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概率与数理统计 4.5 特征函数.ppt

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概率与数理统计 4.5 特征函数.ppt

概率与数理统计 4.5 特征函数.ppt

类似地有下列若干性质
（1）(t1, t2 , , tn )在 Rn 中一致连续，且
(0, ,0) 1, (t1,t2, ,tn) 1 (t1, t2, , tn) (t1,t2, ,tn)
（2）若 (t1, t2 , , tn ) 为 (X1, X 2, , X n ) 的特征函数，则
Y c1X1 cn X n 的特征函数为
Y (t) (c1t1, c2t2 , , cntn )
（3）若矩
E
(
X
k1 1
X
kn n
)
存在，则
E
(
X k1 1
n
kn
kj
j1
k1 kn f (t1 ,t2 ,
X ) i [ n
t1k1 tnkn
] ,tn ) t1
1, 2 , , n 为复数，则有
nn
(tk tl )kl 0
k 1 l 1
(3) (t) 是连续函数.
注：上述三条性质为特征函数的特征性质， (t )
满足这三条性质，则其必为特征函数。
证明 (1) (t) EeitX 显然有 (0) 1
(2) (t) 非负定，
(1) Z1=X1+iY1, Z2=X2+iY2为复随机变量,则(X1,Y1) 与(X2,Y2)
独立
Z1, Z2 独立
(2) Z1=X1+iY1, Z2=X2+iY2为复随机变量,则E Z1 Z2=EZ1 E Z2
Def. 2. 设X为为(, ℱ,Ｐ)概率空间中的实随机变量,其特
征函数(c.d.f.)定义为

1 2
lim lim
y T

随机变量的数字特征与特征函数(课堂PPT)

随机变量的数字特征与特征函数(课堂PPT)

性4： 质X 若 与 Y独立 EX且 ,EY存在X， 的 Y 则 数学期望
EXY EXEY
注：性质3和4可推广到任意有限个随机变量的场合。
7
性质5，6为不等式→
性5质 ：如 EX 果 2,EY2存在且0,则 不有 等
EXY2 EX2 EY2
柯西-许瓦兹不不等式
性质 6： 若X0，EX存在，则对b任 ，何 有实数 PXbEX
性质4可由契比雪夫不等式推出,见p151
契比雪夫不等式
10
矩→
三、矩
随机变量的矩是常见的数字特征。 数学期望和方差是它的特例。
定义：设X为随机变量，对任意正整数k，分别称
E X k
E X k
E X E X k
K阶原点矩 K阶原点绝对矩 K阶中心矩
EX E X k
K阶中心绝对矩
11
N维随机变量也可以定义其数学期望和方差。 以二维为例,有协方差、相关系数。→
量纲化)的，XDE X X ,YDE Y Y
问：后者能用前者的线性函数 表示吗？近似程度如何？
讨论：设后者能用前者的线性变换表示，其形式为
YD E Y Y tX D E X X 其中t为常数
用所产生的均方差来衡量近似程度。所产生的均方差为
E Y D E Y Y tX D E X X 2 ，定 t,义 则为
三、随机变量函数的数学期望 定理4.1.1
要确定Y=g(X)的数学期望，因Y也是随 机变量，可先确定Y的分布再求Y的均 值，但Y的分布确定比较复杂。可否直 接用X的分布来求Y=g(X)的均值？
(1)设离散型随机变量X的分布律为 P X x p ,k 1 , 2 ,
k
k
又 YgX,若 gxp收敛，则

