2018届高考数学文科二轮复习(全国通用)：12+4满分练(4)+Word版含解析【KS5U+高考】

参考答案客观题提速练一1.B2.B3.C4.D 由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×错误！未找到引用源。

,解得b=3(b=-错误！未找到引用源。

舍去),选D.5.B 因为6-2m>0,所以m<3,c2=m2-2m+14=(m-1)2+13,所以当m=1时,焦距最小,此时,a=3,b=2,所以错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.选B.6.B 由题可得4×错误！未找到引用源。

+ϕ=错误！未找到引用源。

+kπ,k∈Z,所以ϕ=错误！未找到引用源。

+kπ,k∈Z.因为ϕ<0,所以ϕmax=-错误！未找到引用源。

.选B.7.C 在如图的正方体中,该几何体为四面体ABCD,AC=2,其表面积为错误！未找到引用源。

×2×2×2+错误！未找到引用源。

×2×2错误！未找到引用源。

×2=4错误！未找到引用源。

+4.选C.8.B 因为a2+a<0,所以a(a+1)<0,所以-1<a<0.取a=-错误！未找到引用源。

,可知-a>a2>-a2>a.故选B.9.C 易判断函数为偶函数,由y=0,得x=±1.当x=0时,y=-1,且当0<x<1时,y<0;当x>1时,y>0.故选C.10.B 因为p=错误！未找到引用源。

或p=错误！未找到引用源。

,所以8.5=错误！未找到引用源。

或8.5=错误！未找到引用源。

,解得x3=8.故选B.11.C取CS的中点O,连接OA,OB.则由题意可得OA=OB=OS=2.CS为直径,所以CA⊥AS,CB⊥SB.在Rt△CSA中,∠CSA=45°,故AS=CScos 45°=4×错误！未找到引用源。

=2错误！未找到引用源。

, 在△OSA中,OA2+OS2=AS2,所以OA⊥OS.同理,OS⊥OB.所以OS⊥平面OAB.△OAB中,OA=OB=AB=2,故△OAB的面积S=错误！未找到引用源。

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绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

学＠科网 1．()i 23i += A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+2．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B = A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,73．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.36．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A．y =B．y = C．y = D．y =7．在ABC △中，cos 2C =1BC =，5AC =，则AB = A．BCD．8．为计算11111123499100S =-+-++-，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A B C D10．若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2C D ．112．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =,则(1)(2)(3)f f f ++(50)f ++=A ．50-B ．0C ．2D ．50二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．曲线2lny x=在点(1,0)处的切线方程为__________．14．若,x y满足约束条件250,230,50,x yx yx+-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤则z x y=+的最大值为__________．15．已知5π1tan()45α-=,则tanα=__________．16．已知圆锥的顶点为S，母线SA,SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30︒,若SAB△的面积为8，则该圆锥的体积为__________．三、解答题:共70分。

