山东省聊城市外国语学校2015年高一数学暑假假期作业二：正弦定理(2)

第15天利用正、余弦定理判断三角形的形状高考频度：★★★☆☆难易程度：★★★☆☆典例在线（1）在中,分别为角的对边),则的形状为A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形（2）已知的三个内角满足，则是A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形（3）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则是A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【参考答案】（1）A；（2）D；（3）D．（2）由正弦定理可得，令，则为最长的边，故角最大，由余弦定理可得，所以角为钝角，故是钝角三角形．故选D．（3）由余弦定理，可得，所以，又，所以，所以是等腰直角三角形．故选D．【解题必备】判断三角形的形状有以下几种思路：①转化为三角形的边来判断；②转化为角的三角函数（值）来判断．可简记为“化角为边”、“化边为角”．学霸推荐1．在中，已知三边，，，则是A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定2．在中,=,则三角形的形状为A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形3．在中,为的中点,满足,则的形状一定是A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形4．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.若sin B＋sin C＝1，则是____________三角形.1．【答案】C【解析】因为角C最大，且，所以角C为钝角，从而是钝角三角形，选C．2．【答案】D【解析】由正弦定理,可化为,由二倍角公式可得sin2A=sin2B,则2A=2B或2A+2B=2,所以A=B或A+B=,所以三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.3．【答案】D4．【答案】等腰钝角【解析】根据正弦定理得，即a2＝b2＋c2＋bc ①．由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，故cos A＝，A＝120°．因为sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin B sin C，sin B＋sin C＝1，所以sin B＝sin C＝，因为，0°<C<90°，故B＝C.所以是等腰钝角三角形．。

审题路线 (1)把 2asin B＝ 3b 变形为 2a＝sin3bB⇒利用正弦定理
a sin
A＝sinb
B⇒得到
sin
A＝？⇒A
为锐角，得出
A＝？
(2)由(1)知 cos A 的值⇒利用余弦定理⇒又 b＋c＝8，求 bc 的值
⇒利用三角形面积公式 S＝12bcsin A 求得．
诊断·基础知识
突破·高频第考二十点四页，编辑于培星养期五·解：十题四点能四力分。
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(2)由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，
得 b2[sin(A－B)＋sin C]＝a2[sin C－sin(A－B)]，
即 b2sin Acos B＝a2cos Asin B，
即 sin2 Bsin Acos B＝sin2 Acos Asin B，
施边、角转换.
诊断·基础知识
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考点一 利用正弦、余弦定理解三角形 【例 1】 (1)(2013·湖南卷改编)在锐角△ABC 中，角 A，B 所对
的边长分别为 a，b.若 2asin B＝ 3b，则角 A 等于______． (2)(2014·杭州模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a＝1，c＝4 2，B＝45°，则 sin C＝________.
所以 sin 2B＝sin 2A，由于 A，B 是三角形的内角，
故 0＜2A＜2π，0＜2B＜2π.
故只可能 2A＝2B 或 2A＝π－2B，
即 A＝B 或 A＋B＝π2.
