高三高考文科数学《不等式》题型归纳与训练

不等式练习题及讲解高中答案### 不等式练习题及讲解#### 一、基础不等式练习题1. 题目一：若 \( a, b, c \) 均为正数，证明不等式 \( a + b\geq 2\sqrt{ab} \) 成立。

2. 题目二：已知 \( x \) 和 \( y \) 均为实数，且 \( x^2 + y^2 = 1 \)，求证 \( x + y \leq \sqrt{2} \)。

3. 题目三：若 \( a, b \) 均为正整数，证明 \( a^2 + b^2 \geq 2ab \)。

4. 题目四：对于任意实数 \( x \)，证明 \( \frac{x^2}{2} +\frac{1}{2x^2} \geq 1 \)。

5. 题目五：若 \( x, y, z \) 均为正数，证明 \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{9}{xy + yz + zx} \)。

#### 二、不等式练习题讲解题目一讲解：利用算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式）：\[ a + b \geq 2\sqrt{ab} \]这是因为对于任意非负实数 \( a \) 和 \( b \)，它们的算术平均数总是大于或等于它们的几何平均数。

题目二讲解：由于 \( x^2 + y^2 = 1 \)，我们有 \( (x + y)^2 \leq 2(x^2 +y^2) = 2 \)，从而 \( x + y \leq \sqrt{2} \)。

题目三讲解：同样使用AM-GM不等式：\[ a^2 + b^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2} = 2ab \]当且仅当 \( a = b \) 时，等号成立。

题目四讲解：利用AM-GM不等式：\[ \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} \geq 2\sqrt{\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{2x^2}} = 1 \]等号成立条件是 \( x^2 = 1 \)，即 \( x = \pm 1 \)。

不等式的基本知识一、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2 bx c 0或ax2 bx c 0 a 0的解集：设相应的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的两根为x2且X! x2, b2 4ac，则标根法：其步骤是：1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；2 3 3）根据曲线显现f（x）的符号变化规律，写出不等式的解集。

女口：x 1 x 1 x 2 0 1是偶重根3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

f(x) f(x) f(x)g(x) 0七0 f(x)g(x) 0;七0g(x) g(x) g(x) 04、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式f X A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f X皿山A若不等式f x B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f X max B二、线性规划1、用二兀一次不等式(组)表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C> 0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线)2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x, y)，把它的坐标(x, y)代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点 (X。

, y。

),从Ax^+Bw+C的正负即可判断Ax+By+C> 0表示直线哪一侧的平面区域•(特殊地，当C M 0时，常把原点作为此特殊点)3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件.②线性目标函数：关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数.③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：1) 寻找线性约束条件，列出线性目标函数；2) 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；3) 依据线性目标函数作参照直线a x+b y = 0,在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解三、基本不等式.ab —21、若a,b € R,则a 2+ b 2>2ab,当且仅当a=b 时取等号2、如果a,b 是正数，那么 乞丄 .ab （当且仅当ab 时取""号）.2a b 2变形： 有:a+b > 2.、ab ； ab< ---------- ，当且仅当a=b 时取等号.23、如果a,b € R+,a • b=P （定值）,当且仅当a=b 时,a+b 有最小值 2 P ;如果a,b € R+,且a+b=S （定值）,当且仅当a=b 时,ab 有最大值注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时, 的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” 求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 常用不等式 可以求它们2) 4、 有:1)a 2b 2 2ab1（根据并不等式左右的运算结构选用 b2) a 、b 、c R,b 2c 2ab bc ca （当且仅当a b c 时，取3) 0,m 0，则-am（糖水的浓度问题）。

□▲○○○《不等式》考点及题型总结第一节 不等式一、知识要点：（一）不等式的定义：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。

（二）不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

（三）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

（四）不等式的性质：1、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变2、不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

，3、不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

二、题型分析：题型一： 不等式的概念和表达例1： x 的21与5的差不小于3，用不等式可表示为__________. 答案：1532x -≥例2：设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从大到小的顺序排列为（ ）…A 、○□△B 、○△□C 、□○△D 、△□○ 答案：A题型二：不等式性质的考察]A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个分析：由a﹤b﹤0得，a、b同为负数并且︱a︱﹥︱b︱。

