一元二次方程应用一对一辅导讲义

是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及 k 的值；若没有，请说明理由。
考点六、应用解答题 ⑴“握手”问题；⑵“利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题
6
典型例题： 1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯 990 次，问晚宴共有多少人出席？
2、某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 千克， 销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克，针对此回答： （1）当销售价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润。 （2）商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元， 销售单价应定为多少？
。
针对练习：
★1、已知方程 x2 kx 10 0 的一根是 2，则 k 为
，另一根是
。
★2、已知关于 x 的方程 x2 kx 2 0 的一个解与方程 x 1 3 的解相同。 x 1
⑴求 k 的值； ⑵方程的另一个解。
★3、已知 m 是方程 x2 x 1 0 的一个根，则代数式 m2 m
例
5、
m
为何值时，方程组
x2
2y2
6,
有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？
mx y 3.
针对练习： ★1、当 k
时，关于 x 的二次三项式 x2 kx 9 是完全平方式。
★2、当 k 取何值时，多项式 3x2 4x 2k 是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？
★3、已知方程 mx2 mx 2 0 有两个不相等的实数根，则 m 的值是
.
y kx 2,
★★4、
k
为何值时，方程组
y

《一元二次方程及其应用》讲义一、一元二次方程的定义【例题】1、关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ,当m 时为一元一次方程；当m 时为一元二次方程。

2、下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有________．（1）2y 2+y －1=0；（2）x （2x －1）=2x 2；（3）21x－2x=1；（4）ax 2+bx+c=0；（5）12x 2=0． 3、关于x 的方程（m 2－1）x 2+（m －1）x+2m －1=0是一元二次方程的条件是________．【习题】1、下列方程中是一元二次方程的是( ).A.xy ＋2＝1B. 09212=-+xx C. x 2＝0 D.02=++c bx ax 2、下列方程中，不是一元二次方程的是（ ） A.2x 2+7=0 B.2x 2+23x +1=0 C.5x 2+x 1+4=0 D.3x 2+(1+x ) 2+1=03、关于x 的方程(m －4)x 2+(m +4)x +2m +3=0，当m __________时，是一元二次方程，当m __________时，是一元一次方程.4、下列说法正确的是（ ）A ．一元二次方程的一般形式是20ax bx c ++= B ．一元二次方程20ax bx c ++=的根是242b b ac x a -±-= C ．方程2x x =的解是x ＝1D ．方程(3)(2)0x x x +-=的根有三个 二、一元二次方程的根【例题】1、若ｎ（ｎ≠0）是关于ｘ的方程ｘ2+ｍｘ+2ｎ=0的根，则ｍ＋ｎ的值是（ ）A 、1B 、2C 、－1D 、－22、若x =1是方程ax 2+bx +c =0的解，则（ ）A.a +b +c =1B.a －b +c =0C.a +b +c =0D.a －b －c =03、已知0和1-都是某个方程的解，此方程是（ ）A. 012=-xB. 0)1(=+x xC. 02=-x xD. 1+=x x4、如果21x －2x －8=0，则1x 的值是________．5、已知一元二次方程02=++c bx ax ，若0=++c b a ，则该方程一定有一个根是（ ）A. 0B. 1C. -1D. 2【习题】1、若x =－1是方程ax 2+bx +c =0的解，则（ ）A.a +b +c =1B.a －b +c =0C.a +b +c =0D.a －b －c =02、已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2+3）=8，则x 2+y 2的值为（ ）．A ．－5或1B ．1C ．5D ．5或－13、已知m 是一元二次方程x 2–2005x +1=0的解，求代数式22200520041m m m -++的值.4、已知x = –5是方程x 2+mx –10=0的一个根，求x =3时，x 2+mx –10的值.三、一元二次方程的解法【例题】1、填写解方程3x (x +5)=5(x +5)的过程解：3x (x +5)__________=0(x +5)(__________)=0x +5=__________或__________=0∴x 1=__________,x 2=__________2、用配方法解方程x 2+2x －1=0时①移项得__________________②配方得__________________即（x +__________）2=__________③x +__________=__________或x +__________=__________④x 1=__________,x 2=__________3、方程2（x+2）2－8=0的根是 。