第3练 复 数[明考情]复数是高考必考题，以选择题形式出现，题目难度为低档，多数在第一题或第二题的位置. [知考向] 1.复数的概念. 2.复数的运算. 3.复数的几何意义.考点一 复数的概念要点重组 (1)复数：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部，i 为虚数单位.若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数.(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ). (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R ).(4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R ).1.设复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数z ＋1z 的虚部是( )A.12B.12iC.32D.32i 答案 A解析 因为z ＝1＋i ，所以z ＋1z ＝1＋i ＋11＋i ＝1＋i ＋1－i 2＝32＋i 2，所以虚部为12，故选A.2.(2017·全国Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |等于( ) A.12 B.22 C. 2 D.2 答案 C解析 方法一 由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝1＋i ，∴|z |＝ 2. 故选C.方法二 ∵2i ＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ， ∴|z |＝ 2. 故选C.3.设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |等于( )A.1B. 2C. 3D.2答案 A解析 由1＋z 1－z ＝i ，得1＋z ＝i －z i ，∴z ＝－1＋i1＋i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.4.已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ， 反过来(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝2i ， 则a 2－b 2＝0，2ab ＝2，解得a ＝1，b ＝1或a ＝－1，b ＝－1，故“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件， 故选A.5.(2016·江苏)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________. 答案 5解析 z ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i.故z 的实部为5.6.复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是虚数，则实数m 的取值范围是__________. 答案 {m |m ≠6且m ≠－1} 考点二 复数的运算方法技巧 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.7.(2017·山东)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2等于( ) A.－2i B.2i C.－2 D.2答案 A解析 方法一 ∵z ＝1＋i i ＝(1＋i )(－i )i (－i )＝1－i ，∴z 2＝(1－i)2＝－2i.方法二 ∵(z i)2＝(1＋i)2，即－z 2＝2i ，∴z 2＝－2i.故选A. 8.已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z 等于( ) A.3－4iB.3＋4iC.－3－4iD.－3＋4i答案 A解析 由题意得z ＝253＋4i ＝25(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25(3－4i )25＝3－4i ，故选A.9.设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数.若z ＝1＋i ，则zi ＋i·z 等于( )A.－2B.－2iC.2D.2i答案 C解析 由题意知，zi ＋i·z ＝1＋i i ＋i(1－i)＝(1＋i )ii 2＋1＋i ＝1－i ＋1＋i ＝2，故选C. 10.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝________.答案 －1解析 1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i 2＝i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝i 2＝－1. 11.已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i1＋i (a ∈R )的虚部为－3，则|z |＝________.答案13解析 因为z ＝1－a i 1＋i ＝(1－a i )(1－i )2＝1－a －(a ＋1)i 2＝1－a 2－a ＋12i ，所以－a ＋12＝－3，解得a ＝5，所以z ＝－2－3i ，所以|z |＝(－2)2＋(－3)2＝13.考点三 复数的几何意义 要点重组 (1)复数z ＝a ＋b i一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ). (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应平面向量OZ →.12.复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 A解析 因为复数z ＝i(1－2i)＝i －2i 2＝2＋i ，它在复平面内对应点的坐标为(2，1)，位于第一象限.13.设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2等于( ) A.－5 B.5 C.－4＋i D.－4－i答案 A解析 由题意知，z 2＝－2＋i ，所以z 1z 2＝－5，故选A.14.(2016·全国Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A.(－3，1) B.(－1，3) C.(1，＋∞) D.(－∞，－3)答案 A解析 由复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1，故选A.15.已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0171＋i，则复数z 在复平面内对应的点位于第_______象限.答案 一解析 因为i 4n ＋k ＝i k (n ∈Z )，且i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，所以i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 017＝i ，所以z ＝i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2，对应的点为⎝⎛⎭⎫12，12，在第一象限. 16.如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则|z 1＋z 2|＝_________.答案 2解析 由题意知，z 1＝－2－i ，z 2＝i ， ∴z 1＋z 2＝－2， ∴|z 1＋z 2|＝2.1.设z 1，z 2∈C ，则“z 1，z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1－z 2是虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B解析 若虚数z 1，z 2的虚部相等，则z 1－z 2是实数，故充分性不成立；又若z 1，z 2全是实数，则z 1－z 2不是虚数，故必要性成立.故选B.2.设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，则x ＋y ＝______.答案 4解析 由题意得x 2(1＋i)＋y 5(1＋2i)＝510(1＋3i)，∴(5x ＋2y )＋(5x ＋4y )i ＝5＋15i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋2y ＝5，5x ＋4y ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5，∴x ＋y ＝4.解题秘籍 (1)复数的概念是考查的重点，虚数及纯虚数的意义要把握准确.(2)复数的运算中除法运算是高考的热点，运算时要分母实数化(分子分母同乘以分母的共轭复数)，两个复数相等的条件在复数运算中经常用到.1.(2017·全国Ⅱ)3＋i 1＋i 等于( )A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i 答案 D解析3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i.2.复数z ＝1＋i1－2i 的虚部为( )A.－15B.15C.－35D.35答案 D解析 z ＝1＋i 1－2i ＝(1＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－15＋35i ，所以其虚部为35.3.若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i答案 A解析 ∵z1－i ＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.4.设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 B解析2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝2i (i ＋1)2＝－1＋i ，由复数的几何意义知，－1＋i 在复平面内的对应点为(－1，1)，该点位于第二象限，故选B. 5.(1＋i )3(1－i )2等于( ) A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i答案 D解析 由已知得(1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )2(1＋i )(1－i )2＝2i (1＋i )－2i ＝－1－i.6.若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.2 答案 B解析 因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.7.z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( ) A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i答案 D解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i. 由z ＋z ＝2，得a ＝1， 由(z －z )i ＝2，得b ＝－1， 所以z ＝1－i ，故选D.8.“复数z ＝3＋a ii 在复平面内对应的点在第三象限”是“a ≥0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 D解析 由题意得z ＝a －3i ，若z 在复平面内对应的点在第三象限，则a ＜0， 故选D. 9.已知a ＞0，⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a 等于( )A.2B. 3C. 2D.1答案 B解析 ⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝⎪⎪⎪⎪－a i ＋11＝(－a )2＋1＝2，即a 2＝3. 又∵a ＞0， ∴a ＝ 3.10.已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的实部是____________. 答案 21解析 由题意知z ＝(5＋2i)2＝25＋2×5×2i ＋(2i)2＝21＋20i ，其实部为21.11.(2016·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________.答案 2解析 因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ， 又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0， 得a ＝2，b ＝1，所以ab＝2.12.已知z ＝1＋i ，则2z －z 2的共轭复数是__________.答案 1＋3i 解析 ∵z ＝1＋i ，∴2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝2(1－i )(1＋i )(1－i )－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ， ∴2z －z 2的共轭复数是1＋3i.。