可取特殊值代入，如取a=－2，b=－1代入式子中。

答案：C例2：若a﹥b，则下列式子一定成立的是（）。

A、a＋3﹥b＋5，B、a－9﹥b－9，C、－10a﹥－10b，D、a2c﹥b2c分析：由于不等式的两边乘除同一个数时存在变号的问题，因此需要对a，b的符号进行分类讨论。

或者此题也可以取特殊值代入验证，通过排除法来求解。

A、C取0，-1即可排除，D将常数取0也可排除。

答案：B例3：下列结论：①若a﹤b，则a2c﹤b2c；②若a c﹥b c，则a﹥b；③若a﹥b且若c=d，则a c﹥b d；④若a2c﹤b2c，则a﹤b。

正确的有（）。

'A、4个B、3个C、2个D、1个分析：①2c=0，即可排除；②若a、b、c都为负数即可否定；③任用前两种方法都可以排除；只有④正确。

高中数学求不等式解题技巧及题型练习（含答案解析）
放缩法证明不等式
干货全汇总
数列型不等式是高中数学绝对难点，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；
其放缩技巧主要有以下几种：
放缩法证明不等式的常见题型与基本策略1、添加或舍弃一些正项（或负项）
2、先放缩再求和（或先求和再放缩）
3、逐项放大或缩小
4、固定一部分项，放缩另外的项
5、函数放缩
6、裂项放缩
7、均值不等式放缩
8、二项放缩
常见题型练习与总结。

不等式的解题归纳第一部分 含参数不等式的解法 例1解关于x 的不等式022≤-+k kx x例2．解关于x 的不等式：(x-2x +12)(x+a)<0.例3、若不等式13642222<++++x x kkx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围.例4若不等式ax 2+bx+1>0的解集为{x ︱-3<x<5},求a 、b 的值.例5 已知关于x 的二次不等式：a 2x +(a-1)x+a-1<0的解集为R ，求a 的取值范围.例6、1．定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有 ()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.【课堂练习】1、已知(2a -1) 2x -(a-1)x-1<0的解集为R ，求实数a 的取值范围.2、解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x3、解关于x 的不等式：.012<-+ax ax【课后练习】1．如果不等式x 2－2ax ＋1≥21(x －1)2对一切实数x 都成立，a 的取值范围是2．如果对于任何实数x ，不等式kx 2－kx ＋1>0 (k>0)都成立，那么k 的取值范围是3．对于任意实数x ，代数式 (5－4a －2a )2x －2(a －1)x －3的值恒为负值，求a 的取值范围4．设α、β是关于方程 2x －2(k －1)x ＋k ＋1=0的两个实根，求 y=2α ＋2β关于k 的解析式，并求y 的取值范围第二部分 绝对值不等式1．(2010年高考福建卷)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．2．设函数()|1|||f x x x a =-+-，（1）若1a =-，解不等式()3f x ≥； （2）如果x R ∀∈，()2f x ≥，求a 的取值范围3．设有关于x 的不等式()a x x >-++73lg（1）当1a =时，解此不等式； （2）当a 为何值时，此不等式的解集为R4．已知()|1||2|g x x x =---。

《不等式》常见考试题型总结一、高考与不等式高考试题，有关不等式的试题约占总分的12% 左右，主要考查不等式的基本知识，基本技能，以及学生的运算能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力．选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，还可能与函数、方程等内容相结合的小综合．解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。

不等式常与下列知识相结合考查：①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；②解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题；③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查．二、常见考试题型（1）求解不等式解集的题型（分式不等式的解法，根式不等式的解法，绝对值不等式的解法，含参不等式的解法，简单的一元高次不等式的解法） （2）不等式的恒成立问题（不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想，分离变量法，数形结合法） （3）不等式大小比较常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。