2019年概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征第一节数学期望.ppt

2019年概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征第一节数学期望.ppt
一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概 率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦 我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把 E[g(X)]计算出来.
三、随机变量函数的数学期望
使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的 分布，一般是比较复杂的 . 那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的 分布求得E[g(X)]呢？
于是
1 1 (1 n)n n 1 E(X) k n 2 n 2 k 1
n
二、连续型随机变量的数学期望
定义2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，如
果积分
绝对收敛，则称该积分的值
为随机变量X的数学期望或者均值，记为EX，即
如果积分
发散，则称X的数学期
望不存在。
二、连续型随机变量的数学期望
随机变量的数字特征
第一节 数学期望
在第二章中，我们讨论了随机变量及其分布， 如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概 率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确 定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随 机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特 征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字 特征是重要的 . 常用的数字特征：数学期望，方差.
E (5 X ) 5 E ( X ) 5 0.45 2.25 (元).
设寿命 X 服从指数分布, 概率密度为 1 x 10 , x 0, e f ( x ) 10 x 0. 0, 试求该商店一台家用电 器收费 Y 的数学期望.
二、连续型随机变量的数学期望
1 x 10 0.1 1 e 0.0952, dx 解： P{ X 1} e 0 10 2 1 x 10 P{1 X 2} e dx 1 10 e 0.1 e 0.2 0.0861,

概率论课件 特征函数

概率论课件 特征函数

e jtX cos(tX ) j sin(tX )
(t ) E(e jtX )


cos(tx)dF( x) j sin(tx)dF( x)


e jtX dF ( x)
一、定义及例 1. 特征函数的定义 定义4.1.1 设X 是定义在概率空间(, F , P)上的随机变量, 它 的分布函数为F ( x), 称 e jtX 的数学期望 E(e jtX ) 为X 的特征函数. 有时也称为分布函数 F ( x) 的特征函数, 其中 j 1, t R.
( t ) E( e jtX ) e jtxk pk
k
( t
)


e itk
k0
ke
k!

e
（e it ）k
k0 k!
e e eit
e（eit -1）
例4.1.5 设随机变量X 服从 [a,a]的均匀分布, 求其特征函数.
(t) E(e jtX )
记X 的特征函数为X (t), 在不会引起混乱的情况下简写为 (t).
e jtX cos tX j sintX
(t) E(e jtX ) E(cos Xt )+jE(sin Xt )
3. 特征函数的计算 e jtX cos(tX ) j sin(tX )
(t ) E(e jtX )
X的特征函数就是x的函数的期望，此时的函数是 由X 构造出来的复值随机变量的期望。
例4.1.1 设随机变量X 服从退化分布, 即
求X 的特征函数.
P{X c} 1
( t ) E( e jtX ) e jtxk k

特征函数讲解.ppt

特征函数讲解.ppt

| eitx || (eihx 1) | dF ( x)
| (eihx 1) | dF( x) | eihx -1|dF( x) A | (eihx 1) | dF( x)

| x| A
A
2 dF( x) A | (eihx 1) | dF( x)
复随机变量函数的数学期望，设=g(),
E(eit ) E(eitg( ) )

eitg
(
x
)
dF
(
x
)
由此可以引出：
定义4.5.2 若随机变量的分布函数为F ( x),则称
f (t ) E(eit )

eitx
dF
(
x
)
为的特征函数(characteristic function)
| x| A
A
2
dF( x) 2
A hx | sin |dF( x)
| x| A
A
2
由此可以看到，A足够大时，第一部分可以任意
小，h的绝对值足够小时，第二部分也可以任意小.
(3) 性质3 对于任意的正整数n以及任意实数t1, t2 , , tn ,
nn
以及复数1, 2 , n ,成立
eix d x |

