静电场的基本规律丹丹版

第一章 静电场的基本规律
§1.1 电荷 一 电荷是物质的一种属性:
自然界中存在着两种电荷，既正电荷和负电荷。 并约定：和丝绢摩擦过的玻璃棒所带的电荷相 同的称为正电荷。另一个和毛皮摩擦过的橡胶 棒带的电荷相同的称为负电荷。 二 电荷之间有相互作用力：
同号电荷相互排斥，异号电荷相互吸引。根据 这一原理可以制成验电器。 三 物质的电结构及其对物质带电的解释： 物质的电结构，电子带负电，质子带正电。 物质得到或失去电子就显电性。 四 电荷的量子化： 任何带电体的电荷都只能是某一个基本单位的 整数倍，这个基本单位就是质子所带的电荷。 通常记作e。
4、场强的迭加原理：由场强的定义及迭加
原理得到，
E F q0
Fi q0
Ei
三、场强的计算：
1、点电荷激发的电场：由库仑定律可知：
E Q r
4 0 r 2
或者
dE

dQ
4 0 r 2
r
2、点电荷系激发的电场：由迭加原理得
E F q0
Fiห้องสมุดไป่ตู้ q0
Ei
3、连续带电体激发的电场：
E dE
dE

dQ
4 0 r 2
r
对于体电荷分布有：
dq dV
E
dE


V
dV 40r 2
r
对于面电荷分布有：
dq dS
E
dE

S
dS 40r2 r
对于线电荷分布有：
dq dl
四、例题：
dl
E dE l 40r2 r
个绝对的标准。
二 适用对象和条件：
相对于惯性系静止的点电荷。

由场强的定义，可得，
即 （4）
（4）式表明：电场中任一点处的总场强等于各点电荷单独存在时在该点所产生的场强的矢量和，即场强叠加原理。
利用叠加原理，原则上可以计算任何带电体系所产生的电场的场强分布。
点电荷系的场强公式：
设点电荷系 ， ，…， 处于真空中，各点电荷到场点P的矢径分别为 ， ，…， ，各点电荷在P点激发的场强分别为，
由场强叠加原理，带电体在P处的总场强为，
（8）
在实际问题中，带电体按其形状特点，其电荷分布可简化为体分布、面分布和线分布。
1．电荷分布为体分布的带电体在空间激发的场强
对于电荷的体分布，可取 ，其中 为电荷的体密度， 为物理小体元，带电体在 点激发的场强为
（9）
2．电荷分布为面分布的带电体在空间激发的场强
电场线：在电场中做一些有方向的曲线，让曲线上每点的切线方向和该点的场强方向一致，这样的曲线叫做电场线。
为了使电场线不仅能表示场强的方向，还可以表示场强的大小，引入了电场线密度的概念。
电场线密度：通过与该点电场方向垂直的单位面积上的电场线条数。
在作电场线时，使电场中任一点的电场线密度与该点的场强大小成正比，即
式中 是闭合曲面所包围的电荷的代数和。
对高斯定理的简单讨论：
1．点电荷的电场
在点电荷q的电场中，以q为中心，以任意长度 为半径，作一球面，如图所示。
点电荷q的电场具有球对称性，在来自面上各点 的大小都是 ，方向沿矢径方向，处处与球面正交。由（4）式可求得通过球面的电通量为，
若曲面为任意形状，如图示的 ，我们总可以选择适当的半径作一球面，将曲面包围，由于电场线连续通过，因而通过两曲面 和 的电通量必定相等，都等于 。
其中， ，
在 处，

