平面向量基本定理学案

新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：6.3.1平面向量基本定理含解析6.3平面向量基本定理及坐标表示6．3.1平面向量基本定理[目标］1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义,理解平面向量基本定理；2.掌握平面向量基本定理并能熟练应用．[重点] 平面向量基本定理．[难点] 平面向量基本定理的应用．要点整合夯基础知识点平面向量基本定理[填一填］(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.（2）若e1，e2不共线，我们把｛e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．［答一答］1．基底有什么特点?平面内基底唯一吗？提示：基底中的两向量e1，e2不共线,这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．2．如图,设OA、OB、OC为三条共端点的射线，P为OC上一点，能否在OA 、OB 上分别找一点M 、N ，使OP →＝错误!＋错误!？提示：能。

过点P 作OA 、OB 的平行线，分别与OB 、OA 相交，交点即为N 、M .3．若向量a ，b 不共线，且c ＝2a －b ,d ＝3a －2b ，试判断c ，d 能否作为基底．提示：设存在实数λ使得c ＝λd ，则2a －b ＝λ（3a －2b )，即(2－3λ)a ＋（2λ－1)b ＝0.由于a ，b 不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0,这样的λ是不存在的，从而c ，d 不共线，故c ，d 能作为基底。

典例讲练破题型类型一 基底的概念［例1] 下面说法中，正确的是（ ）①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a 和一组基底e 1，e 2，使a ＝λe 1＋μe 2成立的实数对一定是唯一的．A ．②④B ．②③④C ．①③D ．①③④［解析] 因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；由平面向量基本定理知④正确．综上可得②③④正确．［答案]B根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线,则它们不能作为一组基底。

第九章平面向量平面向量根本定理1理解平面向量根本定理及其意义，2在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量1教学重点：会用向量方法计算或证明几何中的相关问题2教学难点：体会向量在解决数学和实际问题中的作用题型一平面向量根本定理的理解【例1】如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断以下说法是否正确，并说明理由1假设λ，μ满足λe1＋μe2＝0，那么λ＝μ＝0；2对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对；3线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；4当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量【训练1】设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么以下四组向量中，不能作为基底的是＋e2和e1－e2－4e2和6e1－8e2＋2e2和2e1＋e2和e1＋e2题型二用基底表示向量【例2】如图，在平行四边形ABCD中，设对角线错误!，N分别是DA，BC的中点，且错误!＝，设错误!是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点与B＝a，错误!＝b，试用a，b表示错误!【训练3】如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，假设错误!＝λ错误!＋μ错误!，其中λ，μ∈R，那么λ＋μ＝________，e2是平面内的一组基底，那么以下四组向量能作为平面向量的基底的是1－e2，e2－e1－e2，e1－错误!e2－3e1，6e1－4e2＋e2，e1－e22如下图，矩形ABCD中，假设错误!＝5e1，错误!＝3e2，那么错误!等于5e1＋3e25e－3e22e2＋5e15e2＋3e1，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝错误!AB，BE＝错误!BC，假设错误!＝λ1错误!＋λ2错误!λ1，λ2为实数，那么λ1＋λ2的值为________4在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以错误!＝e1，错误!＝e2为基底表示错误!参考答案1解析选项A，B，C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底答案D2 解析错误!＝错误!错误!＝错误!错误!－错误!＝错误!错误!＋错误!＝错误!5e1＋3e2答案A3 解析错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!－错误!＝－错误!错误!＋错误!错误!，又∵错误!与错误!不共线，∴λ1＝－错误!，λ2＝错误!，λ1＋λ2＝－错误!＋错误!＝错误!答案错误!4 解错误!＝错误!－错误!＝e1－e2，因为D，E，F依次是边AB的四等分点，所以错误!＝错误!错误!＝错误!e1－e2，所以错误!＝错误!＋错误!＝e2＋错误!e1－e2＝错误!e1＋错误!e2。