一元二次方程的解法辅导讲义辅导科目：数学 年 级: 班主任： 课 时 数：3 学员姓名： 学科教师： 授课主题 一元二次方程的解法授课日期及时段教 学 内 容一、知识梳理知识点一、一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1） 要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： 1、一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． 2、一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． 3、一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．（2） 任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20ax bx c ++=()0a ≠．要特别注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方 程是一元一次方程．（3） 关于x 的一元二次方程式20ax bx c ++=()0a ≠的项与各项的系数．2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．知识点二、一元二次方程的解法 一、配方法①配方法配方法：把方程化成左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，再利用直接开平方法求解 的这样一种方法就叫做配方法②配方法的一般步骤解形如20(0)ax bx c a ++=≠的一元二次方程， 运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：1、二次项系数化12、常数项右移3、配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）4、化成2()x m n +=的形式．5、若0n ≥，选用直接开平方法得出方程的解．22220 (0)()0 ()()022b b bax bx c a a x x c a x a c a a a ++=≠++=⇒+-+=⇒222224()()2424b b b b aca x c x a a a a-⇒+=-⇒+= 二、公式法①公式法公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b acx a a -+=根的判别式24b ac ∆=-，12,x x 是方程的两根，若240b ac ∆=-≥，则21,242b b acx a-±-= ②公式法解一元二次方程的一般步骤 公式法解方程的步骤： 1、把方程化为一般形式 2、确定a 、b 、c 的值． 3、计算24b ac -的值．4、若240b ac -≥，则代入公式求方程的根．5、若240b ac -<，则方程无解．三、因式分解法①因式分解法：当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求 解，这种用分解因式解一元二次方程的方法叫做因式分解法因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若 0ab =，则0a =或0b =；②因式分解法的条件：方程左边易于分解，右边等于0 ③因式分解法的一般步骤：将方程化为一元二次方程的一般形式；把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0；令每一个因式 都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解.四、可化为一元二次方程的分式方程的解法1、解可化为一元二次方程的分式方程的基本思想是：把分式方程“转化”为整式方程．2、解分式方程的方法：(1)去分母法；(2)换元法．3、用去分母法解分式方程的具体步骤是： （1）把方程两边都乘以最简公分母，约去分母； （2）解所得的整式方程；（3）验根．五、含参的一元二次方程的解法①含字母系数的二次方程的解法解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 和24b ac -的值，然后求解．但解字母系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的a 、b 、c 与方程中字母系数的a 、b 、c 相混淆； (3)在24b ac -开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能 ②判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实 数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a-±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．知识点三、一元二次方程的整数根对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参 数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分 析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质． 方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件： ⑴ 24b ac ∆=-为完全平方数；⑵ 242b b ac ak -+-=或242b b ac ak ---=，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为 有理数)知识点四、 一元二次方程的根与系数的关系一、 韦达定理如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-， 12x x q ⋅=．二、 韦达定理与根的符号关系在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：⑴ 当0c a<时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba -<， 则 此方程的正根小于负根的绝对值．⑵当0c a>时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba -<，则此方程的两根均为负根．更一般的结论是：若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥），且m 为实数，当0∆≥时，一般地：① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． 三、 韦达定理的应用（1）已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； （2）已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； （3）已知方程的两根，求作方程； （4）结合根的判别式，讨论根的符号特征；（5）逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；（6）利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设 置陷阱．二、例题讲解题型一、一元二次方程的解法例1、已知方程260x x q -+=可以配方成()27x p -=的形式，那么262x x q -+=可以配成下列的（ ） A ．()25x p -=B ．()29x p -=C ．()229x p -+=D ．()225x p -+=【答案】 B 【解析】 配方例2、方程260x x +-=的解是（ ） A ．13x =-，22x = B ．13x =，22x =- C ．13x =，23x =- D ．12x =，22x =-【答案】 D【解析】当0x >时，原方程变形为260x x +-=，利用公式法求解得12x =，23x =-（舍去），当0x <时，原方程变形为260x x --=，利用求根公式解得13x =（舍去），22x =-方程的根12x =，22x =-，故答案为D 选项．例3、一元二次方程2220x bx b --=的解为（ ） A ．1x b =-，22x b =- B ．1x b =，22x b = C ．1x b =-，22x b =D ．1x b =，22x b =-【答案】 C 【解析】原方程可化简为()()20x b x b +-=，因此0x b +=或20x b -=，解得1x b =-，22x b =．例4、分式方程22221332011x x x x +---=-+的解为（ ）A ．12x =，22x =-B ．12x =，22x =-，340x x ==C ．12x =，22x =-，340x x ==D ．11x =，21x =-【答案】 C 【解析】设2211x y x +=-，则原方程可化为320y y --=，解得13y =，21y =-，经检验，13y =，21y =-都是方程320y y --=的根．当13y =时，22131x x +=-，解得2x =±，经检验2x =±是方程的解；当21y =-时，22111x x +=--，解得120x x ==，故答案为C ．例5、含参一元二次方程032)1(32=-+--m x m mx 的解为（ ） A ．11x =-，223m x m -=B ．11x =-，223m x m-=- C ．11x =，223m x m -=D ．11x =，223m x m-=-【答案】【解析】因为原方程是一元二次方程，所以0m ≠，由因式分解法可得()()1230x mx m ---=⎡⎤⎣⎦，解得11x =，223m x m-=，故答案为C ． 例6、已知221140x x x x +---=，求1x x+的值【答案】 3或2- 【解析】 设1x t x +=，则原方程可化为260t t --=，解得13t =，22t =-，故1x x+的值为3或2-变式1、设方程22140x x ---=．求满足该方程的所有根之和 【答案】 26-【解析】当210x ->，即：12x >时，原方程可化为2230x x --=，解得：13x =，21x =-（舍去） 当210x -=，即：12x =时，代入原方程不成立，应舍去．当210x -<，即：12x <时，原方程可化为2250x x +-=，解得：316x =--，41162x =-+>（舍去）所以方程的所有根为3和16--，故方程的所有根之和为3(16)26+--=-变式2、解关于x 的方程22220x mx m n -+-= 【答案】12x m n x m n =-=+，【解析】()()0x m n x m n -+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以12x m n x m n =-=+，变式3、解方程()()()()()()11111111291012x x x x x x x x ++++=-+++++ 【答案】 96492x -±=【解析】 原式变形为11111012x x -=--，去分母整理得2211220x x +-=，解得96492x -±=，经检验都是原方程的根，故原方程的解为96492x -±=变式4、设实数,s t 分别满足2199910s s ++=，299190t t ++=并且1st ≠，求41st s t++的值【答案】 5-【解析】由299190t t ++=可知，0t ≠，故21119()9910t t +⋅+=．又2199910s s ++=，11st s t ≠⇒≠，故s 、1t 是方程2199910x x ++=的两根，从而可知19919s t +=-，119s t =，故41199195445191919st s s s t t t ++-=++⋅=-+⨯==-． 注意：此处方程是构造成2199910x x ++=还是299190x x ++=主要是根据待求式的结构特点而定，待求式含1t，构造方程2199910x x ++=更快．其实构造成299190x x ++=也可，不过此时两根变为1s 和t ，由根系关系可知199t s +=-，19ts=，故144195519t st s s t t s++++-===-题型二、一元二次方程的整数根 例1、方程()3211x x x ++-=的所有整数解的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】 C【解析】当211x x +-=，即1x =或2x =-时，原方程成立； 当211x x +-=-时，当0x =或1x =-．由()03111+-=-≠，()1311-+-=得1x =-是原方程的解；当21x x +-≠1或1-时，有30x +=，得3x =-，41x =，从而知原方程整数解的个数是4． 故选C ．例2、若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个【答案】 5【解析】当6k =时，得2x =；当9k =时，得3x =-，当6,9k ≠时，解得196x k =-，269x k=-，当6139k -=±±±，，时，1x 是整数，这时753153k =-，，，，；当91236k -=±±±±，，，时，2x 是整数这时10811712153k =，，，，，，综上所述，367915k =，，，，时原方程的解为整数变式、已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．【答案】 0或16【解析】设两个根为12x x ≥，由韦达定理得 12126x x ax x a +=-⎧⎨=⎩． 从上面两式中消去a 得12126x x x x ++=⇔12(1)(1)7x x ++=⇔121711x x +=⎧⎨+=⎩或121117x x +=-⎧⎨+=-⎩即1260x x =⎧⎨=⎩或1228x x =-⎧⎨=-⎩．所以120a x x ==或16．题型三、一元二次方程的根与系数的关系例1、若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1k >- B ．1k <C ．1k >-且0k ≠D ．1k <且0k ≠【答案】 C【解析】方程2210kx x --=是一元二次方程，则0k ≠，有两个不相等实数根，则()2240k ∆=-+>，解得1k >-，所以1k >-且0k ≠，答案为C ．例2、已知24b ac -是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ） A ．18ab ≥B ．18ab ≤C ．14ab ≥D ．14ab ≤【答案】 B【解析】∵方程有实数根，∴240b ac -≥．由题意，得22442b b ac b ac a -+-=- ⑴ 或22442b b ac b ac a ---=- ⑵ 令24u b ac =-，则方程⑴可化为：220au u b -+=，方程⑵化为：220au u b ++=∵24u b ac =-是方程⑴或⑵的解，∴方程⑴、⑵的判别式非负，即12180ab ∆=∆=-≥，∴18ab ≤，故答案为B 选项．变式、已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．【答案】 1-【解析】 ∵()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根． ∴0∆=，即()()222210a b b b ++-+= ∴()()22210a b b ++-=，∴0a b +=，10b -= ∴1b =，1a =-，因此321a b +=-．三、课堂巩固1、设a ，b 都是正实数且1110a b a b +-=-，则b a的值为（ ） A ．152+ B ．352- C ．152-+ D ．152--【答案】C【解析】原式可化简为210b ba a⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得152b a -+=或152--（舍去）2、分式方程()()2211011n x x n n n n +-+=++的解为（ ）A ．1x n =，21x n =+B ．11x n =，211x n =+ C ．1x n =，211x n =+ D ．11x n =-，211x n =-+【答案】B【解析】原分式方程可化为1101x x n n ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭，故11x n =，211x n =+，故答案为B ．3、含参一元二次方程2(32)30mx m x m +-+-=的解为（ ） A ．11x =，23m x m -=B ．11x =-，23mx m-= C ．11x =，23mx m-= D ．无法判断【答案】 A【解析】因为原方程是一元二次方程，所以0m ≠，由因式分解法可得()()130x mx m ---=⎡⎤⎣⎦，所以11x =，23m x m-=，故答案为A ．4、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________【答案】 2m =-【解析】由题意可知，240m -=，20m -≠，故2m =-5、已知2246130x y x y ++-+=，x 、y 为实数，求y x 的值【答案】 8-【解析】通过配方，原式可化为()()22230x y ++-=，由()220x +≥，()230y -≥可得2x =-，3y =，故()328y x =-=-6、解关于x 的方程210x x --=【答案】 1152x +=，2152x --=【解析】当0x ≥时，原方程化为210x x --=，解得152x ±=，因为0x ≥，故152x +=；当0x <时，原方程化为210x x +-=，解得152x -±=，因为0x <，所以152x --=，综上可得原方程的根为1152x +=，2152x --=7、解方程：2191502x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】 12x =，212x =，31x =【解析】 设1x y x +=，则原方程可化为29502y y -+=，解得12y =，252y =；当2y =时12x x +=，去分母整理得2210x x -+=，解得121x x ==，经检验是原方程的解；当52y =时152x x +=，去分母整理得22520x x -+=，解得12x =，212x =，经检验12x =，212x =都是原方程的解，故原方程的解为12x =，212x =，31x =8、已知α，β是一元二次方程210x x +-=的两个根，求5325αβ+的值【答案】 21-【解析】因为α是方程210x x +-=的根，所以210αα+-=，即21αα=-．()24211223ααααα=-=-+=-，()542232353αααααααα=⋅=-=-=-．同理()322121ββββββββ=⋅=-=-=-．所以()()()5325253521101121αβαβαβ+=-+-=+-=-9、（2014初三上期末朝阳区）某商场进价为每件40元的商品，按每件50元出售时，每天可卖出500件．如果这种商品每件涨价1元，那么平均每天少卖出10件．当要求售价不高于每件70元时，要想每天获得8000元的利润，那么该商品每件应涨价多少元？【答案】 10【解析】该题考察的是一元二次方程的应用．设售价应提高x 元，依题意得()()10500108000x x +-=，整理得2403000x x -+= 解方程得110x =；230x =，∵售价不高于70元，所以30x =不符合题意，答：该商品每件应涨价10元．这次课我学到了：签字：年 月 日课后作业1、()()2353x x x -=-的解是（ ） A ．52x =B ．3x =C ．152x =，23x = D ．25x =【答案】 C【解析】原方程可变形为()()3250x x --=，所以152x =，23x =，故答案为C 选项．2、分式方程2191502x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解为（ ）A ．2或12或1 B ．2或12C ．1D ．无实数解【答案】 A【解析】 设1x y x +=，则原方程可化为29502y y -+=，解得12y =，252y =；当2y =时12x x +=，去分母整理得2210x x -+=，解得121x x ==，经检验是原方程的解；当52y =时152x x +=，去分母整理得22520x x -+=，解得12x =，212x =，经检验12x =，212x =都是原方程的解，故原方程的解为12x =，212x =，31x =，故答案为A ．3、含参一元二次方程2(1)(21)20m x m x ---+=的解为（ ）A ．12x =-，211x m =-- B ．12x =，211x m =+ C ．无法确定 D ．12x =，211x m =-【答案】 D 【解析】因为原方程为一元二次方程，所以10m -≠，由因式分解法可得()()2110x m x ---=⎡⎤⎣⎦，所以12x =，211x m =-，故答案为D ．4、若关于x 的方程()0221123=----mx x m mm是一元二次方程，则m =__________【答案】 23m =-【解析】满足10m -≠，且232m m -=，解得23m =-5、（2012中考东城二模）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么当21x =-时，有x =±i ，从而x =±i 是方程21x =-的两个根． 据此可知：(1)i 可以运算，例如：321i i i i i =⋅=-⨯=-，则4i = ， 2011i =______________，2012i =__________________；(2)方程2220x x -+=的两根为 （根用i 表示）．【答案】（1）1；-i ；1（2）1i +和1i -【解析】该题考查的是求一元二次方程的根（1）根据21i =-可将4i 化为22i i ⋅；()100520112i i i =⋅；()100620122i i i =⋅进行计算即可；∵21i =-， ∴2421i i i =⋅= ∴()()10051005201121i i i i i ⋅⋅==-=-； ∴()()10061006201221i i i i i ⋅-⋅===．∴41i =，2011i i =-，20121i =……3分（2）先根据21i -=求出∆的值，再由公式法求出x 的值即可． ∵()224124∆=--⨯⨯=-，21i =- ∴24i ∆=，∴方程2220x x -+=的两根为22121ix i ±==±⨯，即1x i =+或1x i =-…5分6、解关于x 的方程()()()2220x p q x pq p q p q -+++-=【答案】1()x p p q =-，()2x q p q =+【解析】用十字相乘法分解因式得()()0x p p q x q p q ---+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以1()x p p q =-，()2x q p q =+7、已知关于x 的方程22212022m x x x x m-++=+-，当m 为何值时，方程恰有三个不相等的实数根？求出这三个实数根【答案】0m =，11x =-，212x =-+，312x =--【解析】设22x x y +=，则原方程可化为22210y my m -+-=，解得11y m =+，21y m =-，所以2210x x m +--=①，2210x x m +-+=②，从而148m ∆=+和24m ∆=应有一个等于0，一个大于0，经讨论当20∆=，即0m =时10∆>，此时②有两个相等的实数根1x =-，①有两个不等实数根12x =-±8、已知m 是不等式组210430m m -≥⎧⎨->⎩的整数解，α、β是关于x 的方程20x mx m --=的两个实根，求：⑴ 33αβ+的值；⑵ 43αβ+的值【答案】 4，5【解析】2101443023m m m -⎧⇒<⎨->⎩≥≤，又m 是整数，故1m =，210x x --=，15,2αβ±= 又α、1c <是210x x --=的两个实根，故210αα--=，210ββ--=． 故()()()332211224αβααββααββαβ+=+++=+++=++=． 故()43325αβαβ+=++=．9、（2012初二下期末朝阳区）列方程解应用题汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2009年盈利1500万元，到2011年盈利2160万元，且从2009年到2011年，每年盈利的年增长率相同．（1）该公司2009年到2011年每年盈利的年增长率是多少?（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2012年盈利多少万元?【答案】（1）0.2x =（2）2592万元【解析】该题考查的是列一元二次方程解应用题． （1）设该公司每年盈利的年增长率是x ．()2150012160x += 3分()21 1.44x +=解得：10.2x =，2 2.2x =-（不合题意，舍去） 4分 答：该公司每年的年增长率是20%（2）()216010.22592+= 5分 答：预计2012年盈利2592万元。

