高三数学一轮复习讲义 专题58 数列的极限

专题58 数列的极限 考纲导读： 考纲要求:了解数列极限的概念; 掌握极限的四则运算法则；会求某些数列的极限.

考纲解读: 数列极限是高等数学在高考中的应用,高考命题对其要求不高,仅要求会利用四则运算法则求得极限即可. 考点精析： 考点1、数列的极限 这类题型主要是应用数列极限的定义和极限的四则运算法则求某数列的极限，比较简单的数列可以从其各项变化趋势观察出它们的极限，比较复杂的数列可以通过恒等变形、转化变换等方法，运用极限的四则运算法则将其极限求出.

【考例1】 (·上海春季)计算221lim3(1)nnnn ．

解题思路：本题考查了数列极限运算法则及极限值的求解.分子分母同除以2n,运算即可得出结论.

正确答案：22221221212limlimlim33(1)3333nnnnnnnnnnn. 回顾与反思：在运用数列极限的四则运算法则时要注意,（1）参加运算的各数列的极限必须存在；(2)作为除式的数列及其极限必须不为0；(3)运算法则仅适用于求有限项的极限，而不适用于无限项的情况;(4)当一个极限运算成立时，它的逆运算不一定成立. 知识链接：分式型数列极限的求法,这种形式的数列求极限一般是分子、分母同除以一个式子（ 或数），从而使分子、分母都存在极限，然后用“商的极限等于极限的商”求解，特别地当分子、分母是关于n的次数相同的多项式时，这个分式在n(时的极限就是分子、分母最高次项的系数之比.

【考例2】 (·山东理)若anannn则常数,1)(1lim . 解题思路：本题考查了根式型数列极限求法.先将分式中的分母取一个有理化因式,将分母中的差式化为分子的和式,再应用运算法则求极限即可.

正确答案：1limlim()nnnannnanan1211limaanan, 2a.

回顾与反思：根式型数列极限的求法,这种形式的数列求极限一般是先将分子进行有理化，即分子、分母同乘以分子的共轭根式，将其化成分式型极限求解. 知识链接：和（积）式型数列极限的求法,这种类型的极限是指式子中出现省略号且为若干项之和（ 或积），此时应先求和（ 或积），使之转化为有限项的和（或积）.如果数列中含有未知参数，则需要对参数进行讨论，分别求解. 考点2、数列的极限的应用 该题型多综合等差数列、等比数列作为其中的一个设问步骤，另外，本题型还可以与解 析几何、向量等相联系，考查一些无限型点列问题、长度问题、斜率问题等，正确求出数列的通项公式是解决这类题型的关键. 【考例1】 (·江西九校模)如图P1为边长为1的正三角形纸板,在P1的左下端剪去一个

边长为12的正三角形得到P2 ,然后依次剪去一个更小的正三角形(其边长为前一个被剪去的正三角形的边长的一半)得到P1、P2、„、Pn、„, 记纸板nP的面积为nS,则limnnS= .

解题思路：先求出第n个图形中被剪去的正三角形的边长,然后求第n个纸板nP的面积为nS,求和即得结论. 正确答案：由已知可得第n个图形中被剪去的正三角形的边长｛naa｝的通项为112nnaa,

∴2222212343()4nnSaaaaa 222131111()()()4242n

1)41.(31311

4

3n

故313lim(1).436nnS 回顾与反思：高中教材中多处渗透了极限的思想和方法，如“双曲线的渐近线”，“球的体积和表面积”等，学会用极限的思想与方法来解决中学数学中的有关问题，不仅可以优化解题过程，降低问题难度，而且有助于从大的方向与角度去把握题目，有助于寻求解题思路. 知识链接：极限的思想是高中数学的一个很重要的数学思想，它是指用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想.其涉及“分割——取值—求和—求极限”的方法就是极限思想解决数学问题一个典型方法.

【考例2】 (·天津理)设函数11xxf，点0A表示坐标原点，点*,NnnfnAn，若向量01121nnnaAAAAAA，n是na与i的夹角，（其中

0,1i



），设nnStantantan21，则nnSlim= ．

解题思路：将向量na用坐标表示,计算na与i的夹角的正切值tann,通过数列求和可得其极限. 正确答案：解法一,由已知条件可得1211111(1,),(2,),,(1,),(,)231nnAAAnAnnn 011211111111(1,)(1,)(1,)(1,)232431nnnaAAAAAAnn



11111111(1111,)(,)2324311nnnn

.

