2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）
一 填空题（每题4分，共32分） 1.0
sin sin(sin )
lim
sin x x x x
→-=
2.2
2
ln(1)
1x x y x
++=
+，/y =
3.2cos y x =，()()n y x =
4.2
1x
x e dx x
-=? 5.4
2
1
1dx x
+∞=-?
6.圆2
2
2
2220
42219
x y z x y z x y z +-+=??
?
++--+≤??的面积为
7.(2,)x
z f x y y
=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz
==
8.级数1
1(1)!
2!
n
n
n n n ∞
=+-∑
的和为 .
二.（10分）
设()f x 在[],a b 上连续，且()()b
b
a a
b f x dx xf x dx =
??，求证：存在点(),a b ξ∈，使得
()0a
f x dx ξ
=?.
三．（10分）已知正方体1111ABC D A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面A B C D 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.
四（12分）已知A B C D 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕A D 旋转一周所得旋转体的体积最大。
五（12分）求二重积分()22cos sin D
x y dxdy +??，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥
六、（12分）求()()21x
x y e dx x y dy Γ
++++?，其中Γ为曲线2
2
201212
x
x x y x
x ?≤≤?+=≤≤?从
()0,0O 到()1,1A -.
七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-
()2,3,,n = 记1n
n
x a =
，判别级数1
n n x ∞
=∑的敛散性.
2008年江苏省普通高等学校非理科专业
一、填空题（每小题5分，共40分）
1）___,____a b ==时，
2lim
arctan .
2
x ax x x bx x
π→∞
+=-
-
2）
1
1
lim
__________.
(3)n
n k k k →∞
==+∑
3）设()(1)(2)(100),f x x x x x =--- 则(100)_______.f '= 4）___,____a b ==时，2
()1x f x ax x bx
=++
+在0x →时关于x 的无穷小的阶数最
高.
5）23
20
sin cos _______.
x xdx π
?=?
6）
22
2
1
_______.
(1)
x
dx x +∞
=+?
7）设
,x
z x y =
-则(2,1)_________.
n
n
z
y
?=?
8）设D 为
,0,1
y x x y ===所围区域，则
arctan _________.
D
ydxdy =??
二、（8分） 设数列{}n x 为：111,6(1,2)
n n x x x n +==
+= ，求证：数列
{}n x 收
敛，并求其极限
三、（8分） 设函数()f x 在[,]a b 上连续(0),
()0,
b a
a f x dx >=?
求证：存在(,),a b ξ∈使
得()().
a
f x dx f ξ
ξξ=?
四、（8分） 将xy
平面上的曲线
2
2
2
()(0)
x b y a a b -+=<<绕直线3x b =旋转一周
得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积.
五、（8分） 设
2
22
42
,(,)(0,0);(,)0,(,)(0,0).
x y x y x y f x y x y
x y ?++≠?=+??=? 讨论(,)f x y 在(0,0)处
的连续性、可偏导性、可微性.
六、（10分） 已知曲面 222
441x y z +-= 与平面 0x y z +-=的交线在xy 平面上的投影为一椭圆，求此椭圆面积.
七、（8分） 求2
4
01
lim sin().
t t
x
t dx y dy t +
→?
? 八、（10分） 求
22
1,
D
x y dxdy +-??
这里
2
2
:2,0.
D x y x y x +≤
≤≤
2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）
一.填空（每题5分，共40分） 1.()3
x f x a =，()()()4
1lim
ln 12n f f f n n
→∞=????
2. ()
(
)
2
5
1lim 1x tx x e
dt x
-→-=?
3.
()
12
2
arctan 1x
dx x =
+?
4.已知点()4,0,0,(0,2,0),(0,0,2)A B C --,O 为坐标原点，则四面体O A B C 的内接球面方程为
5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则()
,0e dz
=
6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，
()1,0f -为其极大值.
7.设Γ是sin (0)y a x a =>上从点()0,0到(),0π的一段曲线，a = 时，曲线积分()()
2
22y x y dx xy e dy Γ
+++?取最大值.
8.级数()
1
1
11n p
n n n
n
∞
+=+--∑条件收敛时，常数p 的取值范围是
二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅
通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200-公里/小时3
三.（10分）曲线Γ的极坐标方程为1cos 02πρθθ??
=+≤≤ ?
?
?
，求该曲线在4
πθ=所对应的点的切线L 的直角坐标方程，并求切线L 与x 轴围成图形的面积. 四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的有界函数，()()1f x f x '-≤， 求证：()()1.,f x x ≤∈-∞+∞
五（12分）本科一级考生做：设锥面22233(0)z x y z =+≥被平面340x z -+=截下的有限部分为∑.（1）求曲面∑的面积；（2）用薄铁片制作∑的模型，
(2,0,23),(1,0,
3)A B -为∑
上的两点，O 为原点，将∑沿线段O B 剪开并展成平面
图形D ，以O A 方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D 的边界的极坐标方程. 本科二级考生做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为
∑
.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑
上的三点，将∑沿线段B C 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积.
