《1.4.2 微积分基本定理》教学案2

微积分基本定理【学习目标】1．理解微积分基本定理的含义。

2．能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。

【要点梳理】要点一、微积分基本定理的引入我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。

我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

（1）导数和定积分的直观关系：如下图：一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s （t ），由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度v （t ）=s ＇（t ）。

设这个物体在时间段[a ，b]内的位移为s ，你能分别用 s （t ）、v （t ）表示s 吗？一方面，这段路程可以通过位置函数S （t ）在[a ，b]上的增量s （b ）－s （a ）来表达， 即 s=s （b ）－s （a ）。

另一方面，这段路程还可以通过速度函数v （t ）表示为 ()d bav t t ⎰,即 s =()d bav t t ⎰。

所以有： ()d bav t t =⎰s （b ）－s （a ）（2）导数和定积分的直观关系的推证：上述结论可以利用定积分的方法来推证，过程如下：如右图：用分点a=t 0＜t 1＜…＜t i －1＜t i ＜…＜t n =b ， 将区间[a ，b]等分成n 个小区间：[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，…，[t i ―1，t i ]，…，[t n ―1，t n ]， 每个小区间的长度均为1i i b at t t n--∆=-=。

当Δt 很小时，在[t i ―1，t i ]上，v （t ）的变化很小，可以认为物体近似地以速度v （t i ―1）做匀速运动，物体所做的位移111()'()'()i i i i i b as h v t t s t t s t n----∆≈=∆=∆=。

② 从几何意义上看，设曲线s=s （t ）上与t i ―1对应的点为P ，PD 是P 点处的切线，由导数的几何意义知，切线PD 的斜率等于s ＇（t i ―1），于是1tan '()i i i s h DPC t s t t -∆≈=∠⋅∆=⋅∆。

1. 教学目标1、能说出微积分基本定理。

2、能运用微积分基本定理计算简单的定积分。

3、能掌握微积分基本定理的应用。

4、会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分。

2. 教学重点/难点教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

教学难点：微积分基本定理以及利用定理求复合函数定积分的计算。

3. 教学用具多媒体、板书4. 标签一、复习引入【师】同学们，我们来复习一下上节课的内容，请同学们回答以下几个问题:1.我们如何确定曲线上一点处切线的斜率呢？2.如何求曲线下方的面积？3.用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程是什么呢？求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法【板书】用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：分割I以百代曲］—►，作和匚事I逼近二、新知介绍【1】微积分基本定理【师】同学们刚刚接触到积分，那么大家通过阅读课本来找出什么是微积分基本定理呢？【生】讨论回答【师】如果£(媒)是在区间回句上的壁画数，并且F1■⑶=的，则J：fG)dx=F(b)-F(江记！F(b)-F(^)=F㈤|＞贝山『欧)收=Fg|：=F(b)—F⑷/值)是F㈤的导函数，F(＞茂处)的原函数.【板书】1.f(x)dx=F(b3-7(a)记：F(b)-F(a)=F(x)|^【板演/PPT】例1：计算下列定积分？(1)J：：dx(2)/；2xdx【师】同学们在练习本上先试着算一下，看看能不能计算出这两个定积分的值？【生】思考讨论【师】请大家注意，一定要按照定积分基本定理来做呢？(然后，演板)2、知识探究(1)微积分基本定理求定积分的一种基本方法，其关键是求出被积函数的原函数，特别注意:y=抑原函数是y=In(x)（2）求定积分时要注意积分变量，有时在被积函数中含有参数，但它不一定是积分变量。

（3）定积分的值可以是任意实数。

例2：计算定积分【师】同学们根据向量基本定理然后仔细的想一下，计算出结果【生】思考讨论【师】请大家注意，一定要按照向量的定义来做哦。

2
π 2 0
π π ＝1＋2－2＋(4－0)＝7－2.
2 2 2 2 1 2 (2) |x －1|dx＝ (1－x )dx＋ (x －1)dx
0
1 0
＝(12＋e)－(02＋e0)＝1＋e－1
＝e.
【答案】 C
2 2 (2)① (x ＋2x＋3)dx

1
2 2 2 2 ＝ x dx＋ 2xdx＋ 3dx
1 1 1
x3 25 2 2 2 2 ＝ 3 1 ＋x 1 ＋3x1 ＝ 3 . 1－cos x ②sin 2＝ ， 2
[ 再练一题]
1 1．(1)若 (kx＋1)dx＝2，则 k 的值为(

)
0
A．1 C．3
2 1
B．2 D．4
x－1 (2) x2 dx＝________. 【导学号：05410032】
【解析】
2 1
(1)
1 0
1 2 1 (kx＋1)dx＝2kx ＋x 0
(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连 续函数．( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
1 2．若 a＝ (x－2)dx，则被积函数的原函数为(
0
)
A．f(x)＝x－2 1 2 C．f(x)＝2x －2x＋C
B．f(x)＝x－2＋C D．f(x)＝x2－2x
b a
f(x)dx＝____________________.
其中 F(x)叫做 f(x)的一个__________． 由于[F(x)＋c]′＝f(x)， F(x)＋c 也是 f(x) 的原函数，其中 c 为常数． 一般地，原函数在[a，b]上的改变量 F(b)－F(a)简记作 F(x) .因此，微积分 基本定理可以写成形式：____________________.

������(������)d������ = ������ (������)
|������ = ������(������) −
������
|������
������
名师点拨1.微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系,
同时也提供了计算定积分的一种有效方法.但当运用公式不能直接 求积分时,需考虑用定积分的几何意义来解决.
������+1 ������
= ������ +
=
1 ������ 2
+ ������
-
1 2,
|1
4
题型一
题型二
题型三
(3)∵cos ������- 6 = 2 cos x+ 2 sin x,
π
π
3
1
∴ =
π cos ������- d������ = π 6
3
π
π 3 π 1 π 3 π cos xdx+ π sin xdx= sin ������ π 2 2 2 3 3 3
������
2.利用微积分基本定理求定积分
������(������)d������ 的关键是找出使
������
F'(x)=f(x)的函数F(x).通常,我们可以运用 基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出 F(x). 3.求导运算与求原函数运算互为逆运算.
【做一做 1】 下列各式正确的是( A. B. C. D.
������
其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.由于[F(x)+c]'=f(x),F(x)+c也是f(x) 的原函数,其中c为常数.
一般地,原函数在[a,b]上的改变量 F(b)-F(a)简记作 F(x) . 因此, 微积分基本定理可以写成形式: ������ (������).