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讲义内容知识概括知识点一：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根△=b2-4ac>0。
(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根，(3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac<0.(4)事实上，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况方程ax2+bx+c=h的根的情况。
抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。
方法总结：⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c=++中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a++≠本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：∆>抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根∆=抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0∆<抛物线与x轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.题型一 求字母系数的取值范围【例1】若二次函数)1(24)1(22-+--=k kx x k y 的图象与x 轴有两个交点，求k 的取值范围；练习1：已知：关于x 的函数772--=x kx y 的图象与x 轴总有交点，求k 的取值范围？练习2：已知抛物线2234y x kx k =+-（k 为常数，且k ＞0）．证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；练习3：已知关于x 的二次函数y ＝x 2－（2m －1）x ＋m 2＋3m ＋4.探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数.题型二 一次函数图象和二次函数图象的交点问题【例2】已知抛物线C 经过（-5，0），（0，25），（1，6）三点,直线l 的函数表达式为32-=x y ；（1）求抛物线的表达式；（2）证明抛物线C 与直线l 无交点；（3）若与l 平行的直线m x y +=2与抛物线C 只有一个公共点P ，求点P 的坐标；练习1：已知二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y 轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b ，c 的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围．题型三 关于二次函数图象交点的综合问题【例3】已知抛物线2234y x kx k =+-（k 为常数，且k ＞0）．（1）证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；（2）设抛物线与x 轴交于M 、N 两点，若这两点到原点的距离分别为OM 、ON ，且1123ONOM-=，求k 的值．练习1：抛物线2y x bx c =-++的部分图象如图所示，则方程02=++-c bx x 的两根为 .练习2：下列命题：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ③若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ④若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（ ）．Ａ.只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有②【例4】已知二次函数y=x2+bx﹣c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0），（﹣3m，0）（m≠0）．（1）证明4c=3b2；（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1，试求二次函数的最小值．练习：已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式；（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围．。
《二次函数与一元二次方程（第1课时）》说课稿一、教材分析《二次函数与一元二次方程》是人教版九年级上册第22章第二节的第1课时的内容。
教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系。
这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。
本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。
用函数的观点看方程，可以把方程看成函数值为某个定值时的情况，所以，研究函数与方程的关系是对函数的进一步深化。
