附件1
高等代数与解析几何教学大纲
课程编号：
课程英文名：Advanced Algebra and Analytic Geometry
课程性质：学科基础课
课程类别：必修课
先修课程：高中数学
学分：4+4
总学时数：72+72
周学时数：4+4
适用专业：统计学
适用学生类别：内招生
开课单位：信息科学技术学院数学系
一、教学目标及教学要求
1.本课程是统计学专业的一门重要基础课。它不仅是学习后继课程及在各个学科领域进行理论研究和实际应用的必要基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的提高和发展有着深远的影响。
2.通过本课程的学习，要使学生了解高等代数与解析几何的概貌、各部分内容的结构和知识的内在联系；学会代数与几何方法，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、想象能力、运算能力和综合应用能力。
3.要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确，并且学会应用这些基本理论及方法去处理实际问题。
二、本课程的重点和难点
（略。由课任教师自行掌握）
三、主要实践性教学环节及要求
精讲、细读、自学相结合方法，加强课内外训练为手段。
四、教材与主要参考文献
教材：《高等代数与解析几何》（上、下）（第二版），孟道骥编著，科学出版社，2004年。
参考书： 1.《高等代数与解析几何》，陈志杰编著，高等教育出版社，
2000年；
2.《数论基础》，张君达主编，北京科学技术出版社，2002年。
五、考核形式与成绩计算
考核形式：闭卷考试。
成绩计算：平时成绩（包括平时作业、小测验、考勤等）占30%，
期末考试占70%。
六、基本教学内容
第二学期
第一周—第二周：（8课时）
第一章：向量代数与解析几何基础
1.代数与几何发展概述。
2. 向量的线性运算及几何意义：定义与性质、向量的共线、共面与线
性关系
3. 坐标系：标架、向量和点的坐标、n维向量空间。
4. 向量的线性关系与线性方程组。
5. 三维空间中向量的乘积运算：内积、外积、混合积、三重外积。
6. 方程及几何意义：
(1)二元方程及几何意义：平面曲线的表示（非参数式、极坐标、
参数式、向量式）;
(2)三元方程及几何意义：直线与平面方程、曲线与曲面方程（非
参数式、参数式、向量式）。
第三周—第五周：（12课时）
第二章：三维空间中的基本曲面与曲线
1. 基本曲面：旋转曲面、柱面、曲线的射影柱面、锥面、二次曲面、
直纹面。
2. 空间曲线：一般方程、参数方程、在坐标面上的投影、空间曲线和
曲面围城的区域。
3. 平面及其方程：点法式、一般方程、平面束、几何度量与位置关
系。
4. 空间直线及其方程：一般式、对称式、参数式、几何度量与位置关
系。
第六周：（4课时）
第三章：代数学基础知识
1．数环和数域。
2. 综合除法。
3. 数学归纳法。
4. 映射与二元运算。
第七周—第九周：（12课时）
第四章：行列式
1．映射、变换与置换：定义与基本性质，置换的反序数及奇偶性。
2. 矩阵：基本概念与基本运算，初等变换。
3. 行列式：定义、性质、计算。
4. 应用：求解线性方程组（Cramer法则）。
第十周—第十一周：（8课时）
第五章：线性方程组与线性子空间
1．线性方程组的基本解法：消元法与行初等变换。
2. 线性方程组解的讨论。
3. 向量组的线性相关性。
4. 线性子空间：基本概念、基、维数。
5. 线性方程组解的结构：齐次的情形、非齐次的情形。
第十二周—第十三周：（8课时）
第六章：基本矩阵论
1．秩：向量组的秩、矩阵的秩、应用（讨论线性方程组解的存在性）。
2. 矩阵的运算：背景、基本运算、分块。
3. 线性映射：定义、象空间与核空间。
第十四周—第十五周：（8课时）
第七章：线性空间与内积空间
1．线性空间：定义、同构关系、和与直和。
2. 内积空间：定义、内积与正交性、正交基、正交投影、正交变换
与正交阵。
第十六周：总复习（4课时）
第三学期
第一周—第二周：（8课时）
第八章：数论初步
1. 整除：带余除法、约数与倍数、基本性质、数的奇偶性、素数与
合数。
2. 最大公约数与最小公倍数：Euclid算法、初等变换法。
3. 算术基本定理。
4. 同余：基本概念与性质、线性同余方程、中国剩余定理、多项式同
余方程、线性不定方程。
第三周—第四周：（8课时）
第九章：多项式基本理论
1．基本概念。
2. 整除性与综合除法。
3. 最大公因式。
4. 因式分解。
5. 根。
6. 可约性
7．多元多项式。
8. 对称多项式。
第五周—第六周：（8课时）
第十章：线性变换
1.线性的表示：过渡矩阵。
2.线性变换的特征理论：特征值与特征向量。
3.对角化与不变子空间。
第七周—第八周：（8课时）
第十一章：线性空间上的函数
1.线性函数与双线性函数、张量。
2.对称双线性函数、张量积。
3.二次型及其标准化。
第九周—第十周：（8课时）
第十二章：二次型理论的应用
1.二次曲线方程的化简和分类。
2.二次曲面及二次超曲面方程的化简。
3.平面的等距变换和仿射变换。
4. 变换群与几何学、二次曲线（面）的正交分类与仿射分类。
第十一周—第十二周：（8课时）
第十三章：矩阵的Jordan标准型
1.λ矩阵：运算、秩、可逆性、正规形。
2.矩阵的相似与Jordan标准型。
3. 在常微分方程中的应用。
第十三周—第十四周：（8课时）
第十四章：矩阵分析初步
1.矩阵直积。
2. 向量函数与矩阵函数。
3．矩阵级数。
4. 矩阵导数与微分。
5.在概率统计中的应用：多元正态分布、最小二乘法、最大似然法。第十五周：（4课时）
