沪教版（上海）八年级数学第二学期-第二十三章概率初步-教案设计第二十三章概率初步【教学目标】1．知道概率的含义，会用符号表示一个事件的概率。
2．知道各种事件发生的可能性大小有不同，能根据经验判断一些随机事件发生的可能性的大小并排出大小顺序3．会根据大数次试验所得频率估计事件的概率。
【教学重难点】1．理解随机事件发生的频率的意义；2．会根据大数次试验所得频率估计事件的概率。
体会从特殊到一般的数学思维3．正确判断确定事件和随机事件，联系实际判断事件发生的可能性的大小。
【第一课时】【教学过程】一、思考与探究。
1．复习引入“上海地区明天降水”是什么事件？结论：随机事件。
2．天气预报“上海地区明天降水概率80％”与“上海地区明天降水概率50％”它们有什么异同点？共同点：都是随机事件；不同点：降水概率80％——很有可能降水；降水概率60％——也是很有可能降水；但是可能的程度略低。
二、概率的定义：1．概率：用来表示某事件发生的可能性大小的数叫做这个事件的概率。
2．事件发生的概率的取值要求不可能事件：如果用V表示，则概率为0：P（V）＝0；必然事件：如果用U表示，则概率为1：P（U）＝1；随机事件：一般用A表示，则概率介于0到1之间；P（A）——纯小数、真分数、百分数等表示。
练习1：写出下列事件的概率：（若是很可能发生的事件，填“接近1”，若是小概率事件，填“接近0”）1．用A表示“上海天天是晴天”，则P（A）：________。
2．用B表示“新买的圆珠笔写得出字”，则P（B）____。
3．用C表示“坐火车出行，遭遇出轨”，则P（C）____。
4．用D表示“当m是正整数时，2m是偶数”，则P（D）。
三、用频率估计概率。
1．介绍频数和频率：以上操作中总共摸牌的次数称为“试验总次数”，抽到红桃的次数称为这一事件发生的“频数”；“频数÷总次数”即是这一事件发生的频率。
2．【活动】全班31名同学，分为5组，每组一名组长，一名书记员，组长在一副扑克牌中取红桃、梅花、方块各一张牌混合放在一起，其他组员从中任意摸出一张牌，书记员记录摸牌的次数和各种花色出现的次数，最后计算每种花色出现的频率。
第一课时 离散型随机变量的均值[对应学生用书P31]求离散型随机变量的均值[例1] (重庆高考)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级 摸出红、蓝球个数获奖金额 一等奖 3红1蓝 200元 二等奖 3红0蓝 50元 三等奖2红1蓝10元(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与数学期望EX . [思路点拨] (1)利用古典概型结合计数原理直接求解．(2)先确定离散型随机变量的取值，求出相应的概率分布，进一步求出随机变量的期望值．[精解详析] 设A i 表示摸到i 个红球，B j 表示摸到j 个蓝球，则A i (i ＝0,1,2,3)与B j (j ＝0,1)独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝C 13C 24C 37＝1835.(2)X 的所有可能值为0,10,50,200，且 P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝C 33C 37·13＝1105，P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝C 33C 37·23＝2105，P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝C 23C 14C 37·13＝12105＝435，P (X ＝0)＝1－1105－2105－435＝67.综上知，X 的分布列为X 0 10 50 200 P6743521051105从而有EX ＝0×67＋10×35＋50×105＋200×105＝4(元)．[一点通] 求离散型随机变量X 的均值的步骤 (1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值的概率；(3)写出X 的分布列(有时可以省略)；(4)利用定义公式EX ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ，求出均值．1．(广东高考)已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P35310110则X 的数学期望EX ＝( A.32 B ．2 C.52D ．3解析：EX ＝1×35＋2×310＋3×110＝1510＝32.答案：A2．某高等学院自愿献血的20位同学的血型分布情形如下表：血型 A B AB O 人数8732(1)现从这20(2)现有A 血型的病人需要输血，从血型为A 、O 的同学中随机选出2人准备献血，记选出A 血型的人数为X ，求随机变量X 的数学期望EX .解：(1)从20人中选出两人的方法数为C 220＝190， 选出两人同血型的方法数为C 28＋C 27＋C 23＋C 22＝53， 故两人血型相同的概率是53190.(2)X 的取值为0,1,2， P (X ＝0)＝C 22C 210＝145，P (X ＝1)＝C 18C 12C 210＝1645，P (X ＝2)＝C 28C 210＝2845.X 的分布列为X 0 1 2 P14516452845∴EX ＝145×0＋1645×1＋2845×2＝45＝5.二项分布及超几何分布的均值[例2] 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为2，乙每次击中目标的概率为23，记甲击中目标的次数为X ，乙击中目标的次数为Y ，求(1)X 的概率分布； (2)X 和Y 的数学期望．[思路点拨] 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布． [精解详析] (1)P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38， P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18. 所以X 的概率分布如下表：X 0 1 2 3 P18383818(2)由题意X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23， ∴EX ＝3×12＝1.5，EY ＝3×23＝2.[一点通] 如果随机变量X 服从二项分布即X ～B (n ，p )，则EX ＝np ；如果随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布时，则EX ＝n MN，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．3．若随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，EX ＝2，则P (X ＝1)等于________． 解析：由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12∴EX ＝n ·12＝2， ∴n ＝4，∴P (X ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫121⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14.