学生在一次函数时已经了解了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次不等式组之间的联系，本章专设一节，通过探讨二次函数与一元二次方程的联系，再次展示函数与方程之间的联系。
这样既深化学生对一元二次方程的认识，又可以运用二次函数解决一元二次方程的相关问题，体现了知识之间的联系。
二、学情分析学生已经学习了一元一次方程和一次函数，一元二次方程，二次函数的图像和性质等知识，对函数与方程的关系已有初步认识。
但是运用函数的思想解决问题的意识还不够，仍习惯于孤立地看待方程与不等式的问题。
本节学习可以帮助学生进一步建立函数与方程的联系，提升用函数思想解决问题的意识和能力。
三、教学目标1.了解一元二次方程的根的几何意义;理解抛物线与横轴的三种位置关系对应一元二次方程的根的三种情况.2.经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程,结合图象,进一步体会函数与方程之间的联系。
3.运用函数思想解决问题，体会事物之间的转化，提升思维品质。
四、教学重难点重点：二次函数与一元二次方程的联系，利用函数解决方程的有关问题.难点：将方程问题转化为函数问题，运用函数的思想解决问题。
五、教学策略由一次函数与一元一次方程的关系说起，采用类比的方法研究二次函数与一元二次方程的关系。
以实际问题为情境从数与形两个角度理解函数与方程之间的联系。
二次函数与一元二次方程、不等式一元二次不等式及其解法①二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：(以下均以a>0为例)②二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解；③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的.【例】填表解析【练1】二次不等式ax 2+bx +c <0的解集是R 的条件是( ) A ．{a >0△>0B ．{a >0△<0C ．{a <0△>0D ．{a <0△<0解析 由题意可知二次不等式ax 2+bx +c <0，对应的二次函数y =ax 2+bx +c 开口向下，所以a <0 二次不等式ax 2+bx +c <0的解集是R ，所以△<0． 故选：D ． 【练2】解不等式(1) x 2−x −6≤0 (2) x 2−3x +4<0 (3) x 2−4x +4>0 解析 (1) −2≤x ≤3 (2) ∅ (3)x ≠2 3 一元二次不等式的应用 (1) 分式不等式的解法解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解.由于a b>0与ab >0均意味a,b 同号，故ab>0与ab >0等价的；ab<0与ab <0均意味a,b 异号，故ab <0与ab <0等价的； 可得① f (x )g(x)>0⇒f (x )g (x )>0，f (x )g(x)≥0⇒f (x )g (x )≥0且g (x )≠0. 比如x−1x−2>0⇒(x −1)(x −2)>0 ; x−1x−2≥0⇒(x −1)(x −2)≥0且x −2≠0. ② f (x )g(x)<0⇒f (x )g (x )<0，f (x )g(x)≤0⇒f (x )g (x )≤0且g (x )≠0.比如x−1x−2<0⇒(x −1)(x −2)<0 ; x−1x−2≤0⇒(x −1)(x −2)≤0且x −2≠0. 【例】解不等式x+1x−2<0的解集是 .解析 不等式x+1x−2<0，等价于(x +1)(x −2)≤0，解得−1<x <2. 【练】解不等式x−1x−3≤0的解集是 .解析 不等式x−1x−3≤0，等价于{(x −1)(x −3)≤0x −3≠0，解得1≤x <3. ．【题型1】二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系 【典题1】 解下列不等式：(1) −12x 2+72x −5<0；(2) 4x 2+18x +814>0；(3) x−2x+3≥2.解析(1) 二次项系数化为1得：x 2−7x +10>0， 十字相乘得：(x −2)(x −5)>0，解得x >5或x <2. (2) 4x 2+18x +814>0⇔(2x +92)2>0，结合二次函数图像易得不等式解集是{x|x ≠−94}. (3)不等式x−2x+3≥2⇔x−2x+3−2≥0⇔−x−8x+3≥0⇔x+8x+3≤0，等价于{(x +8)(x +3)≤0x +3≠0，解得−8≤x <−3.点拨1.求解不等式ax 2+bx +c >0(或<0)，其中a >0，有个口诀：大于取两边、小于取中间；这结合二次函数图像也很好理解；2.求解分式不等式时，等价过程中要注意严谨.【典题2】若不等式2kx 2+kx −38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是( ) A ．(−3,0) B ．(),3-∞- (−∞,−3) C ．(−3,0] D ．(−∞,−3)∪(0,+∞) 解析 由题意可知2kx 2+kx −38<0恒成立，当k =0时成立，当k ≠0时需满足{k <0Δ<0，代入求得−3<k <0，所以实数k 的取值范围是(−3,0].点拨 注意二次系数是否为0，涉及到一元二次不等式可理解二次函数图像进行分析.【典题3】 若不等式ax 2+2x +c <0的解集是(−∞,−13)∪(12,+∞)，则不等式cx 2−2x +a ≤0的解集是( )A ．[−12,13]B ．[−13,12]C ．[−2,3]D ．[−3,2]解析 不等式ax 2+2x +c <0的解集是(−∞,−13)∪(12,+∞)， ∴−13和12是方程ax 2+2x +c =0的两个实数根，由韦达定理得{−13+12=−2a−13×12=c a，解得a =−12，c =2，故不等式cx 2−2x +a ≤0，即2x 2−2x −12≤0，解得−2≤x ≤3， 所以所求不等式的解集是[−2,3]， 故选：C ． 