六（10分）曲线220x z y ?=?=?
绕z 轴旋转一周生成的曲面与1,2z z ==所围成的立体区域
记为Ω， 本科一级考生做2
2
2
1dxdydz x y z
Ω
++???
本科二级考生做()222x y z dxdydz Ω
++???
七（10分）本科一级考生做1）设幂级数21
n n n a x ∞
=∑的收敛域为[]1,1-，求证幂级数
1
n
n n a x
n
∞
=∑
的收敛域也为[]1,1-；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；
若不正确举一反例说明.
本科二级考生做：求幂级数()21
12
n
n
n n x ∞
=+∑
的收敛域与和函数
2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）
一.填空（每题5分，共40分）
1. ()f x 是周期为π的奇函数，且在0x =处有定义，当0,
2x π?
?
∈ ??
?
时，
()sin cos 2f x x x =-+，求当,2x ππ??
∈ ?
??
时，()f x 的表达式 . 2. ()2
tan 2
lim sin x
x x π
→
=
3. 2
2
22lim 1
4
n n
n n
n n n n →∞
?
?+
++
=
?
+++??
4. ()()2ln 1,2f x x x n =->时()()0n
f = 5.
()
()
2
1x
x
e
x dx x e -=-?
6.()112
n
n n
n ∞
==+∑
.
7.设(),f x y 可微，()()()1,22,1,23,1,24x y f f f ''===，()()(),,2x f x f x x ?=， 则()1?'= . 8. 设
()()010
x
x f x g x ≤≤?==?
?其他
，D 为,x y -∞<<+∞-∞<<+∞，则
()()D
f y f x y dxdy +=?? .
二．（10分）设()f x 在[],a b 上连续，()f x 在(),a b 内可导，(),f a a =，
()()2
2
1
2
b a
f
x dx b a
=
-?
,求证： (),a b 内至少存在一点ξ使得()()1f f ξξξ'=-+
三.（10分）设22:4,,24D y x y x x y -≤≥≤+≤，在D 的边界y x =上任取点P ,设P 到
原点距离为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q 1）试将,P Q 的距离PQ 表示为t 的函数； 2）求D 饶y x =旋转一周的旋转体的体积
四（10分）已知点(1,0,1),(3,1,2)P Q -,在平面212x y z -+=上求一点M ，使
PM M Q +最小
五（10分）求幂级数()
(
)
1
132n
n
n
n x
n ∞
=+-∑
的收敛域。
六（10分）设(),f x y 可微，()()()1,22,1,22,1,23x y f f f ''===，
()()()(),2,2,2x f
f x x f x x ?=，求()1?'.
七（10分）求二次积分()2
22
2
1d e
d ππ
ρ
θθ
θ
ρ
-?
?
2002年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）
一.填空（每题5分，共40分） 1.()0
lim
0x
x
k x e e c c x
→-=≠，则k =
，c =
2. 设()f x 在[)1,+∞上可导，下列结论成立的是 A. 若()lim 0x f x →+∞'=，则()f x 在[)1,+∞上有界
B. 若()lim 0x f x →+∞'≠，则()f x 在[)1,+∞上无界
C. 若()lim 1x f x →+∞
'=，则()f x 在[)1,+∞上无界
3. 设由()1y e x y x x -+-=+确定()y y x =，则()0y ''=
4.()arcsin arccos x x dx -=?
5. 曲线22
22
2z x y x y y
?=+?+=?，在点()1,1,2的切线的参数方程为 6.设(),sin x
y z f g e y x ??=+
???
，f 有二阶连续导数，g 有二阶连续偏导数，
则
2
z x y
?=??
7. 交换二次积分的次序()2
1
30
,x x
dx f x y dy -=??
.
8.幂级数1
1112
n
n x n ∞
=??+
++
??
?
∑ 的收敛域
二.（8分）设()f x 在[)0,+∞上连续，单调减少，0a b <<， 求证0
()()b
a
a f x dx
b f x dx ≤??
三.（8分）设()f x 在[],a b 上连续，()()0b
b x
a
a
f x dx f x e dx =
=??
，
求证: ()f x 在(),a b 内至少存在两个零点. 四.（8分）求直线
12
11
x y z -==-绕y 轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面与
0,2y y ==所包围的立体的体积.
五.（9分）设k 为常数，试判断级数()
()
2
21ln n
k n n n ∞
=-∑的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？
六.（9分）设
()()()()()
22
1arctan ,0,0,0,0,0y x y x y f x y x y ?
≠?+=?
?
=?
讨论(),f x y 在点()0,0处连
续性，可偏导性？可微性.