故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．

6.4.2 正、余弦定理(精练)【题组一 正余弦的定理的选择】1．(2021·全国·高一课时练习)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，则下列等式正确的是( ) A ．a=b cos C+c cos B B ．a=b cos C-c cos B C ．a=b sin C+c sin B D ．a=b sin C-c sin B【答案】A【解析】b cos C+c cos B=b ·222-2a b c ab ++c ·2222-222a c b a ac a+==a ，所以A 正确、B 错误； a=b sin C+c sin B sin sin sin sin sin 2sin sin A B C C B B C ⇒=+=，显然不恒成立，故C 错误；a=b sin C- c sin B sin sin sin sin sin 0A B C C B ⇒=-=，故D 错误.故选：A2．(2021·全国·高一课时练习)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．若a =b =π4A =，则角B =( ) A ．π6B ．π3C ．π6或5π6D ．π3或2π3【答案】D【解析】在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a b A B=，所以sin sin b A B a === 因为b a >，所以B A >，因为0πB <<，所以B =π3或2π3，故选：D. 3．(2021·全国·高一课时练习)在△ABC 中，已知a ＝1，bA ＝30°，则B 等于( ) A ．60° B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°【答案】B【解析】因为1,30a b A ===︒， 由正弦定理得：sin sin a b A B =，即1sin 30︒=sin B =， 因为(0,180)B ∈︒︒，所以60B ︒=或120︒，故选：B.4(2021·贵州师大附中高一月考)在ABC 中，1a =，b =60B =︒，则A =( ) A ．30° B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°【答案】A【解析】因为在ABC 中，1a =，b =60B =︒，所以由正弦定理得，1sin A =1sin 2A =， 因为a b <，所以A 为锐角，所以30A =︒，故选：A5．(2021·贵州大学附属中学高一月考)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且45B =︒，60C =︒，b =c 等于( )ABC ．2 D【答案】B【解析】ABC 中，∵45B =︒，60C =︒，b = ∴由正弦定理sin sin b cB C=得：c =故选：B 6．(2021·贵州·镇远县文德民族中学校高一月考)在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若45A =，30B =，a =b =( ) AB．CD ．3【答案】D【解析】由正弦定理sin sin a bA B=得1sin 3sin a B b A ===.故选：D.7．(2021·全国·高一课时练习)ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若2,,6a A c π===则b =___________. 【答案】2或4【解析】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2680b b -+=，解得2b =或4.故答案为：2或4. 8．(2021·贵州大学附属中学高一月考)在ABC 中，60A =︒，3AC =，2AB =，那么BC 的长度为______．【解析】∵在ABC 中，60A =︒，3AC =，2AB =，∴由余弦定理可得：2222cos 94232cos607BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=°．∴BC =9．(2021·北京·中国农业大学附属中学高一期末)在ABC中，若6,6a b A π===，则B 的大小为__________．【答案】3π或23π【解析】由正弦定理得sin sin a bA B =，∴6sin sin sin b A B a π== ∵b a >，∴B A >，∴3B π=或23π故答案为：π3或2π310．(2021·贵州·镇远县文德民族中学校高一月考)在ABC 中，已知6a =，b =30A =，则B =______. 【答案】60或120【解析】由正弦定理sin sin a b A B=可得1sin 2sin 6b A B a === 因为30A =，则0150B <<，故60B =或120.故答案为：60或120. 【题组二 边角互换】1．(2021·江西·九江一中高一月考)在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222a b ab c +-=， 则C =( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C【解析】由题意，222222a b ab c a b c ab ⇒+-=+-=，由余弦定理，2221cos 22a b c C ab +-==，∵0C π<<，∴3C π=.故选：C.2．(2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，则A =( )A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，由正弦定理可得()()()a b a b c b c -+=-，整理可得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，()0,A π∈，3A π∴=.故选：B. 3．(2021·广东高州·高一期末)在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2cos 3A =，2B A =．则ba=( ) A ．43B ．54C ．32D ．