（4）不等式求函数最值 技巧一：凑项 例：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

技巧二：凑系数例. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

技巧三： 分离例. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

技巧四：换元例. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

技巧五：函数的单调性（注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。

高中不等式试题及答案1. 若不等式\(2x-1 > 5\)成立，求\(x\)的取值范围。

答案：首先将不等式\(2x-1 > 5\)进行移项，得到\(2x > 6\)。

然后将不等式两边同时除以2，得到\(x > 3\)。

因此，\(x\)的取值范围是\(x > 3\)。

2. 已知\(a > 0\)，求不等式\(\frac{1}{a} < \frac{1}{2}\)的解集。

答案：将不等式\(\frac{1}{a} < \frac{1}{2}\)进行交叉相乘，得到\(2 < a\)。

因为已知\(a > 0\)，所以解集为\(a > 2\)。

3. 已知\(x\)和\(y\)满足\(x + y = 10\)，且\(y > 0\)，求\(x\)的取值范围。

答案：由\(x + y = 10\)可得\(x = 10 - y\)。

因为\(y > 0\)，所以\(10 - y > 0\)，即\(y < 10\)。

因此，\(x\)的取值范围是\(0 < x< 10\)。

4. 已知不等式\(3x - 2 > 7\)，求\(x\)的取值范围。

答案：将不等式\(3x - 2 > 7\)进行移项，得到\(3x > 9\)。

然后将不等式两边同时除以3，得到\(x > 3\)。

因此，\(x\)的取值范围是\(x > 3\)。

5. 已知\(a\)和\(b\)满足\(a + b = 12\)，且\(a > 0\)和\(b > 0\)，求\(a\)的取值范围。

答案：由\(a + b = 12\)可得\(b = 12 - a\)。

因为\(a > 0\)和\(b > 0\)，所以\(12 - a > 0\)，即\(a < 12\)。

同时，\(a > 0\)。

因此，\(a\)的取值范围是\(0 < a < 12\)。

高考数学不等式压轴问题归纳总结一、不等式恒成立1．已知函数()()2ln R 1mf x x m m x =+-∈+． （1）试讨论函数()f x 的极值点情况；（2）当m 为何值时，不等式()()21ln 101x x m x x+--<-（0x >且1x ≠）恒成立？2．已知函数()21ln 2f x x ax x =-+，其中a R ∈． （1）讨论函数()f x 极值点的个数；（2）若函数()f x 有两个极值点,m n ，其中m n <且2m >，是否存在整数k 使得不等式 ()()()35ln2f n k f m f n k +<<++恒成立？若存在，求整数k 的值；若不存在，请说明理由．（参考数据： ln20.7,ln3 1.1≈≈） 2．设函数()21ln 2f x x ax bx =--． （1）当0a =， 1b =-时，方程()f x mx =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．（2）令()()212a F x f x ax bx x =+++ (03)x <≤，其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 3．已知函数()ex x af x +=，其中e 为自然对数的底数，若当[]1,1x ∈-时， ()f x 的最大值为()g a ． （1）求函数()g a 的解析式； （2）若对任意的R a ∈，1e ek <<，不等式()g a ka t ≥+恒成立，求kt 的最大值． 4．已知函数()()()2ln 1f x x a x a R =--∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1x ≥时，不等式()0f x ≥恒成立，试求实数a 的取值范围． 5．已知函数()ln x mf x ex +=-．（1）设1x =是函数()f x 的极值点，求证： ln xe e x e -≥；（2）设0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围．（其中正 6．已知函数()()ln 1f x x x k x =--， k R ∈ （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x =在区间()1,+∞上有1个零点，求实数k 的取值范围；（3）是否存在正整数k ，使得()0f x x +>在()1,x ∈+∞上恒成立？若存在，求出k 的最大值；若不存在，说明理由．7．已知函数()2ln f x ax bx x =-+，（ a ， b R ∈）．（1）若1a =， 3b =，求函数()f x 的单调减区间；（2）若0b =时，不等式()0f x ≤在[1,+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当1a =， 92b >时，记函数()f x 的导函数()'f x 的两个零点是1x 和2x （12x x <），求证： ()()12633ln216f x f x ->-． 8．已知函数()()12ln 2(0)f x a x ax a x=-++<． ()1 讨论()f x 的单调性；()2 若对任意的()[]123213a x x ∈--∈，，，，，恒有()()()12ln32ln3m a f x f x +->- 成立，求实数m 的取值范围．9．已知()()ln xf x e a x a R =-∈．（1）求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当1a =-时，若不等式()()1f x e m x >+-对任意()1,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围． 10．已知函数()1ex f x x +=， ()()ln 1g x k x k x =++．（1）求()f x 的单调区间．（2）证明：当0k >时，方程()f x k =在区间()0,+∞上只有一个零点． （3）设()()()h x f x g x =-，其中0k >若()0h x ≥恒成立，求k 的取值范围． 