【巩固练习】1.下列不等式的解集是空集的是 ( )A ．x 2−x +1>0B ．−2x 2+x +1>0C ．2x −x 2>5D ．x 2+x >2 答案 C2.若不等式kx 2+2kx +2<0的解集为空集，则实数k 的取值范围是( )A ．0<k <2B ．0≤k <2C ．0≤k ≤2D ．k >2答案 C 解析 当k =0时，满足题意；当k >0时，△=4k 2−8k ≤0，解得0<k ≤2； ∴实数k 的取值范围是0≤k ≤2．故选：C ．3.关于x 的不等式x 2+ax −3<0，解集为(−3,1)，则不等式ax 2+x −3<0的解集为 . 答案 {x|−32<x <1}解析由题意知，x=−3，x=1是方程x2+ax−3=0的两根，可得−3+1=−a，解得a=2；所以不等式为2x2+x−3<0，即(2x+3)(x−1)<0，解得−32<x<1，所以不等式的解集为{x|−32<x<1}.4.不等式2x2−x−3>0的解集为.答案{x|x>32或x<−1}解析2x2−x−3>0⇒(2x−3)(x+1)>0⇒x>32或x<−1.5.不等式x2x−1>1的解集为.答案{x|12<x<1}解析原不等式等价于x2x−1−1>0，即x−(2x−1)2x−1>0，整理得x−12x−1<0，不等式等价于(2x−1)(x−1)<0，解得12<x<1．6.若不等式ax2+5x−2>0的解集是{x|12<x<2}(1)求不等式ax2−5x+a2−1>0的解集．(2)已知二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<13或x>12}，求关于x的不等式cx2−bx+a>0的解集．答案(1){x|−3<x<12}(2){x|−3<x<−2}解析(1)因为等式ax2+5x−2>0的解集是{x|12<x<2}，所以12和2是一元二次方程ax2+5x−2=0的两根，∴12×2=−2a，解得a=−2，∴不等式ax2−5x+a2−1>0可化为−2x2−5x+3>0，即2x2+5x−3<0，∴(2x−1)(x−3)<0，解得−3<x<12，所以不等式ax2−5x+a2−1>0的解集为{x|−3<x<12}；(2)由(1)知a=−2，∴二次不等式−2x2+bx+c<0的解集为{x|x<13或x>12}，∴13和12是一元二次方程−2x 2+bx +c =0的两根，∴13+12=−b−2，13×12=−c 2，解得b =53，c =−13，所以不等式cx 2−bx +a >0可化为：−13x 2−53x −2>0， 即x 2+5x +6<0，解得−3<x <−2．所以关于x 的不等式cx 2−bx +a >0的解集为{x|−3<x <−2}． 【题型2】求含参一元二次不等式(选学)角度1 按二次项的系数a 的符号分类，即a >0 ,a =0 ,a <0; 解不等式ax 2+(a +2) x +1>0. 解析(不确定不等式对应函数y =ax 2+(a +2) x +1是否是二次函数，分a =0与a ≠0讨论) (1) 当a =0时，不等式为2x +1>0，解集为{x | x >−12} ； (2) 当a ≠0时，∵Δ=(a +2)2−4a =a 2+4>0 (二次函数y =ax 2+(a +2) x +1与x 轴必有两个交点) 解得方程ax 2+(a +2) x +1=0两根x 1=−a−2−√a 2+42a,x 2=−a−2+√a 2+42a；(二次函数的开口方向与不等式的解集有关，分a >0与a <0讨论) (i)当a >0时，解集为{x | x >−a−2+√a 2+42a或x <−a−2−√a 2+42a}；(ii)当a <0时, 解集为{x |−a−2+√a 2+42a<x <−a−2−√a 2+42a}.(注意x 1,x 2的大小)综上，当a =0时，解集为{x | x >−12}； 当a >0时，解集为{x | x >−a−2+√a 2+42a或x <−a−2−√a 2+42a}；当a <0时, 解集为{x |−a−2+√a 2+42a<x <−a−2−√a 2+42a}.角度2 按判别式的符号分类解不等式x 2+ax +4>0. 解析 ∵Δ=a 2−16(此时不确定二次函数y =x 2+ax +4是否与x 轴有两个交点，对判别式进行讨论) ∴①当−4<a <4，即Δ<0时，解集为R ； ②当a =±4，即Δ=0时，解集为{x | x ≠−a2}；③当a>4或a<−4，即Δ>0时，此时两根为x1=−a+√a2−162 ,x2=−a−√a2−162，显然x1>x2，∴不等式的解集为{x | x>−a+√a2−162或x<−a−√a2−162}.综上，当−4<a<4时，解集为R；当a=±4时，解集为{x | x≠−a2}；当a>4或a<−4时，解集为{x | x>−a+√a2−162或x<−a−√a2−162}.角度3 按方程的根大小分类解不等式：x2−(a+1a)x+1<0 (a≠ 0).解析原不等式可化为：(x−a)(x−1a)<0 ,令(x−a)(x−1a )=0，得x1=a ,x2=1a；(因式分解很关键，此时确定y=(x−a)(x−1a)与x轴有交点，x1 ,x2的大小影响不等式解集)∴(i)当x1=x2时，即a=1a⇒a=±1时，解集为ϕ；(ii)当x1<x2时，即a<1a ⇒a<−1 或0<a<1时，解集为{x | a<x<1a}；(iii)当x1>x2时，即a>1a ⇒−1<a<0或a>1时，解集为{x |1a<x<a}.综上，当a=±1时，解集为ϕ；(ii)当a<−1 或0<a<1时，解集为{x | a<x<1a}；(iii)当−1<a<0或a>1时，解集为{x |1a<x<a}.