答案：144．袋中有7个球，其中有4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球，以X 表示取出的红球数，则EX 为________．解析：由题意知随机变量X 服从N ＝7，M ＝4，n ＝3的超几何分布，则EX ＝3×47＝127.答案：1275．(浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．(1)求X 的分布列； (2)求X 的数学期望EX .解：(1)由题意得X 取3,4,5,6，且 P (X ＝3)＝C 35C 39＝542，P (X ＝4)＝C 14C 25C 39＝1021，P (X ＝5)＝C 24C 15C 39＝514，P (X ＝6)＝C 34C 39＝121.所以X 的分布列为X 3 4 5 6P542 1021 514 121(2)由(1)知EX ＝3·P (X ＝3)＋4·P (X ＝4)＋5·P (X ＝5)＋6·P (X ＝6)＝133.数学期望的实际应用[例3] 某商场准备在“五一”期间举行促销活动．根据市场行情，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．(1)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；(2)商场对选出的家电商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品成本价的基础上提高180元作为售价销售给顾客，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金．假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是12，且每次获奖时的奖金数额相同，请问：该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为多少元，此促销方案才能使商场自己不亏本？[思路点拨] (1)利用间接法求概率；(2)先求中奖的期望，再列不等式求解． [精解详析] (1)设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A ，则P (A )＝1－C 35C 39＝3742. 即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为3742.(4分)(2)设顾客抽奖的中奖次数为X ，则X ＝0,1,2,3，于是P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝18，P (X ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×12＝38， P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38， P (X ＝3)＝12×12×12＝18，∴顾客中奖的数学期望EX ＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5.(10分)设商场将每次中奖的奖金数额定为x 元，则1.5x ≤180，解得x ≤120，即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使自己不亏本． (12分)[一点通] 处理与实际问题有关的均值问题，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并写出分布列，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．6．(湖南高考)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35，现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}． 由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25.且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立． (1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0,100,120,220. 因P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315， P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615.故所求的X 分布列为X 0 100 120 220P 215315415615数学期望为E(X)＝0×15＋100×15＋120×15＋220×15＝＋480＋1 32015＝2 10015＝140.7．某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应的预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采取、联合采取或不采取，请确定预防方案使总费用最少．(总费用＝采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值．) 解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望值为E1＝400×0.3＝120(万元)；②若单独采取预防措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9＝0.1，损失期望值为E2＝400×0.1＝40(万元)，所以总费用为45＋40＝85(万元)；③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85＝0.15，损失期望值为E3＝400×0.15＝60(万元)，所以总费用为30＋60＝90(万元)；④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45＋30＝75(万元)，发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)＝0.015，损失期望值为E4＝400×0.015＝6(万元)，所以总费用为75＋6＝81(万元)．综合①②③④，比较其总费用可知，选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．1．求随机变量的数学期望的方法步骤：(1)写出随机变量所有可能的取值．(2)计算随机变量取每一个值对应的概率．(3)写出分布列，求出数学期望．2．离散型随机变量均值的性质 ①Ec ＝c (c 为常数)；②E (aX ＋b )＝aEX ＋b (a ，b 为常数)； ③E (aX 1＋bX 2)＝aEX 1＋bEX 2(a ，b 为常数)．[对应课时跟踪训练十三]1．