11．已知0a ≥，函数()()22x f x x ax e =-+．（1）当x 为何值时， ()f x 取得最大值？证明你的结论； （2） 设()f x 在[]1,1-上是单调函数，求a 的取值范围；（3）设()()21xg x x e =-，当1x ≥时， ()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围．12．已知函数()32xf x xe ax bx c =+++（其中e 为自然对数的底， ,,a b c R ∈）的导函数为()'y f x =．（1）当0a c ==时，讨论函数()f x 在区间()0,+∞上零点的个数；（2）设点()()0,0A f ， ()(),B m f m 是函数()f x 图象上两点，若对任意的0m >，割线AB 的斜率都大于'2m f ⎛⎫⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围．． 13．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--． （1）证明：直线2y x =与曲线()y f x =相切；（2）若()()33f x k x x >-对()0,1x ∈恒成立，求k 的取值范围． 14．设函数．若曲线()y f x =在点()(),P e f e 处的切线方程为2y x e =-（e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若关于x 的不等式在上恒成立，求实数λ的取值范围．15．已知函数()ln b f x a x b x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(其中a ， b R ∈)． （1）当4b =-时，若()f x 在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围；（2）当1a =-时，是否存在实数b ，使得当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，不等式()0f x >恒成立，如果存在，求b 的取值范围，如果不存在，说明理由． 16．已知函数()()21ln 12f x x x =+-． （1）判断()f x 的零点个数；（2）若函数()g x ax a =-，当1x >时， ()g x 的图象总在()f x 的图象的下方，求a 的取值范围． 17．设函数()ln mf x x x=+， m R ∈．（1）当m e =时，求函数()f x 的极小值； （2）讨论函数()()3xg x f x -'=零点的个数； （3）若对任意的0b a >>，()()1f b f a b a-<-恒成立，求实数m 的取值范围．18．已知函数()f x 是偶函数，且满足()()220f x f x +--=，当(]0,2x ∈时， ()(1)x f x e ax a =+>，当(]4,2x ∈--时， ()f x 的最大值为2416e +． （1）求实数a 的值； （2）函数()()344203g x bx bx b =-+≠，若对任意的()11,2x ∈，总存在()21,2x ∈，使不等式()()12f x g x <恒成立，求实数b 的取值范围．19．已知函数()()1xf x e ax a R =--∈．(1)求函数()y f x =的单调区间；(2)试探究函数()()F ln x f x x x =-在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；(3)若()()ln 1ln x g x e x =--，且()()()f g x f x <在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围． 20．()()12ln f x x mx m R x=+-∈． （1）当1m =-时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程． （2）若()f x 在()0,+∞上为单调递减，求m 的取值范围． （3）设0a b <<，求证：ln ln b ab a -<-21．已知函数()()()2ln ,.2a f x x x g x x x a a R ==+-∈ （1）若直线()()(0),,x t t y f x y g x A B =>==与曲线和分别交于两点且曲线()y f x =在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，求a 的取值范围；（2）设()()()h x f x g x =-在其定义域内有两个不同的极值点12,,x x 且12.0,x x λ已知若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围．22．已知函数()1,xf x e x x R =--∈（1）求函数()f x 的极值； （2）求证： *21111112,333n n N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<∈ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）()()()112(0)a F x a f x x a x+=+-+->，若对于任意的()0,x ∈+∞，恒有()0F x ≥成立，求a 的取值范围．23．已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ， 212n n n S a a =+， *n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；设数列{}n b 满足： 11b =， ()122n n n b b a n --=≥，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ；（2）若()4n T n λ≤+对任意*n N ∈恒成立，求λ的取值范围． 24．设()2-1f x x a x =-+．（1）当a=2时，求不等式()1f x ≤的解集；（2）若a>0，b>0，c>0且ab+bc+ac=1，求证：当x ∈R 时，f(x) 222b 2c a ≤++二、不等式能成立1．设f （x ）=2x 2+bx+c ，已知不等式f （x ）<0的解集是（1，5）． （1）求f （x ）的解析式；（2）若对于任意x ∈ []1,3，不等式f （x ）≦2+t 有解，求实数t 的取值范围。