七.（9分）设()f u 在0u =可导，()22200,:2f x y z tz =Ω++≤， 求()2
22
5
1lim
t f x
y z
dxdydz t
+
→Ω
++???
八.（9
分）设曲线AB 的极坐标方程为1cos 22π
πρθθ??=--≤≤ ???
，一质点P
在力F
作
用下沿曲线
AB
从()0,1A -运动到()0,1B ，
力F
的大小等于P 到定点()3,4M 的距离，其方向垂直于线段M P ，且与y 轴正向的夹角为锐角，求力F
对质点P 做得功.
2000年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）
一.填空（每题3分，共15分） . 1.设()f x x x =
+，则()f f x =???? 2. 1
lim
ln 1
x
x x x x x →-=-+
3. 已知()21d
f x dx x ??=
?
?，则()f x '=
4.()
14
4
5
1x
dx x
=
+?
5..设(),z z x y =由方程,0y z F x x ??
= ???
确定（F 为任意可微函数），
则z z x
y
x y
??+=??
二选择题（每题3分，共15分）
1.对于函数1
1
21
21
x x y -=
+，点0x =是（ ）
A. 连续点；
B. 第一类间断点；
C. 第二类间断点；D 可去间断点
2.已知函数()y f x =对一切x 满足()()2
31x
xf x x f x e -''+=-????
，若()000(0)f x x '=≠，则（ ）
A. ()0f x 是()f x 的极大值；
B. ()()00,x f x 是曲线()y f x =的拐点；
C. ()0f x 是()f x 的极小值；
D ()0f x 不是()f x 的极值，()()00,x f x 也不是曲线()y f x =的拐点 3. 2
3
3
2
3lim
2x x x x x
→-∞+-（ ）
A. 等于1；
B. 等于0；
C. 等于1-；D 不存在，但也不是+∞ 4.若
()
()
00
00,,,x y x y f f x
y
????都存在，则(),f x y 在()00,x y
A. 极限存在，但不一定连续；
B. 极限存在且连续；
C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续
5.设α为常数，则级数2
1
sin 1n n n
n α∞
=??
-
??
?
∑ A. 绝对收敛 B. 条件收敛； C. 发散； D 收敛性与α取值有关 三（6分）求1
11
lim 1
2
n n n n n →∞
??+
++
?+++??
四（6分）已知函数
()y y x =由参数方程(1)0
10
y
x t t te y +-=??++=?确定，求
2
2
t d y dx
=
五（6分）设()(),f x g x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导且对于(),a b 一切x 均有
()()()()0f x g x f x g x ''-≠，证明若()f x 在(),a b 内有两个零点，则()g x 至少存在
一个介于这两个零点之间的零点。
六（6分）设()10110
1x x x
f x x e ?≥??+=?
?
，求()2
1f x dx -?。
七（6分）已知z uv =，cos ,sin u u x e v y e v ==，求
,
z z
x y
???? 八（8分）过抛物线2y x =上一点()2,a a 作切线，问a 为何值时所作的切线与抛物线
2
41y x x =-+-所围成的平面图形面积最小。
九（8分）求级数()1
1n
n n x ∞
=-∑的收敛域及和函数.
十（8分）设()f x 在[],a b 上连续且大于零，利用二重积分证明不等式：
()()
()2
1b b a
a
f x dx dx b a f x ≥-?
?
十一（8分）计算曲线积分()()4
3
2
2
4
465L
I x
xy dx x y y
dy =
++-?，其中L 为曲线
()2
135
y x =-
-上点(2,1)A --沿逆时针方向到该曲线上点()3,0B 的一段曲线。
十二（8分）计算曲面积分()2421zxdydz zydzdx z dxdy ∑
-+-??，其中∑为曲面
(0)y z e y a =≤≤绕z
轴旋转一周所成曲面之下侧
2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级） 一．填空题（每题5分，共40分） 1.a =，b =时，2lim arctan 2 x ax x x bx x p +=--2. a =，b =时()ln(1)1x f x ax bx =-++在0x ?时关 于x 的无穷小的阶数最高。 3.2420 sin cos x xdx p =ò4.通过点()1,1,1-与直线,2,2x t y z t ===+的平面方程为 5.设222,x z x y =-则(2,1)n n z y ??= 6.设D 为,0,1y x x y ===围成区域，则 arctan D ydxdy=蝌7.设G 为222(0)x y x y +=?上从(0,0)O 到(2,0)A 的一段弧，则 ()()x x ye x dx e xy dy G ++-ò= 8.幂级数1 n n nx ￥ =?的和函数为，收敛域为。二．（8分）设数列{}n x 为1223,33,,33(1,2,)n n x x x x n +==-=-+=L L 证明：数列{}n x 收敛，并求其极限 三．（8分）设()f x 在[],a b 上具有连续的导数，求证 / 1 max ()()()b b a x b a a f x f x dx f x dx b a ＃?-蝌四．（8分）1）证明曲面:(cos )cos ,sin ,(cos )sin x b a y a z b a q j q q j S =+==+()02,02q p j p ＃＃()0a b <<为旋转曲面 2）求旋转曲面S 所围成立体的体积 五．（10分）函数(,)u x y 具有连续的二阶偏导数，算子 A 定义为
江苏省第十九届初中数学竞赛试题 （初三年级）第二试 班级_________姓名_________成绩_________ 确的，请将正确答案的英文字母填在题后圆括号内。 1、已知整数,x y =，那么整数对(,)x y 的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 2、方程222x x x -=的正根的个数是 （ ） （A ） 0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3、在直角坐标系中，已知两点A (8,3)-、B (4,5)-以及动点C (0,)n 、D (,0)m ， 则当四边形ABCD 的周长最小时，比值 m n 为 （ ） （A ）23- （B ）2- （C ）32- （D ）3- 4、设一个三角形的三边长为正整数,,a n b ，其中b n a ≤≤。则对于给定的边长n ，所有这样的三角形的个数是 （ ） （A ）n （B ）1n + （C ）2n n + （D ）1(1)2 n n + 5、甲、乙、丙、丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中靶环数最高为10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为 （ ） （A ） 0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 6、空间6个点（任意三点不共线）两两连线，用红、蓝两色染这些线段，其中A 点连出的线段都是红色的，以这6个点为顶点的三角形中，三边同色的三角形至少有 （ ） （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个
