选修4 — 5 不等式选讲
第一节 绝对值不等式
本节主要包括2个知识点： 1.绝对值不等式的解法； 2,绝对值三角不等式
突破点(一)绝对值不等式的解法
抓牢双基自学区
［基本知识］
⑴含绝对值的不等式|x|va与|x|>a的解集
不等式 a>0 a = 0
av0
|x|
|x|>a {x|x>a 或 xv— a} {x€ R|x 工 0} R
(2)|ax+ b|w c, |ax + b|> c(c>0)型不等式的解法
① |ax+ b|w c? — cw ax+ bw c;
② |ax+ b|> c? ax+ b》c 或 ax+ bw— c.
⑶|x — a|+ |x— b|> c, |x— a|+ |x— b|w c(c>0)型不等式的解法
① 利用绝对值不等式的几何意义求解.
② 利用零点分段法求解.
③ 构造函数，利用函数的图象求解.
［基本能力］
1. 判断题
(1) 不等式|x|va的解集为｛x|— avxva｝.( )
⑵|x — a|+ |x— b|的几何意义是表示数轴上的点 x到点a, b的距离之和.( )
(3)不等式 |2x — 3|w 5 的解集为｛x| — 1w xw 4｝.( )
答案：⑴ X (2)V (3) V
2. 填空题
(1)若不等式|kx— 4|w 2的解集为｛x|1w xw 3｝，则实数k= __________ . 选修4 — 5 不等式选讲
解析：由 |kx — 4|w 2? 2 w kxw 6.
•••不等式的解集为{X|1W xw 3},.・.k = 2.
答案：2
⑵不等式|2x — 1|>3的解集为 ________ .
解析：由|2x —1|>3得，
2x — 1<— 3 或 2x— 1>3，即 x<— 1 或 x>2.
答案：{x|x< — 1 或 x>2}
5 1
⑶若关于x的不等式|ax— 2|<3的解集为‘X ― 3
解析：依题意，知 0.|ax— 2|<3? — 30时，不等式的解
23c=，则半短轴b=2.又椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为221164xy+=.
而椭圆方程221164xy+=在伸缩变换','2xxyy==作
用下，变为圆的方程2216xy+=，此时点(2,1)A变为点(2,2)A′.要求△ABC面积的最大值问题转化为先求过原点做直径BC′′，使△ABC′′′面积最大.又根据圆的性质，当OABC′′′⊥时，点A′到直径BC′′的距离取到最大值，此时△ABC′′′的面积为1128228222ROA′=××=最大.
再由定理，知182422ABCABCbSSa′′′==×=.
故填42.
4.利用伸缩变换解高考题
例5(2006年高考山东文科卷)已知椭圆的中心在
坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点
所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4.
(I)求椭圆的方程；
(II)直线l过点P(0，2)且与椭圆相交于A、B两
点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程.
解析：(I)易求椭圆方程为22121xy+=.
(II)椭圆22121xy+=在伸缩变换',
'2xx
yy=
=作用
下，变为圆的方程222xy+=，此时点P(0，2)在伸缩变换10
02作用下变为(0,22)P′.
由题意知直线l的斜率K存在且0K≠时，设直线l的方程为2yKx=+，则直线l′的方程为
22ykx=+1()2bKkka==，
原点到该直线l′的距离222
1dk=+，
弦长22222826222211kABRdkk′′===++，
故ΔAOB面积为
22211262222211AOBkSABdkk′′′′′==++
2222622(1)(1)kkk=++
令226(0),mkm=>则2262mk+=，
从而21224218612AOBmSmmm′′′==≤+++，
当且仅当8mm=，
即22m=时，
max1S=，
此时7k=±.所以原直线l的斜率
114(7)22bKka==×±=±，
故所求直线方程为14240xy±+=.
2017年高三数学复习 不等式选讲 题型剖析·真题训练
1 题型1:含绝对值的不等式的解法
【典型例题】
【例1】►(1)解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.
►(2)(2013江西)不等式||x－2|－1|≤1的解集为 ．
►(3)(2013重庆)若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|
【例2】(1)(2012课标)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(I)当a＝－3时,求不等式f(x)≥3的解集；
(II)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2],求a的取值范围．
►(2)(2013课标Ⅰ)函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(I)当a=-2时,求不等式f(x)
(II)设a>-1,且当1[,)22ax时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
【例3】(1)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|－m.
(I)当m＝5时,求f(x)>0的解集；
(II)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R,求m的取值范围．
►(2)已知函数f(x)＝|x－a|.
(I)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5},求实数a的值；
(II)在(I)的条件下,若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围．
【变式训练】
1.(2012山东)若不等式|kx-4|≤2解集为{x|1≤x≤3},则k=___.
2.不等式|x＋1||x＋2|≥1的实数解为__________．
3.(2015山东理)不等式|1||5|2xx的解集是
(A)(,4) (B) (,1) (C) (1,4) (D) (1,5)
4.(2013辽宁)已知函数f(x)＝|x－a|,其中a＞1.
(1)当a＝2时,求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
第3讲 柯西不等式与排序不等式
, )
1．二维形式的柯西不等式
(1)定理1(二维形式的柯西不等式)
若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．
(2)(二维变式)a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|，a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|．
(3)定理2(柯西不等式的向量形式)
设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
(4)定理3(二维形式的三角不等式)
设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2．
(5)(三角变式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则（x1－x3）2＋（y1－y3）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2．
2．柯西不等式的一般形式
设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．
3．排序不等式
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有：a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和．
排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．
柯西不等式的证明
若a，b，c，d都是实数，求证(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．
【证明】 因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2