教学讲义教师姓名学生姓名上课时间检查签名教学目标1.理解一元二次方程的概念；2.会用因式分解法解一元二次方程.重点、难点重难点：一元二次方程的判断；一元二次方程的解法。

知识要点解析一元二次方程基本知识：㈠一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次。

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成a x2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现，但二次项必须存在，而且左边通常按未知数的次数从高到低排列，特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。

注意：判断某个方程是否为一元二次方程，必须满足：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2 三个条件。

特别注意一元二次方程的左右两边不应有分母和根号中出现未知数。

【例题与练习】例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．例2．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成a x2+bx+c=0（a≠0）的形式．巩固练习1判断下列方程是否为一元二次方程？(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5x=0 (4) x2-4=(x+2) 2(5) a x2+bx+c=0例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17•≠0即可．证明：m2-8m+17=（m-4）2+1∵（m-4）2≥0∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．练习:1.方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？2.当m 为何值时,方程(m+1)x 4m 2-2+27mx+5=0是关于的一元二次方程3．关于x 的方程（a-1）x 2+3x=0是一元二次方程，则a 的取值范围是________．4．a 满足什么条件时，关于x 的方程a （x 2+x ）=3x-（x+1）是一元二次方程？5．关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？例4.若x=1是关于x 的一元二次方程a x 2+bx+c=0(a ≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值练习:关于x 的一元二次方程(a-1) x 2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a 的值巩固练习：1．方程ax （x-b ）+（b-x ）=0的根是（ ）．A ．x 1=b ，x 2=aB ．x 1=b ，x 2=1aC ．x 1=a ，x 2=1aD ．x 1=a 2，x 2=b 2 2．已知x=-1是方程a x 2+bx+c=0的根（b ≠0），则a cb b+=（ ）． A ．1 B ．-1 C ．0 D ．2 3．方程（x+1）2+2x （x+1）=0，那么方程的根x 1=______；x 2=________．4．如果x=1是方程a x 2+bx+3=0的一个根，求（a-b ）2+4ab 的值．5．如果关于x 的一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．6．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（21x x -）2-2x 21x x -+1=0，•令21x x-=y ，则有y 2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：在（x 2-1）2+（x 2-1）=0中，求出（x2-1）2+（x2-1）=0的根．㈡一元二次方程的解法：1、因式分解法：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解。

个性化教学辅导教案学科数学学生姓名邵文琪年级八任课老师李显辉授课时间2013年1 月12 日教学目标教学内容：一元二次方程考点：考点1：一元二次方程的概念（1）定义：这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”我们把“只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”（2）．一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数．考点2：一元二次方程的解法能力与方法：课堂教学过程课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议:作业认真，知识点运用不够熟练。