二、填空题（每题7分，共56分） 7、已知1222 S x x x =--++，且12x -≤≤，则S 的最大值与最小值的差是 。 8、已知两个整数a 、b ，满足010b a <<<，且9a a b +是整数， 那么数对(,)a b 有 个。 9、方程22229129x y x y xy ++-=的非负整数解是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 10、密码的使用对现代社会是极其重要的。有一种密码的明文（真实文），其中的字母按计算机键盘顺序（自左至右、自上而下）与26个自然数1，2，3，…，Q W E R T Y U I O P A S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C V B N M 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 x '。例如，有一种译码方法按照以下变换实现： x x '→，其中x '是(32)x +被26除所得的余数与1之和(126)x ≤≤。 则1x =时，6x '=，即明文Q 译为密文Y ； 10x =时，7x '=，即明文P 译为密文U 。 现有某变换，将明文字母对应的自然数x 变换为密文字母相应的自然数x '： x x '→，x '为(3)x b +被26除所得余数与1之和(126,126)x b ≤≤≤≤。 已知运用此变换，明文H 译为密文T ，则明文DAY 译成密文为＿＿＿＿。 11、如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上一点，60AOC ∠=，点P 在AB 的延长线上，且3PB BO cm ==。连结PC 交半圆于点D ，过P 作PE ⊥PA 交AD 的延长线于点E ，则PE ＝ cm 。 A E P C D 第11题
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看 一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与 两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=， ? -=10 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， 2．设)(x f 是连续函数，且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f ,则 =)(x f ____________. 解:令?=2 0d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4=A 。因此3 10 3)(2- =x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是 __________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面 2 2 22-+=y x z 在 ) ,(00y x 处的法向量为 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平 行，因此，由 x z x =， y z y 2=知
高等数学竞赛 一、 填空题 ⒈ 若 5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则a = ，b = ． ⒉ 设2(1)()lim 1 n n x f x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = ． ⒊ 曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 ． ⒋ 已知x x xe e f -=')(，且f (1) = 0, 则f (x ) = ． ⒌ 设函数 ()y x 由参数方程 33 31 31 x t t y t t ?=++??=-+?? 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值 范围为 ． ⒍ 设 1 ln arctan 22+-=x x x e e e y ，则==1 x dx dy ． ⒎若 0→x 时，1)1(4 1 2 --ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= . ⒏ 设?? ???≥-<≤-=21,12121,)(2 x x xe x f x ，则=-?221)1(dx x f ． ⒐ 由定积分的定义知，和式极限=+∑=∞→n k n k n n 12 2 lim ． ⒑ 1+∞=? ． 二、 单项选择题 11．把+ →0 x 时的无穷小量dt t dt t dt t x x x ???===0 3 2 sin ,tan ,cos 2 γβα，使排在后面的 是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 【 】 (A) γ βα,,. (B) βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,. 12．设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得 【 】 (A) f(x)在（0，)δ内单调增加. （B ）f(x)在)0,(δ-内单调减少. （C ）对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) . 13 . 设()(1)f x x x =-, 则 【 】 （A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点. 14 . lim (1)n n →∞+等于 【 】 （A ） 2 21 ln xdx ?. （B ）21 2ln xdx ?. （C ）2 1 2ln(1)x dx +?. （D ）2 21 ln (1)x dx +? 15 . 函数 2 )2)(1() 2sin(||)(---= x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. 【 】 (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3).
