高等代数与解析几何1~4章习题答案

高代与解几第二章自测题（一）——行列式

一、 判断题

1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ）

2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ）

3. 2n时，n级的奇排列共2! n个. （ √ ）

二、填空题

1. 排列)15342( 的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列 2)22)(2)(12(13nnn的逆序数是 n(n－1) .

2. 设行列式ijnnDa,则nnAaAaAa1112121111...= D ，nnAaAaAa5152125111...= 0 .

3. 行列式D＝xxxxxx2213321232321的展开式中4x的系数是 -4 ，常数项是 -18 .

4. 排列821jjj的逆序数是9，则排列 178jjj 的逆序数是 19 .

5. 设82718491423123267D，则14131211MMMM= 240 .

二、证明题

3.

nnDn200012000302202002210002（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式）

4.

nDn222232222222221（提示：爪型行列式） 高代与解几第二章自测题（二）——矩阵，线性方程组

一、 判断题

1. 如果矩阵A有r阶子式大于零,那么rArank)(.（ ×）

2. 如果矩阵A没有非零子式，那么0)(Arank.（√ ）

3. 如果矩阵A的r阶子式都等于零,那么rArank)(.（ √）

4. 初等变换不改变矩阵的秩.（√ ）

5. 若n元线性方程组有2个解，则其增广矩阵的秩小于n.（√ ）

三、填空题

1. 54矩阵A的秩为2， 则A的标准形为___00000000000001000001____________.

2 若n元线性齐次方程组仅有零解，则其系数矩阵的秩为 n .

三、计算与证明题

1. 求齐次线性方程组04523,05734,03,02543254321543154321xxxxxxxxxxxxxxxxxx 的一般解.

解：对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，得

A＝45230573411110312111452304523045230121110000000000343532103131310100000000004523012111

取543,,xxx为自由未知量，得其一般解为：……

2. 解线性方程组12341234123421,4222,21.xxxxxxxxxxxx

解 方程组的增广矩阵为：

B =

112224112

111

121，….……………………………….. 2分

对B做行初等变换： B=211000010000

 100，…………………………….....…… 6分

从而得方程组的解为……

3. 设naaa,,,21是数域K中互不相同的数，nbbb,,,21是数域K中任一组给定的数，证明：有唯一的数域K上的多项式112210nnxcxcxccxf 使iibaf,.,...,2,1ni

证明:要证有唯一的数域K上的多项式112210nnxcxcxccxf 使iibaf

ni,,2,1,即要证有唯的一组数1210,...,,,ncccc,使得

nnnnnnnnnnnbacacaccafbacacaccafbacacaccaf112210212122221021111221101...)(......)(...)(1 …… (2分)

即证方程组

nnnnnnnnnnbxaxaxaxbxaxaxaxbxaxaxax1122102112222120111122110............1 …… (4分)

有唯一一组解.而此方程组的方程个数与未知数个数相等.其系数行列式

121323312222112111111nnnnnnnaaaaaaaaaaaaD ……(5分)

TD是范德蒙德行列式,由范德蒙德行列式的结论知,njiijTaaDD1)( ……(7分)

又naaa,,,21是数域K中互不相同的数,故0D,由克莱姆法则知,上述方程组有唯一一组解.得证. …… (10分)

4. 设naaa,...,,21是互不相同的数，b是任意数，证明线性方程组 11212111221121......1...nnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxaxxx

只有唯一解，并求出这个解.

证明:

观察知此方程组的未知量个数与方程个数相等，其系数行列式

D=1121121111nnnnnaaaaaa 是n阶范德蒙德行列式 …… (4分)

因此，D=nijjiaa1)(，由于naaa,...,,21是互不相同的数，所以0D，根据克莱姆法则知此线性方程组只有唯一解, nkDDxkk,...,2,1,,其中kD是将系数行列式D的第k列换成

Tnbbb),...,,,1(12， …… (7分)

显然kD依然是n阶范德蒙德行列式，且kD的值只是将D的值中ka的地方换成b，因此nkaaaaaaaaababbabaxkkkkkknkknk,...,2,1,))...()()...(())...()()...((111111 (10分)

5. 假设有齐次线性方程组,0,02,0321321321

xxxpxxxxxx

当p为何值时，方程组仅有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其一般解。

解 |A|=

11121111p= 1- p，…………………………...…………. .4分

当 |A|0，即 p1，方程组有唯一解。……………..………….…. 6分

p = 1时，111121111000010101，……………………………. 9分

方程组的解为：………

6. 问常数k取何值时, 方程组 4243212321321xxxkxkxxkxxx 无解,有唯一解, 或有无穷多解, 并在有无穷多解时写出其一般解。

解 A = -（k+1）（k - 4）。……………………….…….….………. ...3分

当 A0，即 k-1，且 k  4 时，方程组有唯一解。.………. ...5分

k = -1时，111

421111411001832500411，方程组无解.…...8分

k = 4时，111

4211614441001

000411441，……………..…..10分

方程组的解为：………… 高代与解几第二章自测题（三）——向量、线性空间

一、判断题

1. 若向量组)2(,,,21nn部分组线性相关，则该向量组线性相关.（√）

2. 集合},,|),0,...,0,{(111KxxxxxxWnnn不是nK的子空间.（×）

3. 设1W和2W是数域K上线性空间V的两个有限维线性子空间，则121212dimdimdim()dim().WWWWWW （×）

4. 数域K上非零线性空间可表示成它的两个真子空间的并集. （×）

5. 集合},...2,1,,0...|),...,,{(2121niKxxxxxxxWinn是nK的子空间.(√)

6. 同一数域上维数相同的两个有限维线性空间一定同构. （√）

7. 若向量组)2(,,,21nn两两线性无关，则n,,,21线性无关。（×）

8. 线性空间的维数与它定义的数域无关。（×）

9. n阶方阵的行向量组线性无关当且仅当它的行列式不等于零。（√）

10. 两个等价的向量组必含有相同个数的向量。（×）

11. 集合},...2,1,,...2|),...,,{(2121niKxnxxxxxxWinn是nK的子空间.（√）

12 若向量组n,,,21线性无关，则可由n,,,21线性表示。（×）

13 若可由n,,,21线性表示，则n,,,21线性无关。（×）

二、填空题

1. 若非零向量),,(cba与向量)2,3,1(线性相关，则cba::_1:3:2__________.

2. 设)3,1,0(),3,2,1(),2,5,1(CBA，则CBBA的坐标是 (-3,4,-1) ．

3. },,|)2,3,,{(RcbacbacaW是4R的子空间，Wdim 3 ．

4.

320032221111A的不等于零的子式的最大阶数是 3 ．

三、计算与证明题

1.证明:行初等变换不改变矩阵A的列向量组的线性相关性． 证明: 设矩阵A=mnmmnnaaaaaaaaa212222111211,则其列向量组为

i=niaaamiii,...,2,1),,...,,(21

经过行初等变换后变为矩阵B=mnmmnnbbbbbbbbb212222111211，其列向量组为

i=nibbbmiii,...,2,1),,...,,(21 …… (3分)

那么，由mR中向量的标量乘法与加法以及向量相等的定义知方程

0...2211nnxxx ……(1)

与以A为系数矩阵的齐次线性方程组是同解的.方程

0...2211nnxxx ……(2)

与以B为系数矩阵的齐次线性方程组是同解的.…… (6分)

又由矩阵的行初等变换的定义与线性方程组的初等变换的定义知, 以A为系数矩阵的齐次线性方程组与以B为系数矩阵的齐次线性方程组是同解的. 从而，方程(1)与方程(2)是同解的. …… (8分)