三次函数及其切割线的关系
曾文远
中国/北京市/北京十一学校
指导教师：***
1
摘要
本文共七章，主要研究了三次函数上一点的切线，割线和三次函数的关系；三次函数上一点切线，割线斜率的性质；三次函数图像的性质和分类；以及三次函数的一种新定义。
全文结构安排如下：
第一章介绍了文章的研究背景，基本记号，一些基本定义，引理和定理。
第二章研究了三次函数上一点处的切线和该三次函数相交的问题。包括切点，交点的坐标关系和切线与三次函数围成图形的面积。
第三章中类比圆锥曲线的极坐标形式，研究了三次函数上一点到一定直线距离的问题，并给出了三次函数新的定义形式。
第四章研究了三次函数图像的对称问题。
第五章研究了三次函数零点处切线斜率的性质，并利用范德蒙德行列式将部分结论推广到n次函数。
第六章研究了平面上一点和三次函数三个零点连线的斜率问题，并推广到n次函数。
第七章研究了三次函数的图像类型与其对应的三次方程的解之间的关系。
关键词：三次函数 三次函数图像 零点 极值点 拐点 斜率 切线 割线 对称中心 面积 n次函数 范德蒙德行列式
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目录
摘要 1
第一章 4
1.1 4
第二章 8
2.1 8
第三章 12
3.1 12
·学海导航·
图5例13 (
2015
全国Ⅰ
卷)《九章算术》是我国古代
内容极为丰富的数学名著,
书中有如下问题:“今有委
米依垣内角,下周八尺,高
五尺.
问:积及为米几何?”
其意思为:“在屋内墙角处
堆放米(如图5,米堆为一个圆锥的
1/
4),米堆底部的
弧长为8
尺,米堆的高为5
尺,问米堆的体积和堆放
的米各为多少?”已知1
斛米的体积约为1.62
立方
尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(
)
.
A 14
斛; B 22
斛;
C 36
斛; D 66
斛
欲求堆放的米约多少斛,必须先求出米堆的体积,即1/
4
圆锥的体积.
注意到圆锥的高
为已知,因此根据圆锥底面弧长,即1/
4
圆周的弧长,
求出圆锥底面的半径是解题的关键.
设圆锥底面半径为r,则14×3×2r=8,所以
r=
16
3.
所以米堆的体积
V=1
4×1
3×3×(16
3)
2×5=320
9(立方尺),
故堆放的米约为320
9÷1.62≈22(斛),因此选
B.
此题选自于《九章算术》第5
章“商功”中的
第26
题.
主要考查圆周长的计算、圆锥的体
积公式以及古量器中的容量单位“斛”与“立方尺”的
换算.
虽然难度不大,但背景材料却体现了灿烂的数
学文化.“商功”一章的内容是:土石工程和体积计算.
共收集了28
个问题,主要讲述各种几何体体积的计
算方法.
涉及的几何体有长方体、棱柱、棱锥、棱台、圆
柱、圆锥、圆台、楔形体等,问题大都来源于营造城垣、
开凿沟渠,修建仓窖等实际工程.
现今流传的《九章
算术》,是指三国时期刘徽为
《九章算术》所作的注本,它是《算经十书》中最重要的
一部可以与西方《几何原本》相媲美的世界数学名著,
距今已有2000
余年的历史.
选择此题作为高考试题,
旨在体现对传统文化的继承和发扬.
近年来,
我国正大力倡导弘扬传统文化,从这个
层面上讲,上述问题既展示了数学从古到今巨大的应
用价值,又体现了我国数学研究的悠久历史和璀璨夺
目的厚重文化.
