5-4三次函数的图象和性质

293-b ±b2- 3ac专题4 三次函数的图像和性质第一讲三次函数的基本性质设三次函数为f (x)=ax3 +bx2 +cx +d （a 、b 、c 、d ∈R 且a ≠ 0 ），其基本性质有：性质一：定义域为R．性质二：值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．性质三：单调性和图象．a > 0 a < 0图像∆>0 ∆≤ 0 ∆> 0 ∆≤ 0当 a > 0 时，先看二次函数 f '(x) = 3ax+ 2bx +c ， ∆= 4b- 12ac = 4(b- 3ac)①当∆= 4b2 - 12ac = 4(b2 - 3ac) > 0 ，即b2 - 3ac > 0 时，f '(x) 与x 轴有两个交点x ，x ，f (x) 形成三个单1 2点区间和两个极值点x1，x2，图像如图1，2．②当∆= 4b2 - 12ac = 4(b2 - 3ac) = 0 ，即b2 - 3ac = 0 时，f '(x) 与x 轴有两个等根x ，x ，f (x) 没有极值点1 2图像如图3，4．③当∆= 4b2 - 12ac = 4(b2 - 3ac) < 0 ，即b2 - 3ac < 0 时，f '(x) 与x 轴没有交点，f (x) 没有极值点，图像如图5，6．图1 图2 图3 图4 图5 图6当 a < 0 时，同理先看二次函数 f '(x) = 3ax2 + 2bx +c ，. ∆= 4b2 - 12ac = 4(b2 - 3ac)①当∆= 4b2-12ac = 4(b2- 3ac) > 0 ，即b2- 3ac > 0 时，f '(x) 与x 轴有两个交点x ，x ，f (x) 形成三个单1 2点区间和两个极值点x1，x2.②当∆= 4b2 - 12ac = 4(b2 - 3ac) = 0 ，即b2 - 3ac = 0 时，f '(x) 与x 轴有两个等根x ，x ，f (x) 没有极值点.1 2③当∆= 4b2 - 12ac = 4(b2 - 3ac) < 0 ，即b2 - 3ac < 0 时，f '(x) 与x 轴没有交点，f (x) 没有极值点.性质四：三次方程 f (x )= 0 的实根个数对于三次函数 f (x )=ax3 +bx2 +cx +d （a 、b 、c 、d ∈R 且a ≠ 0 ），其导数为 f '(x) = 3ax2+ 2bx +c当b2-3ac > 0 ，其导数f '(x) = 0有两个解x1 ，x2 ，原方程有两个极值x1、x2 =3a.294x 1x 2x 1 x 2x①当 f (x 1 ) ⋅ f (x 2 ) > 0 ，原方程有且只有一个实根，图像如图 13，14. ②当 f (x 1 ) ⋅ f (x 2 ) = 0 ，则方程有 2 个实根，图像如图 15，16. ③当 f (x 1 ) ⋅ f (x 2 ) < 0 ，则方程有三个实根，图像如图 17.图 13 图 15 图 16 图 17性质五：奇偶性对于三次函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d （ a 、b 、 c 、 d ∈ R 且 a ≠ 0 ）. ① f (x ) 不可能为偶函数；②当且仅当b = d = 0 时是奇函数． 性质六：对称性（1）结论一：三次函数是中心对称曲线，且对称中心是(- b , f (- b)) ；3a 3a（2）结论二：其导函数为 f '(x ) = 3ax 2+ 2bx + c = 0 对称轴为 x = - b 3a，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见， y = f (x ) 图象的对称中心在导函数 y = f '(x )的对称轴上，且又是两个极值点的中点， 同时也是二阶导为零的点；（3）结论三： y = f (x ) 是可导函数，若 y = f (x ) 的图象关于点(m , n ) 对称，则 y = f '(x ) 图象关于直线 x = m对称.（4）结论四：若 y = f (x ) 图象关于直线 x = m 对称，则 y = f '(x ) 图象关于点(m , 0) 对称.（5）结论五：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.（6）结论六：已知三次函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 的对称中心横坐标为 x 0 ，若 f (x )存在两个极值点 x 1，x ，则有 f (x 1 ) - f (x 2 ) = - a (x - x )2 = 2f '(x ).2 x - x 2 1 23 0 1 2性质七：切割线性质（1）设 P 是 f (x )上任意一点(非对称中心)，过点 P 作函数 f (x )图象的一条割线 AB 与一条切线 PT ( P 点不为切点), A , B , T 均在 f (x )的图象上，则T 点的横坐标平分 A 、B 点的横坐标，如图 18．图 18图 19 图20295推论 1：设 P 是 f (x )上任意一点（非对称中心)，过点 P 作函数 f (x )图象的两条切线 PM 、PN 切点分别为 M 、P ，则 M 点的横坐标平分 P 、N 的横坐标，如图 19．推论 2 ： 设 f (x ) 的极大值为 M ， 当成 f (x ) = M 的两根为 x 1 ， x 2 (x 1 < x 2 ) ， 则区间 [x 1 , x 2 ] 被中心(- b , f (- b)) 和极小值点三等分，类似的，对极小值点 N 也有此结论，如图 20． 3a 3a第二讲 三次函数切线问题一般地，如图，过三次函数 f (x )图象的对称中心作切线 L,则坐标平面被切线 L 和函数 f (x )的图象分割为四个区域，有以下结论：（1）过区域Ⅰ、IV 内的点作 f ( x )的切线，有且仅有 3 条；（2）过区域 II 、Ⅲ内的点以及对称中心作 f (x )的切线，有且仅有 1 条；（3）过切线 L 或函数 f (x )图象（除去对称中心）上的点作 f (x )的切线，有且仅有 2 条． 【例 1】过点(1，-1)与曲线 f (x ) = x 3 - 2x 相切的直线方程是．【例 2】若2 f (x ) + f (-x ) = x 3 + x + 3对 x ∈ R 恒成立，则曲线 y = f (x )在点(2, f (2))处的切线方程为．【例 3】过点 A (2 ，1)作曲线 f (x ) = x 3 - 3x 的切线最多有（ ）A ． 3条B ． 2 条C ．1条D ． 0 条秒杀秘籍：第三讲 四段论法则─“房间里装大象”f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a > 0)且导函数∆ > 0 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a < 0)且导函数∆ > 0极大值极大值极小值等值点中心 极小值 极小值 中心 极小值等值点1．对称中心： ⎛ - b ，f ⎛ - b ⎫⎫ ；3a 3a ⎪⎪⎝⎝ ⎭⎭2．极大值到对称中心距离为∆x ，极小值到对称中心距离为∆x ，极小值等值点到极大值距离为 ∆x ，极大值等值点到极小值距离为 ∆x ；3．对称中心为极值与极值等值点的三等分点（三次函数性质七）.2960 0 【例 4】函数 f (x ) = x 3 - 3x + 1在闭区间[-3 , 0]上的最大值、最小值分别是（ ）A ．1， -1B ． 3， -17C ．1， -17D ． 9 ， -19【例 5】已知函数 f (x ) = x 3 + ax + b 的定义域为[-1 , 2] ，记 f (x ) 的最大值为 M ，则 M 的最小值为（）A ． 4B ． 3C ． 2D ． 【例 6】已知 f (x ) = x 3 - 3x + m ，在区间[0 , 2] 上任取三个数 a ， b ， c ，均存在以 f (a )， f (b )， f (c )为边长的三角形，则 m 的取值范围是（ ）A ． m > 2B ． m > 4C ． m > 6D ． m > 8【例 7】已知 f (x ) = ax 3 - 2ax 2 + b 在区间[-2 , 1] 上的最大值是5 ，最小值为-11，求 f (x ) 解析式．图 1 (a > 0) 图 2 (a < 0)【例 8】若函数 f (x ) = 1 x 3 + x 2 - 2 在区间(a , a + 5) 内存在最小值，则实数 a 的取值范围是（）3 3 A ． [-5 , 0)B ． (-5 , 0)C ． [-3 , 0)D ． (-3 , 0)【例 9】若函数 ax 3 - x 2 + 4x + 3 ≥ 0 对任意的 x ∈[-2 , 1]恒成立，求 a 的取值范围（ ）A ． [-2 , 2]B ． [-2 , 4]C ． [-2 , 6]D ． [-2 , 8]【例 10】设函数 f (x ) = x 3 + ax + bx + c ， a ，b ，c ∈ R ，总存在 x ∈[0 ，4]，使得不 f (x ) ≥ m 等式成立， 则实数 m 的取值范围是.达 标 训 练一．选择题1．函数 f (x ) = 3x 3 - 9x 2 + 5 在区间[-2 , 2] 上的最大值是（ ）A ． 5B ． 2C ． -7D ．142．已知 f (x ) = 2x 3 - 6x 2 + a （ a 是常数）在[-2 ，2] 上有最大值3，那么在[-2 ，2] 上的最小值是（ ）A ． -5B ． -11C ． -29D ． -373．函数 f (x ) = 3x - 4x 3 (x ∈[0 ，1]) 的最大值是（）A ．1B ． 12C ． 0D ． -13297, ] 0 0 4．若函数 f (x ) = x 3 - 3x 2 + a 在[-1 , 1]上有最大值3，则该函数在[-1 , 1]上的最小值是（）2A ． - 1 2B ． 0C ． 1 2D ．15．若函数 f (x ) = 3x - x 3 在区间(a 2 - 12 , a )上有最小值，则实数 a 的取值范围是（ ）A ． (-1 , 11)B ． (-1 , 4)C ． (-1 , 2]D ． (-1 , 2) 6．若函数 f (x ) = x 3 - 3x 在(a , 8 - a 2 ) 上有最小值，则实数 a 的取值范围是（ ） A ． (- , 1)B ． [- 7 , 1)C ． [-2 , 1)D ． (-2 , 1)7．函数 f (x ) = x 3 - 3ax - a 在(0 , 1) 内有最小值，则 a 的取值范围是（ ）A ． 0 ≤ a < 1B ． 0 < a < 1C ． -1 < a < 1D ． 0 < a < 12 8．当 x ∈[-2 , 1] 时，不等式 mx3 ≥ x 2 - 4x - 3 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）A ． ⎡-6 , ⎣ - 8 ⎤9 ⎦ B ． [-6 , - 2]C ． [-5 , - 3]D ． [-4 , - 3]9．若关于 x 的不等式 x 3 - 3x 2 - 9x + 2 ≥ m 对任意 x ∈[-2 , 2]恒成立，则 m 的取值范围是（）A ． (-∞ , 7]B ． (-∞ , - 20]C ． (-∞ , 0]D ． [-12 , 7]10．函数 f (x ) = 1x 3 - x 2 + a ，函数 g (x ) = x 2 - 3x ，它们的定义域均为[1 , + ∞)，并且函数 f (x )的图象始3终在函数 g (x )的上方，那么 a 的取值范围是（ ） A ． (0 , + ∞)B ． (-∞ , 0)C ． (- 4, + ∞)3D ． (-∞ 4311．设函数 f (x ) = x 3 - 1x 2 - 2x + 5 ，若对于任意 x ∈[1 , 2]，f (x ) < m 恒成立，则实数 m 的取值范围为（）2A ． (7 , + ∞)B ． (8 , + ∞)C ． [7 , + ∞)D ． [8 , + ∞) 12．已知函数 f (x ) = ax 3 - 3x 2 + 1 ，若 f (x )存在唯一的零点 x ，且 x > 0 ，则 a 的取值范围是（）A ． (2 , + ∞)B ． (-∞ , - 2)C ． (1 , + ∞)D ． (-∞ , - 1)13．已知 a ≥ - 3，b ≥ 0 ，函数 f (x ) = x 3 + ax + b (-1≤ x ≤ 1)，设 4有 M ≥ k ，则实数 k 的最大值为（ ）f (x ) 的最大值为 M ，对任意的 a 、b ∈ R 恒A ． 4B ． 2C ． 1D ． 12 4 14．曲线 y = x3 - x 的所有切线中，经过点(1 , 0) 的切线的条数是（ ）A ． 0B ．1C ． 2D ． 3 15．已知函数 f (x ) = 1x 3 - x 2 + ax + 3(a ∈ R ) 有两个极值点 x ， x (x < x ) ，则（）31 2 1 2A ． f (x ) 3 ， f (x ) < 10B ． f (x ) 3 ， f (x ) > 101 2 3 1 23 C ． f (x ) 3 ， f (x ) < 10 D ． f (x ) 3 ， f (x ) > 101 2 3 1 2316．已知函数 f (x ) = -x 3 + 6x 2 - 9x + 8 ，则过点(0 , 0) 可以作几条直线与曲线 y = f (x ) 相切（）7298, ] x A ． 3条 B ．1条 C ． 