面内对应的点在第一象限 D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先化简复数z,再判断每一个选项的真假.
【点睛】 (1)本题主要考查复数的计算，考查复数的几何意义、实部虚部和模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数的实部是a,虚部为b，不是bi. 5．欧拉公式 (为虚数本位）是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，
建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数的模为( ) A． B． C． 1 D． 【答案】C
【解析】 【分析】
直接由题意可得=cos+isin，再由复数模的计算公式得答案． 【详解】 由题意，=cos+isin， ∴表示的复数的模为． 故选：C．
【点睛】 本题以欧拉公式为背景，考查利用新定义解决问题的能力，考查了复数模的求法，属于基础题．
6．若在复平面内，点所对应的复数为，则复数的虚部为（ ） A． 12 B． 5 C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】
先求复数z,再求复数，再求它的虚部. 【详解】
【点睛】 (1)本题主要考查复数的运算和复数的虚部概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数的实部是a,虚部为b，不是bi.
7．读了高中才知道，数绝对不止1,2,3啊，比如还有这种奇葩数，他的平方居然是负数！那么复数在复平面内对应的点位于 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 运用复数除法法则运算得到结果 【详解】
由题意得， 在复平面内对应的点为在第一象限， 故选 【点睛】 本题考查了复数的几何意义，根据复数除法法则进行运算化成的形式即可得到答案
8．已知是虚数单位，复数是的共轭复数，复数，则下面说法正确的是（ ） A． 在复平面内对应的点落在第四象限 B．
C． 的虚部为1 D． 【答案】C 【解析】 【分析】
利用复数的运算法则可得复数=2i﹣2，再根据复数的几何意义、虚部的定义、模的运算性质即可得出． 【详解】
故选：C． 【点睛】 本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、虚部的定义、模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．设复数满足，则（ ） A． 3 B． C． 9 D． 10 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式即可得出． 【详解】
【点睛】 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．复数等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 化简分式，分子、分母分别平方，再按照复数的除法运算法则化简可得结果. 【详解】
，故选：C 【点睛】 本题主要考查了复数代数形式的运算，是基础题．
11．设为复数的共轭复数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】
先求出，从而求出的值即可. 【详解】
， 共轭复数， 则. 故选：A. 【点睛】 本题考查复数的运算性质以及共轭复数，是一道基础题.
12．为虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C
【解析】分析：由复数的基本运算性质,可得，其中为自然数， 则，即可求解答案.
点睛：本题主要考查了虚数的运算性质的应用，其中熟记虚数的运算性质，利用乘公比错误相减法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.
13．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 【答案】B 【解析】分析：由欧拉公式，可得，结合三角函数值的符号，即可得出结论. 详解：由欧拉公式，可得， 因为， 所以表示的复数在复平面中位于第二象限，故选B. 点睛：该题考查的是有关复数对应的点在第几象限的问题，在解题的过程中，首先应用欧拉公式将复数表示出来，之后借助于三角函数值的符号求得结果. 14．下列3个命题：
①若，，则； ②若是纯虚数，则； ③若，且，则. 其中真命题的个数是（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 【答案】B 【解析】分析：通过举反例可判断①错误，由复数的乘法法则判断②正确，由复数的概念可判断③错误.
点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了复数的基本概念和性质，特殊值排除法常可用于此类问题的求解. 15．对于任意的两个数对和，定义运算，若，则复数为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析：利用定义，列出方程表示出，分子、分母同时乘以得到的值． 详解：因为， 又 所以
所以 故选：D．
点睛：本题是新定义的问题，解题的关键是理解新定义，将问题转化为熟悉的问题来解决．
16．已知复数满足,则等于( ) A． B． C． D． 【答案】C
【解析】分析：由题可知，表示平行四边形的相邻两边，表示平行四边形的一条对角线，求另一条一条对角线的长.
点睛：本题考查复数加减法的几何意义，余弦定理等，属中档题. 17．定义运算，若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D
【解析】分析：先根据定义运算化简求出复数z,再求 详解：由题得iz+z=-2,所以（1+i）z=-2,所以， 所以，故答案为：D. 点睛：（1）本题主要考查复数的运算和共轭复数，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数的共轭复数 18．欧拉公式(为虚数单位)，是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将表示的复数记为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A
【解析】分析：由欧拉公式可求得，再由复数代数形式的乘法运算化简得结论.
详解：， ，故选A. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
19．对于复数，给出下列三个运算式子：（1），（2），（3）.其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析：根据复数的几何意义可得（1）正确；根据复数模的公式计算可得到（2）正确；根据复数乘法运算法则可判断（3）正确，从而可得结果.
点睛：本题主要考查复数模的公式、复数的几何意义、复数乘法的运算法则，意在考查基础知识掌握的熟练程度，以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于难题.
20．为虚数单位，则（ ） A． B． C． D．
