一元二次方程基础讲义(一)

一元二次方程根与系数的关系经典讲义（第1课时）【学习目标】掌握一元二次方程根与系数的关系；能运用一元二次方程根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数； 会求一元二次方程两根的倒数和与平方数、两根之差．【知识回顾】【新知讲解】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）如果一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2，那么12b x x a +=-，12cx x a=．此定理又叫做韦达定理．在使用根与系数的关系时，应注意： 1.不是一般式的要先化成一般式；2.在使用12bx x a +=-时，注意“-”不要漏写；3.能用韦达定理的前提条件是240b ac ∆=-≥.★一元二次方程根的分布对于一元二次方程根的分布的讨论，通常有以下几种情况： 1.有两个正根的条件：00ba ca⎧⎪∆≥⎪⎪->⎨⎪⎪>⎪⎩（当a>0时，简化为000b c ∆≥⎧⎪<⎨⎪>⎩）；2.有两个负根的条件：00ba ca⎧⎪∆≥⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎪⎩（当a>0时，简化为000b c ∆≥⎧⎪>⎨⎪>⎩）； 3.两根异号的条件：0ca<（当a>0时，简化为c>0）； 4.两根异号，且正根绝对值大的条件：00b ac a⎧->⎪⎪⎨⎪<⎪⎩（当a>0时，简化为00b c <⎧⎨<⎩）； 5.两根异号，且负根绝对值大的条件：00b ac a⎧-<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩（当a>0时，简化为00b c >⎧⎨<⎩）． 【典例探究】1．不解方程求两个根之和与积【例1】不解方程，求方程3x 2+2=1﹣4x 两根的和与积．分析：先把方程化为一般式，然后根据根与系数的关系求解． 解答：解：设x 1，x 2是方程的两实数根，方程化为一般式为3x 2+4x+1=0， 根据题意得，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=．点评：本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=，x 1x 2=．总结：在使用根与系数的关系时，应注意： 1.不是一般式的要先化成一般式；2.前提条件是240b ac ∆=-≥；3.在使用12bx x a +=-时，注意“-”不要漏掉．练1．（2014•碑林区校级模拟）方程2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2，则x1+x2和x1x2的值分别是（）A．﹣3和﹣ B．﹣3和 C．3和 D．3和分析：根据根与系数关系，已知方程2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2．x1+x2=；x1x2=即可．解答：解：已知方程为2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2，根据根与系数的关系：x1+x2==3；x1x2==．故选D．点评：本题主要考查根与系数关系，已知系数确定根的相关问题，属于基础题，关键熟练掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．2．已知一元二次方程的两根求系数【例2】（2014春•富阳市校级期末）关于x的方程x2﹣px+q=0的两个根是0和﹣3，求p和q的值．分析：根据根与系数的关系得到0﹣3=p，0×（﹣3）=q，然后解两个方程即可．解答：解：根据题意得0﹣3=p，0×（﹣3）=q，所以p=﹣3，q=0．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系．总结：对于含有字母系数的一元二次方程，已知两根的值求字母系数的值，通常根据一元二次方程根与系数的关系求解，并用根的判别式进行检验．此方法要比直接将根代入求系数方便快捷得多．练2．（2015•枣庄）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定分析：根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，解得：m=﹣2，n=﹣8，∴m+n=﹣10，故选A．点评：本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n是解此题的关键．3．已知一元二次方程的一个根求另一个根【例3】（2015•北塘区二模）已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为．分析：设方程另一根为t，根据根与系数的关系得到2+t=6，然后解一次方程即可．解答：解：设方程另一根为t，根据题意得2+t=6，解得t=4．故答案为4．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系．总结：已知含字母系数的一元二次方程的一根求另一根，一般有两种方法：把已知根代入方程，求得字母的值，解一元二次方程求出另一根；（2） 根据方程系数中的已知数，利用根与系数的关系，选用两根之和或两根之积，直接求另一根．练3．（2014秋•秭归县校级期中）已知2﹣是一元二次方程x 2﹣4x ﹣c=0的一个根，求另一个根及c 的值．分析：设方程另一个根为x 1，先利用两根之和计算出x 1，然后利用两根之积求出c 的值． 解答：解：设方程另一个根为x 1，根据题意得x 1+2﹣=4，x 1•（2﹣）=c ， ∴x 1=2+， ∴c=（2﹣）（2+）=4﹣3=1．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．4．根据一元二次方程的系数判断两根的正负【例4】（2008•南汇区二模）方程2x 2+3x ﹣5=0的两根的符号（ ） A ．同号 B ．异号 C ．两根都为正 D ．两根都为负分析：根据一元二次方程根与系数的关系，得到方程的两根之和与两根之积，再进一步结合有理数的运算法则进行分析．解答：解：设方程的两根是a ，b ，根据一元二次方程根与系数的关系，得 a+b=＞0，ab=﹣＜0，根据两数的积为负数，则两数必异号，则a ，b 异号． 故选B ．点评：此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，同时能够结合有理数的运算法则判断方程的两根的符号．总结：不解方程判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定； 首先计算判别式，看是大于0还是等于0，如果是等于0，则两根相等，同号； 如果判别式大于0，则计算12x x 的值，如果120x x <，可判断方程的根为一正一负；如果120x x >，再计算12x x +的值，若为正，则两根同为正，若为负，则两根同为负．练4．（2014秋•夷陵区校级月考）方程ax 2+bx ﹣c=0（a ＞0、b ＞0、c ＞0）的两个根的符号为（ ）分析：首先由△=b 2+4ac ＞0，可知方程有两个不等的实数根，再由x 1x 2=﹣＜0可知两根异号． 解答：解：∵ax 2+bx ﹣c=0（a ＞0、b ＞0、c ＞0），∴△=b 2+4ac ＞0，∴方程有两个不等的实数根，设方程ax 2+bx ﹣c=0（a ＞0、b ＞0、c ＞0）的两个根为x 1，x 2， ∵x 1x 2=﹣＜0， ∴两根异号． 故选B ．