0 条 D ． 2 条17．已知函数 f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + c ， x ∈[-3 ，3] 的图象过原点，且在点(1 ， f （1）) 和点(-1 ， f (-1)) 处的切线斜率为 -2 ，则 f (x ) = （ ） A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数18．已知函数 f (x ) = x 3 - ax 2- bx + c 有两个极值点 x ，x ，若 x < x = f (x ) ，则 f (x ) = x 的解的个数为（）121221A ． 0B ．1C ． 2D ． 319．已知函数 f (x ) = x 3 - mx 2 + 2nx + 1， f '(x ) 是函数 f (x ) 的导数，且 f '(2 + x ) = f '(- 2- x ) ，若在[1，π] 上3f (x ) 1 恒成立，则实数 n 的取值范围为（ ）A ． (-∞ 1 2B ． (-∞ , - 1 ] 2C ． [ 1 , + ∞) 2D ． [π, + ∞)20．（2019•汕头月考）函数 f (x ) = 1x 3 - x 2 + ax 在[-1， 2] 上单调递增，则 a 的取值范围是（ ）3A ． a > 0B ． a 0C ． a 1D ． a > 121．（2019•浙江期中）已知函数 f (x ) = 1x 3 + ax 2 - 2x 在区间(1, +∞) 上有极小值无极大值，则实数 a 的取值3 范围（ ）A ． a < 12B ． a > 12C ． a 12D ． a 1222．（2019•长沙期中）已知函数 f (x ) = 4x 2 - 3x + 1，g (x ) = 3x 3 - x -1，则 f (x ) 与 g (x ) 的大小关系是（）A ． f (x ) = g (x )B ． f (x ) > g (x )C ． f (x ) < g (x )D ．随 x 的变化而变化23．（2019•临川月考）正项等差数列{a }中的 a ， a 是函数 f (x ) = 1x 3 - 4x 2 + 4x - 3 的极值点，则log 2 a 2019 = （ ）n 114027 3 A ． 2B ． 3C ． 4D ． 5324．若函数 f (x ) = - a x 2 + x + 1 在区间(1 , 2) 上单调递减，则实数 a 的取值范围为（ ）5 [2 , ] 23 2 B ． [ 5 , + ∞) 2 C ． ( 5 2 , + ∞)D ． (2 , + ∞) 25．（2019•醴陵期中）函数 f (x ) = x 3 - 3x 2 - 9x + 4 ，若函数 g (x ) = f (x ) - m 在 x ∈[-2 ， 5] 上有 3 个零点， 则 m 的取值范围为（）A ． (-23 , 9)B ． (-23 , 2]C ． [2 , 9]D ． [2 , 9)26．（2019•湛江一模）已知函数 f (x ) = x 3 - x 2+ ax - a 存在极值点 x ，且 f (x ) = f (x ) ，其中 x ≠ x ，x + 2x =1（ ）11A ． 3B ． 2C ．1D ． 027．（2019•邯郸一模）过点 M (-1, 0) 引曲线C : y = 2x 3 + ax + a 的两条切线，这两条切线与 y 轴分别交于 A ，B 两点，若| MA |=| MB | ，则 a = （）A ． - 25 4B ． - 274C ． - 2512D ． - 491228．（2019•黔东南州一模）已知函数 f (x ) = 2x 3 - (6a + 3)x 2 + 12ax + 16a 2 (a < 0) 只有一个零点 x 0 ，且 x 0 < 0 ，A ．2990 0 6 则 a 的取值范围为（）A ． (-∞, - 1)2B ． (- 1 , 0) 2C ． (-∞, - 3)2 D ． (-3 , 0) 229．（2019•莆田一模）若函数 f (x ) = ax 3 - x 2 + 2x 没有极小值点，则 a 的取值范围是（ ）31 [0 , ]2 B ． [ 1 , +∞)2 C ．{0} ⋃ [ 1 , 2 +∞) D ． {0} ⋃ ( 1 , 2+ ∞) 30．（2018 秋•晋中期末）已知 f (x ) = 1 x 3 - 5 ax 2 + 6ax + b 的两个极值点分别为 x ，x (x ≠ x ) ，且 x = 3x ，3 2 则函数 f (x 1 ) - f (x 2 ) = （ ）1 2 1 2 22 1 A ． -1B ． 16C ．1D ．与b 有关31．（2019•陕西一模）已知函数 f (x ) = x 3 + 3x ，则不等式 8 (1 + x )3 +1 + x > x 3+ 3x 的解集为（ ）A ． (-∞ , - 2) ⋃ (-1 , 1) C ． (-∞ , - 2] ⋃ (1 ,+∞)B ． [-2 , - 1) ⋃ [1 , + ∞) D ． (-2 , 1)32．（2018•宜春期末）等比数列{a }的各项均为正数， a ， a 是函数 f (x ) = 1x 3 - 3x 2 + 8x + 1的极值点，n 5 63 则log 2 a 1 + log 2 a 2 + ⋯ + log 2 a 10 = ( （ ）A ． 3 + log 2 5B ． 8C ．10D ．1533．（2018•湖北期末）已知函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx -17(a ， b ， c ∈ R ) 的导函数为 f '(x ) ， f '(x ) 0的解集为{x | -2 x 3} ，若 f (x ) 的极小值等于 -98 ，则 a 的值是（ ）A ． - 8122 B ． 1 3C ． 2D ． 534．（2019•朝阳二模）已知 f (x ) = - 1x 3 + x 在区间(a ,10 - a 2 ) 上有最大值，则实数 a 的取值范围是（）3A ． a < -1B ． -2 a < 3C ． -2 a < 1D ． -3 < a < 1 35．（2018•海淀期末）函数 f (x ) = x 3 + kx 2 - 7x 在区间[-1 , 1]上单调递减，则实数 k 的取值范围是（ ）A ． (-∞ , - 2]B ． [-2 , 2]C ． [-2 , + ∞)D ． [2 , + ∞)36．（2019•汉阳模拟）函数 f (x ) = ax 3 + 3x 2 -1存在唯一的零点 x ，且 x < 0 ，则实数 a 的范围为（ ）A ． (-∞, -2)B ． (-∞, 2)C ． (2, +∞)D ． (-2, +∞)37．（2019•瀍河月考）设函数 f (x ) = ax 3 - bx + 2 的极大值和极小值分别为 M ， m ，则 M + m = ( （ ）A ． 0B ．1C ． 2D ． 438．（2018•南阳期末）函数 f (x ) = x 3 - 3x 2 - 9x + 2 在[0 , 4]上的最大值和最小值分别是（）A ． 2 ， -18B ． -18 ， -25C ． 2 ， -25D ． 2 ， -2039．（2018•合肥期末）已知函数 f (x ) = -x 5 - 3x 3 - 5x + 3，若 f （a ） + f (a - 2) > 6 ，则实数 a 的取值范围是（）A ． (-∞, 3) 二 填空题B ． (3, +∞)C ． (1, +∞)D ． (-∞,1)1．（2019•东城一模）已知函数 f (x ) = 4x - x 3 ，若∀x ，x ∈[a ，b ] ，x ≠ x 都有 2 f (x + x ) > f (2x ) + f (2x )12121212A ．3000 0 成立，则满足条件的一个区间是．2．（2019•陕西二模）设函数 f (x ) = 2x 3 + ax 2 + bx + 1的导函数为 f '(x ) ，若函数 y = f '(x ) 的图象的顶点横坐 标为 - 1 ，且 f '（1） = 0 ．则 a + b 的值为．23．（2019•新疆二模）已知函数 f (x ) = x 3 - ax 2 在(-1 , 1) 上没有最小值，则 a 的取值范围是．4．（2019•十堰模拟）对于三次函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ，b ，c ，d ∈ R ，a ≠ 0) ，有如下定义：设 f '(x )是函数 f (x ) 的导函数， f '(x ) 是函数 f '(x ) 的导函数，若方程 f '(x ) = 0 有实数解 m ，则称点(m ， f (m )) 为函数 y = f (x ) 的“拐点”．若点(1, -3) 是函数 g (x ) = x 3 - ax 2 + bx - 5，(a , b ∈ R ) 的“拐点”也是函数 g (x ) 图象上的点，则当 x = 4 时，函数 h (x ) = log 4 (ax + b ) 的函数值为．5．（2018•揭阳期末）已知函数 f (x ) = x 3 + 2x ，若 f (a -1) + f (2a 2 ) 0 ，则实数 a 的取值范围是．6．（2018•长治期末）已知函数 f (x ) = 2x 3 - 3x ，若过点 P (1,t ) 存在 3 条直线与曲线 y = f (x ) 相切，则t 的取值范围是．7．（2019•自贡模拟）已知 f (x ) = ax 3 + 3x 2 -1存在唯一的零点 x ，且x < 0 ，则实数 a 的取值范围是 ．8．（2019•天山月考）设 f (x ) = x 3 - 1x 2 - 2x + 5 ，当 x ∈[-1， 2]时， f (x ) < m 恒成立，则实数 m 的取值范2 围为． 9．已知函数 f (x ) = 1 x 3 - x 2 - 3x + 4，直线l ： 9x + 2 y + c = 0 ．若当 x ∈[-2 , 2]时，函数 y = f (x )的图象恒3 3 在直线l 的下方，则c 的取值范围是 ．三 解答题1．已知函数 f (x ) = 1ax 3 + 2x 2 ，其中 a > 0 ．若 f (x ) 在区间[-1，1] 上的最小值为 -2 ，求 a 的值．32．知函数 f (x ) = ax 3 - 6ax 2 + b (x ∈[-1 ，2]) 的最大值为3，最小值为-29 ，求 a 、b 的值．3．已知函数 f (x ) = x 3 - 1x 2 + bx + c ；2（1）若 f (x ) 在(-∞ , + ∞) 上是增函数，求 b 的取值范围；301( , 0)（2）若 f (x ) 在 x = 1时取得极值，且 x ∈[-1 , 2] 时， f (x ) < c 2恒成立，求c 的取值范围.4．（2019•海淀期中）已知函数 f (x ) = ax 3+ bx 2+ x + c ，其导函数 y = f '(x ) 的图象过点 1 3和(1, 0) ． （1）函数 f (x ) 的单调递减区间为 ，极大值点为 ；（2）求实数 a ， b 的值；（3）若 f (x ) 恰有两个零点，请直接写出c 的值．5．（2019•莱西月考）设函数 g (x ) = x 3 - 3x 2 + 2 ．（1）若函数 g (x ) 在区间(0, m ) 上递减，求 m 的取值范围；（2）若函数 g (x ) 在区间(-∞ ， n ]上的最大值为 2，求 n 的取值范围．6．（2019•海淀一模）已知函数 f (x ) = 1 x 3 - 5x 2 + a | x | -1．3 2 （1）当 a = 6 时，求函数 f (x ) 在(0, +∞) 上的单调区间； （2）求证：当 a < 0 时，函数 f (x ) 既有极大值又有极小值．7．（2019•怀柔一模）已知函数 f (x ) = 2x 3 + 3ax 2 + 1(a ∈ R ) ． （1）当 a = 0 时，求 f (x ) 在点(1 ， f （1） ) 处的切线方程；302P (1, ) （2）求 f (x ) 的单调区间；（3）求 f (x ) 在区间[0 ， 2] 上的最小值8．（2019•天津一模）已知函数 f (x ) = 2x 3 - ax 2 + 1(a ∈ R ) ． （1） a = 6 时，直线 y = -6x + m 与 f (x ) 相切，求 m 的值；（2）若函数 f (x ) 在(0, +∞) 内有且只有一个零点，求此时函数(x ) 的单调区间；（3）当 a > 0 时，若函数 f (x ) 在[-1 , 1]上的最大值和最小值的和为 1，求实数 a 的值．9．（2018•镇海期末）已知函数 f (x ) = 1 x 3 + 1．3 2（1）求曲线 y = f (x ) 在点 5 6处的切线与 x 轴和 y 轴围成的三角形面积；（2）若过点(2, a ) 可作三条不同直线与曲线 y = f (x ) 相切，求实数 a 的取值范围．10．（2018•太原期末）若 x = 2 是函数 f (x ) = ax 3 - 3x 2 的极值点．（1）求 a 的值；（2）若 x ∈[n ，m ] 时， -4 f (x ) 0 成立，求 m - n 的最大值．11．（2018•佛山期末）已知函数f (x) =x3 + 3ax2 + 3(a2 -l)x ．（1）若 f (x) 在x = 1处取得极小值，求 a 的值；（2）设x ，x 是g(x) =f (x) - 6ax2 - 3a2 x + 5a(a > 0) 的两个极值点，若g(x ) +g(x ) 0 ，求a 的最小值．1 2 1 2303。