过程一．课前交流，了解学生上次课的复习情况三．典型例题：例1解方程025x2=-．分析：解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好．解：025x2=-，25x2=，25x±=，x＝±5．∴5x5x21-==，．例2解方程2)3x(2=+．分析：如果把x＋3看作一个字母y，就变成解方程2y2=了．解：2)3x(2=+，23x±=+，23x23x-=+=+，或，∴23x23x21--=+-=，．例3解方程081)2x(42=--．分析：解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法较好．解：081)2x(42=--481)2x (2=-， 292x ±=-， ∴25x 213x 21-==，． 注意：对可用直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解；若a x 2=，则a x ±=；若b )a x (2=-，则a b x +±=．例4解方程02x 3x 2=+-．分析：此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解．解法一：02x 3x 2=+-，(x －2)(x －1)＝0，x －2＝0，x －1＝0，∴2x 1x 21==，．解法二：∵a ＝1，b ＝－3，c ＝2，∴01214)3(ac 4b 22>=⨯⨯--=-，∴213x ±=．∴1x 2x 21==，．注意：用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值，先计算“△”的值，若△<0，则方程无解，就不必解了．例5解关于x 的方程0n )n m 2x 3(m x 22=-+--． 分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于x 的方程，即x 为未知数，m ，n 为已知数．在确定0ac 4b 2≥-的情况下，利用公式法求解．解：把原方程左边展开，整理，得0)n mn m 2(mx 3x 222=--+-．∵a ＝1，b ＝－3m ，22n mn m 2c --=，∴)n mn m 2(14)m 3(ac 4b 2222--⨯⨯--=-22n 4mn 4m ++=0)n 2m (2≥+=．∴2)n 2m (m 3x 2++= 2)n 2m (m 3+±=．把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 和ac 4b 2-的值，然后求解．但解字母系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的a 、b 、c 与方程中字母系数的a 、b 、c 相混淆；(3)在ac 4b 2-开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能，因此，)n 2m ()n 2m (2+±=+±． 例6用配方法解方程x 73x 22=+．分析：解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身重要，要记住．解：x 73x 22=+， 023x 27x 2=+-， 0234747x 27x 22=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2，162547x 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-， ∴4547x ±=-．∴21x 3x 21==，．注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1，方程左边只有二次项，一次项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一个二项式的完全平方．四．巩固练习： 一.选择题（每小题3分，共24分）1. 下列方程中，不能用直接开平方法的是_____A. 230x -=B. 2(1)40x --= C. 220x x += D. 22(1)(21)x x -=+ 2. 一元二次方程230x x +=的解是_____.A. 3x =-B. 120,3x x ==C. 120,3x x ==-D. 3x =3. 方程220(0)x m m +=<的根为_____ A.2m - B.2m -C.22m -±D.2m -± 4. 方程2(3)5(3)x x x -=-的根是_____.A.52x =B. 3x =C. 125,32x x ==D. 52x =- 5. 下列方程中，不适合用因式分解法的是_____.A.2210x x -+=B. 2210x x --=C.2430x x -+=D. 240x -=6. 已知方程220x mx m +-=的一个根为-1，那么方程260x mx -=的根为_____A. 2x =B. 0x =C.122,0x x ==D. 以上答案都不对7. （2008滨州）关于x 的一元二次方程21(1)420mm x x ++++=的解为______ A. 121,1x x ==- B. 121x x ==C. 121x x ==-D. 无解8.已知一直角三角形的三边长为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程22(1)2(1)0a x cx b x --++= 的根的情况是————A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定二.填空题（每小题3分，共24分）1. 当x =________时，分式293x x -+无意义；当x =________时，分式293x x -+的值为零。

一元二次方程讲义1.解方程2(2)9x -=. 2（3x ﹣1）2=8．例题3：配方法1.已知方程260xx q +=-可以配方成27x p =（-）的形式，那么262x x q +=-可以配方成下列的（ ） A. 25x p =（-） B. 29x p =（-） C. 229x p +=（-） D. 225x p +=（-） 2.用配方法解方程：2420x x ++=练习：1． 用配方法解方程：x 2﹣7x+5=0． 2x 2﹣3x+1=0．x 2﹣6x ﹣7=0．例题4.公式法1.一元二次方程4x 2﹣2x+=0的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判断2.用公式法解方程：03822=+-x x.练习：1．用公式法解方程：3x 2+5（2x+1）=0．练习：1．“在线教育”指的是通过应用信息科技和互联网技术进行内容传播和快速学习的方法．”互联网+”时代，中国的在线教育得到迅猛发展．根据中国产业信息网数据统计分析，2015年中国在线教育市场产值约为1600亿元，2017年中国在线教育市场产值在2015年的基础上增加了900亿元．（1）求2015年到2017年中国在线教育市场产值的年平均增长率；（2）若增长率保持不变，预计2018年中国在线教育市场产值约为多少亿元？例题2：利润问题1.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？练习:1．今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？（销售利润=销售价﹣成本价）例题3：面积问题1.某中学标准化建设规划在校园内的一块长36米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的人行道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草（如图所示），若使每一块草坪的面积都为96平方米．求人行道的宽。

∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
（1）求代数式m2+m+1的最小值；
（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值．
二、能力点评
学法升华
一、知识收获
一元二次方程：方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的整式方程，一般地，这样的方程都整理成为形如 的一般形式，
二、方法总结
一元二次方程的解法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法
知识点二、直接开平方法
形如 的方程都可以用开平方的方法写成 ，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。
知识点三、配方法
通过配方将原方程转化为 的方程，再用直接开平方法求解。
配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。
配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。
格德教育学科教师辅导讲义
学员编号：年级：课时数：
学员姓名：辅导科目：学科教师：
授课
类型
G趣味引导
T课本同步
S
A
授课日期时段
教学内容
一、同步知识梳理
知识点一、一元二次方程
方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的整式方程，一般地，这样的方程都整理成为形如 的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。其中 分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a、b分别是二次项和一次项的系数
题型4：直接开平方法
例1用直接开方法解下列方程
（1）（x＋2）2－16＝0；（2）(x－1)2－18＝0；
巩固1解方程
(1－3x)2＝1；(2x＋3)2－25＝0.

