三次函数性质总结

三次函数的图像和性质 知识回顾：定义：形如()()0,23≠+++=a d cx bx ax x f 的函数叫做三次函数；定义域：R ；值域：R ；图像：对称性：中心对称图形，对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b f a b O 3,3；三次多项式因式分解：()()()32123x x x x x x a d cx bx ax ---=+++方法一：试根，待定系数因式分解；方法二：代数基本定理：d s a r i i ,，则多项式的所有有理数根一定在ii r s 中取得；典例1：三次函数单调区间和极值 1. 已知函数()1223-+-=x x x x f（1）求函数的单调区间和极值；（2）判断函数的零点个数；典例2：三次函数的零点问题1. 已知函数()λ--+-=1223x x x x f ，若函数存在三个零点，则实数λ的取值范围 ；2. 已知奇函数()x f 是R 的单调函数，若函数()()213--++=x f x f y λ至少有两个零点，求实数a 的取值范围．变式训练：设函数()a ax x x x f ++-=2331有三个零点，求实数a 的取值范围．典例3：三次函数的切线问题1. 设函数()()1,3+==x x g x x f λ（1）若曲线()x g与函数()x f 的图像相切，求实数λ的值； （2）若()()x g x f =有三个根，求实数λ的值；2. 已知函数()x x x f 323-=． （1）求()x f 的对称中心以及对称中心处的切线方程；（2）若过点()t P,1存在3条直线与曲线()x f 相切，求实数t 的取值范围； （3）讨论过点()()R n m n m ∈,,,存在几条直线与曲线()x f 相切；经验分享：一般的三次函数的切线条数有如下规律：三次函数()()0,23≠+++=a d cx bx ax x f 的图像和其相应过对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b f a b O 3,3的切线l 将平面分为如下四个区域：（1）过区域①，③内的点可作3条与曲线()x f 相切的直线； （2）过曲线()x f 或直线l 上且不在O 处的点可作2条与曲线()x f 相切的直线；（3）过O 或区域②，④内的点可作1条与曲线()x f 相切的直线；•O ② ③④ O •①② ④。

三次函数对称轴三次函数是指具有三次方项的多项式函数，其一般形式可以表示为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中 a、b、c、d 是常数且a ≠ 0。

对于三次函数，一个重要的特性是它的对称轴。

对称轴是指将函数图像分为两部分并且两部分是镜像对称的一条直线。

本文将探讨三次函数对称轴的性质和确定方法。

一、三次函数对称轴的性质三次函数的对称轴具有以下性质：1. 对称轴与 x 轴平行：三次函数的对称轴与 x 轴平行，这意味着对称轴的斜率为零。

从几何意义上理解，对称轴是函数图像左右对称的直线，因此与 x 轴平行。

2. 在对称轴上对称：对于三次函数，对称轴上的一点和它关于对称轴对称的点的纵坐标相等。

这是对称轴的定义，也是三次函数图像的基本性质。

3. 确定函数图像的形状：对称轴是确定三次函数图像形状的关键特征之一。

在对称轴上的点对称地分布在函数图像的两侧，因此对于左右对称的三次函数，对称轴将函数图像分为镜像对称的部分。

二、确定三次函数对称轴的方法确定三次函数的对称轴的方法如下：1. 利用函数的一般形式：对于一般形式为 f(x) = ax^3 + bx^2 +cx + d 的三次函数，可以通过观察系数 b 和 c 的关系来确定对称轴。

如果 b = 0，则对称轴为竖直线 x = 0；如果 c = 0，则对称轴为竖直线 x = -b/3a；如果b ≠ 0 且c ≠ 0，则对称轴为竖直线 x = -b/3a。