三次函数的图像及性质形如的函数叫做三次函数，其中是自变量，是常数。

它具有以下性质：1、图像、单调区间与极值三次函数求导以后是二次函数，，它的零点个数决定了三次函数的极值情况与单调区间，下面是三次函数及其对应的导函数全部共六种图像：2、零点个数△=，若方程的判别式，则在R 上是单调函数，无极值，值域为，故有唯一的零点。

若方程的判别式，方程有两个不等的实根、，它们是函数的极值点，则：（i ）当时，有一个零点；（ii ）当时，有两个零点；32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠x ,,,a b c d2()32f x ax bx c '=++xx 0a >0a <)3(412422ac b ac b -=-()0f x '=0∆≤()f x (,)-∞+∞()0f x '=0∆>1x 2x ()f x 12()()0f x f x ⋅>()fx xxxx12()()0f x f x ⋅=()f x（iii ）当时，有三个零点。

3、对称中心三次函数的图象关于点对称，并且在处取得最小值，其图象关于直线对称. 证1 易知是奇函数，图象关于原点对称，则关于点对称. 4、过平面内一点能作三次函数图像切线的条数（1） (2012·大纲全国高考)已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( )A ．－2或2B ．－9或3C ．－1或1D ．－3或1答案：A（2）函数f(x)=x 3-3x 2+x -1的图象关于（ ）对称A 、直线x=1B 、直线y=xC 、点(1,-2)D 、原点(3)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的对称中心为M (x 0，y 0)，记函数f (x )的导函数为f ′(x )，f ′(x )的导函数为f ″(x )，则有f ″(x 0)＝0.若函数f (x )＝x 3－3x 2，则f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017＝( )A ．－8 066B ．－4 033C ．8 066D ．4 033xxxx12()()0f x f x ⋅<()fx xx)0()(23>+++=a d cx bx ax x f ))3(,3(abf a b --)('x f a b x 3-=abx 3-=)3()3)(3()3()(2323abf a b x a b c a b x a d cx bx ax x f -++-++=+++=x ab c ax x g )3()(23-+=)(x f ))3(,3(a b f a b --2条1条【解析】由f (x )＝x 3－3x 2得f ′(x )＝3x 2－6x ，f ″(x )＝6x －6，又f ″(x 0)＝0，所以x 0＝1且f (1)＝－2，即函数f (x )的对称中心为(1，－2)，即f (x )＋f (2－x )＝－4.令S ＝f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017，则S ＝f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫12 017，所以2S ＝4 033×(－4)＝－16 132，S ＝－8 066.解析 由f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0)的图象关于成中心对称知选C（4）已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则（ ）A 、b ∈(-∞,0)B 、b ∈(0,1)C 、b ∈(1,2)D 、b ∈(2,+ ∞解析 显然f(0)=d=0，由f(x)=ax(x -1)(x -2)知a>0，又 f(x)= ax 3-3ax 2+2ax 比较系数可知b=-3a<0，故选A(5) 试确定的a,b,c,d 符号（答：a>0,b<0,c>0,d=0）（6）（2013课标全国Ⅱ卷，10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ） （A ）x α∈R,f(x α)=0 （B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形 （C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若x 0是f （x ）的极值点，则解析：由三次函数值域为R 知f(x)=0有解，A 正确；由性质可知B 正确;由性质可知若f(x)有极小值点，则由两个不相等的实数根,,则f(x)在（-∞,x 1)上为增函数，在上为减函数，在（x 2，,)上为增函数，故C 错。