2.3.1 平面向量基本定理学习目标1.了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量．(重点)2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义．(难点)3.两个向量的夹角与两条直线所成的角．(易混点)知识梳理知识点1 平面向量基本定理问题导思1．如果e 1，e 2是两个不共线的确定向量，那么与e 1，e 2在同一平面内的任一向量a 能否用e 1，e 2表示？依据是什么？2．如果e 1，e 2是共线向量，那么向量a 能否用e 1，e 2表示？为什么？1．定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a ， _________________实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.2．基底： 的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内 向量的一组基底.知识点2 两向量的夹角与垂直问题导思平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？1. 夹角：已知两个 a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则 ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图所示)．(1)范围：向量a 与b 的夹角的范围是0°≤θ≤180°.(2)当θ＝0°时，a 与b ；当θ＝180°时，a 与b ．2．垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .课堂探究类型1 用基底表示向量例1 如图所示，已知▱ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a 、b 为基底表示DE →、BF →.规律方法1．若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算找到所求向量与基底的关系．2．若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底，而后用上述方法求解．互动探究在本例中，若取AC →＝x ，DB →＝y 作为基底，试用x ，y 表示DE →，BF →.类型2 向量的夹角例2已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹角是β，求α＋β.规律方法1．求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．2．特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1、λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.变式训练若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．类型3 平面向量基本定理的应用例3如图所示，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于E，求证：E为线段BD 的三等分点．规律方法1．应用平面向量基本定理来证明平面几何问题的一般方法如下：一般先选取一组基底，再根据几何图形的特征应用向量的有关知识解题．2．求解这类问题，不仅要灵活利用向量的加、减运算法则和平面向量的基本定理，而且要重视相等向量、共线向量在解题中的运用．3．证明三点共线，需说明两点：(1)三点确定的向量共线；(2)两向量有公共点．变式训练 如图所示，如图平行四边形ABCD 中，点M 在AB 的延长线上，且BM ＝12AB ，点N 在BC 上，且BN ＝13BC .求证：M 、N 、D 三点共线．课堂小结1．对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．当堂检测1．下列关于基底的说法正确的是( )①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．A ．①B ．②C ．①③D ．②③2．在等边三角形ABC 中，AB →与BC →的夹角等于( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°3．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x －3y )e 1＋(3x －4y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x ＝__________，y ＝__________.4．如图所示，已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a 、b 为基底表示DC →、BC →、EF →.参考答案知识梳理知识点1 平面向量基本定理问题导思1．【提示】 能．依据是数乘向量和平行四边形法则．2．【提示】 不一定，当a 与e 1共线时可以表示，否则不能表示．1．不共线 任意 有且只有一对2．不共线 所有知识点2 两向量的夹角与垂直问题导思【提示】 存在夹角，不一样．1.非零向量 ∠AOB(2)同向 反向课堂探究类型1 用基底表示向量例1 解：∵四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点，∴AD →＝BC →＝2BE →，BA →＝CD →＝2CF →，∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12BA →＝－12AB →＝－12a . ∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE →＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ， BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a . 互动探究解：依题意x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，∴x ＋y ＝2a ，x －y ＝2b ，∴a ＝12(x ＋y )，b ＝12(x －y )， 于是DE →＝a －12b ＝12(x ＋y )－14(x －y )＝14x ＋34y ， BF →＝b －12a ＝12(x －y )－14(x ＋y )＝14x －34y . 类型2 向量的夹角例2 解：如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA 、OB 为邻边作▱OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BC →＝OA →＝a .因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形，所以∠OAB ＝60°＝∠ABC ，即a －b 与a 的夹角β＝60°.因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形，所以OC ⊥AB .所以∠COA ＝90°－60°＝30°，即a ＋b 与a 的夹角α＝30°，所以α＋β＝90°.变式训练解：由向量运算的几何意义知a ＋b ，a －b 是以a 、b 为邻边的平行四边形两条对角线． 如图，∵|a |＝|b |＝|a －b |，∴∠BOA ＝60°.又∵OC →＝a ＋b ，且在菱形OACB 中，对角线OC 平分∠BOA ，∴a 与a ＋b 的夹角是30°.类型3 平面向量基本定理的应用例3 解：设AB →＝a ，AD →＝b ，则BD →＝AD →－AB →＝b －a ，AF →＝AD →＋D F →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a . 因为A 、E 、F 与B 、D 、E 分别共线，所以存在实数λ、μ∈R ，使AE →＝λAF →，BE →＝μBD →.于是AE →＝λ2a ＋λb ，BE →＝μb －μa . 由AB →＋BE →＝AE →得，(1－μ)a ＋μb ＝λ2a ＋λb . 因为a ，b 不共线，由平面向量基本定理，∴1－μ＝λ2且μ＝λ. 解得λ＝μ＝23.∴BE →＝23BD →， 即E 为线段BD (靠近D )的一个三等分点．变式训练 证明：设AB →＝e 1，AD →＝e 2，则BC →＝AD →＝e 2.∵BN →＝13e 2，BM →＝12AB →＝12e 1. ∴MN →＝BN →－BM →＝13e 2－12e 1. 又∵MD →＝AD →－AM →＝e 2－32e 1 ＝3(13e 2－12e 1)＝3MN →. ∴向量MN →与MD →共线，又M 是公共点，故M 、N 、D 三点共线．当堂检测1．【答案】 C【解析】 零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确．2．【答案】 C【解析】 由向量夹角定义知，AB →与BC →的夹角为120°.3．【答案】 －15 －12【解析】 ∵向量e 1、e 2不共线∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝6，3x －4y ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－15，y ＝－12. 4．解：连接FD ，∵DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，∴DC 綊FB .∴四边形DCBF 为平行四边形．依题意，DC →＝FB →＝12AB →＝12b ， BC →＝FD →＝AD →－AF →＝AD →－12AB →＝a －12b ， EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC → ＝－(a －12b )－12×12b ＝14b －a .。