历年高三数学高考考点之〈不等式〉必会题型及答案体验高考体验高考1.已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集. (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1，所以－1<x ≤－12；当－12<x <12时，f (x )<2；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1， 所以，－12<x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}.(2)证明 由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2， 因此|a ＋b |<|1＋ab |.2.已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}. (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ， 当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解. 当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3， 解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞).高考必会题型题型一 含绝对值不等式的解法 含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解.例1 已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4| 得－2x ＋6≥4， 解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解； 当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4| 得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}.(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.点评 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.变式训练1 已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集.(1)证明 f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤2，2x －7，2<x <5，3，x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3. 所以－3≤f (x )≤3. (2)解 由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}； 当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为 {x |5≤x ≤6}.综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}. 题型二 不等式的证明 1.含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 2.算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立. 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立.定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立. 例2 (1)已知x ，y 均为正数，且x >y .求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(2)已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<518.证明 (1)因为x >0，y >0，x －y >0， 2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y＝2(x －y )＋1x －y2＝(x －y )＋(x －y )＋1x －y2≥33x －y21x －y2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(2)因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |， 由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，从而3|y |<23＋16＝56，所以|y |<518.点评 (1)作差法应该是证明不等式的常用方法.作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论.关键是代数式的变形能力. (2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧. 变式训练2 (1)若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.(2)已知a ，b ，c 均为正数，a ＋b ＝1，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明 (1)当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立. 当|a ＋b |≠0时，由0<|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |，所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c ， 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.题型三 柯西不等式的应用 柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立. (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立.例3 (2015·福建)已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值.解 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立.又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b . 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c . 又已知f (x )的最小值为4， 所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1) ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立.故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87. 点评 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明. (2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n)≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.变式训练3 已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.(1)解 因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立， 所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3. (2)证明 由(1)知p ＋q ＋r ＝3， 又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9， 即p 2＋q 2＋r 2≥3.高考题型精练1.如果关于x 的不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围. 解 设y ＝|x －3|－|x －4|， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤3，2x －7，3<x <4，1，x ≥4的图象如图所示：若|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集， 则(|x －3|－|x －4|)min <a .由图象可知当a >－1时，不等式的解集不是空集. 即实数a 的取值范围是(－1，＋∞).2.设x >0，y >0，若不等式1x ＋1y ＋λx ＋y ≥0恒成立，求实数λ的最小值.解 ∵x >0，y >0，∴原不等式可化为－λ≤(1x ＋1y )·(x ＋y )＝2＋y x ＋xy.∵2＋y x ＋x y ≥2＋2y x ·xy＝4， 当且仅当x ＝y 时等号成立. ∴[(1x ＋1y)(x ＋y )]min ＝4，∴－λ≤4，λ≥－4.即实数λ的最小值是－4.3.若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.解 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5； 当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为[－1，12].4.设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ，(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值.解 (1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号，所以f (x )的最小值为3. 5.已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |. (1)解 f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1； 当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4； 当x >1时，由2x <4，得1<x <2. ∴综上可得－2<x <2，即M ＝(－2，2). (2)证明 ∵a ，b ∈M ， 即－2<a <2，－2<b <2，∴4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)(4－b 2)<0， ∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2， ∴2|a ＋b |<|4＋ab |.6.已知a 2＋2b 2＋3c 2＝6，若存在实数a ，b ，c ，使得不等式a ＋2b ＋3c >|x ＋1|成立，求实数x 的取值范围.解 由柯西不等式知[12＋(2)2＋(3)2][a 2＋(2b )2＋(3c )2] ≥(1·a ＋2·2b ＋3·3c )2即6×(a 2＋2b 2＋3c 2)≥ (a ＋2b ＋3c )2. 又∵a 2＋2b 2＋3c 2＝6， ∴6×6≥(a ＋2b ＋3c )2， ∴－6≤a ＋2b ＋3c ≤6，∵存在实数a ，b ，c ，使得不等式a ＋2b ＋3c >|x ＋1|成立.∴|x ＋1|<6，∴－7<x <5. ∴x 的取值范围是{x |－7<x <5}. 7.设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值. 解 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}. (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为{x |x ≤－a2}.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.8.(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0， 解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞).。