专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。

以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。

∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。

专题17 三次函数的图像与性质一、例题选讲题型一 运用三次函数的图像研究零点问题遇到函数零点个数问题,通常转化为两个函数图象交点问题,进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题,通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题,故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高,后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的.例1,(2017某某,某某,某某,某某三调)已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,则实数a 的取值X 围是．【答案】3(2)2-，【解析】：函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,即方程2()0f x ax -=恰有2个不相等的根,亦即方程(Ⅰ)20x ax ax ≥⎧⎨-=⎩和(Ⅱ)3260x a x x ax <⎧⎨--=⎩共有2个不相等的根. 首先(Ⅰ)中20x ax -=,即(2)0a x -=,若2a =,则2x ≥都是方程20x ax -=的根,不符合题意,所以2a ≠,因此(Ⅰ)中由20x ax -=解得0x =,下面分情况讨论(1)若0x =是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a ≥,即0a ≤,此时方程(Ⅱ)必须再有唯一的一个根,即30260x a x x ax <≤⎧⎨--=⎩有唯一根,因为0x ≠,由3260x x ax --=,得226x a =+必须有满足0x a <≤的唯一根,首先60a +>,其次解得的负根需满足0a <≤,从而解得302a -<≤,(2)若0x =不是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a <,即0a >,此时方程(Ⅱ)必须有两个不相等的根,即30260a x ax x ax ⎧>⎪<⎨⎪--=⎩有两个不相等的根,由3260x x ax --=,得0x a =<适合,另外226x a =+还有必须一满足,0x a a <>的非零实根,首先60a +>,a≥,从而解得02a <≤,但前面已经指出2a ≠,故02a <<,综合(1),(2),得实数a 的取值X 围为3(,2)2-.例2,(2017某某学情调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －x3，x ≤0，－2x ，x ＞0.)当x ∈(－∞,m ]时,f (x )的取值X 围为[－16,＋∞),则实数m 的取值X 围是________．【答案】 [－2,8]【解析】思路分析 由于f (x )的解析式是已知的,因此,可以首先研究出函数f (x )在R 上的单调性及相关的性质,然后根据f (x )的取值X 围为[－16,＋∞),求出它的值等于－16时的x 的值,借助于函数f (x )的图像来对m 的取值X 围进行确定．当x ≤0时,f (x )＝12x －x 3,所以f ′(x )＝12－3x 2.令f ′(x )＝0,则x ＝－2(正值舍去),所以当x ∈(－∞,－2)时,f ′(x )＜0,此时f (x )单调递减；当x ∈(－2,0]时,f ′(x )＞0,此时f (x )单调递增,故函数f (x )在x ≤0时的极小值为f (－2)＝－16.当x ＞0时,f (x )＝－2x 单调递减,f (0)＝0,f (8)＝－16,因此,根据f (x )的图像可得m ∈[－2,8]．解后反思 根据函数的解析式来得到函数的相关性质,然后由此画出函数的图像,借助于函数的图像可以有效地进行解题,这就是数形结合的魅力．题型二 三次函数的单调性问题研究三次函数的单调性,往往通过导数进行研究.要特别注意含参的讨论.例3,已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ,()|()|g x f x =．(1)求以(2,(2))P f 为切点的切线方程,并证明此切线恒过一个定点；(2)若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立,求k 的最小值()h a 的表达式；(3)设0a >,求()y g x =的单调增区间．解析 (1)2()36f x x x a '=-+,(2)f a '=,过点P 的切线方程为()224y a x a =-+-,即4y ax =-,它恒过点(0,- 4)；(2)()g x kx ≤即32|3|x x ax kx -+≤． 当0x =时,上式恒成立；当(0,2]x ∈时,即2|3|x x a k -+≤对一切(0,2]x ∈恒成立,设2max ()|3|,[0,2]h a x x a x ∈=-+, ①当94a ≥时,2max |3|x x a -+在0x =时取得,∴()h a a =；②当94a <时,2max 99(),984|3|max{,}994()48a a x x a a a a a ⎧<<⎪⎪-+=-=⎨⎪-⎪⎩≤； 由①②,得9(),8()99()48a a g a a a ⎧>⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≤； (3)32()3f x x x ax =-+,22()363(1)3f x x x a x a '=-+=-+-,令()0f x =,得0x =或230x x a -+=,当94a <时,由230x x a -+=,解得132x =232x =令()0f x '=,得23(1)30x a -+-=,当3a <时,由23(1)30x a -+-=,解得31x =41x =+1)当3a ≥时,()y g x =的单调增区间为(0,)+∞；2)当934a <≤时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和4(,)x +∞；3)当904a <<时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和14(,)x x 和2(,)x +∞．例4,(2018某某期末) 若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1,2]上单调递增,则实数a 的取值X 围是________．【答案】 (－∞,－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞思路分析 由于条件中函数的解析式比较复杂,可以先通过代数变形,将其化为熟悉的形式,进而利用导数研究函数的性质及图像,再根据图像变换的知识得到函数f(x)的图像进行求解．函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|＝|(x ＋1)2(x －a)|＝|x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a|.令g(x)＝x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a,则g ′(x)＝3x 2＋(4－2a)x ＋1－2a ＝(x ＋1)(3x ＋1－2a)．令g ′(x)＝0得x 1＝－1,x 2＝2a －13.①当2a －13<－1,即a<－1时,令g ′(x)>0,即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0,解得x<2a －13或x>－1；令g ′(x)<0,解得2a －13<x<－1.所以g(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a －13,(－1,＋∞),单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，－1. 又因为g(a)＝g(－1)＝0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a －13,(－1,＋∞),单调减区间是(－∞,a),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，－1,满足条件,故a<－1(此种情况函数f(x)图像如图1)． ,图1)②当2a －13＝－1,即a ＝－1时,f(x)＝|(x ＋1)3|,函数f(x)图像如图2,则f(x)的单调增区间是(－1,＋∞),单调减区间是(－∞,－1),满足条件,故a ＝－1.,图2)③当2a －13>－1,即a>－1时,令g ′(x)>0,即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0,解得x<－1或x>2a －13；令g ′(x)<0,解得－1<x<2a －13.所以g(x)的单调增区间是(－∞,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，＋∞,单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2a －13. 又因为g(a)＝g(－1)＝0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2a －13,(a,＋∞),单调减区间是(－∞,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，a ,要使f(x)在[－1,2]上单调递增,必须满足2≤2a －13,即a ≥72,又因为a>－1,故a ≥72(此种情况函数f(x)图像如图3)．综上,实数a 的取值X 围是(－∞,－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.,图3)例5,(2018某某期末)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －ax ，x ≥0，其中常数a ∈R .(1) 当a ＝2时,求函数f (x )的单调区间；(2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x －3在区间(0,＋∞)上有实数解,某某数a 的取值X 围；规X 解答 (1) 当a ＝2时,f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －2x ，x ≥0.①当x<0时,f ′(x)＝－3x 2＋2x<0恒成立,所以f(x)在(－∞,0)上递减；(2分)②当x ≥0时,f ′(x)＝e x －2,可得f(x)在[0,ln 2]上递减,在[ln 2,＋∞)上递增．(4分)因为f(0)＝1>0,所以f(x)的单调递减区间是(－∞,0)和[0,ln 2],单调递增区间是[ln 2,＋∞)．(5分)(2) 当x>0时,f(x)＝e x －ax,此时－x<0,f(－x)＝－(－x)3＋(－x)2＝x 3＋x 2.所以可化为a ＝x 2＋x ＋3x在区间(0,＋∞)上有实数解．(6分) 记g(x)＝x 2＋x ＋3x ,x ∈(0,＋∞),则g ′(x)＝2x ＋1－3x2＝（x －1）（2x2＋3x ＋3）x2.(7分) 可得g(x)在(0,1]上递减,在[1,＋∞)上递增,且g(1)＝5,当x →＋∞时,g(x)→＋∞.(9分)所以g(x)的值域是[5,＋∞),即实数a 的取值X 围是[5,＋∞)．(10分)题型三 三次函数的极值与最值问题①利用导数刻画函数的单调性,确定函数的极值；② 通过分类讨论,结合图象,实现函数的极值与零点问题的转化.函数,方程和不等式的综合题,常以研究函数的零点,方程的根,不等式的解集的形式出现,大多数情况下会用到等价转化,数形结合的数学思想解决问题,而这里的解法是通过严谨的等价转化,运用纯代数的手段来解决问题的,对抽象思维和逻辑推理的能力要求较高,此题也可通过数形结合的思想来解决问题,可以一试.例6,(2018苏锡常镇调研)已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． (1)若20a b +=,① 当0a >时,求函数()f x 的极值(用a 表示)；② 若()f x 有三个相异零点,问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在,试求出a 的值；若不存在,请说明理由；规X 解答 (1)①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ,得22()32f x x ax a '=+-,令()0f x '=,解得3ax =或a x -=.由0>a 知,(,)()0x a f x '∈-∞->，,)(x f 单调递增,(,)()03a x a f x '∈-<，,)(x f 单调递减,(,)()03ax f x '∈+∞>，,)(x f 单调递增,因此,)(x f 的极大值为3()1f a a -=+,)(x f 的极小值为35()1327a a f =-. ② 当0a =时,0b =,此时3()1f x x =+不存在三个相异零点； 当0a <时,与①同理可得)(x f 的极小值为3()1f a a -=+,)(x f 的极大值为35()1327a a f =-. 要使)(x f 有三个不同零点,则必须有335(1)(1)027a a +-<,即332715a a <->或.