点评：本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．同时考查了根的判别式．【课后练习】一、选择题1．（2015•溧水县一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（）A． B．﹣ C．﹣ D．2．（2015•金华）一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣33．（2014•浠水县校级模拟）已知x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的两根，则（）A．x1+x2=﹣3，x1•x2=﹣1 B．x1+x2=﹣3，x1•x2=1C．x1+x2=3，x1•x2=﹣1 D．x1+x2=3，x1•x2=14．（2015•衡阳）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣35．（2015•广西）已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=06．（2015•平南县一模）一元二次方程x2+px=2的两根为x1，x2，且x1=﹣2x2，则p的值为（）A．2 B．1 C．1或﹣1 D．﹣17．（2015•东西湖区校级模拟）已知x=2是方程x2﹣6x+m=0的根，则该方程的另一根为（）A．2 B．3 C．4 D．88．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列叙述正确的是（）A．无解 B．有两正根C．有两负根 D．有一正根及一负根二、填空题9．（2015•滨湖区一模）已知方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2的值为．10．（2015•南京）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是，m的值是．11．（2015春•遂宁校级期中）已知关于x的方程x2﹣4x+2=0的两个根是m和n，则mn= ，m+n= ．三、解答题12．（2015•东莞模拟）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两个根x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1•x2=q．13．（2014秋•番禺区校级月考）已知方程x2﹣kx﹣6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．14．（2013•防城港）已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．课后小测答案：一、选择题1．（2015•溧水县一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（）A． B．﹣ C．﹣ D．解：根据题意得x1+x2=﹣=．故选D．2．（2015•金华）一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3解：x1•x2=﹣3．故选D．3．（2014•浠水县校级模拟）已知x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的两根，则（）A．x1+x2=﹣3，x1•x2=﹣1 B．x1+x2=﹣3，x1•x2=1C．x1+x2=3，x1•x2=﹣1 D．x1+x2=3，x1•x2=1解：∵x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的两根，∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣1．故选A．4．（2015•衡阳）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3解：设一元二次方程的另一根为x1，则根据一元二次方程根与系数的关系，得﹣1+x1=﹣3，解得：x1=﹣2．故选A．5．（2015•广西）已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0解：以x1，x2为根的一元二次方程x2﹣7x+12=0，故选：A．6．（2015•平南县一模）一元二次方程x2+px=2的两根为x1，x2，且x1=﹣2x2，则p的值为（）A．2 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1解：∵一元二次方程x2+px=2，即x2+px﹣2=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=﹣p，x1x2=﹣2，又x1=﹣2x2，∴x2=±1，当x2=1时，x1=﹣2，p=1；当x2=﹣1时，x1=2，p=﹣1．故选C．7．（2015•东西湖区校级模拟）已知x=2是方程x2﹣6x+m=0的根，则该方程的另一根为（）A．2 B．3 C．4 D．8解：设关于x的方程x2﹣6x+m=0的另一个根是t，由根与系数的关系得出：t+2=6，则t=4．故选：C．8．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列叙述正确的是（）A．无解 B．有两正根C．有两负根 D．有一正根及一负根解：由判别式△＞0，知方程有两个不相等的实数根，又由根与系数的关系，知x1+x2=﹣=2＞0，x1•x2==﹣＜0，所以有一正根及一负根．故选D．二、填空题9．（2015•滨湖区一模）已知方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2的值为 5 ．解：∵方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2，∴x1+x2=5，故答案为：5．10．（2015•南京）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是 3 ，m的值是﹣4 ．解：设方程的另一个解是a，则1+a=﹣m，1×a=3，解得：m=﹣4，a=3．故答案是：3，﹣4．11．（2015春•遂宁校级期中）已知关于x的方程x2﹣4x+2=0的两个根是m和n，则mn= 2 ，m+n= 4 ．解：∵m和n是方程x2﹣4x+2=0的两个根，∴m+n=4，mn=2．故答案为：2，4．三、解答题12．（2015•东莞模拟）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两个根x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1•x2=q．证明：∵a=1，b=p，c=q∴△=p2﹣4q∴x=即x1=，x2=，∴x1+x2=+=﹣p，x1•x2=.=q．13．（2014秋•番禺区校级月考）已知方程x2﹣kx﹣6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．解：设方程另一根为x2，由题意得2•x2=﹣6，解得x2=﹣3，∵2+（﹣3）=k，∴k=﹣1．即它的另一个根为﹣3，k的值为﹣1．14．（2013•防城港）已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．解：∵关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m，∴，解得，，即m，n的值分别是1、﹣2．。

