高中数学：求函数解析式的10种常见方法

二次函数快速求解析式

二次函数是高中数学中一个重要的知识点，对于学生来说，掌握二次函数的求解方法是非常必要的。在学习二次函数时，我们需要掌握快速求解析式的方法，下面将详细介绍如何快速求解析式。

一、什么是二次函数？

二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中x为自变量，y为因变量。其中a、b、c为常数，且a不等于0。二次函数通常表示开口向上或开口向下的抛物线。

二、如何快速求解析式？

1.已知顶点坐标和另一点坐标

如果已知一个二次函数的顶点坐标和另一个点的坐标，则可以通过以下步骤来快速求解析式：

（1）根据顶点坐标得到平移后的函数：y=a(x-h)²+k

（2）根据另一个点的坐标代入上式，并解出a

（3）将得到的a代入平移后的函数中即可得到原始函数

例如：已知y=ax²+bx+c经过点（1,-2），顶点坐标为（-1,3），则可以通过以下步骤来快速求解析式：

（1）根据顶点坐标得到平移后的函数：y=a(x+1)²+3

（2）代入已知点（1,-2）得到-2=a(1+1)²+3，解出a=-1/4

（3）将a=-1/4代入平移后的函数中即可得到原始函数：y=-1/4(x+1)²+3

2.已知两个点坐标和顶点坐标

如果已知一个二次函数的两个点坐标和顶点坐标，则可以通过以下步骤来快速求解析式：

（1）根据顶点坐标得到平移后的函数：y=a(x-h)²+k

（2）根据另外两个点的坐标代入上式，并联立方程组解出a、h、k

（3）将得到的a、h、k代入平移后的函数中即可得到原始函数

例如：已知y=ax²+bx+c经过点（-2,7）、（0,3），顶点坐标为（-1,4），则可以通过以下步骤来快速求解析式：

（1）根据顶点坐标得到平移后的函数：y=a(x+1)²+4

（2）代入另外两个已知点得到如下方程组：

7=a(-2+1)²+4

3=a(0+1)²+4

联立方程组解出a=-2，h=-1，k=6

（3）将a=-2，h=-1，k=6代入平移后的函数中即可得到原始函数：y=-2(x+1)²+4

1 求二次函数解析式的常用方法

四川省仪陇县实验学校 李洪泉

求二次函数解析式是初中数学的重点和难点，同时也是初中、高中数学知识的一个衔接点。它所涉及的知识面广，解题技巧高，因此要求学生必须熟练掌握以下几种求二次函数解析式的常用方法。

1、根据二次函数的一般式求解析式

当直接或间接知道二次函数图象上任意三点坐标时，通常可设函数解析式为一般式y=ax2+bx+c求解。

例1、(2008年广东梅州市)如图，在梯形ABCD中，已知AB∥CD， AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为x轴，过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由）

分析：根据等腰梯形和直角三角形的性质不难求出60,(1,0),(0,3),(2,3)DABADC，A、D、C为抛物线上的任意三点，因此可令抛物线的解析式为一般式：2yaxbxc，则03423abccabc，解得：332333abc故：过A、D、C三点的抛物线的解析式为：2323333yxx；对称轴为直线x=1.（第三问解略）

点评：根据二次函数的一般式求解析式，必须知道抛物线上三点的坐标，目的是列一个三元一次方程组求解出解析式的待定系数的值。

2、根据二次函数的顶点式求解析式

已知二次函数顶点坐标(h，k)或对称轴x=h时，通常可设函数解析式为y=a(x-h)2+k求解。

例2、（四川省南充高中2011邀请赛题）如图，已知点(2,0),(4,0)BC，过点,BC的M与直线1x相切于点A（A在第二象限）,点A关于x轴的对称点是1A，直线1AA与x轴相交点P。（1）求证：点1A在直线MB上；（2）求以M为顶点且过1A的抛物线的解析式；（3）设过点1A且平行于x轴的直线与（2）中的抛物线的另一交点为D，当D与M相切时，求D的半径和切点坐标。 2 分析：根据垂径定理、切线的性质和轴对称的性质不难求解出点M的坐标为(3,3)，点A的坐标为(1,3)，点1A的坐标为(1,3)。因此，求以M为顶点过1A的抛物线的解析式可令为2(3)3yax，把1A的坐标(1,3)代入得：2(13)33a，解得：32a，故抛物线的解析式为23(3)32yx。（第三问解略）