不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ,且321x x x <<,则123()()()0f x f x f x ===,3221111()10f x x ax a x =+-+=, ①3222222()10f x x ax a x =+-+=, ②3223333()10f x x ax a x =+-+=, ③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=, 因为210x x ->,所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=, ④ 同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=, ⑤⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=,因为310x x ->,所以2310x x x a +++=,又1322x x x +=,所以23ax =-.所以()03af -=,即22239a a a +=-,即327111a =-<-,因此,存在这样实数a =满足条件.例7,(2017⋅某某)已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域；(2)证明：33b a >；(3)若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-,求a 的取值X 围．解析(1)2'()32f x x ax b =++有零点,24120a b ∆=->,即23a b >,又''()620f x x a =+=,解得3a x =-,根据题意,()03a f -=,即3210333a a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,化简得2239b a a =+,又203a a b >⎧⎨>⎩,所以3a >,即223(3)9b a a a =+>；(2)设2433224591()3(427)(27)81381g a b a a a a a a a =-=-+=--,而3a >,故()0g a >,即23b a >；(3)设12,x x 为()f x 的两个极值点,令'()0f x =得12122,33b ax x x x =+=-, 法一：332212121212()()()()2f x f x x x a x x b x x +=++++++ 22121212121212()[()3][()2]()2x x x x x x a x x x x b x x =++-++-+++3324242232()202732739a ab a a a a =-+=-++=．记()f x ,()f x '所有极值之和为()S a ,12()()0f x f x +=,2'()33a a f b -=-, 则221237()()()'()3392a a a S a f x f x f b a =++-=-=--≥, 而23()()3a S a a =-在(3,)a ∈+∞上单调递减且7(6)2S =-,故36a <≤．法二：下面证明()f x 的图像关于(,())33a af --中心对称,233232()1()()()1333327a a a ab a f x x ax bx x b x =+++=++-++-+23()()()()3333a a a ax b x f =++-++-,所以()()2()0333a a a f x f x f --+-+=-=,所以12()()0f x f x +=,下同法一．例8,(2018某某学情调研)已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,a ∈R .(1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3,求a 的值；(2) 若对于任意x ∈(0,＋∞),f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立,求a 的取值X 围；(3) 若a ＞1,设函数f (x )在区间[1,2]上的最大值,最小值分别为M (a ),m (a ),记h (a )＝M (a )－m (a ),求h (a )的最小值．思路分析 第(3)问,欲求函数f(x)在区间[1,2]上的最值M(a),m(a),可从函数f(x)在区间[1,2]上的单调性入手,由于f ′(x)＝6(x －1)(x －a),且a ＞1,故只需分为两大类：a ≥2,1＜a ＜2.当1＜a ＜2时,函数f(x)在区间[1,2]上先减后增,进而比较f(1)和f(2)的大小确定函数最大值,由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝53.规X 解答 (1) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,所以f ′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a,所以曲线y ＝f(x)在x ＝0处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝6a,所以6a ＝3,所以a ＝12.(2分)(2) f(x)＋f(－x)＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x对任意x ∈(0,＋∞)恒成立,所以－(a ＋1)≥2lnxx2.(4分)令g(x)＝2lnx x2,x ＞0,则g ′(x)＝2（1－2lnx ）x3.令g ′(x)＝0,解得x ＝ e.当x ∈(0,e)时,g ′(x)＞0,所以g(x)在(0,e)上单调递增；当x ∈(e,＋∞)时,g ′(x)＜0,所以g(x)在(e,＋∞)上单调递减．所以g(x)max ＝g(e)＝1e,(6分)所以－(a ＋1)≥1e ,即a ≤－1－1e,所以a 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－1－1e .(8分)(3) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,所以f ′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a),令f ′(x)＝0,则x ＝1或x ＝a.(10分)f(1)＝3a －1,f(2)＝4.由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝53.①当1＜a ≤53时,当x ∈(1,a)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,a)上单调递减；当x ∈(a,2)时,f ′(x)＞0,所以f(x)在(a,2)上单调递增．又因为f(1)≤f(2),所以M(a)＝f(2)＝4,m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4.因为h ′(a)＝3a 2－6a ＝3a(a －2)＜0,所以h(a)在⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53上单调递减,所以当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53时,h(a)的最小值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝827.(12分)②当53＜a ＜2时,当x ∈(1,a)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,a)上单调递减；当x ∈(a,2)时,f ′(x)＞0,所以f(x)在(a,2)上单调递增．又因为f(1)＞f(2),所以M(a)＝f(1)＝3a －1,m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1.因为h ′(a)＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2>0.所以h(a)在⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2上单调递增,所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2时,h(a)＞h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝827.(14分)③当a ≥2时,当x ∈(1,2)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,2)上单调递减,所以M(a)＝f(1)＝3a －1,m(a)＝f(2)＝4,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－4＝3a －5,所以h(a)在[2,＋∞)上的最小值为h(2)＝1.综上,h(a)的最小值为827.(16分)二、达标训练1,(2017某某暑假测试) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ＞1，x3，－1≤x ≤1，)若关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根,则实数k 的取值X 围是________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12【解析】思路分析 方程f (x )＝k (x ＋1)的实数根的个数可以理解为函数y ＝f (x )与函数y ＝k (x ＋1)交点的个数,因此,在同一个坐标系中作出它们的图像,由图像来观察它们的交点的个数．在同一个直角坐标系中,分别作出函数y ＝f (x )及y ＝k (x ＋1)的图像,则函数f (x )max ＝f (1)＝1,设A (1,1),B (－1,0),函数y ＝k (x ＋1)过点B ,则由图可知要使关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根,则0＜k ＜k AB ＝12.2,(2017苏北四市期末) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinx ，x ＜1，x3－9x2＋25x ＋a ，x ≥1，)若函数f (x )的图像与直线y ＝x 有三个不同的公共点,则实数a 的取值集合为________．【答案】 {－20,－16}【解析】当x ＜1时,f(x)＝sin x,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sinx ，y ＝x ，得x －sin x ＝0,令u(x)＝x －sin x(x ＜1),则u ′(x)＝1－cos x ≥0,所以函数u(x)＝x －sin x(x ＜1)为单调增函数,且u(0)＝0,所以u(x)＝x －sin x(x ＜1)只有唯一的解x＝0,这表明当x ＜1时,函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有1个公共点．因为函数f(x)的图像与直线y ＝x 有3个不同的公共点,从而当x ≥1时,函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有2个公共点．当x ≥1时,f(x)＝x 3－9x 2＋25x ＋a,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x3－9x2＋25x ＋a ，y ＝x ，得a ＝－x 3＋9x 2－24x,令h(x)＝－x 3＋9x 2－24x(x ≥1),则h ′(x)＝－3x 2＋18x －24＝－3(x －2)(x －4)．令h ′(x)＝0得x ＝2或x ＝4,列表如下：32数a ＝－20或a ＝－16.综上所述,实数a 的取值集合为{－20,－16}．3,(2019某某,某某二模)已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+0,3120,33x x x x x 设g(x)＝kx ＋1,且函数y ＝f(x)－g(x)的图像经过四个象限,则实数k 的取值X 围为________．【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－9，13【解析】解法1 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋3|－（kx ＋1），x ≤0，x 3－（k ＋12）x ＋2，x>0，若其图像经过四个象限．①当x>0时,y ＝x 3－(k ＋12)x ＋2,当x ＝0时,y ＝2>0,故它要经过第一象限和第四象限,则存在x>0,使y＝x 3－(k ＋12)x ＋2<0,则k ＋12>x 2＋2x ,即k ＋12>⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋2x min .令h(x)＝x 2＋2x (x>0),h ′(x)＝2x －2x2＝2（x3－1）x2,当x>1时,h ′(x)>0,h(x)在(1,＋∞)上递增；当0<x<1时,h ′(x)<0,h(x)在(0,1)上递减,当x ＝1时取得极小值,也是最小值,h(x)min ＝h(1)＝3,所以k ＋12>3,即k>－9.②当x ≤0时,y ＝|x ＋3|－(kx ＋1),当x ＝0时,y ＝2>0,故它要经过第二象限和第三象限,则存在x<0,使y ＝|x ＋3|－(kx ＋1)<0,则k<|x ＋3|－1x,即k<⎝⎛⎭⎪⎫|x ＋3|－1x max .令φ(x)＝|x ＋3|－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－4x ，x ≤－3，1＋2x ，－3<x<0，易知φ(x)在(－∞,－3]上单调递增,在(－3,0)上单调递减,当x ＝－3时取得极大值,也是最大值,φ(x)max ＝φ(－3)＝13,故k<13.综上,由①②得实数k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－9，13.