一元二次方程讲义——绝对经典实用一元二次方程基础知识1、 一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如ax bx c a 200++=≠（）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。

其中ax bx c 2，，分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a 、b 分别是二次项和一次项的系数。

如：24102x x -+=满足一般形式ax bx c a 200++=≠（），2412x x ，，-分别是二次项、一次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。

注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。

2. 一元二次方程求根方法 （1）直接开平方法 形如xm m 20=≥（）的方程都可以用开平方的方法写成x m=±，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。

（2）配方法通过配方将原方程转化为()x n m m +=≥20（）的方程，再用直接开平方法求解。

配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。

配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上b、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24bac-叫做一元二次方程根的判别式．4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则 ①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b acx -±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a ==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时24b b ac -±-2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明：⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>；有两个相等的实数根时，0∆=；没有实数根时，0∆<．⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况（有两个 不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．①当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ②当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题； （4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．6、韦达定理如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a+=-，12c x x a=．（隐含的条件：0∆≥） 特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．7、韦达定理的逆定理以两个数1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0x x x x x x -++=．一般地，如果有两个数1x ，2x 满足12b x x a+=-，12c x x a=，那么1x ，2x 必定是20(0)ax bx c a ++=≠的两个根．8、韦达定理与根的符号关系在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：⑴当0c a<时，方程的两根必一正一负．若0b a-≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0b a-<，则此方程的正根小于负根的绝对值．⑵当0c a>时，方程的两根同正或同负．若0b a->，则此方程的两根均为正根；若0b a-<，则此方程的两根均为负根．更一般的结论是：若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥），且m 为实数，当0∆≥时，一般地： ① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件．其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根a b a b a ，b 为有理数）．⑵若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ⑶若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ⑷若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =． ⑸若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-．9、韦达定理的应用⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ⑶已知方程的两根，求作方程；⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱10、整数根问题对于一元二次方程20a≠的实根情况，可以用++=(0)ax bx c判别式24∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次b ac方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20a≠有整数根，那么必然ax bx c++=(0)同时满足以下条件：⑴24∆=-为完全平方数；b ac⑵242--=，其中k为整数．b b ac ak-+-或242b b ac ak以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数)11、一元二次方程的应用1．求代数式的值；2. 可化为一元二次方程的分式方程。

《一元二次方程》复习经典讲义基础知识1、一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如脳」「冰4；"『：寫占门的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。

其中'分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a b分别是二次项和一次项的系数。

如|满足一般形式「丁：、1，工宀L分别是二次项、一次项和常数项，2,—4分别是二次项和一次项系数。

注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。

2.—元二次方程求根方法(1)直接开平方法形如•的方程都可以用开平方的方法写成' ，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。

(2)配方法通过配方将原方程转化为V；工己丿的方程，再用直接开平方法求解。

配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。

配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1,只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。