65【答案】A【解析】由正弦定理可得，sin sin 22sin cos 42cos sin sin sin 3b B A A A A a A A A =====.故选：A. 4．(2021·全国·高一课时练习)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3,4,6a b c ===，则cos cos cos bc A ac B ab C ++的值是___________.【答案】612【解析】因为222222222cos cos cos 222b c a a c b a b c bc A ac B ab C +-+-+-++=++2226122a b c ++==,故答案为：612.5．(2021·广东·中山市第二中学高一月考)在ABC 中，若sin :sin :sin 4:5A B C =，则角A 的大小是___________． 【答案】3π【解析】由正弦定理可得：::4:5a b c =设,4,5a b k c k ===，0k >由余弦定理可得2221625211cos 2402b c a A bc +-+-===，又()0,A π∈，所以3A π=．故答案为：3π．6．(2021·广东·铁一中学高一月考)在①cos cos )cos 0(C A A B +=，②cos23sin()1B A C -+=，③cos sin b C B a +=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中， 问题：在ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a ，b 、c ，若1a c +=，________，求角B 的值和b 的最小值．【答案】答案不唯一，见解析.【解析】若选择①：在ABC 中，有A B C π++=，则由题可得：cos[()](cos )cos 0A B A A B π-++-=，cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=，sin sin cos 0A B A B =，又sin 0A ≠∴ sin B B =，∴ tan B = 又∵(0,)B π∈，∴ 3B π=因为1a c +=，所以1c a =-且(0,1)∈a由余弦定理得：2222222112cos (1)(1)331324b a c ac B a a a a a a a ⎛⎫=+-=+---=-+=-+ ⎪⎝⎭，∴ 当12a =时，2b 取最小值，()2min 14b =， ∴ b 的最小值为12若选②，在ABC 中，A B C π++=，则由题可得222cos 13cos()2cos 3cos 11B B B B π---=+-= ∴1cos 2B =或cos 2B =-(舍去)， 又∵(0,)B π∈， ∴ 3B π=．(剩下同①)若选③，由正弦定理可将已知条件转化为sin cos sin sin B C C B A +=， 又sin sin[()]sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=+，∴sin cos sin C B B C =， 又sin 0C ≠，∴ sin B B =，∴tan B 又∵(0,)B π∈， ∴ 3B π=，(剩下同①)【题组三 三角形的面积】1．(2021·浙江省兰溪市第三中学高一月考)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =1，B =45°，其面积为2，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．B ．C ．4D ．5【答案】B【解析】∵1sin 21122ABCSac B c ⨯⨯===，∴c =2222cos b a c ac B =+-，∴(22212125b =+-⨯⨯=，可得5b =. 设△ABC 的外接圆半径为R ，则2sin bR B=，∴52sin 45R ==︒.故选：B.2．(2021·全国·高一课时练习)在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若π6A =，1b =，sin C B =，则ABC 的面积S =__.【解析】因为sin C B =，由正弦定理化角为边可得：c == 所以ABC的面积111sin 1222S bc A ==⨯⨯=3．(2021·全国·高一课时练习)已知三角形的一边长为7，这条边所对的角为60︒，另两边长之比为3∶2，则这个三角形的面积是___________.【解析】依题意，设三角形另两边长分别为3,2(0)k k k >，由余弦定理得：2227(3)(2)232cos 60k k k k =+-⋅⋅， 解得27k =，于是得三角形面积213332sin 6022S k k =⋅⋅==4．(2021·全国·高一课时练习)已知在ABC 中边a，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且23ac C π===，则ABC 的面积S =___________.【解析】由正弦定理知sin 1sin 2a C A c===.由a c <，得A C <，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6A π=，所以ππ6B AC ，所以11sin 226S ac B π==-=5．(2021·福建·泉州科技中学高一月考)在ABC 中，三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若ABCS =7a b +=，3C π=，则边c =______．【解析】3C π=，1sin 2ABCSab C =，∴解得12ab =，7a b +=，∴由余弦定理可得c6．(2021·广东·惠来县第一中学高一月考)在ABC 中，60A =︒，1b =，则sin sin sina b cA B C_______．【解析】依题意1sin 2ABCSbc A =，1142c c ⨯⨯==， 由余弦定理得22214214cos6013a =+-⨯⨯⨯︒=，a =由正弦定理得13239sin sin sin sin 33a b ca A B CA. 【题组四 判断三角形的形状】1．