解法2 可根据函数解析式画出函数图像,当x>0时,f(x)＝x 3－12x ＋3,f ′(x)＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2),可知f(x)在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,＋∞)上单调递增,且 f(2)＝－13<0,当x ≤0时,f(x)＝|x ＋3|.g(x)＝kx ＋1恒过(0,1),若要使y ＝f(x)－g(x)经过四个象限,由图可知只需f(x)与g(x)在(－∞,0)和(0,＋∞)上分别有交点即可(交点不可为(－3,0)和切点)．①当k>0时,在(0,＋∞)必有交点,在(－∞,0)区间内,需满足0<k<13.②当k<0时,在(－∞,0)必有交点,在(0,＋∞)内,只需求过定点(0,1)与函数f(x)＝x 3－12x ＋3(x>0)图像的切线即可,设切点为(x 0,x30－12x 0＋3),由k ＝3x20－12＝x30－12x 0＋3－1x 0,解得x 0＝1,切线斜率k ＝－9,所以k∈(－9,0)．③当k ＝0也符合题意．综上可知实数k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－9，13.4,(2018苏中三市,苏北四市三调)已知函数310() 2 0ax x f x x ax x x -≤⎧⎪=⎨-+->⎪⎩， ，，的图象恰好经过三个象限,则实数a 的取值X 围是 ▲ ．【答案】a ＜0或a ＞2【解析】当a ＜0时,10y ax x =-，≤的图象经过两个象限,3|2|0y x ax x =-+->在 (0,+∞)恒成立,所以图象仅在第一象限,所以a ＜0时显然满足题意； 当a ≥0时,10y ax x =-，≤的图象仅经过第三象限,由题意 3|2|0y x ax x x =-+->，的图象需经过第一,二象限．【解法1】(图像法)3|2|y x x =+-与y ax =在y 轴右侧的图象有公 共点(且不相切)．如图,3|2|y x x =+-=332,022,2x xx x xx,设切点坐标为3000(,2)x x x ,231yx,则有32000231x x x x ,解得01x ,所以临界直线l 的斜率为2,所以a ＞2时,符合．综上,a ＜0或a ＞2．【解法2】(函数最值法)由三次函数的性质知,函数图象过第一象限,则存()g x 在0x,使得3|2|0,yxax x即2|2|x a xx 设函数22221,02|2|()21,2x x x x g x x xx x x,当02x,322222()2x g x xx x()g x 在(0,1)单调递减,在(1,2)单调递增,又2x时,函数为增函数,所以函数的最小值为2,所以a ＞2,则实数a 的取值X 围为a ＜0或a ＞2．5,(2019某某期末)已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a,b ∈R )．(1) 当a ＝b ＝1时,求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时,若函数f (x )恰有两个不同的零点,求b a的值；(3) 当a ＝0时,若f (x )<ln x 的解集为(m ,n ),且(m ,n )中有且仅有一个整数,某某数b 的取值X 围．解后反思 在第(2)题中,也可转化为b a ＝4x2－x 恰有两个不同的实数解．另外,由g(x)＝x 3＋kx 2－4恰有两个不同的零点,可设g(x)＝(x －s)(x －t)2.展开,得x 3－(s ＋2t)x 2＋(2st ＋t 2)x －st 2＝x 3＋kx 2－4,所以⎩⎪⎨⎪⎧－（s ＋2t ）＝k ，2st ＋t2＝0，－st2＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝－2，k ＝3.解：(1)当a ＝b ＝1时,f(x)＝x 3＋x 2－4,f ′(x)＝3x 2＋2x.(2分)令f ′(x)>0,解得x>0或x<－23,所以f(x)的单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23和(0,＋∞)．(4分)(2)法一：f ′(x)＝3ax 2＋2bx,令f ′(x)＝0,得x ＝0或x ＝－2b3a,(6分)因为函数f(x)有两个不同的零点,所以f(0)＝0或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＝0.当f(0)＝0时,得a ＝0,不合题意,舍去；(8分)当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＝0时,代入得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a 2－4a ＝0,即－827⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 3＋49⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 3－4＝0,所以ba ＝3.(10分)法二：由于a ≠0,所以f(0)≠0,由f(x)＝0得,b a ＝4－x3x2＝4x2－x(x ≠0)．(6分)设h(x)＝4x2－x,h ′(x)＝－8x3－1,令h ′(x)＝0,得x ＝－2, 当x ∈(－∞,－2)时,h ′(x)<0,h(x)递减；当x ∈(－2,0)时,h ′(x)>0,h(x)递增,当x ∈(0,＋∞)时,h ′(x)>0,h(x)单调递增,当x>0时,h(x)的值域为R ,故不论b a取何值,方程b a＝4－x3x2＝4x2－x 恰有一个根－2,此时函数f (x )＝a (x ＋2)2(x －1)恰有两个零点－2和1.(10分)(3)当a ＝0时,因为f (x )<ln x ,所以bx 2<ln x ,设g (x )＝ln x －bx 2,则g ′(x )＝1x－2bx ＝1－2bx2x(x >0),当b ≤0时,因为g ′(x )>0,所以g (x )在(0,＋∞)上递增,且g (1)＝－b ≥0,所以在(1,＋∞)上,g (x )＝ln x －bx 2≥0,不合题意；(11分)当b >0时,令g ′(x )＝1－2bx2x＝0,得x ＝12b,所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12b 递增,在⎝⎛⎭⎪⎪⎫12b ，＋∞递减, 所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12b ＝ln12b －12,要使g (x )>0有解,首先要满足ln12b －12>0,解得b <12e. ①(13分)又因为g (1)＝－b <0,g (e 12)＝12－b e>0,要使f (x )<ln x 的解集(m ,n )中只有一个整数,则⎩⎪⎨⎪⎧g （2）>0，g （3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ln2－4b>0，ln3－9b ≤0，解得ln39≤b <ln24. ②(15分)设h (x )＝lnx x,则h ′(x )＝1－lnx x2,当x ∈(0,e)时,h ′(x )>0,h (x )递增；当x ∈(e,＋∞)时,h ′(x )<0,h (x )递减．所以h (x )max ＝h (e)＝1e>h (2)＝ln22,所以12e >ln24,所以由①和②得,ln39≤b ＜ln24.(16分)(注：用数形结合方法做只给2分)6,(2019某某,某某一模)若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值,则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点．设函数f(x)＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )．(1) 若函数f (x )在(0,1)上无极值点,求t 的取值X 围；(2) 求证：对任意实数t ,函数f (x )的图像总存在两条切线相互平行；(3) 当t ＝3时,函数f (x )的图像存在的两条平行切线之间的距离为4,求满足此条件的平行线共有几组．规X 解答 (1)由函数f(x)＝x 3－tx 2＋1,得f ′(x)＝3x 2－2tx.由f ′(x)＝0,得x ＝0,或x ＝23t.因为函数f(x)在(0,1)上无极值点,所以23t ≤0或23t ≥1,解得t ≤0或t ≥32.(4分)(2)令f ′(x)＝3x 2－2tx ＝p,即3x 2－2tx －p ＝0,Δ＝4t 2＋12p.当p ＞－t23时,Δ＞0,此时3x 2－2tx －p ＝0存在不同的两个解x 1,x 2.(8分)设这两条切线方程为分别为y ＝(3x21－2tx 1)x －2x31＋tx21＋1和y ＝(3x22－2tx 2)x －2x32＋tx22＋1.若两切线重合,则－2x31＋tx21＋1＝－2x32＋tx22＋1,即2(x21＋x 1x 2＋x22)＝t(x 1＋x 2),即2＝t(x 1＋x 2)．而x 1＋x 2＝2t 3,化简得x 1·x 2＝t29,此时(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4t29－4t29＝0,与x 1≠x 2矛盾,所以,这两条切线不重合．综上,对任意实数t,函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行．(10分)(3)当t ＝3时f(x)＝x 3－3x 2＋1,f ′(x)＝3x 2－6x.由(2)知x 1＋x 2＝2时,两切线平行．设A(x 1,x31－3x21＋1),B(x 2,x32－3x22＋1),不妨设x 1＞x 2,则x 1＞1.过点A 的切线方程为y ＝(3x21－6x 1)x －2x31＋3x21＋1.(11分)所以,两条平行线间的距离 d ＝|2x32－2x31－3（x22－x21）|1＋9（x21－2x 1）2＝|（x2－x1）|1＋9（x21－2x 1）2＝4,化简得(x 1－1)6＝1＋92,(13分)令(x 1－1)2＝λ(λ＞0),则λ3－1＝9(λ－1)2,即(λ－1)( λ2＋λ＋1)＝9(λ－1)2,即(λ－1)( λ2－8λ＋10)＝0.显然λ＝1为一解,λ2－8λ＋10＝0有两个异于1的正根,所以这样的λ有3解．因为x 1－1＞0,所以x 1有3解,所以满足此条件的平行切线共有3组．(16分)7,(2018某某,某某一调)已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a,b ∈R )有极值,且函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点是g (x )的极值点,其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1) 求b 关于a 的函数关系式；(2) 当a >0时,若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a ),证明：M (a )<－73.思路分析 (1) 易求得f(x)的极值点为－a －1,则g ′(－a －1)＝0且g ′(x)＝0有两个不等的实数解,解之得b 与a 的关系．(2) 求导得F ′(x)＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3),解方程F ′(x)＝0时,无法解方程e x －3x ＋a ＋3＝0,构造函数h(x)＝e x －3x ＋a ＋3,证得h(x)>0,所以－a －1为极小值点,而且得出M(a),利用导数法证明即可．规X 解答 (1) 因为f ′(x)＝e x ＋(x ＋a)e x ＝(x ＋a ＋1)e x ,令f ′(x)＝0,解得x ＝－a －1.列表如下：所以x ＝－a －1时,f(x)取得极小值．(2分)因为g ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b,由题意可知g ′(－a －1)＝0,且Δ＝4a 2－12b>0,所以3(－a －1)2＋2a(－a －1)＋b ＝0,化简得b ＝－a 2－4a －3.(4分)由Δ＝4a 2－12b ＝4a 2＋12(a ＋1)(a ＋3)>0,得a ≠－32.所以b ＝－a 2－4a －3⎝⎛⎭⎪⎫a ≠－32.(6分)(2) 因为F(x)＝f(x)－g(x)＝(x ＋a)e x －(x 3＋ax 2＋bx),所以F ′(x)＝f ′(x)－g ′(x)＝(x ＋a ＋1)e x －[3x 2＋2ax －(a ＋1)(a ＋3)]＝(x ＋a ＋1)e x －(x ＋a ＋1)(3x －a －3)＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3)．(8分)记h(x)＝e x －3x ＋a ＋3,则h ′(x)＝e x －3,令h ′(x)＝0,解得x ＝ln 3.列表如下：所以x ＝ln 3时,h(x)取得极小值,也是最小值,此时,h(ln 3)＝e ln 3－3ln 3＋a ＋3＝6－3ln 3＋a＝3(2－ln 3)＋a＝3ln e23＋a>a>0.(10分)所以h(x)＝e x －3x ＋a ＋3≥h(ln 3)>0,令F ′(x)＝0,解得x ＝－a －1.列表如下：所以x ＝－a －1时,F(x)取得极小值,也是最小值．所以M(a)＝F(－a －1)＝(－a －1＋a)e －a －1－[(－a －1)3＋a(－a －1)2＋b(－a －1)]＝－e －a －1－(a ＋1)2(a ＋2)．(12分)令t ＝－a －1,则t<－1,记m(t)＝－e t －t 2(1－t)＝－e t ＋t 3－t 2,t<－1,则m ′(t)＝－e t ＋3t 2－2t,t<－1.因为－e －1<－e t <0,3t 2－2t>5,所以m ′(t)>0,所以m(t)单调递增．(14分)所以m(t)<－e －1－2<－13－2＝－73,即M(a)<－73.(16分)。