江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛 本科竞赛试题（有改动） 一、填空题（每小题5分，共50分） 1.函数sin sin y x x =（其中2 x π ≤ ）的反函数为________________________。 2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与n x 为同阶无穷小，则n =____________。 3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。 4.设(1)()n m n n d x p x dx -=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。 5. 22 2 [cos()]sin x x xdx π π - +=? _______________________________。 6. 若函数)(t x x =由?=--x t dt e t 102 所确定的隐函数，则==0 2 2t dt x d 。 7.已知微分方程()y y y x x ?'= +有特解ln x y x =，则()x ?=________________________。 8.直线21x z y =?? =?绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。 9.已知a 为单位向量，b a 3+垂直于b a 57-，b a 4-垂直于b a 27-，则向量b a 、的夹 角为____________。 10. =? ????????? ??+???? ??+???? ??+∞→n n n n n n 12222 2212111lim 。 二、（7分） 设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求n n a ∞ →lim 。 三、（7分）求c 的值，使? =++b a dx c x c x 0)cos()(，其中a b >。
2012年江苏省第十一届高等数学竞赛试题（专科） 一．填空（4分*8=32分） 1.=-+-+→5614 34lim 4x x x 2. =+++∞→43 3321lim n n n 3. =?→x x tdt t x x 32030sin sin lim 4.)1ln(x y -=，则=)(n y 5.=? xdx x arctan 2 6.?=2 11arccos dx x x 7.点)3,1,2(-到直线22311z y x =-+=-的距离为 8.级数∑∞=--21)1(n k n n n 为条件收敛，则常数k 的取值范围是 二．（6分*2=12分） （1）求))(13(lim 31223 ∑=∞→+-i n i n n n （2）设)(x f 在0=x 处可导，且,2)0(,1)0(='=f f 求2 01)1(cos lim x x f x --→ 三．在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，若不存在，请给出证明。（4分+6分=10分） （1）函数)(x f 在),(δδ-上有定义（0>δ），当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看 一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则2 1t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t
? +-=10 4 2 d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222 -+=y x z 在) ,(00y x 处 的 法 向 量 为 ) 1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====， 即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在 )),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 22 22-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得 29ln )()()(y e e y y f x e y y f y f '=''+ 因)(29ln y f y xe e =，故 y y y f x '=''+)(1 ，即))(1(1y f x y '-= '，因此 2 222)](1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-' ''+'--=''= 3 22 232)] (1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''= 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 解 :因
电气与电子工程学院高等数学试卷 姓名： 班级： 得分： 一．填空题（2′×10） 1 .已知f(x)=()[]?? ? ??=≠+0,0,12sin x a x x x a ,在()+∞∞-,上连续，则a = . 2.X= 是函数f （x ）=???≤>0 ,0 ,2x x x mx 的间断点，是第 类间断点. 3.有一数列{}Xn ，且Xn= n n 3 12-则此数列收敛还是发散. 4.求曲线y=e x 在点(0,1)处的切线方程为. 5.设函数f(x)=???>+≤1 ,1 ,x 2x b ax x 为了使函数f(x)在x=1处连续且可导，则 a = ，b=. 6.设y=f(x)是由e 02xy =-+x y 所确定的函数，则dy= . 7.设f ′(2)=1,则 ()=--→s s f s f s 2) (2lim 0 . 8.求函数2cos y x x =+在[0, 2 π ]上的大值 . 9.椭圆44x 2 2 =+y 在（0,2）处的曲率半径. 10.设常数k>0,函数f(x)=lnx-k e +x 在其定义域内零点个数为 个. 二．选择题(每题仅有一个正确选项，2′×10). 1．数列{x n}收敛是数列{x n}有界的（ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分必要条件 2．设f(x)=,0,cos 0 ,? ? ?>≤-x x x e x 则f （-x ）=（ ）