点拨①当求解一元二次不等式时，它是否能够因式分解，若可以就确定对应的二次函数与x轴有交点，就不需要考虑判别式.常见的形式有x2−(a+1)x+a=(x−1)(x−a) ,x2−(a+1a )x+1=(x−a)(x−1a)，ax2+(a+1)x+1=(ax+1)(x+1)等，若判别式Δ是一个完全平方式，它就能做到“较好形式的十字相乘”，当然因式分解也可以用公式法求解；②在求解含参的一元二次不等式，需要严谨，多从二次函数的开口方向、判别式、两根大小的比较三个角度进行分类讨论，利用图像进行分析.【巩固练习】1.解关于x的不等式:12x2−ax−a2<0.解析方程12x2−ax−a2=0∴(4x+a)(3x−a)=0，即方程两根为x1=−a4,x2=a3，(1)当a>0时，x2>x1，不等式的解集是{x∣−a4<x<a3}；(2)当a=0时，x1=x2，不等式的解集是ϕ；(3)当a<0时，x1<x2，不等式的解集{x∣a3<x<−a4}2.解关于x的不等式 x2+2x+a>0．解析方程x2+2x+a=0中△=4−4a=4(1−a)，①当1−a<0即a>1时，不等式的解集是R，②当1−a=0，即a=1时，不等式的解集是{x|x≠−1}，③当1−a>0即a<1时，由x2+2x+a=0解得：x1=−1−√1−a,x2=−1+√1−a，∴a<1时，不等式的解集是{x|x>−1+√1−a或x<−1−√1−a}，综上，a>1时，不等式的解集是R，a=1时，不等式的解集是{x|x≠−1}，a<1时，不等式的解集是{x|x>−1+√1−a或x<−1−√1−a}．3.若a∈R，解关于x的不等式ax2+(a+1)x+1>0．解析当a=0时，x>−1．当a≠0时，a(x+1a)(x+1)>0．。
二次函数与一元二次方程、不等式预习讲义【巩固初中知识】一、一元二次方程1．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的解法（1）配方法：将方程整理成q p x =+2)(，方程的根是 ． 注：2x 系数是1和不是1时配方注意事项；2x 系数是负数时配方注意事项． （2）公式法： )04(2>-=∆ac b ．（3）因式分解：十字相乘法：0)(2=+++pq x q p x ⇒ ． 2．一元二次方程根的判别（24b ac ∆=-） （1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0，方程有一个实数根或者两个相等的实数根； （3）△＜0，方程没有实数根，方程无解． 3．韦达定理（根与系数关系）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x 和2x ，则1x +2x ＝ ； 1x .2x ＝ ． 二、一元二次函数1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
2．二次函数2y ax bx c =++的性质当0a >时，抛物线开口 ，当0a <时，抛物线开口 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ． 3．二次函数解析式求法（1）一般式： （a ，b ，c 为常数，0a ≠），需要三个坐标点； （2）顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠），顶点坐标和其他任一点的坐标； （3）零点式： （a 为常数，且0a ≠），二次函数的零点为1x ，2x ．【衔接高中知识】（1）一元二次不等式的定义：只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式，形如02>++c bx ax （或0<，或0≤，或0≥），其中0≠a ．（2）一元二次不等式的解法步骤：第1步：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式： c bx ax ++2＞0或 c bx ax ++2＜0(a ＞0) 第2步：求出相应的一元二次方程的根．第3步：利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 三个“二次”的关系判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集【考点分类精讲】考点1 解简单的一元二次不等式【考题1】解下列不等式 （1）3x 2－x －4＞0； （2）x 2－x －12≤0；（3）)3)(1(x x --＜x 25-； （4）2)1(3)11(+≥+x x x（5）03422<+-x x（6）042<-+x x【举一反三】1．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为（ ） A ．(0,2) B ．(－2,1) C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D ．(－1,2) 2．不等式2620x x --+≤的解集是（ ） A ．21|32x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．12|23x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或 C ．21|32x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或D ．12{|}23x x -≤≤ 考点2 解一元二次不等式组【考题2】求使2223132xx x x -++-+有意义的x 的取值范围．