三次函数性质的探索我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置．其中运用的较多的一次函数不等式性质是：()0>f在[m，n]上恒成立的充要条件x()0>fm()0>fn接着，我们同样学习了二次函数，图象大致如下：图1 图2利用已学知识归纳得出：当时(如图1)，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增，对称轴上取得最小值；当时(图2)，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减，对称轴上取得最大值．在某一区间取得最大值与最小值．其中a决定函数的开口方向，a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴相交的位置．总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？三次函数专题一、定义：定义1、形如32(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。

定义2、三次函数的导数232(0)y ax bx c a '=++≠，把2412b ac ∆=-叫做三次函数导函数的判别式。

由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。

特别是文科。

系列探究1：从最简单的三次函数3x y =开始反思1：三次函数31y x =+的相关性质呢？ 反思2：三次函数31y x =-+的相关性质呢？ 反思3：三次函数()311y x =-+的相关性质呢？（2012天津理）（4）函数22)(3-+=x x f x在区间(0,1)内的零点个数是 B （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3系列探究2：探究一般三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 的性质：先求导2()32(0)f x ax bx c a '=++>1．单调性：（1）若22120b ac =-≤△()，此时函数()f x 在R 上是增函数；（2）若22120b ac =->△()，令2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <，则()f x 在12(,),()x x -∞+∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减。