1．2．1 其中一个为q ，则另一个为q 4（1）221rq q kF -= 212221r r F F =∴4.0)10()105(60.12122222112=⨯⨯==∴--r r F F （牛顿）（2）21214r q KF = 219421211109410256.14⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯⨯±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±=∴-K r F q7103.3-⨯±=（库仑）61033.14-⨯±=q （库仑） 1．2．2 设一个为，则另一个为 q Q -2)(rq Q q KF -=∴ 求F 对q 的报值F qF'=α2令0='F 0)2(2=-q Q rK Q q 21=∴1．2．3 设第三个在两电荷连线上的距q 为x 处：则22)(2xqQ K x L Q q K ⋅=+⋅⋅L x )21(±=但由题意可知，Q 不应在两电荷之外处，故应有内Q 在q 2与q 之间 即Q 应距q 为L )12(-或：Q 不应在q 2,q 之外，22xqQ KxqQ K =⋅ ⎪⎩⎪⎨⎧---=∴LLx )21()12(1．2．4 Q 所受合力治x 轴方向，大小为f f '=α 22222281092)2.0()1.0(2.0)2.0()1.0(2.0)2.0()1.0(1010109cos 41+⋅+⋅+⨯⨯=='--x rQq f πε6232291016.0])2.0()1.0[(2.0109--⨯=+⨯⨯=766102.31032.01016.02---⨯=⨯=⨯⨯=∴F （牛顿）1．2．5设正方形每边长为a ，中心点电荷为QOD OA OB FF F F F +++=合⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++=204203202201C D A B r r r r r r r r KQq0)(243212=+++=r r r r aKQq其中 a r r r r C D A B 220000====， 31r r -=， 42r r -=（2）A A r a qK F22)2(= C B r a q K F 22= )45sin 45(cos 2)2(2222c A D D r r a kq r a kqF︒+︒==)(4222c A r r akq +=)(22)22(2022220c A D r r KQq ar akQq r a kQq F+===00=+++=D C A F F F F F即0)(2)(422222222=+++++c A C A C A r r K Q q ar r aKq r aKq R r aKq02422222=++aKQq aKq aKq故 q Q ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-2241 1．2．6 222z y r+=021222222)(2sin 2r a r r a r KQq r a r KQq F+⋅+=+=∴α 求F 对r 的极值0=rF αα0)(3)(12)(2522223222322=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+='⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+a r ra r KQq a r KQqrα 0)(3222=++-a r r 222ar =∴2222azy =+即圆心在（0，0，0），半径为a 22的圆轨迹方程。

静电场的分布规律在我们的日常生活和科学研究中，静电场是一个经常被提及但又常常被误解的概念。

简单来说，静电场就是由静止电荷产生的一种特殊的物理场。

要深入理解静电场，就必须掌握其分布规律。

静电场的分布规律受到多种因素的影响，其中最关键的因素是电荷的分布情况。

如果我们有一个孤立的点电荷，那么它周围的静电场强度会随着距离的增加而按照平方反比的规律减弱。

这就好比一盏灯，离灯越远，感受到的光线就越弱。

当存在多个点电荷时，情况就变得复杂一些。

但总的来说，静电场的强度是各个点电荷产生的电场强度的矢量叠加。

想象一下，有几个不同强度的力量从不同方向拉着一个物体，最终物体所受到的合力就是这些力量的总和。

在静电场中，电荷就是这些“力量”的源头，而某一点的电场强度就是所有电荷在该点产生的电场强度的总和。

对于均匀带电的直线，其产生的静电场分布具有一定的对称性。

在垂直于直线的平面上，电场强度的大小与距离直线的距离成反比。

而对于均匀带电的圆环，在其轴线上的电场强度则与距离圆环中心的距离和圆环的半径有关。

再来看均匀带电的平面，它产生的静电场在空间中的分布相对比较均匀。

特别是在靠近带电平面的区域，电场强度几乎是恒定不变的。

这在实际应用中，比如某些电容器的设计中，具有重要的意义。

静电场的分布规律还与周围介质的性质有关。

不同的介质具有不同的介电常数，这会影响电场的传播和分布。

就好像声音在不同的介质中传播速度不同一样，电场在不同的介质中也会有不同的表现。

在实际的物理问题中，我们常常需要通过计算来确定静电场的分布。

库仑定律是我们计算静电场的基础，但对于复杂的电荷分布，可能需要用到高斯定理等更高级的数学工具。

例如，在考虑一个带有电荷的球体时，我们可以通过高斯定理很方便地求出其外部和内部的电场分布情况。

对于外部的点，电场强度与距离球心的距离的平方成反比；而在球体内部，如果电荷是均匀分布的，那么电场强度与距离球心的距离成正比。

静电场的分布规律在许多领域都有着广泛的应用。