《高等代数与解析几何》

《高等代数与解析几何》教学大纲

学时数：192 学分：12

适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学

一、课程说明

高等代数与解析几何是高校数学系课程中联系十分密切的两门的基础课．作为高等代数的主要内容，线性代数是由二维、三维几何空间中的向量代数进一步抽象推广得来的，高等代数的多数概念和方法都有着很强的几何背景．而解析几何的研究对象则是用代数的方法研究空间的几何问题．因此，高等代数与解析几何有着紧密的联系，它们的关系可归纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景．”本课程的主要任务是使学生获得代数的基本思想方法和行列式、矩阵、向量代数、线性方程组、多项式理论、二次型、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型、常见曲面等方面的系统知识．它一方面为后继课程（如近世代数、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力等重要作用．

二、与其它课程的关系

本课程作为一门基础课，是学习近世代数、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析等课程的基础．

三、大纲部分

以下按各章具体写出

第一章预备知识（6学时）

本章的内容为介绍性质的，主要是为本课程的学习所做的预备工作，因而其中的内容基本相对独立．

教学目的与要求理解数环与数域的定义；突出三个常用的数域，即有理数域、实数域

和复数域，理解整数的整除性；理解第二归纳法原理；理解映射的定义、满射、单射和双射．数学重点数域的定义，映射的定义和性质．

教学难点对映射定义的理解；对满射的理解和应用．

新知识点数域性质的应用；整数整除性质的推广.

教学方法与手段以“细读——精讲——习作”这一现代教学方法完成本章的主要内容.

教学内容

1.数环和数域

１

2.整数和整除性

3.数学归纳法

4.映射

课堂训练方案充分利用“习作”这一环节，补充有关数域的性质例题和独立思考题.

课外训练指导方案

1.首先组成课外学习小组;

2.以数域和整数的整除性以及双射等内容补充相关的练习题;

3.由教师指导以及相互讨论的方式完成上述难度大的练习题.

自学指导方案

本章将以映射为自学内容，先由教师给出自学提纲，让学生带着问题读书，以达到能充分

理解映射的定义和性质.

考试设计

本章以数域和映射为主要测试试点；主要测试分析问题和解决问题的能力.

参考书目

1.北大编，高等代数，高教出版社（1988）；

2.北师大编，高等代数，高教出版社（1983）.

课时安排

共6学时,讲授6学时.

第二章行列式（14学时）

教学目的与要求掌握行列式的定义与性质，能熟练应用行列式的定义及性质计算并证

明行列式，掌握用行列式解线性方程组的方法.

教学重点行列式的定义与性质.

教学难点行列式的定义与性质.

新知识点排列，n阶行列式的定义与性质，行列式依行依列展开，克莱姆法则，拉普拉斯定理.

教学方法与手段教师讲解与师生集体讨论相结合.

教学内容

1.二阶与三阶行列式

2.排列

3.n阶行列式的定义

4.行列式的性质

5.行列式依行依列展开

6.克莱姆法则

7.拉普拉斯定理

课堂训练方案师生集体讨论例题——学生独立思考课后习题——适当补充练习题—

简要介绍本章内容的发展概况及应用.

２

课外训练指导方案复习学过的知识——独立完成课后作业——思考指定参考书中有关的题目.

自学指导方案列出本部分的知识点——新知识点——重点——难点——处理课后习

题与复习题——学习指定参考书中有关的内容，找出其区别与联系——思考指定参考书中有关的题目——找出本章内容与初等数学的联系与区别——找出新学知识与前面所学知识的联系与区别，进一步体会本课程的系统性——写出学习本章知识的心得.

考试设计学完前四节进行一次开卷测验，学完后三节进行一次开卷测试，学完整章内

容进行一次闭卷测验.

参考书目

1.北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，《高等代数》（第二版），高等教育出版社，2001;

2.廖家藩，《高等代数》，电子科技大学出版社，1995;

3.叶伯成，《高等代数》，青岛海洋大学出版社，1989;

4.孙宗明，《高等代数的内容与方法》，兰州大学出版社，1990;

5.王品超，《高等代数新方法》，山东教育出版社，1989.

课时安排

共14学时，讲授12学时，习题课2学时.

第三章向量代数（30学时）

本章内容主要介绍几何空间的向量及运算性质，作为应用解决几何空间中有关平面、直线等几何问题.

教学目的与要求透彻理解有关向量的一些基本概念，牢固掌握向量的各种运算性质和

规律，能熟练地运用向量的坐标进行运算，掌握一些几何度量的向量、坐标表示,能熟练地求出平面、直线的方程，掌握点、直线、平面的位置关系与度量关系.

教学重点向量的各种运算，几何度量，平面、直线方程，点、直线、平面间的关系.

教学难点向量的分解与仿射坐标、向量积.

新知识点仿射坐标（系）、正交投影

教学方法与手段精讲、细读、自学相结合方法，加强课内外训练为手段.

教学内容

1.向量及线性运算

2.仿射坐标系与直角坐标系

3.向量的数量积

4.向量的向量积

6.混合积与复合积

7.平面的方程

8.直线的方程

9.点、平面、直线的关系

10.平面束

３