(3)公式法求根公式：方程小* X 「的求根公式_b 丄v b2-4ac2ti步骤:1）把方程整理为一般形式：：匚『“甩.m」：，确定a b、c。

2）计算式子卜In的值。

3）当八心心-时，把a、b和卜L LI的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。

（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。

3、一兀二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到显然只有当护仏“时，才能直接开平方得:也就是说，一元二次方程卅r吐m沁珥只有当系数'耳、满足条件託=眇一盘供訣氐时才有实数根.这里「n 叫做一元二次方程根的判别式.4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程'的根由其系数「、耳、确定，它的根的情况（是否有实数根）由二•，确定.设一元二次方程为' 7 ' 11■ 「，其根的判别式为：则hbph' ■4tjcr①1■- ' =■方程门厂山应二：：緘町有两个不相等的实数根■br V ——丫——…_ _②方程' f'有两个相等的实数根•一.③.匸方程农用沁没有实数根.若I，4，匸为有理数，且二为完全平方式，则方程的解为有理根；若△为完全平方式，同时血是％的整数倍，则方程的根为整数根.说明:⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，：；有两个相等的实数根时，人-J;没有实数根时，「1⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式—氐判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）•当亠忙仝:时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根.①当时二抛物线开口向上二顶点为其最低点；②当…「时=抛物线开口向下二顶点为其最高点.5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题.6韦达定理b如果能畋;:;的两根是；:,贝U " -丿.（隐含的条件：•「「）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设'，’‘是方程"'的两个根，贝U '-7、韦达定理的逆定理以两个数，”为根的一元二次方程（二次项系数为1 ）是F -（x t ^x2）x^x l x2 -0一般地，如果有两个数’，•满足＜，「，那么'，•'必定是加亠脉V.U =比爭為的两个根.8、韦达定理与根的符号关系在£已护仏心1J的条件下，我们有如下结论:-<0 丄邸⑴当・时，方程的两根必一正一负•若- ，则此方程的正根不小于负-*<0根的绝对值；若「，则此方程的正根小于负根的绝对值.->0 --> o⑵当J 时，方程的两根同正或同负.若」，则此方程的两根均为正--<0根；若「，则此方程的两根均为负根.更一般的结论是：若，'■是煜。

用函数观点看一元二次方程—知识讲解（基础）【学习目标】1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；2.会求抛物线与x 轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；3.经历探索验证二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题． 【要点梳理】要点一、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标，就是令y ＝0，求20ax bx c ++=中x 的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x 轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式24b ac=-△二次函数2(0)y ax bx c a =++≠ 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠图象与x 轴的交点坐标根的情况△＞0a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于1(,0)x ，2(,0)x 12()x x <两点，且21,242b b acx a-±-=，此时称抛物线与x 轴相交一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b ac x a-±-=a <△＝0a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交切于,02b a ⎛⎫-⎪⎝⎭这一点，此时称抛物线与x 轴相切 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-a <△＜0a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x轴无交点，此时称抛物线与x 轴相离 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在实数范围内无解（或称无实数根）a <要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定的.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点时，，方程没有实根.2.抛物线与直线的交点问题抛物线与x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴交点和二次函数与一次函数1y kx b =+(0)k ≠的交点问题．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴的交点是(0，c)．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与一次函数1y kx b =+(k ≠0)的交点个数由方程组12,y kx b y ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的个数决定．当方程组有两组不同的解时⇔两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时⇔两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时⇔两函数图象没有交点．总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 要点诠释：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤：1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x 轴交点的横坐标的大致范围；3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y 值．4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y 值所对应的x 值即是一元二次方的近似根．要点诠释：求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：(1)直接作出函数的图象，则图象与x 轴交点的横坐标就是方程的根；(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； (3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.要点三、抛物线与x 轴的两个交点之间的距离公式当△＞0时，设抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点为A(1x ，0)，B(2x ，0)，则1x 、2x 是一元二次方程2=0ax bx c ++的两个根．由根与系数的关系得12b x x a +=-，12c x x a=． ∴ 22121||||()AB x x x x =-=-21212()4x x x x =+-24⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭b c a a 224b ac a -=24b ac -= 即 ||||AB a =△（△＞0）要点四、抛物线与不等式的关系二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)与一元二次不等式20ax bx c ++>(a ≠0)及20ax bx c ++<(a ≠0)之间的关系如下12()x x <：判别式 0a >抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点不等式20ax bx c ++>的解集不等式20ax bx c ++<的解集△＞01x x <或2x x > 12x x x <<△＝01x x ≠（或2x x ≠）无解△＜0全体实数 无解注：a ＜0的情况请同学们自己完成． 要点诠释：抛物线2y ax bx c =++在x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x 的所有值就是不等式20ax bx c ++>的解集；在x 轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x 的所有值就是不等式20ax bx c ++<的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．【典型例题】类型一、二次函数图象与坐标轴交点1．已知二次函数y=(m-2)x 2+2mx+m+1，其中m 为常数，且满足-1<m<2，试判断此抛物线的开口方向，与x 轴有无交点，与y 轴的交点在x 轴上方还是在x 轴下方. 【答案与解析】∵-1<m<2.∴m-2<0，抛物线开口向下，又m+1>0，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方.Δ=4m 2-4(m-2)(m+1)=4m 2-4(m 2-m-2) =4m+8=4(m+1)+4>0.∴抛物线与x 轴有两个不同的交点.【总结升华】此题目也可以用数形结合方法来判断抛物线与x 轴有两个不同交点(用抛物线与y 轴的交点C 在x 轴上方，开口向下，必与x 轴有两个不同交点). 举一反三：【变式】二次函数y=mx 2+(2m-1)x+m+1的图象总在x 轴的上方，求m 的取值范围。