∴11111tan(1)1nnnnnnn, ∴1211111111tantantan112233411nn

Snnn



∴nnSlim1lim(1)1nn=1. 解法二,∵0112101(,)1nnnnaAAAAAAAAnn





,

∴11111tan(1)1nnnnnnn, ∴1211111111tantantan112233411nn

Snnn



∴nnSlim1lim(1)1nn=1. 回顾与反思：本题以向量与数列相交汇,考查了平面向量的加法法则及数列的递推关系,考查了裂项求和法求数列的前n项和及数列的极限. 知识链接：数列极限的直观描述方式的定义只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义，数列的项naa趋近于a是在无限过程中进行的，即|naa－a|随n的增大而无限地趋近于0． 创新探究： 【探究1】在数列｛an｝和｛bn｝中，a1=2，且对任意自然数n，3an+1－an=0，bn是an

与an+1的等差中项，则｛bn｝的各项和是_____.

创新思路：本题通过两个数列的关系考查了其间错综复杂的关系研究,抓住数列的概念是解决问题的根源.

解析: bn=21nnaa，3an+1=an ∴bn=2an+1，311nnaa ∴b1+b2+„+bn=2（a1+a2+„+an+1）－2a1 ∵｛an｝是首项为2，公比为31的等比数列 P0 P

1 P

2 P

3

∴nlim（b1+b2+„+bn）=nlim［2（a1+a2+„+an+1）－2a1］=2×3112－2×2=2. 【探究2】有一列曲线P0，P1，P2，„„．已知P0所围成的图形是面积为1的正三角形，Pk＋1是对Pk进行如下操作得到：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k＝0,1,2,„）. 记Sn为曲线Pn所围成图形的面积． (1)求数列{Sn}的通项公式； (2)求nlimSn．

创新思路：运用变形与化归思想,捕捉雪花曲线图中不断增加的三角形个数与边数关系式求得数列通项公式,使问题得解.分形问题的研究为高考试题的命题带来了色彩斑斓的新试题,各省市不断出现了以雪花曲线为背景的创新性试题.

解析: (1)∵第n个图形的边数或顶点数为34()nnN,第n个图形的边长

为1()3nnN,第n个图形所增加的小正三角形的个数为第n-1个图形的边数,即为1*34()nnN , ∴12113133434()()43169nnnnnnSSS

 ,又034S,

∴2333444[()()]416999nnS144()33399441619n 232[83()]203n ()nN. (2) 23223limlim[83()]2035nnnnS ． 方法归纳： 1.学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限. 2.运算法则中各个极限都应存在.都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个.在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限. 3.注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如：

)1|(|0lim,0)1(limaann

nnn, 001011011, 0, lim,kkkllnaklbaxaxaklbxbxbkl



当时,

当时,不存在当时.

过关必练： 一、选择题:

1. (·北京四中)设nS是无穷等比数列的前n项和，若1lim4nnS，则首项1a的取值范围是( ) A. 1(0,)4 B. 1(0,)2 C. 111(0,)(,)442 D. 11(0,)(,1)

42

2. (·陕西理) 221lim2(11)nnnn等于( ) A. 0 B. 14 C. 12 D. 1 3. (·重庆模)若nx)51(2的展开式中各项系数之和是na，nx)51(2的展开式中各项

的二项式系数之和为nb，则nnnnnbaba432lim的值为( ) A．32 B．21 C．41 D．31 4. （05·东城模）等差数列｛an｝，｛bn｝的前n项和分别为Sn与Tn，若132nnTSnn，

则nnnbalim等于（ ） A.1 B.36 C.32 D.94 5. (·湖北八校二联)二次函数1)12()1(2xnxnny，当n依次取1,2,3,4,…,n,…时，图象在x轴上截得的线段的长度的总和约为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题:

6. (·江西理)数列｛214n1－｝的前n项和为Sn，则nlimSn＝______________