A ???>-≤-0,cos 0,x x x e x B ???>≤0,cos 0,x x x e x C ???<-≥-0,cos 0,x x x e x D. ???<≥0,cos 0,x x x e x 3.设f(x)是可导函数，且 ，则曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线斜率为（ ）. A. -1 B. -2 C. 0 D. 1 4.设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100),则f ′(0)=( ). A. 0 B. 99! C. 100！ D. (-1)100！ 5.若f(-x)=f(x),(-∞ 2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级） 一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin ) lim sin x x x x →-= 2.2 ln(1x y x =+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x x e dx x -=? 5.4 2 1 1dx x +∞ =-? 6.圆222 222042219 x y z x y z x y z +-+=?? ?++--+≤??的面积为 7.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz == 8.级数1 1(1)! 2!n n n n n ∞ =+-∑的和为. 二.（10分） 设()f x 在[],a b 上连续，且()()b b a a b f x dx xf x dx =??，求证：存在点(),a b ξ∈，使 得()0a f x dx ξ =?. 三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。 五（12分）求二重积分()22cos sin D x y dxdy +??，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥ 六、（12分）求()()21x x y e dx x y dy Γ ++++?，其中Γ为曲线22 201212 x x x y x x ?≤≤?+=≤≤?从()0,0O 到()1,1A -. 七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====- ()2,3,,n = 记1 n n x a =，判别级数1 n n x ∞ =∑的敛散性. 大连市高等数学竞赛试 题B答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 大连市第二十三届高等数学竞赛试卷 答案（B） 一、填空题（本大题共5小题，每小题2分， 计10分） 1. n ? ?∞→= e^2 . 2. 30tan sin lim x x x x →- = 1/2 . 3. 0 lim x x x + →= 1 . 4. 2 cos lim x x t dt x →?= 1 . 5. 若221lim 2,2 x x ax b x x →--=+-则(,)(4,5).a b =- 二、（本题10分）设?????=≠=),0(1),0(1sin )(3 x x x x x f 求)(x f '. 解 当0≠x 时，x x x f 1 sin )(3=为一初等函数，这时 ; 1 cos 1sin 311cos 1sin 3)(2232x x x x x x x x x x f -=? ?? ??-??? ?? +='（6分） 当0=x 时，由于 ),0(01 sin lim )(lim 300f x x x f x x ≠==→→（8分） 所以)(x f 在0=x 处不连续，由此可知)(x f 在0=x 处不可导。（10分） 解：0,1,1x x x ===-为间断点。（3分） 当0x =时， 由于00lim ()lim 1,1|| x x x f x x x ++→→==+ 而00lim ()lim 1,x x f x --→→==- 所以0x =是跳跃间断点。（5分） 当1x =时， 由于11lim ()lim 1,1|| x x x f x x x →→==+ 所以1x =是可去间断点。（7分） 当1x =-时， 而1 lim (),x f x →-=∞ 所以1x =-是无穷间断点。（8分） 考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 四 页 第 1页 2000年江苏省第五届高等数学竞赛试题（本科一级） 一、填空（每题3分，共15分） 1.设( )f x = ，则()f f x =???? . 2. 1lim ln 1 x x x x x x →-=-+ . 3. () 14 4 5 1x dx x =+? . 4.通过直线122123:32;:312321x t x t L y t L y t z t z t =-=+???? =+=-????=-=+?? 的平面方程为 . 5.设(),z z x y =由方程,0y z F x x ?? = ??? 确定（F 为任意可微函数），则z z x y x y ??+=?? 二、选择题（每题3分，共15分） 1.对于函数11 2121 x x y -= +，点0x =是( ) A. 连续点； B. 第一类间断点； C. 第二类间断点；D 可去间断点 2.设()f x 可导，()()() 1sin F x f x x =+，若欲使()F x 在0x =可导，则必有（ ） A. ()00f '=； B. ()00f =；C. ()()000f f '+=；D ()()000f f '-= 3. () 00 sin lim x y x y x y →→+=- （ ） A. 等于1； B. 等于0；C. 等于1-；D 不存在 4.若 ()()0000,,, x y x y f f x y ????都存在，则 (),f x y 在()00,x y ( ) A. 极限存在，但不一定连续； B. 极限存在且连续； C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续 5.设α 为常数，则级数 21sin n n n α∞ =? ? ∑ ( ) A. 绝对收敛 B. 条件收敛； C. 发散； D 收敛性与α取值有关 【最新整理，下载后即可编辑】 第二十届高等数学竞赛试卷 一、填空题（每小题5分，本题共50分）： 1. 若0→x 时，1)1(4 1 2 --ax 与x x sin 是等价无穷小，则= a . 2. = +→) 1ln(1 2) (cos lim x x x . 3. 设函数2 301sin d ,0,(),0,x t t x f x x a x ?≠?=??