第6讲一元二次方程1.一元二次方程定义2.一元二次方程的根3.解一元二次方程4.根的判别5.韦达定理6.一元二次方程应用知识点一：一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例1. 一元二次方程的相关概念(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程． (2)一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，其中ax 2、bx 、c 分别叫做二次项、一次项、常数项，a 、b 、c 分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．例：方程20aax+=是关于x 的一元二次方程，则方程的根为－1.【例题1】 （2017秋•郓城县期中）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A ．3x 2+﹣1=0B ．5x 2﹣6y ﹣3=0 C．ax 2﹣x +2=0D ．3x 2﹣2x ﹣1=0【例题剖析】概念理解题：能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键【例题2】 关于x 的方程是一元二次方程，则a= ．【例题剖析】对一元二次方程一般形式的理解题：【例题3】 （2017•河北模拟）关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+2x +m 2﹣5m +4=0，常数项为0，则m 值等于（ ） A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．0【例题剖析】对一元二次方程一般解的理解题：【例题4】（2017秋•抚顺县期末）关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．3【例题5】（2017秋•潮南区期末）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，则代数式m2﹣m+3=（）A．﹣2B．1C．0D．5【例题6】已知一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x+m2﹣4=0的一个根为0，则m=．【例题剖析】对一元二次方程一般解的理解转换计算：【例题7】（2017•临海市模拟）若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的一个实数根，则2014﹣m2+5m的值是（）A．2011B．2012C．2013D．20142.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.( 3 )公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=242b b aca-±-（b2－4ac≥0）.(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．解一元二次方程时，注意观察，先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法.例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h=－3,k=6.【例题剖析】解一元二次方程-直接开平方法的【新定义题】【练习1】给出一种运算：对于函数y=x n，规定y'=nx n﹣1．例如：若函数y=x4，则有y'=4x3．已知函数y=x3，则方程y'=36的解是（）A．x1=x2=0B．x1=2，x2=﹣2C．x1=2，x2=﹣2D．x1=4，x2=﹣4【练习2】（2017春•甘州区校级期中）在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b=a2﹣b2，则方程（4★3）★x=13的根为．【练习3】在实属范围内定义新运算“⊕”其法则为a⊕b=a2﹣b2，则（4⊕3）⊕x=24的解为．【练习4】（2017春•鄂州期中）若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+2与2m﹣5，则=．考点1 ：解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【例题剖析】解一元二次方程-配方法【例题8】利用配方法解方程2x2﹣x﹣2=0时，应先将其变形为（）B．C．D．A．【例题9】用配方法解一元二次方程2x2﹣4x+1=0，变形正确的是（）A．（x﹣）2=0B．（x﹣）2=C．（x﹣1）2=D．（x﹣1）2=0考点2 ：解一元二次方程-公式法【例题剖析】解一元二次方程-公式法【例题10】已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（）A．﹣2＜a＜﹣1B．2＜a＜3C．﹣3＜a＜﹣4D．4＜a＜5【例题11】若一元二次方程x2+x﹣1=0的较大根是m，则（）A．m＞2B．m＜﹣1C．1＜m＜2D．0＜m＜1【例题12】用公式法解方程：3x2+5（2x+1）=0．考点3 ：解一元二次方程-因式分解法【例题剖析】解一元二次方程-因式分解法【例题13】（2017•霍山县校级模拟）使分式的值等于零的x是（）A．6B．﹣1或6C．﹣1D．﹣6【例题剖析】解一元二次方程-因式分解法实际运用【练习5】（2017•高新区一模）对于实数a，b，先定义一种新运算“★”如下：a★b=．若2★m=36，则实数m等于（）A．8.5B．4C．4或﹣4.5D．4或﹣4.5或8.5【练习6】定义一种新运算：a♣b=a（a﹣b），例如，4♣3=4×（4﹣3）=4，若x♣2=3，则x的值是（）A．x=3B．x=﹣1C．x1=3，x2=1D．x1=3，x2=﹣1【练习7】（2017秋•凉州区期末）方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长为．考点4 ：换元法解一元二次方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．【例题剖析】解一元二次方程-换元法【例题14】（2017秋•鄂城区期中）已知x是实数且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，那么x2+3x的值为（）A．3B．﹣3或1C．1D．﹣1或3【例题15】已知（x2+y2）2﹣y2=x2+6，则x2+y2的值是（）A．﹣2B．3C．﹣2或3D．﹣2且3【例题16】已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）=8，则a2﹣b2的值为（）A．﹣2B．4C．4或﹣2D．﹣4或2【例题17】（2017秋•宜城市期中）已知方程ax2+bx+c=0的解是x1=2，x2=﹣3，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的解是（）A．x1=1，x2=﹣4B．x1=﹣1，x2=﹣4C．x1=﹣1，x2=4D．x1=1，x2=4知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系3.根的判别式(1)当Δ＝24b ac->0时，原方程有两个不相等的实数根．(2)当Δ＝24b ac-=0时，原方程有两个相等的实数根．(3)当Δ＝24b ac-<0时，原方程没有实数根．例：方程2210x x+-=的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程2230x x++=的判别式等于－8，故该方程没有实数根.【例题剖析】解一元二次方程-根的情况判别【例题18】一元二次方程3x2﹣6x+4=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根【例题19】（2017•咸宁）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【例题剖析】解一元二次方程-根判别的相关计算【练习8】（2018•泸县校级一模）关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0B．k＞0C．k≥﹣1D．k＞﹣1【练习9】（2017•广州）关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（）A．q＜16B．q＞16C．q≤4D．q≥4*4.根与系数的关系（1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=－b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.（2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.与一元二次方程两根相关代数式的常见变形：(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2,12121211x xx x x x++=等.失分点警示在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时★=b2－4ac≥0.（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．【例题剖析】根与系数的关系的直接计算【例题20】（2017秋•武昌区月考）方程x2﹣6x+10=0的根的情况是（）A．两个实根和为6B．两个实根之积为10C．没有实数根D．有两个相等的实数根【例题21】已知x1，x2是一元二次方程x2﹣6x﹣15=0的两个根，则x1+x2等于（）A．﹣6B．6C．﹣15D．15【例题22】两个不等的实数a、b满足a2+a﹣1=0，b2+b﹣1=0，则ab的值为（）A．1B．﹣1C．D．【例题23】（2017春•莱城区期末）已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长度是关于x的方程x2﹣13x+36=0的两个实数根，则此菱形的面积是（）A．18B．30C．36D．不确定【例题剖析】根与系数的关系的逆运算【练习10】（2017•烟台）若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，且x1+x2=1﹣x1x2，则m的值为（）A．﹣1或2B．1或﹣2C．﹣2D．1【练习11】（2017•新疆）已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（）A．﹣3B．﹣2C．3D．6【练习12】（2017•雅安）已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1=0的两根，且x1x2=﹣3，则k的值为（）A．1B．2C．3D．4【例题剖析】根与系数的关系的转换计算【模型A】+【练习13】若方程x2﹣3x﹣4=0的两根分别为x1和x2，则+的值是（）A．1B．2C．﹣D．﹣【练习14】（2017•黔东南州）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2B．﹣1C．D．﹣2【练习15】设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则=（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3【模型B】x12+x22【练习16】若方程x2﹣4x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值为（）A．6B．﹣6C．18D．﹣18【练习17】已知一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的两根为x1，x2，则x12+x22=．【模型C】+【练习18】设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则+的值是（）A．﹣6B．﹣5C．﹣6或﹣5D．6或5【练习19】设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则+的值是（）A．﹣6B．﹣5C．﹣6或﹣5D．6或5【模型D】n m【练习20】（2017•绵阳）关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，则n m 的值为（）A．﹣8B．8C．16D．﹣16【练习21】（2018•宜宾模拟）已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则b a的值是．【模型E】根的加、积混合【练习22】（2017•仙桃）若α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（）A．﹣13B．12C．14D．15【练习23】设a，b是方程x2+x﹣2012=0的两个根，则a2+2a+b的值为（）A．2009B．2010C．2011D．2012【练习24】（2017•日照模拟）已知a，b是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则a2﹣ab+3a+b的值为（）A．2B．3C．﹣2D．8【练习25】已知m、n是方程x2+3x﹣2=0的两个实数根，则m2+4m+n+2mn的值为（）A．1B．3C．﹣5D．﹣9【练习26】（2017•昆明模拟）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1x2﹣x1﹣x2的值是（）B．﹣C．D．﹣A．【练习27】（2017秋•金堂县期末）若x1，x2是关于x的方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则代数式x12﹣3x1﹣x2﹣6的值是．知识点三：一元二次方程的应用4.列一元二次方程解应用题（1）解题步骤：①审题；②设未知数；★ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.★平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；★利润问题：利润=售价－成本；利润率=利润/成本×100%；★传播、比赛问题：★面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.1、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2=后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）“每每型”：在经济问题中常常出现这样的描述：“单价每降低1元，每天可多售出10件。

考点一、概念(1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元次方程。

⑵一般表达式：ax2 bx c二0(a = 0)(3)关键点：强调对最高次项的讨论：①次数为“ 2”；②系数不为“ 0”。

典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )J 2 “ 1 1A 3x 1 -2x1B 22=0x x2 2 2C ax bx c = 0D x 2x = x 1变式：当k ___________ 时，关于x的方程kx22^x23是一元二次方程。

例2、方程m - 2 x im - 3mx 1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为________________________________________________________________________________________ 。

针对练习：1、方程8x2=7的一次项系数是______________ ，常数项是______________ 。

2、若方程m-1x2： m*x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围考点二、方程的解⑴内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：①利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y2• y-3的值为2,则4y2• 2y • 1的值为_____________________ 。

例2、关于x的一元二次方程a「2 x2• x • a2「4 = 0的一个根为0，贝U a的值为_______________ 。

说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x的一元二次方程ax2• bx • c = 0 a = 0的系数满足a b，则此方程必有一根为。