(2021·全国·高一课时练习)在ABC 中，lg(sin sin )2lgsin lg(sin sin )A C B C A +=--，则ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】因lg(sin sin )2lgsin lg(sin sin )A C B C A +=--，则有222lg(sin sin )lg sin C A B -=，即有222sin sin sin C A B -=，于是得222sin sin sin C A B =+， 在ABC 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得：222c a b =+， 所以ABC 是直角三角形. 故选：B2．(2021·全国·高一课时练习)在ABC 中，若22,sin sin sin a b c A B C =+=⋅，则ABC 一定是( ) A ．钝角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．非等腰三角形【答案】B【解析】在ABC 中，由正弦定理及2sin sin sin A B C =⋅得：2a bc =，因2a b c =+， 则有2222()()4(2)40b c b c bc a a -=+-=-=，即b c =，因此得a b c ==， 所以ABC 是等边三角形. 故选：B3．(2021·全国·高一课时练习)在ABC 中，已知cos bA c=(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C 【解析】因为cos b A c=，所以sin cos sin B A C =，即()sin cos sin sin cos cos sin C A A C A C A C =+=+，所以sin cos 0A C =，所以sin 0A =或cos 0C =， 又因(),0,A C π∈，所以cos 0C =，则2C π=，所以ABC 为直角三角形.故选：C.4．(2021·河北张家口·高一期末)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cos a C c A c +=，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】由正弦定理得：sin cos sin cos sin A C C A C +=，sin()sin A C C ∴+=， sin sin B C ∴=，三角形内角和等于180°，B C ∴=，故选：C.5．(2021·江西·南昌市新建区第一中学高一月考)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2cos22A b c b+=，则ABC 的形状是( )． A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形【答案】C 【解析】21cos (1cos )222A b c A b +=+=，1cos 1b c c A b b +∴+==+，即cos c A b=， 又222cos 2b c a A bc +-=，∴2222b c a cbc b +-=，整理得222a c b +=， 所以ABC 为直角三角形．故选： C.6．(2021·贵州师大附中高一月考)在ABC 中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】在ABC 中，cos cos a A b B =，∴由正弦定理2sin sin a bR A B==，得2sin a R A =，2sin b R B =， sin cos sin cos A A B B ∴=，∴11sin 2sin 222A B =，sin 2sin 2A B ∴=，22A B ∴=或22A B π=-，A B ∴=或2A B π+=，ABC ∴为等腰三角形或直角三角形，故选：D【题组五 三角形个数的判断】1．(2021·山东胶州·)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若60B =︒，b 2c =，则ABC 解的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定【答案】B【解析】由正弦定理得2sin sin sin sin c b c B C C B b=⇒===，由于b c >所以C 为锐角，所以45C =︒，故三角形有唯一解. 故选：B2．(2021·福建福州·)在ABC 中，5a =，8b =，6A π=，则此三角形( )A ．有两解B ．有一解C ．无解D ．解的个数不确定【答案】A【解析】因为8b =，6A π=，所以顶点C 到AB 的距离sin 8sin 46d b A π===，因为5a =，所以d a b <<，所以以C 为圆心，5a =为半径画弧与AB 有两个交点，所以三角形有两解， 故选：A3．(2021·浙江绍兴·)若满足30ACB ∠=︒，2BC =的ABC 有且只有一个，则边AB 的取值范围是( ) A ．[)1,2 B ．{}[)12,+∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞【答案】B【解析】由题意得，sin30AB BC =︒或AB BC ≥时满足题意的ABC 有且只有一个， 则1AB =或2AB ≥. 故选:B4．(2021·安徽·东至县第二中学)已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6B π=，10c =，8b =，则ABC 的解的情况为( ) A ．无解 B ．有一解C ．有两解D ．有三解【答案】C 【解析】因为6B π=，10c =，8b =，所以1sin 1058102c B b c =⨯=<=<=，所以角C 可能是锐角也可能是钝角，所以ABC 有两解， 故选:C ．5．(2021·江西·贵溪市实验中学)不解三角形，下列三角形中有两解的是( ) A ．2,3,105a b B ===︒ B ．2,3,35a b B ===︒ C ．2,3,90a b A ===︒D ．3,2,35a b B ===︒【答案】D【解析】对A ,,a b < B 为钝角，只有一解； 对B , ,,a b < B 为锐角，只有一解； 对C , ,,a b < A 为直角，只有一解； 对D , ,,a b > B 为锐角，A 有两解； 故选：D6．(2021·上海·)在ABC 中，1,45a b A ===︒，则满足此条件的三角形的个数是( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．