2017年江苏省高等数学竞赛一级

2017年江苏省高等数学竞赛

一．解答下列各题（每小题5分，共25分）

1.求极限：（10分）

1）222

323232

12lim()12n n n n n n →∞++++++ 2）222

33333312lim()12n n n n n n

→∞++++++ 2.已知函数()y f x =在2x =处连续，2()32lim 22

x f x x x →-+=-，试证()f x 在2x =处可导，并求(2)f '。

3.设[]x 表示实数x

的整数部分，试求定积分6

11dx x ⋅⎰4.

试求三重积分Ω⎰⎰⎰，

其中222{(,,)|

,2}x y z z x y z z Ω=++≤二．判断下一命题是否成立？若判断成立，给出证明；若判断不成立，举一反例，证明命题

不成立。

命题：若函数()f x 在区间[],a b 上可导(,)a b R ∈，()0f a '>，则存在(,)c a b ∈，使得()f x 在区间[,)a c 上单调增加。（10分）

三．已知函数()f x 在区间[],a b 上连续，n N ∈，求证：

1(()()1b b n a a b x f x dx f x dx b a n -≤-+⎰

⎰（10分）四．求函数233(,)3(2)8f x y x y x y =-+-的极值，并证明(0,0)0f =不是(,)f x y 的极值

（13分）五．设,02()0,02x x f x x orx ≤≤⎧=⎨<>⎩

，试求二重积

分2R ，其中

2{(,)|||,||}R x y x y =<+∞<+∞（12分）六．设Γ为圆22

4x y +=，试将对弧长的曲线积分222(1)(1)x y y ds x y Γ+-+-⎰化为对坐标的曲线积分，并求该曲线积分的值。（10分）

七．已知直线1513:102x y z L -+-==与2811:.211

x y z L ---==--1）证明1L 与2L 是异面直线；2）若直线L 与12L L 、皆垂直且相交，交点分别为P Q 、，试求点P 与Q 的坐标；3）求异面直线1L 与2L 的距离。（10分）八．求函数221()arctan (1)1x x f x x x +=++-关于x 的幂级数展开式。（10分）