一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则他独立射击3次中靶次数X 的均值为( )A ．0.8B ．0.83C ．3D ．2.4解析：射手独立射击3次中靶次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.8)，∴EX ＝3×0.8＝2.4.答案：D2．已知离散型随机变量X 的概率分布如下：X 0 1 2 P0.33k4k随机变量Y ＝2X ＋1，则Y A ．1.1 B ．3.2 C ．11kD ．33k ＋1解析：由题意知，0.3＋3k ＋4k ＝1，∴k ＝0.1.EX ＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1， ∴EY ＝E (2X ＋1)＝2EX ＋1＝2.2＋1＝3.2. 答案：B3．口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，以X 表示取出的球的最大号码，则EX ＝( )A ．4B ．5C ．4.5D ．4.75解析：X 的取值为5,4,3. P (X ＝5)＝C 24C 35＝35，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝3)＝1C 35＝110.∴EX ＝5×35＋4×310＋3×110＝4.5.答案：C4．(湖北高考)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值EX ＝( )A.126125B.65C.168125D.75解析：由题意知X 可能为0,1,2,3，P (X ＝0)＝33125＝27125，P (X ＝1)＝9×6125＝54125，P (X ＝2)＝3×12125＝36125，P (X ＝3)＝8125，EX ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65，故选B. 答案：B5．设10件产品有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为________． 解析：设查得次品数为X ，由题意知X 服从超几何分布且N ＝10，M ＝3，n ＝2.∴EX ＝n ·M N ＝2×310＝35.答案：356．某射手射击所得环数X 的分布列如下X 7 8 9 10已知EX ＝8.9，则y 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝8.9，解得y ＝0.4. 答案：0.47．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A ，B 两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品．表一表二(1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A 级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P 甲、P 乙；(2)已知一件产品的利润如表二所示，用X ，Y 分别表示一件甲、乙产品的利润，在(1)的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及均值．解：(1)P 甲＝0.8×0.85＝0.68，P 乙＝0.75×0.8＝0.6.(2)随机变量X ，Y 的分布列是EX ＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2，EY ＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1.所以甲、乙两种产品利润的均值分别为4.2万元、2.1万元．8．(山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果互相独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意知，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827， P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827， P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427. 所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4，由题意知，各局比赛结果相互独立，所以P (A 4)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427. 由题意知，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627，又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427， P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327， 故X 的分布列为所以EX ＝0×1627＋1×27＋2×27＋3×27＝9.。
频率与概率第一课时教学反思引言频率与概率是数学中的重要概念，经常被应用于统计学、概率论以及各种实际问题的分析和解决。
本文将对我在《频率与概率》第一课时的教学进行反思，从教学目标、教学过程和教学效果三个方面进行总结和反思，以期在今后的教学中做出改进和提高。
教学目标在第一课时的教学中，我的主要教学目标是引导学生理解频率和概率的关系，掌握频率和概率的计算方法，并能够应用于实际问题的解决。
然而，在教学过程中我发现，学生对于频率和概率的概念理解程度不够，对于计算方法也不够熟练，导致教学效果不尽如人意。
教学过程教学方法选择和设计在教学过程中，我采用了多种教学方法，包括讲授、示范、练习和讨论等。
首先，我通过引入生活中的例子来引起学生的兴趣，并给出频率和概率的定义，让学生理解其背后的概念。
然后，我通过示范和练习，让学生了解频率和概率的计算方法，并帮助他们解决实际问题。
最后，我进行了小组讨论，鼓励学生互相交流和分享自己的思考和理解。
教学资源和辅助工具应用在教学过程中，我使用了多媒体投影仪展示示范和实例，让学生直观地了解计算步骤和思路。
我还为每个学生配备了练习册和计算器，以方便他们进行练习和计算。
此外，我还准备了一些经典例题和作业，以帮助学生巩固所学知识。
教学效果学生反应根据学生的课堂作业和小组讨论，我了解到学生对于频率和概率的理解还不够深入。
他们普遍存在以下问题：•对于频率和概率的定义理解不清楚。
•对于计算频率和概率的方法不熟悉。
•在实际问题的应用上存在困惑和不确定。
教学反思在反思教学过程和学生反应后，我认为以下几个方面需要加以改进和提高：1.教学目标明确性。
在今后的教学中，我需要更明确地定义教学目标，确保学生对于频率和概率的理解程度和应用能力有所提高。
2.教学方法多样化。
除了讲授和练习，我可以引入更多互动性教学方法，如小组合作、实际探究等，以提高学生的学习主动性和参与度。
3.针对问题进行针对性指导。
对于学生对于频率和概率的理解问题，我可以增加更多示例和练习，帮助他们加深对于这两个概念的认识。