无数个【答案】A【解析】在ABC 中，145a b A ︒===，，由正弦定理sin sin a b A B=可得：sin 2sin 11b A B a ===>，这与sin (01]B ∈，矛盾， 所以满足此条件的三角形不存在，即个数为0.故选：A7．(2021·全国·)已知a ，b ，c 分别是ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若60A =，6c =，6a =，则此三角形有( )A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解【答案】B【解析】在ABC 中，由正弦定理可得sin sin c a C A = 因为6a =，6c =，60A =所以sin C 60C =或120C =(舍) 由三角形的内角和可得：180606060B =--=，所以此三角形为正三角形，有唯一解.故选：B.8．(2019·江苏·苏州大学附属中学)在ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，若2,1,29a b B ===︒，则此三角形解的情况是( )A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．有无数解 【答案】C 【解析】由正弦定理可得，sin 2sin 29sin 2sin 292sin 3011a B Ab ⨯===⨯<⨯=, a b >， A B ∴>，由于B 为锐角，角A 可以为锐角，也可以为钝角,即三角形的解有2个. 故选：C.9．(2021·江西省南丰县第二中学)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若a =1b =，120A =︒，则此三角形解的情况为( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定【答案】B【解析】因为a =1b =，120A =︒， 所以由正弦定理可得，sin 1sin 2b AB a ==，所以30B =︒或150B =︒，当30B =︒时，30C =︒，满足题意；当150B =︒时，180A B +>︒，不能构成三角形，舍去.综上，30B =︒，即三角形的解只有一个.故选：B ．10．(2021·福建·厦门双十中学)在ABC 中，100a =，80b =，45A =︒，则此三角形解的情况是( )A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解【答案】A 【解析】根据正弦定理有sin sin abA B =， 则sin 22sin 5b A B a ，a b >，A B ∴>，∴这样的B 只有一个，即此三角形有一个解.故选：A.【题组六 最值】1．(2021·全国·高一课时练习)在△ABC 中，a=2，c=1，则角C 的取值范围是( )A ．()π02， B ．ππ63⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．ππ62⎛⎫⎪⎝⎭， D ．π06⎛⎤⎥⎝⎦，【答案】D 【解析】在△ABC 中，a=2，c=1，由正弦定理sin sin ac A C =，得21sin sin A C =，∴sin C=12sin A.∵A ∈(0，π)，∴0<sin A ≤1，∴sin C ∈102⎛⎤⎥⎝⎦，.结合函数y=sin x 的图象可得C ∈π5π0π66⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，.∵a>c ，∴角C 是锐角，∴C ∈π06⎛⎤⎥⎝⎦，.故选：D .2．(2021·吉林·延边二中高一月考)已知ABC 三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin 0A a C +=，若角A 的平分线交BC 于D 点，且1AD =，则b c +的最小值为( )A ．4B ．6C ．3D ．5【答案】Acos sin 0A a C +=cos sin sin 0C A A C +=， 因为()0,180C ∈︒，sin 0C ≠，sin 0A A +=，即tan A =因为()0,180A ∈︒，所以120A =︒.如图，ABC ABD ACD S S S =+， 所以111sin1201sin 601sin 60222bc c b ⋅︒=⋅⋅︒+⋅⋅︒，所以bc b c =+，即111b c +=，所以11()224b c b c b c c b ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当c b =，bc b c =+，即2c b ==时，等号成立，所以b c +的最小值为4.故选：A.3．(2021·重庆第二外国语学校高一月考)在ABC 中，内角A ，B ，C 及其所对的边a ，b ，c ，且cos sin 0a C C b c --=(1)求A ；(2)若a =b c +的取值范围.【答案】(1)3A π=；(2).【解析】(1)由cos sin 0a C C b c --=，以及正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=，由于B A C π=--即sin cos sin sin()sin A C A C A C C +=++，sin cos sin sin A C A C C -=，又sin 0C >cos 1A A -=， 由辅助角公式可得1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由于0A π<<，可得5666A πππ-<-<， 所以66A ππ-=，即3A π=.(2)由(1)知3A π=，又a = 所以22sin a R A==且23B C π+=， 由正弦定理，22b c Rsin B RsinC +=+2sin 2sin B C =+22sin 2sin 3B B π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭3sin B B =1cos 2B B ⎫=+⎪⎪⎭6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又203B π<<，所以5666B πππ<+<，所以1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭6B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭综上所述b c +的取值范围为3.4．