|
eix
|d
x


0
0
因而 | ei 1 || |
因此
|
e e i tx1
i tx2
it
ei tx
|
x2

x1
经过交换积分次序我们可以得到
IT

1 2π

高中数学精选概率与统计PPT课件

高中数学精选概率与统计PPT课件
众数：描述分类变量的中心位置，容易计 算。
23
1. 均值、中位数、众数的特点
b) 综合利用均值和中位数获取样本信 息
如果样本均值大于样本中位数，说明数据 中可能存在较大的极端值。
反之，说明说明数据中存在可能较小的极 端值。
c) 误导：有意仅选取使用中位数或平 均值来描述数据的中心位置。
24
2.
样本标准差的意义和作用。
1. 均值、中位数、众数的特点。 2. 样本标准差的意义和作用。
22
1. 均值、中位数、众数的特点
a) 都用于描述样本的中心位置，有随 机性，随样本容量的增加而稳定于 总体相应的总体特征。
平均数：描述数值变量的中心位置，受样 本中的每一个数据的影响。
中位数：描述数值变量的中心位置，抗 “坏”数据能力强，容易计算。
3
一、与大纲教材的区别
➢ 先讲统计后讲概率 ➢ 先讲古典概型后学排列组合 ➢ 通过案例理解概率统计概念 ➢ 用概率观点解释统计原理 ➢ 增加了随机模拟、几何概型等方面的内容
4
➢ 先讲统计后讲概率
1. 考虑到统计与概率学科发展的历是先有统计，为了研究统计 结论的可信程度问题，概率得到了发展。
2. 考虑到学生的学习心理，统计在前，使得学生在学习统计的 过程中体会随机性，为学习概率知识做铺垫。
•
回归方程：
•
经验回归方程：
由样本数据所估计的回归方程，简称为回归方程。
•
经验回归方程由样本数据所决定。
•
由随机样本数据所得到的经验回归方程具有随机性。
31
这里给出了线性回归中最小二乘 方法的原理，没有给出评价模 型好坏的方法。
向同学们指出选修中将讨论评价 模型的一种方法，为进一步的 学习指明方向。

概率论与数理统计第四章 数字特征

在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的 全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.
因此，在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 .
0.2 0.1
0.1 0 0.3 0.1 0.1 0.1
二、连续型随机变量的数学期望
设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在 数轴上取很密的分点x0 <x1<x2< …,则X落在小区 间[xi, xi+1)的概率是

xi 1
xi
f ( x )dx
阴影面积近似为
f ( xi )xi
f ( xi )( xi 1 xi )
f ( xi )xi
小区间[xi, xi+1)
由于xi与xi+1很接近, 所以区间[xi, xi+1)中的值
可以用xi来近似代替.
因此X与以概率 f ( xi )xi 取值xi的离散型r.v 近似, 该离散型r.v 的数学 期望是 阴影面积近似为 f ( xi )xi
x f ( x )x
3 E ( XY ) 0.2 0.1 ( 0.2) 0.2 0.3 0.2 0.3 0.1 0
0.2 0.1 0.1 0.1 0 0.1
解二：E( X )
i
x p
i j
ij

1 (0.2 0.1 0.1) 2 (0.1 0 0.1) 3 (0 0.3 0.1) 2
请注意: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立

概率论与数理统计 第四章 随机变量的数字特征

k
到最小值．此时得到最好的分组方法．
若 N 1000 ，此时以 k 4 分组，则按第二种方案平均只 需化验
1 4 1000 1 0.9 594 (次 )， 4
这样平均来说，可以减少 40%的工作量．
2014年8月30日星期六
13 / 102
§4.1 数学期望
解 : E ( X ) 1 p 0 (1 p ) p ．
2014年8月30日星期六
7 / 102
§4.1 数学期望
[ 例 1-3] 设 随 机 变 量 X ~ B (n, p ) ， 求 E ( X ) ．
解 由于随机变量 X 只取有限个值，所以 E ( X ) 一定存 在．而
2014年8月30日星期六
10 / 102
§4.1 数学期望
解 各人的血呈阴性反应的概率为 q 1 p ．因而 k 个人的混合血
k k q 1 q 呈阴性反应的概率为 ，而呈阳性反应的概率为 ．
设以 k 个人为一组时，组内每人化验的次数为 X ，则 X 是 一个随机变量，其分布律为
X
pk
1 x k p k ( 1) ln 2 虽然有 ，但是随机变量 X 的数学期 k k 1 k 1
k
望是不存在的．因为
| x k p k |
k 1

1 ． k 1 k

[例 1-1] 常数 C 数学期望等于它本身，即随机变量 X 是单点分 布， X C 的概率为 1，则 E (C ) C ． [ 例 1-2] 设 随 机 变 量 X 服 从 (0-1) 分 布 ， 求 E ( X ) ．
b
[ 例 1-7]
设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，求 E(X ) ．