【举一反三】求使0562086122>-+-+>+-x x x x 有意义的x 的取值范围．考点3 已知一元二次不等式的解集求参数的取值范围【考题3】设关于x 的不等式02<++b ax x 的解集为)2,1(，求不等式012>++ax bx 的解集．【举一反三】1．关于x 的不等式2282a ax x --＜0(a ＞0)的解集为(1x ,2x )，且1521=-x x ，则=a （ ） A ．25 B ．27 C ．415 D ．215 2．已知不等式220ax x c ++<的解集是11,,32⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则不等式220cx x a ++≤的解集是（ ） A ．11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[-2，3]D ．[-3，2]考题4 一元二次不等式的恒成立问题【考题4】已知关于x 的不等式049)1(220822<+++++-m x m mx x x 恒成立，求实数m 的取值范围【举一反三】1．已知不等式042<++ax x 的解集为空集，则a 的取值范围是（ ） A ．44>-<a a 或B ．44<<-aC ．44≥-≤a a 或D ．44≤≤-a2．设关于x 的不等式1)1()1(22----x a x a ＜0的解集是R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜53-或a ＞1B ．53-＜a ＜1C ．53-＜a ≤1 D ．53-＜a ≤1或1-=a 3．定义运算：，若使得成立，则实数a 的取值范围是 ） A ． B ．C ．D ．【难点突破】含参数一元二次不等式的解法【考题5】解关于x 的不等式x 2－(1＋a )x ＋a ＜0（a 为常数）．举一反三：1．关于x 的不等式0)1(2<++-a x a x 的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ） A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]2．若10<<a ，则不等式01)1(2<++-x aa x 的解集是 （ ） A ．}1|{ax a x <<B ．}1|{a x ax << C ．a x x >|{或}1ax <D ．ax x 1|{>或}a x < 3．解关于x 的不等式012<--+ax x ax ，其中（a 为常数）．【题型优化测训】1．不等式0232<+-x x 的解集为（ ）A ．(1，2）B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－2，－1)D ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) 2．若不等式22-+bx ax ＜0的解集为(2-,41)，则ab 等于（ ） A ．－28B ．－26C ．28D ．263．定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x －b )>0的解集是(2,3)，则a ＋b ＝（ ） A ．1B ．2C ．4D ．84．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(－2,2] B ．(－2,2) C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2]5．已知不等式20ax bx c ++>的解集为（-4,1），则不等式2(1)(3)0b x a x c +-++>的解集为（ ） A ．4(1,)3- B ．4(,1)(,)3-∞-⋃+∞ C ．4(,1)3-D ．4(,)(1,)3-∞-⋃+∞ 6．关于x 的不等式()()224210a x a x -++-≥的解集是R ，则实数a 的取值范围为（ ）A ． )56,2(-B ．)56,2[-C ．}2{-D ．∅7．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. （1）解关于a 的不等式f (1)>0；（2）若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a 、b 的值．（选做题）不等式2x －1＞m (x 2－1)对一切满足|m |≤2的值均成立，则x 的范围为______________．。
二次函数与1元二次方程二次函数与一元二次方程一、二次函数的概念1. 定义- 一般地，形如y = ax^2+bx + c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
其中x是自变量，a、b、c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b = 3，c=-1。
二、二次函数的图象1. 二次函数y = ax^2+bx + c（a≠0）的图象是一条抛物线- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
- 例如y=x^2，a = 1>0，其图象开口向上；y=-x^2，a=- 1<0，其图象开口向下。
2. 对称轴与顶点坐标- 对于二次函数y = ax^2+bx + c（a≠0），其对称轴公式为x =-(b)/(2a)。
- 顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。
- 例如对于二次函数y = 2x^2-4x + 1，a = 2，b=-4，c = 1。