(2021·陕西·绥德中学高一月考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222a ab b c -+=.(1)求角C 的大小；(2)若c =2，求△ABC 面积的最大值.【答案】(1)3π；【解析】(1)因为222a ab b c -+=，所以222a b c ab +-=， 所以由余弦定理，得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， 因为0C π<<，所以3C π=. (2)因为3C π=，所以2222cos c a b ab C =+-，即2242a b ab ab ab ab =+-≥-=，当且仅当a b =时等号成立.所以1sin 42ABC S ab C ==≤=所以△ABC 5．(2021·四川巴中·高一期末(理))在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2cos cos cos a C b C c B -=．(1)求角C ；(2)若2a b +=，求c 的取值范围．【答案】(1)π3C =；(2)[)1,2. 【解析】(1)由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=， 即2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+，2sin cos sin()sin(π)sin A C B C A A =+=-=，因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠，所以1cos 2C =， 又因为(0,π)C ∈，所以π3C =； (2)由2a b +=得2b a =-，且02a <<由(1)知：π3C =，由余弦定理得： 222222cos (2)(2)c a b ab C a a a a =+-=+---223643(1)1a a a =-+=-+当02a <<时，由二次函数的性质知：23(1)1y a =-+的值域为[)1,4，当且仅当1a =时取等号，此时1b =， 所以214c ≤<，即12c ≤<所以c 的取值范围为[)1,2．。

正余弦定理第一篇：正余弦定理正弦、余弦定理一.填空1．在∆ABC中，BC=a，AC=b，S∆ABC=ab，则BC、AC两边的夹角等于____．2.∠A=60°，∠B=30°，a=3, 则b=,c=,∠C=3.∠A=45°，∠B=75°，b=8, 则a=,c=,∠C=.4．在∆ABC中，a=8，B=60ο，C=75ο，则b=________．5.在∆ABC中，a2+b2=c2,则∆ABC是6.在∆ABC中，a2+b2>c2, a2+c2>b2，c2+b2>a2则∆ABC是三角形。

7.在∆ABC中，a2+b28.在∆ABC中，a∶b∶c=5∶12∶13则∆ABC是9．在∆ABC中，sin2A+sin2B=sin2C，则∠C=___________．10．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则∠ABC的余弦值为___________．11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b6，B＝120°，则a＝________________.12．△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知A=π46,a=3，b=4则角二.选择题1．在∆ABC中，b=10，c=15，C=30ο，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．无解D．无法确定2．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．300或600B．450或600C．1200或600D．300或15003．在∆ABC中，a=6，B=30ο，C=120ο，则∆ABC的面积是（）A．9B．18C．9D．18 4．在∆ABC中，若sinAcosBa=b，则B的值为（）A．30οB．45οC．60οD．90ο5．在∆ABC中，AB=1，BC=2，则角C的取值范围是（）A．(0,π]B．(0,π]C．(π,ππ6362]D．[6,π)6．在∆ABC中，a=，b=1，B=30ο，则∆ABC的面积为是（）A．32B．34C．32或3D．32或47．在∆ABC中，下列命题中正确的是（）A．若sinA=112，则A=30οB若cosA=ο，则A=60C．a=80，b=100，A=45ο的三角形有一解D．a=18，b=20，A=150ο的三角形一定存在8．如果满足∠ABC=60ο，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是（）A．k=8B．0<k≤12C．k≥12D．0<k≤12或k=83 9．在∆ABC中，(sinA+sinB+sinC)2=3(sin2A+sin2B+sin2C)，则这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形D．等边三角形三解答题1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a2+c2-b2=ac.求cosB的值；2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，又A=60°，sinB:sinC=2:3.（1）求bc的值；（2）若△ABC的AB边上的高为33，求a的值.第二篇：正余弦定理正余弦定理1、正弦定理：在∆AB C中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，R为∆AB C的外接圆的半径，则有abc===2R．sin A sin B sinC2、正弦定理的变形公式：①a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2RsinC； abc，sin B=，sinC=；③a:b:c=sin A:sin B:sinC； 2R2R2Ra+b+cabc===④．sin A+sin B+sinCsin A sin B sinC②sin A=（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。