概率论与数理统计随机变量的数字特征课件


03
通过数值模拟方法可以直观地 展示随机变量的分布情况，帮 助理解概率论与数理统计中的 概念和理论。
06
总结与展望
主要内容回顾
随机变量的概念与分类
常见随机变量的性质与 分布
01
02
03
随机变量的数字特征： 均值、方差、协方差等
04
大数定律和中心极限定 理的应用
存在的问题与不足之处
学生对概念的理解不够深入 ，容易混淆不同概念之间的
掷骰子
假设掷一个六面体的骰子，每个数字出现的概率为1/6。通过数值模拟方法计算在掷n次骰子时，每个 数字出现的次数。
结果解释与讨论
01
对于投掷硬币的实例，当n逐 渐增大时，正面和反面出现的 次数逐渐接近，符合理论上的 期望值。
02
对于掷骰子的实例，当n逐渐 增大时，每个数字出现的次数 也逐渐接近理论上的期望值。
相关系数
相关系数是协方差与两个随机变量方差的比值， 用于衡量两个随机变量的线性相关程度。
意义
协方差和相关系数可以反映两个随机变量之间的 线性相关程度，正值表示正相关，负值表示负相 关，值为0表示无关。
03
随机变量的矩与特征
矩的定义
01
矩：对于实随机变量X，其k阶原点矩定义为E[X^k]
，k为非负整数。
概率论与数理统计随机变量 的数字特征课件
目 录
• 随机变量的基本概念 • 随机变量的期望值与方差 • 随机变量的矩与特征 • 随机变量的函数与变换 • 随机变量的数值模拟与实例分析 • 总结与展望
01
随机变量的基本概念
随机变量的定义
定义
设E是随机试验，S是样本空 间，对于E的每一个样本点e ，都有唯一的实数X(e)与之对 应，则称X(e)为随机变量。

大学《概率论与数理统计》课件-第四章随机变量的数字特征

几何分布： ~ () ，() =

.

7
一、随机变量的数学期望——连续型
设连续型随机变量X的概率密度为()，则X的数
学期望(均值)E(X)为
=
+∞
‫׬‬−∞
.
注意：


+∞
要求积分‫׬‬−∞ ||
+∞
若‫׬‬−∞ ||
收敛.

不收敛，则称随机变量X的数学期望不存在.
21
数学期望公式
离散型
连续型
∞
() = ෍
=
+∞
() = න

−∞
∞
() = ෍
+∞
() = න
−∞
=
∞ ∞
(, ) = ෍ ෍ , (, ) = න
= =
∞ ∞
= ෍ ෍
其他.
=
+∞
=න
−∞



= න ∙ = .





13
三、二维随机变量(X, Y)的函数Z=g(X, Y)的
数学期望
设(, ) 是二维随机变量， = , .
(1) 当(, )为离散型时，其联合分布律为
= , = = , , = , , ⋯，
= (, ) =
+∞ +∞
‫׬‬−∞ ‫׬‬−∞
, , .
14
二维随机变量(X, Y)的边缘分布的数学期望
设(, ) 是二维随机变量.
(1) 当(, )为离散型时，其联合分布律为
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(1) Z1=X1+iY1, Z2=X2+iY2为复随机变量,则(X1,Y1) 与(X2,Y2)
独立
Z1, Z2 独立
(2) Z1=X1+iY1, Z2=X2+iY2为复随机变量,则E Z1 Z2=EZ1 E Z2
Def. 2. 设X为为(, ℱ,Ｐ)概率空间中的实随机变量,其特
征函数(c.d.f.)定义为
1, 2 , , n 为复数，则有
nn
(tk tl )kl 0
k 1 l 1
(3) (t) 是连续函数.
注：上述三条性质为特征函数的特征性质， (t )
满足这三条性质，则其必为特征函数。
证明 (1) (t) EeitX 显然有 (0) 1
(2) (t) 非负定，
X (t) EeitX


eitx
dFX
(
x)
Remark1: Euler公式为 eix cosx i sin x
Remark2: 特征函数是关于实变量t的复值函数,由于
| eitx || cos(tx) i sin(tx) | 1, 所以特征函数对一切实
数t 均有意义.

n
பைடு நூலகம்E{
eitk X k
k 1
n l 1
l eitl X }
E

k
n 1
k
eit
k
X
n l 1
eitl X l


0

(3)
(t h) (t)