=?? 在0x =处连续，则a = . 4. =??+??=y z y x z x x y xy z 则设,sin . 5. 的解为： 满足微分方程9 1 )1(ln 2-==+'y x x y y x . _______ )()( ,,)()(,.=-=???≤≤==>??D dxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面， 而其他若设01 006 7.. d tan )cos (222 22005= +? -x x x x π π 8. . sin 2sin sin 1lim = ??? ??+++∞→n n n n n n πππ 9. . ,1222= ≤++Ω???Ω dv e z y x z 计算 所界定由设空间区域 10. 设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数 (,)f x y 具有连续偏导 数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，则 .. ),(),(= -?dy y x f x x d y x f y L 二、计算题（每小题6分，本题共42分）： . ,)()(cos .的解，并求满足化简微分方程：用变量代换2101010 2=' ==+'-''-<<===x x y y y y x y x t t x π 解题过程是： 第十五届江苏省初中数学竞赛试题初一年级第一试 一、选择题(每小题7分，共56分．以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内) 1．在-|－3|3，-(-3)3，(-3)3，-33 中，最大的是( )． (A)-|-3|3 (B)-(-3)3 (C)(-3)3 (D)-33 2. “a 的2倍与b 的一半之和的平方，减去a 、b 两数平方和的4倍”用代数式表示应为( ) (A)2a+( 21b 2)-4(a+b)2 (B)(2a+21b)2-a+4b 2 (c)(2a+21b)2-4(a 2+b 2) (D)(2a+2 1b)2-4(a 2＋b 2)2 3．若a 是负数，则a+|-a|( )， (A)是负数 (B)是正数 (C)是零 (D)可能是正数，也可能是负数 4．如果n 是正整数，那么表示“任意负奇数”的代数式是( )． (A)2n+l (B)2n-l (C)-2n+l (D)-2n-l 5．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、1、-l ，那么|a+1|表示( )． (A)A 、B 两点的距离 (B)A 、C 两点的距离 (C)A 、B 两点到原点的距离之和 (D)A 、C 两点到原点的距离之和 6．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且d-2a ＝10，那么数轴的原点应是( )． (A)A 点 (B)B 点 (C)C 点 (D)D 点 7.已知a+b ＝0，a ≠b ，则化简 a b (a+1)＋b a (b+1)得( )． (A)2a (B)2b (C)+2 (D)-2 8．已知m<0，-l 2013年第五届全国大学生数学竞赛 暨第五届甘肃农业大学选拔赛试题 1.当0→x 时,x x x 3cos 2cos cos 1-与n ax 为等价无穷小,求n 与a 的值. 答案:7,2==a n 2.证明:2 1ln cos 112 x x x x x ++≥+-,11x -<<. 3.设奇函数)(x f 在]1,1[-上具有二阶导数,且1)1(=f .证明: (1)存在)1,0(∈ξ,使得1)(='ξf ; (2)存在)1,1(-∈η,使得1)()(='+''ηηf f . 4.如图，曲线C 的方程为)(x f y =,点(2 , 3)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0 , 0)与(2 , 3) 处的切线,其交点为(4 , 2).设函数)(x f 具有三阶连续导数,计算定积分?'''+3 0 2d )()(x x f x x . 答案:20 5.过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区 域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所的旋转体的体积. 答案:2A =,)1 e (π232-=x V 6.设函数()y f x =由参数方程22(1)() x t t t y t ??=+>-?=?所确定,且22d 3d 4(1)y x t =+,其中()t ?具有二阶导数,曲线()y t ?=与2 213e d 2e t u y u -=+?在1t =处相切,求函数()t ?. 答案:3211()(3)22e e t t t t ?=++-+(1)t >-. 7.求函数y x x y y x f ++=e )3 (),(3 的极值. 答案:31e ),1(34min --=-f 8.设平面区域D 由直线x y y x 3,3==及8=+y x 所围成,计算??D y x x d d 2. 答案: 3 416 9.已知L 是第一象限中从点(0,0)沿圆周222x y x +=到点(2,0),再沿圆周224x y +=到点(0,2)的曲线段,求曲线积分?-++=L y y x x x y x I d )2(d 332. 答案:π42 - 10.设数列}{n a 满足条件:1,310==a a ,0)1(2=---n n a n n a )2(≥n ,)(x s 是幂级数n n n x a ∑∞=0的和函数. (1)证明:0)()(=-''x s x s .(2)求)(x s 的表达式. 答案:x x x s e e 2)(+=-. 2010年江苏省普通高等学校非理科专业 第十届高等数学（本科三级）竞赛题 一、填空题（每小题4分，共32分） 1) ()30sin sin sin lim x x x x →- = 1 6 2）() 2arctan e tan ,x y x x y '=+=则 ()2 4 2e tan sec 1x x x x x +++ 3） 设由y x x y =确定(),y y x =d d y x =则 ()()()() 2 2ln ln 1ln ln 1.y x y y y x x y x x x y ----或 4）() 2 cos ,n y x y ==则 12cos 22 n n x π-??+ ?? ? 5） 21e d x x x x -=? e x C x -+ 6）设 2, ,x z f x y y ??