三次函数的图象和性质
熊启龙
【期刊名称】《东西南北》
【年(卷),期】2018(000)017
【摘要】三次函数的有关内容已成为高考、竞赛及其它各类考试命题的热点，是学习导数的一个很好的载体，同时它又与三次方程、三次不等式有着密不可分的联系，因此研究、总结、归纳三次函数的图象、性质及应用就显得很有必要。

本文就这方面的有关问题进行分析探索，以期能对大家的学习有所帮助。

【总页数】1页(P461-461)
【作者】熊启龙
【作者单位】湖北省仙桃市第八中学
【正文语种】中文
【中图分类】H319
【相关文献】
1.立足生本课堂培养数学素养r——"三次函数的图象和性质"教学设计 [J], 张亮;田泽华
2.过程生动思维真实体悟真切r——兼评张亮执教的"三次函数的图象和性质"一课[J], 严必友
3.构建探究途径深化数学思维——以“三次函数的图象和性质”教学为例 [J], 张亮
4.谈初中经验上的高中数学教学设计——以"探究三次函数的图象与性质"为例 [J],
刘炜
5.“一元三次函数的图象和性质”教学纪实与反思 [J], 李爽
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三次函数的图象和性质曹一洪【期刊名称】《中学数学月刊》【年(卷),期】2016(000)007【总页数】3页(P57-59)【作者】曹一洪【作者单位】广东省中山市中山纪念中学 528454【正文语种】中文二次函数由顶点坐标、对称轴、开口方向(即凸凹)可以比较准确地作出它的图象.对于三次函数，它的导函数是二次函数，利用其导函数性质可以比较准确地作出三次函数的图象.下面着重研究当a>0时，函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象和性质，对于a<0的图象和性质可以由函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称而得到.三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的导函数是二次函数，导函数f′(x)的对称轴，导数的几何意义是切线斜率，所以函数y=f(x)图象上的切线斜率的最小值是).因为3a>0，二次函数f′(x)在区间上是减函数，所以函数f(x)的图象在区间上是凸的；导函数f′(x)在区间上是增函数，所以函数f(x)图象在区间上是凹的;在处导数取最小值的点是函数f(x)图象的拐点(如图1).三次函数的图象是关于这个拐点成中心对称图形的.证明如下：设点P(x0,y0)是f(x)图象上任意一点，所以，设点P关于点M的对称点为P1(x1,y1)，由中点坐标公式有⟹又,所以).下面我们证明点P1(x1,y1)在函数f(x)的图象上.因为,所以).将(1)式代入得,由(2)式得f(x1)=y1，所以点P1(x1,y1)在函数f(x)的图象上.因此,f(x)图象上任意一点P(x0,y0)关于点的对称点P1(x1,y1)也在f(x)的图象上，所以函数f(x)的图象关于它的拐点是成中心对称图形的，图象在其对称中心两侧,一侧是凸，另一侧是凹.设函数f(x)在处的切线为l，由(*)式可知直线l过点，斜率为，直线l的方程设为y=k0x+n0.设g(x)=f(x)-k0x-n0.由于g′(x)=f′(x)-k0≥0,所以g(x)在(-∞,+∞)上是增函数，又点是直线l和f(x)公共点，，所以当时，g(x)在上是增函数，故.所以f(x)-(k0x+n0)<0,即f(x)<k0x+n0.所以在区间上，直线l在函数f(x)图象的上方.当时，g(x)在上是增函数，所以.故f(x)-(k0x+n0)>0,即f(x)>k0x+n0,所以在区间上,直线l在函数f(x)图象的下方.当时，也是导函数二次式f′(x)=3ax2+2bx+c的判别式Δ=4b2-12ac≤0时，f′(x)≥0，函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数，没有极值点.当Δ>0时，f′(x)=0有两根x1,x2(x1<x2)，则f′(x)=3a(x-x1)(x-x2)，又3a>0，当x<x1或x>x2时，f′(x)>0，函数f(x)在(-∞,x1)∪(x2,+∞)上都是增函数；当x1<x<x2时，f′(x)<0，函数f(x)在(x1,x2)上是减函数，f(x1)是f(x)的极大值，f(x2)是f(x)的极小值，两极值点的中点，也就是拐点的横坐标.综合以上对三次函数图象性质的研究，我们可以像作二次函数图象一样，利用函数图象特征量，比较准确地作出三次函数的图象.例1 作出函数的图象.解因为f′(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0，所以函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.当x=1时，切线斜率的最小值是k0=f′(1)=1，此处切线的倾斜角取最小值，过点作出斜率为k0=1的直线l.当x<1时，函数f(x)的图象在直线l的下方，且上凸；当x>1时，函数f(x)的图象在直线l的上方，且下凹.参考f(0)=1和点(0,1)关于拐点的对称点，可以作出f(x)的图象(图2).例2 作出函数的图象.解因为f′(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0，当x=1时，f′(x)的最小值为0，此处切线倾斜角取最小值为0°，又，过点作斜率为0的直线l.当x<1时，图象在直线l下方，且上凸；当x>1时，图象在直线l上方，下凹，参考f(0)=2和点(0,2)关于拐点的对称点，可以作出函数f(x)的图象(图3).例3 作出函数的图象.解因为f′(x)=x2-2x=x(x-2)=(x-1)2-1，所以当x=1时，f′(x)的最小值为-1，即f(x)在x=1处的切线l斜率的最小值为-1.当x<0或x>2时，f′(x)>0，f(x)的增区间是(-∞,0)∪(2,+∞)；当0<x<2时，f′(x)<0，f(x)的减区间是(0,2).所以当x=0时，f(x)有极大值f(0)=1；当x=2时,f(x)有极小值,又，从而可以作出f(x)的图象(图4). 所以作三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的图象时，先求出f′(x)，它是二次函数，求出它的最小值点，得到拐点的横坐标和拐点处的切线斜率，从而作出这条切线l，当判别式Δ≤0时，函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数，在切线的左、右两侧图象分别上凸下凹作出图象，适当取两个关于拐点的对称点，作图可以更准确.当导函数f′(x)的判别式Δ>0时，方程f′(x)=0的两根x1,x2(x1<x2)分别是f(x)的极大值点和极小值点，利用f(x)在(-∞,x1)∪(x2,+∞)上是增函数，在(x1,x2)上是减函数作出图象，描出两个极值点和注意拐点处切线两侧图象分别上凸下凹，作图可以更准确.以上三个例子分别代表了三次函数图象的三种情况，即其导函数的二次式的判别式小于零、等于零、大于零.当a>0,x→+∞时，f(x)的值与ax3同号，值都趋向于正无穷大；当a>0,x→-∞时，f(x)的值与ax3同号，值都趋向于负无穷大.设E(m,n)是平面内任一点，过点E的直线与f(x)的图象相切于点H(x0,f(x0))，所以切线方程为，点E(m,n)在切线上，点E(m,n)的坐标代入上式,得，整理得,所以过点E有几条切线等价于这个方程有几个根，也等价于函数g(x)=2ax3+(b-3am)x2-2bmx+n-d-cm有几个零点，由前面三次函数的图象和性质可知，g(x)至少有一个零点，最多有三个.例4 设函数f(x)=x3-x，过点(1,b)有三条直线与曲线y=f(x)相切，求b的取值范围. 解因为f′(x)=3x2-1，设切点为(x0,f(x0))，所以切线方程为y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).即).点(1,b)代入上式,得.设g(x)=2x3-3x2+1+b. 因为过点(1,b)与曲线y=f(x)相切的直线有三条⟹方程g(x)=0有三个实根⟹函数g(x)有三个零点.g′(x)=6x2-6x=6x(x-1).令g′(x)=0得x=0或x=1.当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时，g′(x)>0，所以g(x)是增函数；当x∈(0,1)时，g′(x)<0，所以g(x)是减函数.g(0)和g(1)分别是g(x)的极大值和极小值，g(x)的大致图象如图5所示，常数b决定了g(x)图象的上下平移量.当g(0)=1+b>0且g(1)=b<0时，即当-1<b<0时，此时有g(-1)=-4+b<0,g(2)=5+b>0，从而g(x)有三个零点.因此,当-1<b<0时，过点(1,b)有三条直线与曲线y=f(x)相切.三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的图象有对称中心，它的导函数f′(x)=3ax2+2bx+c是有对称轴的二次函数.这个二次函数的导函数f″(x)=6ax+2b的图象有对称中心.而这个一次函数的导函数f‴(x)=6a是有对称轴的常函数.。