2017年江苏省苏州市第三中学高一下学期数学期中考试试卷
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第1页（共6 页） 2017年江苏省苏州市第三中学高一下学期数学期中考试试卷
一、填空题（共14小题；共70分）
1. 在 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，若 ，则 ． 2. 等比数列 中， ， ，则 ． 3. 在 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，若 ，则
．
4. 不等式
的解集为 ． 5. 等比数列 中， ， ，则数列 的前 项和等于 ．
6. 函数
的最大值为 ．
7. 不等式组
的所有点中，使得目标函数 取得最大值点的坐标为 ．
8. 已知 ， 都是等差数列，其前 项和分别是 和 ，若
，则
的值为 ．
9. 已知数列 中， ，
，则数列的通项公式 ．
10. 已知等比数列 的前 项和 满足：
，则
．
11. 设 是大于 的正常数，函数
的最小值是 ，则 的值等于 ．
12. 已知 ，下列不等式：①
，②
，③
，④
，其中一定恒成立的是 （填写序号）． 13. 在 中，已知 ， ， ，则 ． 14. 已知数列 （ ）满足： （ ）， 为整数的数
（ ）叫做企盼数，则区间 内所有企盼数的和 ．
二、解答题（共6小题；共78分）
15. 设 为等差数列， 为等比数列，且 ，若 ，且 ， ， ．
（1）求 的公差 和 的公比 ；
（2）求数列 的前 项和；
（3）若 ，求数列 的前 项和．
16. 在 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边， ，
， ．
（1）求 ．
（2）求边 ， ．
（3）求角 ． 第2页（共6 页） 17. 某村计划建造一个室内面积为 的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧及后墙内侧内墙各保留 宽的通道，沿前侧内墙保留 宽的空地．当矩形温室内的边长各多少时?蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是多少?
18. 已知定义域为 的函数
是奇函数．
（1）求 的值，并判断函数 的单调性；
（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围．
19. 设不等式组
所表示的平面区域为 ，若 内的整点个数为 （整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）．
（1）当 时，画出平面区域 并求 的值．
（2）求数列 的通项公式．
（3）设数列 满足
，记数列 的前 项和为 ，若对一切正整数 ，总有 成立，求 的取值范围． 20. 已知数列 满足 ， ，满足 ， ，数列 满足 ，
．
（1）求数列 ， 的通项公式．
（2）求数列 的通项公式．
（3）是否存在正整数 使得
对一切 恒成立，若存在求
的最小值；若不存在请说明理由．
第3页（共6 页） 答案
第一部分
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
或
11.
12. ①②③
13.
14.
第二部分
15. （1） 由题意得：
其中 ，
解得： ， ， ．
（2） ， ．
所以
（3）
．
两式相减得：
所以 ．
16. （1） 因为
，
， 第4页（共6 页） 所以
，
所以
．
（2） 因为
，
所以
，
，
又
，
所以 ，又 ，
所以
，
所以 ．
（3） 因为
， ，
所以 ．
17. 设矩形温室的左侧边长为 ，后侧边长为 ，则 ，
蔬菜的种植面积
当且仅当 ，即 ， 时， ．
18. （1） 因为 是奇函数，
所以 ，即
，
所以
，
设 ，则
，
因为函数 在 上是增函数且 ，
所以 ，
又 ，
所以 即 ，
所以 在 上为减函数．
（2） 由（1）得 为减函数，因 是奇函数，从而不等式 等价于 ．
因 为减函数，由上式推出， ．即对一切 有： ，
从而判别式
．
19. （1） ． 第5页（共6 页）
（2） 当 时， ，当 时， ，
所以 ．
（3）
，
易证明 递增，
所以当
时，对一切正整数 ，总有 成立，
所以
．
20. （1） 因为 ， ，
所以 时，
验证可得 时也成立，
所以
，
，
所以
，
所以 时，
验证可得 时也成立，
所以
．
（2） ，
．
所以
．
两式相减得：
， 第6页（共6 页） 所以
， ， ， ，
，
所以
．
（3） 时，
，
所以
且 ，
于是 且 ．
时，
，
即
，
也即 ，
所以
，
事实上：
，
（ 取等号），
所以
，
所以 且 ．
综上： ， ．
故 的最小值为 ．