E{ei(th) X
eitX }
E{eitX (eihX 1)}
e itx (eihx 1)p(x)dx eitx (eihx 1) p(x)dx
D(
x

x1
)

D(
x

x2
)
定理1（逆转公式）设分布函数Ｆ(x)的特征函数为 (t)
且 x1 , x2 为 Ｆ(x)的连续点，则
F
(
x2
)

F
(
x1
)

lim
T
1
2
e e T itx1
itx 2
p(x)dx
T
it
性质5 X (t)为某随机变量X 的特征函数，EX l 存在
则
EX
k


(k X
)
(0)
ik
,
k
1,2,,l
三、逆转公式与唯一性定理
引理1 设 x1 x2 ,
g
(T
,
x,
x1,
x2
)

1

T 0

sin
t
(
x t

x1 )

sin
t(x t

x2
)
dt
则
0，x x1 or x x2


eihx 1 p(x)dx
eihx 1 p(x)dx
eihx 1 p(x)dx

|x|a
|x|a
eihx 1 p(x)dx 2 p(x)dx
|x|a
|x|a
2sin hx p(x)dx 2 p(x)dx
|x|a
2
|x|a
0,
先取定a,使
2 p(x)dx / 2 |x|a
对于
x (a, a) , 取

2a
,当 | h |
时，有
2sin hx | ha | / 2
2
从而
(t h) (t)
从而 (t) 是连续函数.且一致连续。
性质2 (t) 为某随机变量的特征函数，则
nn
nn
(tk tl )kl
Eei(tk tl ) X kl
k 1 l 1
k 1 l 1
nn
E{
e e } itk X itl X kl
k 1 l 1
n
n
E{
eitk X k
l eitl X }
k 1
l 1
EX3 二项分布B（n，p)的特征函数
X (t) ( peit q)n
EX4 均匀分布U（a,b)的特征函数
X
(t )

eibt eiat it(b a)
EX5 Gamma分布 (, ) 的特征函数

X
(t
)

1

it


pX
(x)

(
)
x

lim
T
g
(T
,
x,
x1,
x2
)

1/ 2, x 1, x1
x
x1, or x2
x

x2
证明: 根据Dirichlet积分：
1/ 2, 0
D( ) 1

0
s in t
t
dt

0,
1/
0
2,

0
lim
T
g
(T
,
x,
x1,
x2
)

§ 4.5 特征函数
一、概念
Def. 1. 设X,Y 为(, ℱ,Ｐ)概率空间中的两个实随机变量,
则称Z=X+iY 复随机变量, i2=-1. 性质1 Z=X+iY 为复随机变量,则EZ=EX+iEY
性质2 Z=X+iY为复随机变量，对其进行研究等价于研究
二维r.v. (X, Y) , 有如下性质：
(t) (0) 1 (t) (t) 性质3 (t) 为某随机变量X的特征函数，则Y=c1X+c2
的特征函数为 Y (t) eic2t (c1t)
性质4 X (t),Y (t) 为某随机变量X，Y 的特征函数，
若X，Y 独立，则
X Y (t) X (t) Y (t)
X (t) EeitX


eitx
pX
(x)dx
即为 pX (x) 的Fourier变换.
重要分布的特征函数:
EX1 退化分布I(x-c)的特征函数
X (t) EeitX eict
EX2 0-1分布B（1，p)的特征函数
X (t) EeitX
X (t) peit q
e 1 x
I
(x

0)
EX6 正态分布 N (, 2 ) 的特征函数
it 1 2t 2
X (t) e 2
exp{it
1 2t 2}
2
二、性质
性质1 (t) 为某随机变量的特征函数，则
(1) (0) 1
(2) (t) 非负定，即 n N ,t1,t2 , ,tn R,
Remark3: 特征函数只与分布有关,因此亦称为某分布的 特征函数
•若离散型随机变量X的分布律为 P( X xi ) pi ,i 1,2,
则其特征函数为

X (t) EeitX p jeitx j j 1
•若连续型随机变量X的p.d.f.为 pX (x)
则其特征函数为