对称轴为x =-(-4)/(2×2)=1，顶点纵坐标y=frac{4×2×1-(-4)^2}{4×2}=(8 - 16)/(8)=-1，顶点坐标为(1,-1)。
三、一元二次方程的概念1. 定义- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
- 一般形式为ax^2+bx + c = 0（a，b，c是常数，a≠0）。
例如x^2+2x - 3 = 0，这里a = 1，b = 2，c=-3。
四、二次函数与一元二次方程的关系1. 二次函数y = ax^2+bx + c与一元二次方程ax^2+bx + c = 0（a≠0）的联系- 一元二次方程ax^2+bx + c = 0的解就是二次函数y = ax^2+bx + c的图象与x轴交点的横坐标。
- 当b^2-4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，二次函数的图象与x轴有两个交点。
二次函数与一元二次方程、不等式含答案知识梳理1、一元二次不等式的概念（1）只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式．如：不等式2x2－x＋1＞0是一元二次不等式．（2）使一元二次不等式成立的未知数的取值范围叫一元二次不等式的解集．（3）一元二次不等式经过变形，可化成以下两种标准形式：①ax2＋bx＋c＞0(a＞0)；②ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．设二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac，则：（1）Δ＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的解x1，x2，设x1＜x2，则不等式①的解集为{x|x<x1或x>x2}，不等式②的解集为{x|x1<x<x2}．（2）Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的解，即x1＝x2，此时不等式①的解集为{x|x≠x1}，不等式②的解集为∅．（3）Δ＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0无实数解，不等式①的解集为R，不等式②的解集为∅．2、三个“二次”二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集三者之间的关系(如下表)：Δ＝b2－4ac 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0解的情况ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集Δ＞0有两相异实根x1，x2{x|x＞x2，或x＜x1} {x|x1＜x＜x2} Δ＝0有两相等实根x0{x|x≠x0} ∅Δ＜0没有实根 R ∅3、含参数的一元二次不等式的解法（1）两边同除或同乘含参的式子时，应讨论含参的式子的符号．如：当a ＞0时，关于x 不等式ax ＞a 2的解是x ＞a ；当a ＜0时，关于x 不等式ax ＞a 2的解是x ＜a ．（2）解含参数的一元二次不等式时，先求相应二次方程的根，比较根的大小后，再根据相应二次函数的图象写出不等式的解集．如：当a ＞0时，关于x 不等式x 2－ax ＞0的解是x ＜0或x ＞a ；当a ＜0时，关于x 不等式x 2－ax ＞0的解是x ＜a 或x ＞0．知识典例题型一 一元二次不等式的求解例1 不等式23210x x +-≤的解集是（ ） A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,1,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【答案】A巩固练习1、不等式290x x -+>的解集是（ ） A ．{0x x <或}9x > B ．{9x x <-或}0x > C ．{}09x x << D ．{}90x x -<<【答案】C2、不等式2320x x -++>的解集为____________． 【答案】2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭题型二 分式不等式求解例 2 解不等式2x －53－x＞0解析：原不等式可化为： 2x －5x －3＜0， 即(2x －5)(x －3)＜0. ∴x ∈⎝⎛⎭⎫52，3，∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫52，3巩固练习求下列不等式的解集：(1)x ＋21－x ＜0 (2)x ＋1x －2≤2.解析：(1)由x ＋21－x ＜0，得x ＋2x －1＞0，此不等式等价于(x ＋2)(x －1)＞0， ∴原不等式的解集为{x |x ＜－2或x ＞1}． (2)解法一：移项得x ＋1x －2－2≤0，左边通分并化简有－x ＋5x －2≤0，即x －5x －2≥0，它的同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －5)≥0，x －2≠0，∴x ＜2或x ≥5，∴原不等式的解集为{x |x ＜2或x ≥5}． 题型三 带参数的一元二次不等式例 3 解关于x 的一元二次不等式()2330x m x m +-->【解析】利用十字相乘法进行化简：03>+-))((m x x （1）当3>-m 时，即3-<m ，解为}{3<->x m x 或 （2）当3=-m 时，即3-=m ，解为R（3）当3<-m 时，即3->m ，解为}{m x x -<>或3巩固练习1、解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＜0.