2. 利用函数图像的性质：三次函数的对称轴可以通过观察函数图像的形状来确定。

首先绘制函数的图像，然后观察图像左右对称的部分。

对称轴将图像分为两份，并且两份是镜像对称的。

找到对称轴上的一点，并确定其关于对称轴的对称点，连接这两点就是对称轴。

三、实例分析接下来通过实例分析来具体说明三次函数对称轴的确定方法。

例1：考虑三次函数 f(x) = 2x^3 - 4x^2 - x + 3。

首先观察系数，这里 a = 2，b = -4，c = -1。

三次函数的性质三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解，才可以做到知己知彼，百战不殆．性质一单调性以a>0为例，如图1，记Δ=b2−3ac为三次函数图象的判别式，则图1 用判别式判断函数图象当Δ⩽0时，f(x)为R上的单调递增函数；当Δ>0时，f(x)会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值．性质一的证明f(x)的导函数为f′(x)=3ax3+2bx+c,其判别式为4(b2−3ac)，进而易得结论．例1 设直线l与曲线y=x3+x+1有三个不同的交点A,B,C，且|AB|=|BC|=5√，求直线l的方程．解由|AB|=|BC|可知B为三次函数的对称中心，由性质一可得B(0,1)，进而不难求得直线l的方程y=2x+1．性质二对称性如图2，f(x)的图象关于点P(−b3a,f(−b3a))对称（特别地，极值点以及极值点对应的图象上的点也关于P对称）．图2 图象的对称性反之，若三次函数的对称中心为(m,n)，则其解析式可以设为f(x)=α⋅(x−m)3+β⋅(x−m)+n,其中α≠0．性质二的证明由于f(x)=a(x+b3a)3+(c−b23a)(x+b3a)−bc3a+2b327a2+d,即f(x)=(x+b3a)3+(c−b23a)(x+b3a)+f(−b3a),于是性质二得证．例2 设函数f(x)=x(x−1)(x−a)，a>1．（1）求导数f′(x)，并证明f(x)有两个不同的极值点x1，x2；（2）若不等式f(x1)+f(x2)⩽0成立，求a的取值范围．（1）解f(x)的导函数f′(x)=(x−1)(x−a)+x(x−a)+x(x−1)=3x2−2(a+2)x+a,而f′(0)f′(1)f′(a)=a>0,=1−a<0,=a(a−1)>0,于是f′(x)有两个变号零点，从而f(x)有两个不同的极值点．（2）解根据性质二，三次函数的对称中心(a+13,f(a+13))是两个极值点对应的函数图象上的点的中点．于是f(x1)+f(x2)=2f(a+13)⩽0,即2⋅a+13⋅a−23⋅−2a+13⩽0,结合a>1，可得a的取值范围是[2,+∞)．注本题为2004年高考重庆卷理科数学第20题．性质三切割线性质如图3，设P是f(x)上任意一点（非对称中心），过P作函数f(x)图象的一条割线AB与一条切线PT（P点不为切点），A、B、T均在f(x)的图象上，则T点的横坐标平分A、B点的横坐标．图3 切割线性质推论1设P是f(x)上任意一点（非对称中心），过P作函数f(x)图象的两条切线PM、PN，切点分别为M、P，如图．则M点的横坐标平分P、N点的横坐标，如图4．图4 切割线性质推论一推论2设f(x)的极大值为M，方程f(x)=M的两根为x1、x2（x1<x2），则区间[x1,x2]被−b3a和极小值点三等分．图5 切割线性质推论二性质三的证明设f(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0），直线PT:y=k0x+m0，直线PAB:y=kx+m，则分别将直线PT与直线PAB的方程与三次函数的解析式联立，得ax3+bx2+(c−k0)x+d−m0=0,ax3+bx2+(c−k)x+d−m=0,于是根据三次方程的韦达定理可得2x T+x P=x A+x B+x P,即x T=x A+x B2,于是命题得证．推论1和推论2的证明留给读者．例3 如图6，记三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图象为C，若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1,f(x1))处的切线交于另一点P2(x2,f(x2))，曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3,f(x3))，线段P1P2、P2P3与曲线C所围成的封闭图形的面积分别记为S1、S2．求证：S1S2是定值．图6解由性质二，任意三次函数f(x)都可以通过平移变化变成g(x)=px3+qx,然后可以作伸缩变换变成h(x)=x3+rx,而无论平移还是伸缩，题中的S1S2均保持不变，因此只需要证明命题对三次函数h(x)=x3+rx成立即可．根据题意，联立函数h(x)=x3+rx与函数h(x)在P1处的切线方程得(x−x1)2⋅(x−x2)=0,于是2x1+x2=0,即x2=−2x1.