2011年考研数学强化班高等数学讲义-汤家

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联系QQ4015670 第一讲 极限与连续

主要内容概括（略）

重点题型讲解

一、极限问题

类型一：连加或连乘的求极限问题

1．求下列极限：

（1）)12)(12(1531311limnnn；

（2）11lim332kknkn；

（3）nknnkk1])1(1[lim；

2．求下列极限：

（1）nnnnn22241241141lim；

3．求下列极限：

（1）22222212111limnnnnn；

（2）nnnn!lim；

（3）ninnin1211lim。

类型二：利用重要极限求极限的问题

1．求下列极限：

（1）)0(2cos2cos2coslim2xxxxnn； （2）nnnnnn1sin)1(lim1；

2．求下列极限：

（1）xxxcos1120sin1lim；

（3）)21ln(103sin1tan1limxxxxx； （4）21coslimxxx；

类型三：利用等价无穷小和马克劳林公式求极限的问题

1．求下列极限： 友情提供 联系QQ4015670

联系QQ4015670 （1）)cos1(sin1tan1lim0xxxxx； （2）)cos1(limtan0xxeexxx；

（3）]1)3cos2[(1lim30xxxx； （4）)tan11(lim220xxx；

（5）203)3(limxxxxx；

（6）设Aaxxfxx1)sin)(1ln(lim0，求20)(limxxfx。

2．求下列极限：xxexxxsincoslim3202

类型四：极限存在性问题：

1．设01,111nnxxx，证明数列}{nx收敛，并求nnxlim。

2．设)(xf在),0[上单调减少、非负、连续，),2,1()()(11ndxxfkfannkn，证明：nnalim存在。

类型五：夹逼定理求极限问题：

1．求101sinlimdxxxnn；

2．),,()(lim1非负cbacbannnnn；

3．)0(21lim2xxxnnnn。

类型六：含参数的极限问题：

1．设0)3sin(lim230baxxxx，求ba,；

2．设3)11lim2baxxxx，求ba,；

类型七：中值定理法求极限：

1、)1arctan(arctanlim2nnnn；

2、)(lim1211212xxxeex。

类型八：变积分限函数求极限： 友情提供 联系QQ4015670

联系QQ4015670 1、)11)(tan(2coslim200xxxxxtdtextx。

2、设)(xf连续，且1)1(f，则1)(lim3111xdtxtfxx。

二、连续与间断的判断

1．设01,110,00,)1ln()(xxxxxxxxxf，讨论函数)(xf在0x处的连续性。

2．讨论0,10,)12()12()(11xxxfxx在0x处的连续性。

三、连续性命题的证明

1．设),[)(aCxf且)(limxfx存在，证明)(xf在),[a上有界。

2．设)(xf在],[ba上连续，任取0,0qp，证明：存在),(ba，使得

)())()()(fqpbqfapf。

第二讲 微分学

第一部分 一元函数微分学

内容复习（略）

重点题型讲解

（一）与导数定义相关的问题

1．设)(0xf存在，求)0()()(lim000hhxfhxfh。

2．设)(xf在1x处连续，且21)(lim21xxfx，求)1(f。

3．设)(xf在),(上有定义，对任意的yx,有)()()(yfxfyxf，且1)0(f，求)(xf。

4．设)(xf二阶连续可导，且1)(lim0xxfx，ef)0(，则______lim2)(0xeexxfx。

5．设)(xf在),(上有定义，且对任意的x有)(2)1(xfxf，又当]1,0[x时， 友情提供 联系QQ4015670

联系QQ4015670 有)1()(2xxxf，讨论)(xf在0x处的可导性。

（二）各类求导数的问题

1．设xxexxey111sin，求y；

2．设xxey11arctan，求y；

3．)100()2)(1(xxxxy，求)101(),0(yy；

4．设)(xfy由23)1ln(ttyttx确定，求22dxyd；

5．设xyyx，求dxdy；

6．设yxyexy)tan(，求0xdxdy；

7．设)(xyy由5sin3tan22yttytext确定，求dxdy；

8．设0,)1(2arctan90,2sin)(3xxbxxaexxfx在0x处可导，求ba,；

9．求下列函数的导数：

（1）设dttxyx022cos，求dxdy；

（2）设xdtxttfy022)(，求dxdy；

10．设)(xf连续，10)()(dtxtfx，且Axxfx)(lim0，求)(x，并讨论)(x在0x处的连续性。

11．设0,0,cos)()(xaxxxxgxf，其中)(xg二阶可导且1)0(g。

（1）当a为何值时，)(xf在0x处连续；（2）求)(xf；（3）研究)(xf在0x处的连续性。

解答：

（1）]cos)0()0()([limcos)(lim)(lim000xxgxgxgxxxgxfxxx

)0(]cos1)0()([lim0gxxxgxgx， 友情提供 联系QQ4015670

联系QQ4015670 于是当)0(ga时，)(xf在0x处连续。

（2）当0x时，xgxxxgxfxfxx)0(cos)(lim)0()(lim00

)]0(1[212sin)0()(lim)0(cos)(lim020gxxgxgxxgxxgxx，

即)]0(1[21)0(gf；

当0x时，2cos)(]sin)([)(xxxgxxgxxf，于是

0,cos)(]sin)([0),0(1[21)(2xxxxgxxgxxgxf。

（3）因为200cos)(]sin)([lim)(limxxxgxxgxxfxx

)0()]0(1[21]cos)(sin)([lim20fgxxxgxxxgx，

所以)(xf在0x处连续。

12．设)(xf在]1,1[上可导，)(xf在0x处二阶可导，且4)0(,0)0(ff，求30)]1[ln()(limxxfxfx。

13．设)1()1(21lim)(xnxnnebaxexxf，求)(xf，并讨论)(xf的连续性和可导性。

（三）高阶导数问题

1．设xeyxsin，求)(ny；

2．设)23ln(2xxy，求)(ny。

3．设)1ln()(2xxxf，求)0()49(f。

第二部分 一元函数微分学的应用

内容复习（略）

附：中值定理部分的推广

1．设)(xf在0xx的邻域内n阶连续可导，则有

))(()(!)())(()()(000)(000nnnxxoxxnxfxxxfxfxf。 友情提供 联系QQ4015670

联系QQ4015670 2．（导数零点定理）设],[)(baCxf，在),(ba内可导，且0)()(bfaf，则存在),(ba，使得0)(f。

3．（导数介值定理）设设],[)(baCxf，在),(ba内可导，且)()(bfaf，不妨设)()(bfaf，则对任意的)](),([bfaf，存在),(ba，使得)(f。

4．设],[)(baCxf，且)0(0)(xf，则有

))(()()()(000xxxfxfxf，等号成立当且仅当0xx。

重点题型讲解

（一）中值定理等式的证明

类型一：目标表达式中仅含不含端点字母，且导数之间相差一阶

1．设)(xf在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1(,1)0(ff，证明：存在)1,0(，使得 0)()(2ff。

2．设)(xf在]1,0[上可微，且3101)(3)1(dxxfefx，证明：存在)1,0(，使得

0)()(ff。

3．设)(xf在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)1(,1)21(,0)0(fff。证明：

（1）存在)1,21(，使得)(f；

（2）对任意的),(k，存在),0(，使得

1])([)(fkf。

类型二：目标表达式中含两个中值

1．设)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，且0)(xf，证明：存在),(,ba，使得eabeeffab)()(。

2．设)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，1)()(bfaf，证明：存在),(,ba，使得

eff)()(。

3．设]1,0[)(Cxf，在)1,0(内可导，且1)1(,0)0(ff，证明：对任意的正数ba,，