分析：求出一元二次方程的两根2a ，－a ，比较两根的大小． 解析：方程x 2－ax －2a 2＝0的判别式 Δ＝a 2＋8a 2＝9a 2≥0， 得方程两根x 1＝2a ，x 2＝－a ， (1)若a ＞0，则－a ＜x ＜2a ，此时不等式的解集为{x |－a ＜x ＜2a }； (2)若a ＜0，则2a ＜x ＜－a ， 此时不等式的解集为{x |2a ＜x ＜－a }； (3)若a ＝0，则原不等式即为x 2＜0， 此时解集为∅.综上所述，原不等式的解集为 当a ＞0时，{x |－a ＜x ＜2a }； 当a ＜0时，{x |2a ＜x ＜－a }； 当a ＝0时，∅.2、解关于x 的不等式22420x ax a +-<. 【答案】答案不唯一，具体见解析.题型四 二次项系数为参数的一元二次不等式例 4 设m R ∈，解关于x 的不等式22230m x mx +-<． 【答案】详见解析巩固练习1、若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<的解集为R ，则a 的取值范围是（ ） A ．2a ≤ B ．22a -<≤C ．22a -<<D ．2a <【答案】B2、解关于x 的不等式：ax 2－2(a ＋1)x ＋4＜0.解析：(1)当a ＝0时，原不等式的解集为： {x |x ＞2}．(2)当a ≠0时，原不等式化为：a ⎝⎛⎭⎫x －2a (x －2)＜0， ①当a ＜0时，原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －2a (x －2)＞0 ，此时原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜2a 或x ＞2；②当0＜a ＜1时，2＜2a，此时原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2＜x ＜2a ；③当a ＞1时，2a＜2，此时原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a ＜x ＜2； ④当a ＝1时，原不等式的解集为∅.题型五 参数求解例 5 一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则+a b 的值是（ ）A ．10B ．-10C ．14D ．-14【答案】D巩固练习1、已知不等式20ax bx c ++>的解集为1|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则不等式20cx bx a ++<的解为（ ） A ．1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{3x x <-或12x ⎫>⎬⎭ C ．1|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{2x x ≤-或13x ⎫>⎬⎭【答案】A2、已知不等式20x bx c ++>的解集为{}21x x x <或． （1）求b 和c 的值；（2）求不等式210cx bx ++≤的解集. 【答案】(1)3b =-，2c =；(2)1|12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤题型五 恒成立问题例 5 若关于x 的不等式220x x a ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围是_____. 【答案】()1,+∞巩固练习1、已知关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________. 【答案】(]3,0-2、对任意的实数x ，不等式()11ax x -<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(),0-∞ B ．[)4,0-C ．(]4,0-D ．(],4-∞-【答案】C巩固提升1、不等式25140x x -++≤的解集为（ ）A ．{7x x ≥或}2x ≤ B ．{}27x x ≤≤ C ．{7x x ≥或}2x ≤- D ．{}27x x -≤≤【答案】C2、不等式()43x x -<的解集为（ ） A ．{|1x x <或}3x > B ．{0x x <或}4x > C ．{}13x x << D ．{}04x x <<【答案】A3、不等式220ax bx ++>的解集是11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则-a b 的值为（ ）A ．14B ．-14C ．10D ．-10【答案】D4、不等式13()()022≥x x +-的解集是（ ）A ．1{|2x x <-或3}2x > B ．1{|2x x ≤-或3}2x ≥C ．13{|}22x x -≤≤D ．13{|}22x x -<<【答案】C5、不等式23100x x --<的解集是（ ） A ．()2,5- B ．()5,2- C ．()(),52,-∞-+∞ D ．()(),25,-∞-+∞【答案】A6、已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C。
二次函数与一元二次方程
1•通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.