又由性质三的推论1，可得2x1=x2+x3,即x3=4x1.于是，线段P1P2与曲线C所围成的封闭图形的面积S1=∣∣∣∫x2x1(x−x1)2⋅(x−x2)d x∣∣∣=∣∣∣∫−2x1x1(x3−3x21x+2x31)d x∣∣∣=∣∣∣(14x4−32x21x2+2x31x)∣∣∣−2x1x1∣∣∣=274x41,类似的，线段P2P3与曲线C所围成图形的面积S2=274x42,于是所求的面积之比为S1S2=(x1x2)4=116.注此题即2010年高考福建卷理科数学第20题第（2）小问（第（1）小问要求证明该结论对f(x)=x3−x成立）．性质四切线条数如图7，过f(x)的对称中心作切线l，则坐标平面被切线l和函数f(x)的图象分割为四个区域，有以下结论：图7 切线条数①过区域I、III 内的点作y=f(x)的切线，有且仅有三条；②过区域II、IV 内的点以及对称中心作y=f(x)的切线，有且仅有一条；③过切线l或函数f(x)图象（除去对称中心）上的点作y=f(x)的切线，有且仅有两条．性质四的证明由性质二，不妨设f(x)=x3+mx，坐标平面内一点P(a,b)．三次函数图象上x=t处的切线方程为y=(3t2+m)(x−t)+t3+mt,即y=(3t2+m)x−3t3,切线过点P(a,b)，即b=−3t3+3at2+ma.而三次函数对称中心处的切线方程为y=mx,于是考虑直线y=b−ma与函数y=−3t3+3at2的图象公共点个数．当a=0时，无论b取何值，均为1个公共点；当a>0时，b−ma>0时为1个公共点，b−ma=0时为2个公共点，b−ma<0时为3个公共点；当a<0时，b−ma>0时为3个公共点，b−ma=0时为2个公共点，b−ma<0时为1个公共点．综上，性质四得证．在高考中，对结论①的考察最为常见，例如2007年高考全国II卷理科数学第22题（压轴题）就是证明性质四的结论①：已知函数f(x)=x3−x．（1）求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程；（2）设a>0，如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线，证明：−a<b<f(a)．例4设函数f(x)=13x3−a2x2+bx+c，其中a>0．曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1．（1）确定b,c的值；（2）设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2)．证明：当x1≠x2时，f′(x1)≠f′(x2)；（3）若过点(0,2)可作曲线y=f(x)的三条不同切线，求a的取值范围．解（1）f(x)的导函数为f′(x)=x2−ax+b,于是该函数在x=0处的切线方程为y=bx+c,因此b=0,c=1.（2）函数f(x)在x=t处的切线方程为y=(t2−at)(x−t)+13t3−a2t2+1,当切线过点(0,2)时可得23t3−a2t2+1=0,于是x1,x2是该方程的两个不等实根．考虑f′(x1)−f′(x2)=(x21−ax1)−(x22−ax2)=(x1−x2)⋅(x1+x2−a),而⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪23x31−a2x21+1=0,23x32−a2x22+1=0,两式相减并约去x1−x2，得x21+x1x2+x22=34a2,而x21+x1x2+x22=(x1+x2)2−x1x2>(x1+x2)2−14(x1+x2)2=34(x1+x2)2,于是x1+x2≠a,进而可得f′(x1)≠f′(x2).（3）函数f(x)的对称中心为(a2,−a312+1)，于是在对称中心处的切线方程为y=−a24(x−a2)−a312+1,根据性质四的结论①，可得1<2<−a324+1,解得a>23√3,即a的取值范围是(23√3,+∞)．练习题练习1、已知函数f(x)=13x3+ax2+bx，且f′(−1)=0．（1）试用含a的代数式表示b；（2）求f(x)的单调区间；（3）令a=−1，设函数f(x)在x1,x2（x1<x2）处取得极值，记点M(x1,f(x1))，N(x2,f(x2))，证明：线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点．练习2、已知f(x)=x3+bx2+cx+d在(−∞,0)上是增函数，在(0,2)上是减函数，且方程f(x)=0有三个根，它们分别为从小到大依次为α、2、β．求|α−β|的取值范围．练习3、如图8，记原点为点P1(x1,y1)，由点P1向三次函数y=x3−3ax2+bx（a≠0）的图象（记为曲线C）引切线，切于不同于点P1的点P2(x2,y2)，再由点P2引此曲线C的切线，切于不同于点P2的点P3(x3,y3)．如此继续作下去，得到点列{P n(x n,y n)}．试回答下列问题：图8（1）求数列{x n}的递推公式与初始值；（2）求lim n→+∞x n，并指出点列{P n}的极限位置在何处？