=- ??? f 可微，()()123,22,3,23,f f '' ==则 ()() d z ,2,1x y ==7d 8d x y - 7) 设函数 (),F u v 可微，由 ( )2 2 ,0F x z y z ++=确定(),,z z x y =则 z z x y ??+=?? 12z - 8）设 22:2,0, d D D x y x y x y +≤≥=则 16 9 二、（10分）设a 为正常数，使得 2e ax x ≤ 对一切正数x 成立，求常数a 的 最小值。 22ln e 2ln ,ax x x x ax a x ≤?≤?≥ 解 （3分） 要求a 的最小值，只要求 ()2ln x f x x = 的最大值。 （2分） 令()() 2 21ln 0x f x x -'= = 得e,x = （2分） 由于()()0e 0,e 0,x f x x f x ''<<><<时时 2012年省第十一届高等数学竞赛试题（专科） 一．填空（4分*8=32分） 1.=-+-+→5614 34lim 4x x x 2. =+++∞→4 3 3321lim n n n Λ 3. =?→x x tdt t x x 32030sin sin lim 4.)1ln(x y -=，则=)(n y 5.=? xdx x arctan 2 6.?=2 11arccos dx x x 7.点)3,1,2(-到直线22311z y x =-+=-的距离为 8.级数∑∞=--21)1(n k n n n 为条件收敛，则常数k 的取值围是 二．（6分*2=12分） （1）求))(13(lim 31223 ∑=∞→+-i n i n n n （2）设)(x f 在0=x 处可导，且,2)0(,1)0(='=f f 求201)1(cos lim x x f x --→ 三．在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，若不存在，请给出证明。（4分+6分=10分） （1）函数)(x f 在),(δδ-上有定义（0>δ），当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ< 四．（10分） 求一个次数最低的多项式)(x p ，使得它在1=x 时取得极大值13，在4=x 时取得极小值－14。 五．（12分） 过点)0,0(作曲线x e y -=Γ:的切线L ，设D 是以曲线Γ、切线L 及x 轴为边界的无界区域。 （1）求切线L 的方程。 （2）求区域D 的面积。 （3）求区域D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。 六．（12分） 点)3,2,5(,)1,2,1(--B A 在平面322:=--∏z y x 的两侧，过点B A ,作球面∑使其在平面∏上截得的圆Γ最小。 （1）求直线AB 与平面∏的交点M 的坐标。 （2）若点M 是圆Γ的圆心，求球面∑的球心坐标与该球面的方程。 （3）证明：点M 确是圆Γ的圆心。 七．（12分） 求级数∑∞ =-++12)1()1(n n n n n n 的和。 2010年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级） 一.填空（每题4分，共32分） 1.() () 3 sin sin lim sin x x x x →-= 2.设函数,f ?可导，()()arctan tan y f x x ?=+，则y '= 3. 2cos y x =，则()n y = 4.21x x dx x e +=? 5. 4211dx x +∞=-? 6.圆222 222042219x y z x y z x y z +-+=? ?++--+≤?的面积为 7.设2,,x f x y f y ?? - ???可微，()()123,22,3,23f f ''==，则()() ,2,1x y dz == 8.级数()()1 111! 2!n n n n n ∞ =+--∑的和为 二．（10分）设()f x 在[]0,c 上二阶可导，证明：存在()0,c ξ∈， 使得()()()()()3 0212 c c c f x dx f f c f ξ''=+-? 三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。 五（12分）求二重积分()22cos sin D x y dxdy +??，其中22:1D x y +≤ 六．（12分）应用高斯公式计算()222ax by cz dS ∑ ++??，（,,a b c 为常数） 其中222:2x y y z ∑++=. 中国石油大学（华东） 第二十四届高等数学竞赛试题答案 一、填空题（每小题4分，本题共20分）： 1、= ??-∞ →n n n n n n e e e e 12 1 lim e 。 2.设u xy y x =+ ，则??2 2 u y = 0 。 3.设L 为沿抛物线y =x 2 上从点(1，1)到点(2，4) 的一段曲线弧，则对坐标的曲线积分 可化成对弧长的曲线积分___________，其中P (x ,y )和 Q (x ,y )是在L 上的连续函数。 ? ++L ds x y x xQ y x p 2 41) ,(2),( 4.设z e y e y x x =+-sin cos ，则????2 2 2 2z x z y + = 0 。 5、= →2 1 ) (cos lim x x x 2 1- e 。 二、选择题（每小题4分，本题共20分）： 1、 = +-= ?I x e e I x x 则设,d 1 1 ( C ) c e A x +-)1ln()( ;)1l n ()(c e B x ++ ;)1ln(2)(c x e C x +-+ c e x D x ++-)1l n (2)( 2、a x a x a f x f a x =-=--→则点设 ,1)() ()(lim 2(A) 的驻点 不是 但不是极值点 的驻点 是的极小值点是 的极大值点 是)()(,,)()()()()()(x f D x f C x f B x f A 3、方程0 10 cos 0 2 2 =+ +?? -x t x dt e dt t 的根的个数(B) (A)0 (B) 1 (C)2 (D) 3 4、若曲线x e t y e t z e t t t ===cos ,sin ,在对应于 t = π 4点处的切线与zx 平面交角的 正弦值是(A) (A) 2 3 (B) 1 3 (C) 0 (D) 1 5、设C 表示椭圆，其方向为逆时针方向， 则曲线积分 (B) (A) πab (B) 0 (C) a +b 2 (D) －πab 2 三、计算下列各题（每小题7分，本题共42分）：2010年江苏省《高等数学》竞赛试题(本科二级)
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