说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“ -1”巧解代数式的值。

例4、已知a = b，a2-2a -1 =0，b2-2b -1 = 0，求a b 二____________________变式：若a2-2a -1=0，b2-2b-1=0，则a b的值为_______________________ 。

世纪金榜八年级数学培训讲义：一元二次方程一、填空题１、当 a ＿＿＿＿时，方程 (a －1) x 2＋x －2＝0 是一元二次方程。

２、方程 2x (1＋x)＝3 的一般形式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

３、当 x ＝＿＿＿＿时，分式x ＋1x ＋2的值等于45。

４、方程 2x 2＝32 的解为＿＿＿＿。

５、方程 21－x 2－1＝11＋x 的解为＿＿＿＿。

６、方程 x 2－5x －6＝0 可分解成＿＿＿＿与＿＿＿＿两个一元一次方程。

７、已知 m 是方程 x 2－x －23＝0 的一个根，则 m 2－m ＝＿＿＿＿。

８、2x 2＋4x ＋10＝2 (x ＋＿＿＿)2＋＿＿＿＿。

９、以 －2 和 3 为根的一元二次方程为＿＿＿＿＿＿（写出一个即可）。

10、如果方程 x 2－3x ＋m ＝0 的一根为 1，那么方程的另一根为＿＿＿＿。

11、如果方程 x ＋1x －2－1＝m 2－x有增根，那么 m ＝＿＿＿＿。

12、用配方法解方程542=-x x 时，方程的两边同加上 ，使得方程左边配成一个完全平方式．13、如果关于x 的方程20x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k= ．14、某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x ，根据题意列出的方程是 ．15、若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______．16、关于x 的一元二次方程02)12(22=-+++-k x k x 有实数根，则k 的取值范围是 。

17、长 20m 、宽 15m 的会议室，中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的 12，若四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为＿＿＿＿。

二、选择题１、下列方程中是一元二次方程的是（ ）A 、x ＋3＝5B 、xy ＝3C 、x 2＋1x＝0 D 、2x 2－1＝0 ２、若关于 x 的方程2x －a x －1＝1 无解，则 a 的值等于（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、4３、方程 2x (x －2)＝3 (x －2) 的根是（ ） A 、x ＝32B 、x ＝2C 、x 1＝32，x 2＝2D 、x ＝－32 4、若方程2310x x --=的两根为1x 、2x ，则1211x x +的值为（ )5、若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为（ ）（A ）1 （B ）2（C ）-1 （D ）-2 6、若12x x ，是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则12x x +的值是（ ）A ．1B ．5C ．5-D ．67、设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）A ．2006B ．2007C ．2008D ．2009 8、方程(3)(1)3x x x -+=-的解是（ ）A ．0x =B ．3x =C ．3x =或1x =-D ．3x =或0x =9、为执行“两免一补”政策，某地区2007年投入教育经费2500万元，预计2009年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，那么下面列出的方程正确的是（ ）A ．225003600x =B ．22500(1%)3600x +=C ．22500(1)3600x +=D ．22500(1)2500(1)3600x x +++= 10、方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）A ．12B ．12或15C ．15D ．不能确定11、在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图5所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-= C ．213014000x x --= D ．2653500x x --= 12、某旅游景点三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．225(1)64x +=B ．225(1)64x -=C ．264(1)25x +=D ．264(1)25x -=13、把方程 x 2＋3＝4x 配方得（ ）A 、(x －2)2＝7B 、(x －2)2＝1C 、(x ＋2)2＝1D 、(x ＋2)2＝214、某车间原计划 x 天内生产零件 50 个，由于采用新技术，每天多生产零件 5 个，因此提前3 天完成任务，则可列出的方程为（ ）A 、50x －3＝50x －5B 、50x ＝50x －3－5C 、50x －3＝50x －5D 、50x ＝50x －3－5 15、把一个小球以 20m/s 的速度竖直向上弹出，它在空中高度 h (m) 与时间 t (s) 满足关系：h ＝20t －5t 2，当 h ＝20 时，小球的运动时间为（ ）A 、20sB 、2sC 、(22＋2) sD 、(22－2) s三、解下列方程：１、x (x ＋5)＝24 ２、2x 2＝(2＋3) x2 ３、x 2－4x ＝5 ４、4 (x －1)2＝(x ＋1)2５、5x ＝7x －2 ６、x ＋1x －1－1＝4x 2－1四、解答题：１、解关于 x 的方程ax －a b＝1＋x （a ≠b ）２、方程 x 2＋3x ＋m ＝0 的一个根是另一根的 2 倍，求 m 的值。

杭州教育辅导讲义21xx的形式，然后利用根与系数的关系代入求值．要特别注意如下公式：（1）()2122122212xxxxxx-+=+；（2）21212111xxxxxx+=+；（3）()()212212214xxxxxx-+=-；（4）()()212132132313xxxxxxxx+-+=+；（5）()21221214xxxxxx-+=-；（6）()21221214xxxxxx-+±=-；（7）()2121221221xxxxxxxx++=+；（8）()21212212122xxxxxxxx+-+=+．五、实际应用：1、知识结构2、知识要点归纳由实际情景加工整理成抽象实际的问题，通过数学化变成数学问题.经过求解、检验、修正改进等进而产生的问题称为数学应用问题，数学应用题是经过加工的数学应用问题，是呈现在我们中学生面前的数学应用问题.从数学应用问题到数学应用题作了以下几个方面的“加工”.（1）加工“背景”：让背景材料为学生所熟悉的材料；让背景材料较为简洁.（2）加工“数学”：让“数学化”的过程较为简单，让各环节中使用的数学思想、方法和知识都是学生所能接受的.（3）加工“检验”：在问题中的检验和讨论“实际化”即检验数学结果是否合乎实际问题，有验证的意识就可以了.3解一元二次方程的数学应用题的一般步骤（1）找——找出题中的等量关系（2）设——设未知数（3）列——列出方程，即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式（4）解——解出所列的方程（5）验——将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检验（6）答——作答下结论4、中考改革趋势一元二次方程的应用是中考数学重点考查的内容之一，它的试题背景与二元一次方程组的应用、简单分式方程的应用、一元一次方程的应用一样，随着改革的继续而更富有时代的气息，更宣于生活化，更贴近学生的实际.考点回放1考察一元二次方程概念1．下列方程不是整式方程的是（）年我省森林覆盖率为家庭轿车将达到多少辆（2） 为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的倍，求该小区最多可建两种车位各多少个试写出所有可能的方案.11．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台12..(2009年潍坊)要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD 进行绿化和硬化．（1）设计方案如图①所示，矩形P 、Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P 、Q 两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD 面积的14，求P 、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽． （2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为1O 和2O ，且1O 到AB BC AD 、、的距离与2O 到CD BC AD 、、的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．24.已知m,n 是一元二次方程0719992=++x x 的两个根，求)82000)(61998(22++++n n m m 的值。

一元二次方程的概念及解法一对一辅导讲义1、了解一元二次方程的概念；2、了解一元二次方程的解，并能熟练运用四种方法去解；3、经历一元二次方程的概念的发现过程，体验归纳、类比的思想方法。

第一课时 一元二次方程的概念及解法知识梳理1、如果()a a 21122-=-，则（ ） A 、21<a B 、21≤a C 、21>a D 、21≥a2、若a a a a +-+--=21212成立，则a 为__________3、已知0 ＜x ＜1，化简：4)1(2+-x x －4)1(2-+x x4、 981431321211++⋅⋅⋅++++++5、x y xy -==512，，求x xy y 22-+的值知识梳理课前检测一、一元一次方程的概念 (1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a≠0）(4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

二、一元一次方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；三、一元二次方程的解法（1）基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

（2）方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法第二课时 一元二次方程的概念及解法典型例题题型一：一元二次方程的概念例1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx ax D1222+=+x x x变1.（1)当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