练习4、已知f(x)=x3−x，过点(x0,y0)作f(x)图象的切线，如果可以作出三条切线，当x0∈(0,1)时，求点(x0,y0)所在的区域面积．练习5、已知函数f(x)=2x3−3x．（1）求f(x)在区间[−2,1]上的最大值；（2）若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，求t的取值范围；（3）问过点A(−1,2)，B(2,10)，C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切？（只需写出结论）练习6、已知函数f(x)=13x3+ax2+bx，且f′(−1)=0．（1）试用含a的代数式表示b，并求f(x)的单调区间；（2）令a=−1．设函数f(x)在x1,x2（x1<x2）处取值极值，记点M(x1,f(x1))，N(x2,f(x2))，P(m,f(m))，x1<m⩽x2．请仔细观察曲线f(x)在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解答以下问题：①若对任意的m∈(t,x2]，线段MP与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，试确定t 的最小值；②若存在点Q(n,f(n))，x1⩽n<m，使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必写出求解过程）．练习题的参考答案练习1、（1）f(x)的导函数为f′(x)=x2+2ax+b,于是所求的代数表达式为b=2a−1.（2）在（1）的基础上，有f′(x)=(x+1)⋅(x+2a−1),于是当a<1时，函数f(x)的单调递增区间是(−∞,−1)和(1−2a,+∞)，单调递减区间为(−1,1−2a)；当a=1时，函数f(x)的单调递增区间是R；当a>1时，函数f(x)的单调递增区间是(−∞1−2a)和(−1,+∞)，单调递减区间是(1−2a,−1)．（3）此时f(x)=13x3−x2−3x,而f′(x)=x2−2x−3,于是M(−1,53)，N(3,−9)．根据性质二，该公共点为三次函数f(x)图象的对称中心(1,−113)．注本题为2009年高考福建卷文科数学第21题（压轴题）．练习2、根据题意，x=0为f(x)的导函数f′(x)=3x2+2bx+c的零点，于是c=0．又f(2)=0，于是8+4b+d=0,即d=−4b−8,从而f(x)=x3+bx2−(8+4b)=(x−2)⋅[x2+(b+2)x+2b+4],因此(α−β)2=(α+β)2−4α⋅β=(2−b)2−16.另一方面，由f(x)在(0,2)上是减函数得f′(2)⩽0，即12+4b⩽0,于是可得b的取值范围是b<−3.从而|α−β|的取值范围是[3,+∞)．练习3、（1）根据已知，联立P1出发的切线方程与曲线C的方程，得(x−x1)(x−x2)2=0,又x1=0，切线方程只能改变左边三次式的一次项和常数项，于是可得x2=32a.进而由性质三的推论1可得∀n⩾3∧n∈N∗,2x n=x n−1+x n−2.于是数列{x n}的递推公式与初始值为x n=x n−1+x n−22,n⩾3∧n∈N∗,x1=0,x2=32a.（2）由数列的递推公式不难得到通项∀n∈N∗,x n=a⋅[1−(−12)n−1],于是lim n→+∞x n=a.因此点列{P n}的极限位置为(a,−2a3+ab)，也就是三次函数的对称中心．练习4、函数f(x)在对称中心(0,0)处的切线方程为y=−x,于是根据性质四的结论①，我们可得所求区域面积为∫10[x3−x−(−x)]d x=∫10x3d x=14.练习5、（1）f(x)的导函数f′(x)=6x2−3,于是可得f(x)在区间[−2,1]上的最大值为max{f(−2√2),f(1)}=2√.（2）函数f(x)在对称中心(0,0)处的切线方程为y=−3x,根据性质四的结论①，可得−3<t<f(1),即−3<t<−1,于是t的取值范围是(−3,−1)．（3）根据性质四，可得过A(−1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切；过B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切；过C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切．注本题为2014年高考北京卷文科数学第20题（压轴题）．练习6、（1）b=2a−1；当a>1时，函数f(x)的单调递增区间为(−∞,1−2a)和(−1,+∞)，单调递减区间为(1−2a,−1)；当a=1时，函数f(x)的单调递增区间为R；当a<1时，函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)和(1−2a,+∞)，单调递减区间为(−1,1−2a)．（2）①t的最小值为2，证明从略；②m的取值范围为(1,3]．注本题为2009年高考福建卷理科数学第21题（压轴题）．。