4-34平面向量基本定理教课目标：要修业生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。

教课过程：一、复习：1．向量的加法运算（平行四边形法例）。

2．实数与向量的积3．向量共线定理二、由平行四边形想到：1．是否是每一个向量都能够分解成两个不共线向量？且分解是独一？2．关于平面上两个不共线向量e1， e2是否是平面上的全部向量都能够用它们来表示？——提出课题：平面向量基本定理三、新授： 1． ( 教材 p93) 设e1， e2是不共线向量， a 是平面内任一直量a M Ce1e2O NBOA =e OM =λ1e OC =a= OM + ON =λ1e+λ2e 1112 OB =e2ON =λ2e2得平面向量基本定理：假如e1， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么关于这一平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数λ1，λ 2 使a=λ 1 e1+λ 2 e2 2：两向量的夹角与垂直如图，已知两个非零向量 a 和 b .作 OA a ， OB b ，则 AOB0180 叫做向量 a 与 b 的夹角.特别地，⑴当0 时， a 与 b 同向；⑵当180时， a 与 b 反向；⑶当90 时， a 与 b 垂直，记作： a b .注意几个问题：1e1、 e2一定不共线，且它是这一平面内全部向量的一组基底2这个定理也叫共面向量定理3λ1，λ 2 是被a，e1，e2独一确立的数目2．例一 ( P94) 已知向量e1，e2求作向量 2.5 e1 +3 e2。

例二、如图ABCD的两条对角线交于点M，且AB = a，AD =b，用 a ，b表示MA，MB，MC和MDCDb MDBAa B例三、已知ABCD的两条对角线AC与 BD交于 E， O是随意一点，求证： OA +OB +OC + OD =4OED COEA B例四、如图，OA ， OB 不共线， AP =t AB (t R)用OA , OB表示OPPBO A四、小结：平面向量基本定理，其本质在于：同一平面内任一直量都能够表示为两个不共线向量的线性组合。