求二次函数解析式的四种基本方法

二次函数是初中数学的一个重要内容,也是高中数学的一个重要基础;熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证;

二次函数的解析式有三种基本形式：

1、一般式：y=ax2+bx+c a≠0;

2、顶点式：y=ax－h2+k a≠0,其中点h,k为顶点,对称轴为x=h;

3、交点式：y=ax－x1x－x2 a≠0,其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标;

4.对称点式： y=ax－x1x－x2+m a≠0

求二次函数的解析式一般用待定系数法,但要根据不同条件,设出恰当的解析式：

1、若给出抛物线上任意三点,通常可设一般式;

2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值,通常可设顶点式;

3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离,通常可设交点式;

4.若已知二次函数图象上的两个对称点x1、mx2、m,则设成： y=ax－x1x－x2+m a≠0,再将另一个坐标代入式子中,求出a的值,再化成一般形式即可;

探究问题,典例指津：

例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(和)1,1(．求这个二次函数的解析式．

分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点,可设一般式y=ax2+bx+c a≠0;

解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c a≠0

依题意得：145cbaccba 解这个方程组得：432cba

∴这个二次函数的解析式为y=2x2+3x－4;

例2、已知抛物线cbxaxy2的顶点坐标为)1,4(,与y轴交于点)3,0(,求这条抛物线的解析式;

分析：此题给出抛物线cbxaxy2的顶点坐标为)1,4(,最好抛开题目给出的cbxaxy2,重新设顶点式y=ax－h2+k a≠0,其中点h,k为顶点;

解：依题意,设这个二次函数的解析式为y=ax－42－1 a≠0

二次函数三种解析式的求法

二次函数是高中数学中的重要概念，它的解析式有三种常见的求法。本文将分别介绍这三种求法，并且给出相应的例题加以说明。

第一种求法是通过顶点坐标和另一点坐标来确定二次函数的解析式。二次函数的标准形式为f(x) = a(x-h)² + k，其中(h,k)为顶点坐标。假设已知顶点坐标为(h,k)，另一个已知点的坐标为(x₁,y₁)，我们可以将这两个点的坐标代入二次函数的标准形式，得到两个方程：

k = a(x-h)²

y₁ = a(x₁-h)² + k

通过解方程组，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。

例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，我们可以代入上述方程组进行求解。将顶点坐标代入第一个方程，可得：

3 = a(2-(-1))²

解得a = 1/3。然后将a的值代入第二个方程，可得：

5 = (1/3)(2-(-1))² + 3

化简后得到二次函数的解析式为f(x) = (1/3)(x+1)² + 3。

第二种求法是通过顶点坐标和对称轴与顶点的距离来确定二次函数的解析式。对称轴与顶点的距离等于顶点的纵坐标的绝对值，即|k|。假设已知顶点坐标为(h,k)，对称轴与顶点的距离为|k|，我们可以将这些信息代入二次函数的标准形式，得到方程： f(x) = a(x-h)² + k

代入|k|，可得：

f(x) = a(x-h)² + |k|

通过解这个方程，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。

例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，对称轴与顶点的距离为3。我们可以代入上述方程进行求解。将顶点坐标代入方程，可得：

5 = a(2-(-1))² + 3

化简后得到a = 1/3。然后将a的值代入方程，可得：

f(x) = (1/3)(x+1)² + 3

这就是二次函数的解析式。

第三种求法是通过已知的三个点坐标来确定二次函数的解析式。假设已知三个点的坐标分别为(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，(x₃,y₃)，我们可以将这些点的坐标代入二次函数的一般形式f(x) = ax² + bx + c，得到三个方程：