个性化教学辅导教案学科数学学生姓名邵文琪年级八任课老师李显辉授课时间20年月日教学目标教学内容：一元二次方程根与系数的关系考点：1.对一元二次方程的根与系数的关系的掌握，以及在各类问题中的运用．2.一元二次方程的根与系数的关系的运用3. 一元二次方程根与系数的关系4.如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根是x1，x2，那么.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.能力与方法：1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；2．能够利用一元二次方程的根与系数的关系求简单的关于根的对称式的值；3．能够利用一元二次方程的根与系数的关系判断两个数是否是方程的根；4．能够利用一元二次方程的根与系数的关系求出以两个已知数为根的一元二次方程．5. 规律方法指导一元二次方程根与系数的关系的用法：①不解方程，检验两个数是否为一元二次方程的根；②已知方程的一个根，求另一个根及未知系数；③不解方程，求已知一元二次方程的根的对称式的值；④已知方程的两根，求这个一元二次方程；⑤已知两个数的和与积，求这两数；⑥已知方程的两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值；⑦讨论方程根的性质。

课课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议:作业认真，知识点运用不够熟练。

堂教学过程过程一．课前交流，了解学生上次课的复习情况三．典型例题：1.已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值.例1.已知方程x2-6x+m2-2m+5=0一个根为2，求另一个根及m的值.思路点拨：本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义，把x=2代入原方程，先求出m 的值，再通过解方程求另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m 的值.解：法一：把x=2代入原方程，得22-6×2+m2-2m+5=0即m2-2m-3=0解得m1=3，m2=-1当m1=3，m2=-1时，原方程都化为x2-6x+8=0∴x1=2，x2=4∴方程的另一个根为4，m的值为3或-1.法二：设方程的另一个根为x.则2.判别一元二次方程两根的符号.例2.不解方程，判别2x2+3x-7=0两根的符号情况.思路点拨：因为二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可求根的判别式△，但△只能用于判定根存在与否，若判定根的正负，则需要考察x1·x2或x1+x2的正负情况.解：∵△=32-4×2×(-7)=65＞0∴方程有两个不相等的实数根，设方程的两个根为x1，x2，∵∴原方程有两个异号的实数根.总结升华：判别根的符号，需要“根的判别式”，“根与系数的关系”结合起来进行确定.另外本题中x1·x2＜0，可判定根为一正一负，若x1·x2＞0，仍需考虑x1+x2的正负，从而判别是两个正根还是两个负根.举一反三：【变式1】当m为什么实数时，关于x的二次方程mx2-2(m+1)x+m-1=0的两个根都是正数.思路点拨：正、负根的问题应这样想：如正数根，应确保两根之和大于零，两根之积大于零，根的判别式大于等于零.解：设方程的二根为x1，x2，且x1＞0，x2＞0，则有由△=[-2(m+1)]2-4m(m-1)≥0，解得：∵m≠0，∴m＞0或m＜0，∴上面不等式组化为：由⑴得m＞1；⑵不等式组无解.∴m＞1∴当m＞1时，方程的两个根都是正数.总结升华：当二次项系数含有字母时，不要忘记a≠0的条件.【变式2】k为何值时，方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0（1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数；（3）有一根为零，另一根不为零.思路点拨：两根“互为相反数”、“互为倒数”，“有一根为零，另一根不为零”等是对两根的性质要求，在满足这个要求的条件下，求待定字母的取值.方程的根互为相反数，则x1=-x2，即x1+x2=0;互为倒数，则x1=，即x1·x2=1，但要注意考察判别式△≥0.解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=x1x2=（1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零，即x1+x2=，∴k=0，当k=0时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=16＞0∴当k=0时，方程两根互为相反数.x1x2==1，解得k=4当k=4时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=-144＜0∴k为任何实数，方程都没有互为倒数的两个实数根.（3）要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是零，即x1x2==0，解得k=又当k=时，x1+x2=，当k=时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=＞0，∴k=时，原方程有一根是零，另一根不是零.总结升华：研究两个实数根问题时，应注意二次项系数不得为零，△=b2-4ac不得小于零.3.根的关系，确定方程系中字母的取值范围或取值.例3.关于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的两根的平方和小于5，求k的取值范围.解：设方程两根分别为x1，x2，x1+x2=3，x1·x2=k+1∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2(k+1)＜5∴k＞1①又∵△=(-3)2-4(k+1)≥0∴k≤②由①②得：1＜k≤.总结升华：应用根的判别式，已知条件，构造不等式，用不等式组的思想，确定字母的取值范围.举一反三：【变式1】已知：方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大21，求m的值.思路点拨：本题是利用转化的思想将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于m的方程，就可求得m的值.解：∵方程有两个实数根，∴△=[2(m-2)]2-4×1×(m2+4)≥0解这个不等式，得m≤0设方程两根为x1，x2，∴x1+x2=-2(m-2)x1·x2=m2+4∴[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21整理得：m2-16m-17=0解得：m1=17，m2=-1又∵m≤0，∴m=-1.总结升华：1.求出m1=17，m2=-1后，还要注意隐含条件m≤0，舍去不合题意的m=17.【变式2】设与是方程x2-7mx+4m2=0的两个实数根，且(-1)(-1)=3，求m的值．思路点拨：利用一元二次方程的根与系数的关系把等式(-1)(-1)=3转化为关于m的方程．解：由于与是方程x2-7mx+4m2=0的两个根，根据根与系数的关系，有所以，有(-1)(-1)=-()+1=4m2-7m+1=3．所以，得方程4m2-7m-2=0．解这个方程，或m=2．经检验，或m=2都能使判别式Δ=(7m)2-4×(4m2)=33m2＞0，所以，m=2都符合题意．总结升华：如果所求m的值使方程没有实数根，就是错误的结果，所以检验的步骤是十分必要的．讨论方程的实数根的问题，只有在判别式的值是非负数时才有意义，在解决问题时应注意这个重要的条件．4．求简单的关于根的对称式的值．在关于一元二次方程的根x1与x2的式子中，如果交换这两个字母的位置后式子不变(我们常把这种式子叫做对称式)，就可以通过恒等变形，转化为用x1+x2与x1x2表达的式子，从而可以利用根与系数的关系解决．如+，，(1+x1)(1+x2)都是对称式，它们可以变形为用x1+x2与x1x2表达的式子，如(1+x1)(1+x2)=1+(x1+x2)+x1x2，+=(x1+x2)2-2x1x2，……等等．2思路点拨：注意到交换与的位置时，代数式不变，所以代数式是关于与的对称式.解：∵Δ=b2-4ac=8＞0，∴方程有实根．∵∴举一反三：【变式1】已知与是方程3x2-x-2=0的两个实数根，求代数式的值．思路点拨：中的与的位置互换时，式子的形式不变，所以它们都是对称式，可以转化为含有与的式子，利用根与系数的关系简化计算．解：由于＞0，＜0，所以Δ＞0，方程一定有实根．于是==．把=与=-代入，得====总结升华：这是一个无理数系数的一元二次方程，如果分别求出根与的值，计算过程将冗长而烦琐，利用根与系数的关系就可以有效地达到简化计算过程的目的，读者如果用求根后代入的方法演算一遍，将会有深刻的体会．5．利用一元二次方程的根与系数的关系判断两个已知数是否方程的根，能够求出以两个已知数为根的一元二次方程．事实上，我们有这样的定理：如果两个实数x1与x2使得x1+x2=-p，且x1x2=q，那么x1与由于x1+x2=-p，x1x2=q，那么方程x2+px+q=0可以化为x2-(x1+x2)x+x1x2=0，x2-x1x-x2x+x1x2=0，x(x-x1)-x2(x-x1)=0，(x-x1)(x-x2)=0，∴x=x1或x=x2．这就是说，x1和x2是方程x2+px+q=0的两个根．例5.判断下列方程后面括号内的两个数是不是方程的根：(1)x2-8x-20=0，(10，-2)；(2)6y2+19y+10=0，；(3)a2-2a+3=0，(+，-+)．解：(1) ∵10+(-2)=+8=-(-8)，10×(-2)=-20，∴10与-2是方程x2-8x-20=0的两个根；(2) ∵，，∴-与-是方程6y2+19y+10=0的两个根；(3) 虽然有(+)(-+)=+3，但是(+)+(-+)=+2≠-(-2)；所以+与-+不是方程a2+2a-3=0的根．例6.(1)作一个以-与为根的一元二次方程；(2)作一个方程，使它的两个根分别是方程2x2+5x-8=0的两个根的倒数．思路点拨：作一元二次方程，只需利用根与系数的关系求出方程各项的系数．解：(1) 由于-+=-2+=-，-·=-=-4，所以所求方程是x2+x-4=0．(2) 设x1与x2是方程2x2+5x-8=0的两个根，所以，有x+x=，所以，．于是所求方程是x2-x-=0．也就是8x2-5x-2=0．四．巩固练习：一、选择题1. 如果一元二次方程的两个根为，那么与的值分别为( )A. 3，2B.C.D.2. 如果方程的两个实数根分别为，那么的值是( )A. 3B.C.D.3. 如果是方程的两个根，那么的值等于( )A. B. 3 C. D.4.以2，-3为根的一元二次方程是( )A.x2+x+6=0B.x2+x-6=0C.x2-x+6=0D.x2-x-6=0二、填空题1. 如果是方程的两个根，那么____________.2. 已知一元二次方程的两根分别为，那么的值是3.已知一元二次方程的两根为2+和2-，则这个方程为_______．三、解答题1.设x1与x2是方程x2+4x-6=0的两个根，不解这个方程，求下列各式的值：(1)；(2)+x1x2+；(3)(x1-2)(x2-2)．2.(1)已知方程x2+mx+21=0的两个根的平方和是58，求m的值；(2)已知方程x2+2x+m=0的两个根的差的平方是16，求m的值；(3)已知方程x2+3x+m=0的两个根的差是5，求m的值；(4)已知方程x2+3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，求m的值．3.判断下列方程后面括号中的两个数是不是这个方程的根：(1)x2+x-12=0，(+4，-3)；(2)2y2+9y+4=0，；(3)z2-(2+)z+6=0，(，)．4.分别求作以下列各对数为根的一个一元二次方程：(1)-5，+7；(2)，+；(3)，-；(4)+，-．能力提升一、选择题1.以3，-1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是( )A.3x2-2x+3=0B.3x2+2x-3=0C.3x2-6x-9=0D.3x2+6x-9=02.下列方程中，两实数根之和等于2的方程是( )A. B.C. D.3.已知关于x的方程有两个相等的正实数根，则k的值是( )A. B. C. 2或 D.1. 已知3x 2-2x-1=0的二根为x 1，x 2，则x 1+x 2=______，x 1x 2=______，•+=•_______，•x 12+x 22=_______，x 1-x 2=________．2. 已知一元二次方程3x 2-kx-1=•0•的一根为3,则该方程的另一根为_____，•k=_______．3. 若方程的两根的倒数和是，则____________.三、解答题1.已知关于x 的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数k 的值.2.已知一元二次方程.(1)当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)设是方程的两个实数根，且满足，求m 的值.3.已知关于x 的一元二次方程.(1)求证：对于任意非零实数a ，该方程恒有两个异号的实数根； (2)设是方程的两个实数根，若，求a 的值.练习二： 一、填空题1.如果x 1、x 2是一元二次方程02x 6x 2=--的两个实数根，则x 1+x 2=_________. 2.一元二次方程03x x 2=--两根的倒数和等于__________.3.关于x 的方程0q px x 2=++的根为21x ,21x 21-=+=，则p=______，q=____.4.若x 1、x 2是方程07x 5x 2=--的两根，那么_______________x x 2221=+， .________)x (x 221=-5.已知方程0k x x 2=+-的两根之比为2，则k 的值为_______.6.已知21x ,x 为方程01x 3x 2=++的两实根，则.__________20x 3x 221=+-7.方程02x 5x 2=+-与方程06x 2x 2=++的所有实数根的和为___________. 8.关于x 的方程01x 2ax 2=++的两个实数根同号，则a 的取值范围是__________. 二、选择题9.已知a 、b 是关于x 的一元二次方程01nx x 2=-+的两实数根，则式子baa b +的值是（ ） A.2n 2+ B.2n 2+- C.2n 2- D.2n 2--A.06x x 2=-+B.06x x 2=++C.06x x 2=--D.06x x 2=+-11.设方程0m x 5x 32=+-的两根分别为21x ,x ，且0x x 621=+，那么m 的值等于（ ） A.32-B .—2 C.92 D.—92 12.点P （a,b ）是直线y=—x+5与双曲x 6y =的一个交点，则以a,b 两数为根的一元二次方程是（ ）A. 06x 5x 2=+-B. 06x 5x 2=++C. 06x 5x 2=--D. 06x 5x 2=-+13.已知0)2m 2()x 1(m x 2=----两根之和等于两根之积，则m 的值为（ ）A.1 B .—1 C.2 D .—214.设α、β是方程02012x x 2=-+的两个实数根，则βαα++22的值为（ ）A ．2009 B.2010 C.2011 D.2012三、解答题15.不解方程，求下列方程的两根x 1、x 2的和与积。