(作者单位:北京陈经纶中学)◇
四川
胡
静
由于三次函数的导函数是二次函数,而二次函数
三次函数在已知区间上的极值问题的解析
1. 引言
三次函数是一种具有多项式系数的函数，其中最高次项的次数为3。在已知区间上求解三次函数的极值问题是数学中常见的问题之一。本文将对这一问题进行解析。
2. 三次函数的一般形式
三次函数的一般形式可以表示为：$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$，其中$a, b, c, d$是实数系数，且$a \neq 0$。
3. 求解极值的方法
为了求解三次函数在已知区间上的极值问题，我们可以使用以下步骤：
步骤1：求导
首先，我们对三次函数 $f(x)$ 进行求导操作，得到一次导数
$f'(x)$。
步骤2：解方程 $f'(x) = 0$ 接下来，我们将一次导数 $f'(x)$ 设为零，并解方程 $f'(x) = 0$。
步骤3：确定极值点
通过求解方程 $f'(x) = 0$，我们可以得到一些特定的$x$值，这些$x$值即为三次函数在已知区间上的可能极值点。
步骤4：验证极值点
在步骤3中得到的可能极值点中，我们需要验证哪些是极大值点，哪些是极小值点。通过计算二次导数（或使用其他方法），我们可以判断每个可能极值点的性质。
4. 实例分析
以下是一个具体的实例分析，以帮助读者更好地理解以上方法：
假设我们需要求解三次函数 $f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x + 1$ 在区间 $[-1, 2]$ 上的极值问题。
- 步骤1：求导
对函数 $f(x)$ 进行求导，得到一次导数 $f'(x) = 6x^2 - 12x + 4$。
- 步骤2：解方程 $f'(x) = 0$
将一次导数 $f'(x)$ 设为零，并解方程 $6x^2 - 12x + 4 = 0$。通过求解这个二次方程，我们可以得到可能极值点的横坐标。
- 步骤3：确定极值点
通过解方程 $6x^2 - 12x + 4 = 0$，我们可以得到可能极值点的横坐标：$x = \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$。
中学数学教学参考 ２０１３年第１２期（上甸） 一
金雪峰沈 恒（浙江省湖州市第二中学）
新课标教材中“导数”一章的内容在高中数学中
的地位日显重要，三次函数（以及三次函数的复合函
数等）图象的切线问题成为各地高考、模拟的一大热
点，也是中学数学教学的一大难点．之所以成为难点，
笔者认为原因有三：其一，没学极限学导数，本身给导
数教学带来的是一种不清不楚的知识环境（对文科学
生更为严重）；其二，高中数学对切线的概念并没有详
细的说明（仅在《选修２—２》中有描述性介绍），很多中
学生直到毕业还没有认识到切线和一个公共点是既
非充分又非必要的关系；其三，解决三次函数及其各
种较为复杂的复合函数的问题，必须使用导数这一工
具，但学生对其中隐含的导数基本知识掌握得不够扎
实，各种数学思想（数形结合思想、分类讨论思想、转
化化归思想，等等）在综合题中的理解还不足．
在高三复习教学中，第一轮复习的主要任务是夯
实基础、构建完整知识体系，对基本概念的掌握是必
不可少的环节．笔者连续几年任教高三文科数学，发
现学生对导数这一章中所涉及的切线问题易错．究其
原因，笔者认为三次函数中的切线和以前学生脑海中
对切线的认知有重大的冲突，学生原有的知识体系受
到新认知的冲击，从而不能正确理清三次函数的切线
的联系和差别．正是出于上述考虑，笔者以校本为基
准开发了“三次函数的切线问题”的学案式教学，希望
通过这一内容的整合教学解决学生在切线概念上的
认知冲突，从而更好地应用切线解决相关问题．（注：
本文学案式教学在文科班中实施，学案提前一天下
发，请学生解决基础问题并思考变式问题） １ 教学实录
１．１缘自最近发展区。理清切线的概念
教师：切线对我们而言并不陌生，但是很多同学
对它的认识不够全面，所以今天我们来好好研究一下
切线．（教师板书课题，投影显示问题：图１中的切线
有什么特点？）
争
教师：我们观察这些切线之后发现它们有以下特