2•能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集.
3•根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围. 、情境导入
如图，是二次函数y = ax2+ bx + c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2+ bx + c = 0的解集吗？不等式ax2+ bx + c<0的解集呢？
二、合作探究
探究点一：二次函数与一元二次方程
【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断
F列函数的图象与x只有一个交点的
A. y= x2+ 2x —3
B. y = x2+ 2x + 3
C. y = X2—2x + 3 D . y= x2—2x + 1
解析：选项 A 中b2—4ac= 22—4X1 x(—3) = 16 >0 ,选项B 中b2—4ac = 22—4x i x 3= —8 v 0,选项C 中b2—4 ac= (—2)2—4 x i x3 = —8 v 0,选项D 中b2—4 ac = (—2)2—
4x i x i = 0 ,所以选项D的函数图象与X轴只有一个交点，故选 D.
【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴
如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为___________
解析：•••点(1 , 0)与(3 , 0)是一对对称点，其对称中心是(2 , 0) ,•••对称轴的方程是x =
2.
方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程.
【类型三】利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围
1
若函数y = mx2+ （m + 2）xm + 1 的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）
A. 0 B . 0 或2
C. 2 或—2
D. 0, 2 或—2
解析：若m丸，二次函数与x轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式
1 为零来求解；若m = 0,原函数是一次函数，图象与x轴也有一个交点.由（m + 2）2—4m$
m + 1）= 0,解得m = 2或一2，当m = 0时原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点，
所以当m = 0, 2或一2时，图象与x轴只有一个交点.
方法总结：二次函数y = ax2+ bx + c，当b2—4ac >0时，图象与x轴有两个交点；当
b2—4ac= 0时，图象与x轴有一个交点；当b2—4ac v0时，图象与x轴没有交点.
【类型四】利用抛物线与x轴交点坐标确定一元二次方程的解
小兰画了一个函数y = x2+ ax + b的图象如图，则关于x的方程x2+ ax + b = 0的解是（）
A •无解
B.x = 1
C.x =—4
D.x=— 1 或x= 4
解析：T二次函数y= x2+ ax + b的图象与x轴交于（一1, 0）和（4, 0），即当x=—1或
4 时，x2+ ax + b = 0 ,「•关于x 的方程x2+ ax+ b = 0 的解为X1 =—1 , X2= 4，故选D.
方法总结：本题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导
致无法求解.
探究点二：二次函数y = ax2+ bx + c中的不等关系
【类型一】利用抛物线解一元二次不等式
抛物线y = ax2+ bx + c(a v 0)如图所示，则关于x的不等式ax2+ bx + c>0的解集是（）
A.x v 2
B.x>- 3
C.—3 v x v 1
D. x v—3 或x> 1
解析：观察图象，可知当一 3 v x v 1时，抛物线在x轴上方，此时y > 0,艮卩ax2+ bx
+ c>0,「.关于x的不等式ax2+ bx + c>0的解集是—3v x v 1.故选C.
方法总结：抛物线y = ax2+ bx + c在x轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的x 的所有值就是一元二次不等式ax2+ bx + c> 0的解集；在x轴下方部分的点的纵坐标均为
负，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2+ bx + c v 0的解集.
【类型二】确定抛物线相应位置的自变量的取值范围
二次函数y = ax2+ bx + c（a丸）的图象如图所示，则函数值y> 0时，x的取值范围是（）
A.x v—1
B.x>3
C.—1 v x v 3
D.x v — 1 或x> 3
解析：根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为(—1, 0)且其对称轴为x= 1，则抛物
线与x轴的另一个交点为(3 , 0).当y> 0时，函数的图象在x轴的上方，由左边一段图象可知x v —1，由右边一段图象可知x>3•因此，x v—1或x>3•故选D.
方法总结：利用数形结合思想来求解，抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键.
三、板书设计
强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一教学过程中,
元二次方程的根的情况.体会知识间的相互转化和相互联系。