第二讲 一元二次方程（二）——求根公式、因式分解法一、一元二次方程之技巧解法因式分解法：提公因式，平方公式，平方差，十字相乘法如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+= 此类方程适合用提供因式法，而且其中一个根为0290(3)(3)0x x x -=⇔+-= 230(3)0x x x x -=⇔-=3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x ---=⇔--=注意：提取整个因式的方法非常常见，解题的过程中一定要认真观察。

22694(3)4x x x -+=⇔-= 2241290(23)0x x x -+=⇔-=24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+= 十字相乘法非常实用，注意在解题的过程中多考虑。

二、根的判别式：ac b 42-=∆当ac b 42-=∆＞0时,一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根.反之亦然. 当ac b 42-=∆=0时,一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根. 反之亦然. 当ac b 42-=∆＜0时,一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 没有的实数根. 反之亦然.三、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a--==所以：12b x x a+=+=-，12244ac c x x a a⋅==== 对称轴X= -顶点坐标为x=- ，y=定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a+=-= 法2：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a ++=⇔-++= 12b x x a⇒+=-；12c x x a ∙= 法3：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12b x x a +=-（余下略） 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-， 12121211x x x x x x ++=， 22121212()()4x x x x x x -=+-， 12||x x -= 2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+== 等【典例分析】板块一：判别式的应用知识考点：理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。

考点一、概念(1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax（3）关键点：强调对最高次项的讨论：①次数为“2”；②系数不为“0”。

典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

针对练习：1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。

2、若方程()112=∙+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。

考点二、方程的解⑴内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：①利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。

说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。

例4、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则ab b a +的值为 。

针对练习：1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。

2、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。

3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。

一元二次方程的概念与方程的解【知识点】：1、一元二次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．2、一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．（其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数； c 是常数项．）3、一元二次方程的解：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）． 【例题精讲】:例1、下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是 。

① k 2x + 5k + 6 = 0 ；②2x 2 －43x － 21= 0 ；③3x 2 + x 1 －2 = 0；④3x 2 + 2x －2 = 0；⑤（3－x ）2= －1；⑥（2x －1）2= （x －1）（4x + 3）。

例2、若关于x 的方程m x m x m m 4)3()2(2=+--是一元二次方程，求m 的值。

例3、关于x 的方程x （3x －3）－2x （x －1）－2 = 0，指出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

例4、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2 －x + a 2－1 = 0的一根是0，则a 的值为（ ） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、21。

【夯实基础练】： 一）、填空题：1、方程（x －4）2= 3x + 12的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。

2、（11滨州）若x=2是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根，则a 的值为______. 3、已知关于x 的方程5)3(1=-+-x m mxm 是一元二次方程，则m 2 = 。

4、（2012惠山区）一元二次方程（a+1）x 2-ax+a 2-1=0的一个根为0，则a= ．5、已知关于x 的方程ax 2+ bx + c = 0（a ≠0）的两根为1和－1，则a + b + c= ，a －b + c = 。