高考数学大一轮复习第十章算法初步与统计题组层级快练74线性回归分析与统计案例文含解析

1 题组层级快练(七十四)

1．(2019·湖南衡阳联考)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m，如下表：

甲 乙 丙 丁

r 0.82 0.78 0.69 0.85

m 106 115 124 103

则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性( )

A．甲 B．乙

C．丙 D．丁

答案 D

解析 r越大，m越小，线性相关性越强．故选D.

2．(2019·赣州一模)以下五个命题：

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；

③回归直线y^＝b^x＋a^必过点(x－，y－)；

④在回归直线方程y^＝0.2x＋12中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；

⑤分类变量X与Y，对它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．

其中假命题为( )

A．①④ B．①⑤

C．②③ D．③④

答案 B

解析 ①为系统抽样；⑤分类变量X与Y，对它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大．

3．在“新零售”模式下，自由职业越来越流行，诸如淘宝网店、微商等等．现调查某自由职业者的收入情况，记x(单位：小时)表示该自由职业者平均每天的工作时间，y(单位：千元)表示平均每天工作x小时的月收入，得到5组数(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)．根据收集到的数据可知x－＝8，由最小二乘法求得回归直线方程为y^＝1.2x＋0.6，则y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝( )

A．10.2 B．51

C．48.6 D．102 2 答案 B

解析 由x－＝8，y^＝1.2x＋0.6，知y－＝10.2，∴y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝5×y－＝51，故选B.

4．某公司一种型号的产品近期销售情况如下表：

月份x 2 3 4 5 6

销售额y(万元) 15.1 16.3 17.0 17.2

18.4

根据上表可得到回归直线方程y^＝0.75x＋a^，据此估计，该公司7月份这种型号的产品销售额为( )

A．19.5万元 B．19.25万元

C．19.15万元 D．19.05万元

答案 D

解析 由题意可得x－＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y－＝15.1＋16.3＋17.0＋17.2＋18.45＝16.8，回归方程过样本中心点，则16.8＝0.75×4＋a^，∴a^＝13.8.

故回归方程为y^＝0.75x＋13.8，该公司7月份这种型号的产品销售额为y^＝0.75×7＋13.8＝19.05(万元)．

5．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．如果K2>3.841, 那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为( )

P(K2

≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

A.5% B．75%

C．99.5% D．95%

答案 D

解析 由图表中数据可得，当K2>3.841时，有0.05的几率说明这两个变量之间没有关系是不可信的，即有95%的把握认为变量之间有关系，故选D.

6．(2019·安徽合肥二模)2018世界特色魅力城市200强新鲜出炉，包括黄山市在内的28个中国城市入选，美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客．现在很多人喜欢“自助游”，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表：

赞成“自助游” 不赞成“自助游” 合计 3 男性 30 15 45

女性 45 10 55

合计 75 25

100

参照公式，得到的正确结论是( )

A．有99.5%以上的把握认为“赞成‘自助游’与性别无关”

B．有99.5%以上的把握认为“赞成‘自助游’与性别有关”

C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“赞成‘自助游’与性别无关”

D．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“赞成‘自助游’与性别有关”

参考公式：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.

P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005

0.001

k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

答案 D

解析 将2×2列联表中的数据代入计算，得K2＝100×（30×10－45×15）245×55×75×25≈3.030，∵2.706<3.030<3.841，∴在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为“赞成‘自助游’与性别有关”．

7．(2019·福州四校联考)某汽车的使用年数x与所支出的维修总费用y的统计数据如表：

使用年数x/年 1 2 3 4 5

维修总费用y/万元 0.5 1.2 2.2 3.3 4.5

根据上表可得y关于x的线性回归方程y^＝b^x－0.69，若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用(不足1年按1年计算)( )

A．8年 B．9年

C．10年 D．11年

答案 D

解析 由y关于x的线性回归直线y^＝b^x－0.69过样本点的中心(3，2.34)，得b^＝1.01，即线性回归方程为y^＝1.01x－0.69，由y^＝1.01x－0.69＝10得x≈10.6，所以预测该汽车最多可使用11年，故选D.

8．如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y^＝0.7x＋0.35，则下列结论错误的是( )

x 3 4 5 6 4 y 2.5 t 4

4.5

A.线性回归直线一定过点(4.5，3.5)

B．产品的生产能耗与产量呈正相关

C．t的取值必定是3.15

D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨

答案 C

解析 x－＝14(3＋4＋5＋6)＝184＝4.5，则y－＝0.7×4.5＋0.35＝3.5，即线性回归直线一定过点(4.5，3.5)，故A正确；∵0.7>0，∴产品的生产能耗与产量呈正相关，故B项正确；∵y－＝14(2.5＋t＋4＋4.5)＝3.5，得t＝3，故C项错误；A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨，故D正确．故选C.

9．在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系)

学生的编号i 1 2 3 4 5

数学成绩x 80 75 70 65

60

物理成绩y 70 66 68 64 62

现已知其线性回归方程为y^＝0.36x＋a^，则根据此线性回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为________(四舍五入到整数)．

答案 73

解析 x－＝60＋65＋70＋75＋805＝70，

y－＝62＋64＋66＋68＋705＝66，

所以66＝0.36×70＋a^，解得a^＝40.8.

所以0.36×90＋40.8＝73.2≈73.

10．某工厂为了对一种新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x(元) 4 5 6 7 8 9

销量y(件) 90 84 83 80 75 68

由表中数据，求得线性回归方程为y^＝－4x＋a^.若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为________． 5 答案 13

解析 由表中数据得x－＝6.5，y－＝80，由y－＝－4x－＋a^，得a^＝106，故线性回归方程为y^＝－4x＋106.将(4，90)，(5，84)，(6，83)，(7，80)，(8，75)，(9，68)分别代入回归方程，可知有6个基本事件，因84<－4×5＋106＝86，68<－4×9＋106＝70，故(5，84)和(9，68)在直线的左下方，满足条件的只有2个，故所求概率为26＝13.

11．(2019·山东日照一模)某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人．为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)从样本中分数低于110分的学生中随机抽取两人，求这两人恰好为一男一女的概率；

(2)若规定分数不低于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”．

附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）

P(K2≥k0)

0.10 0.05 0.010 0.005 0.001

k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828

答案 (1)35 (2)有关

解析 (1)由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名．

分数低于110分的学生中，男生有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；女生有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.

从中随机抽取两名学生，所有的可能结果共有10种，它们是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)(B1，B2)；

其中两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)．

∴所求概率为P＝610＝35.

(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，分数不低于130分的男生人数为60×0.25＝15，分数不低于130分的女生人数为40×0.4＝16，据此可得2×2列联表如下：

数学尖子生 非数学尖子生 合计