12＋4满分练(6)1.(2017·黄石调研)已知集合A ＝{x |－3＜x ＜1}，B ＝{x |x 2－2x ≤0}，则A ∪B 等于( ) A.{x |0＜x ＜1} B.{x |0≤x ＜1} C.{x |－3＜x ＜2} D.{x |－3＜x ≤2}答案 D解析 A ∪B ＝{x |－3＜x ＜1}∪{x |0≤x ≤2}＝{x |－3＜x ≤2}，故选D. 2.(2017·山东省实验中学二诊)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A.(0，1) B.[0，1) C.(0，1] D.[0，1]答案 B解析 由题意，得自变量满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，解得0≤x ＜1，即函数y ＝x ln(1－x )的定义域为[0，1)， 故选B.3.(2017·唐山模拟)已知向量a ＝(1，t )(t ∈R )，b ＝(－2，1)，若a ∥b ，则t 等于( ) A.－2 B.－12C.2D.12答案 B解析 因为a ∥b ，所以－12＝t 1，即t ＝－12，故选B.4.(2017·广西南宁、柳州、玉林联考)设a ∈R ，则“a ＝－1”是“直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋5＝0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋5＝0平行， 则有a 2＝1，解得a ＝±1，所以“a ＝－1”是“直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋5＝0平行”的充分不必要条件，故选A.5.(2017·山东实验中学诊断)执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的n 值为( )A.3B.4C.5D.6 答案 C解析 第一次循环：S ＝1，n ＝2； 第二次循环：S ＝1＋12，n ＝3；第三次循环：S ＝1＋12＋13，n ＝4；第四次循环：S ＝1＋12＋13＋14＞2，n ＝5；结束循环，输出n ＝5，故选C.6.(2017·山东实验中学诊断)已知直线l ：kx ＋y －2＝0(k ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－6x ＋2y ＋9＝0的对称轴，过点A (0，k )作圆C 的一条切线，切点为B ，则线段|AB |的长为( ) A.2 B.22 C.3 D.2 3 答案 D解析 由题意直线l ：kx ＋y －2＝0过圆心C (3，－1)， 所以k ＝1，所以切线|AB |＝|AC |2－|BC |2＝(－3)2＋22－12＝23，故选D.7.(2017·山东肥城统考)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝310，则tan α等于( ) A.17 B.13 C.3 D.7 答案 C解析 因为sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝310， 所以sin 2α－sin 2α＝310，所以sin 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝310，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α≠0， 所以tan 2α－2tan α1＋tan 2α＝310，解得tan α＝3或tan α＝－17(舍去)，故选C.8.(2017·永州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，a ＝2b ，cos A ＝35，则sin B等于( ) A.25 B.35 C.45 D.85答案 A解析 由cos A ＝35，得sin A ＝45，又a ＝2b ，由正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝25.故选A.9.(2017·广东珠海测试)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点，则三棱锥P －BCD 的正(主)视图与侧(左)视图的面积之和为( )A.2B.3C.4D.5答案 A解析 由三视图的性质和定义知，三棱锥P －BCD 的正(主)视图与侧(左)视图都是底边长为1高为2的三角形，其面积都是12×1×2＝1，正(主)视图与侧(左)视图的面积之和为1＋1＝2，故选A.10.(2017·河北衡水中学调研)已知等差数列{}a n ，{}b n 的前n 项和分别为S n ，T n ，若对于任意的自然数n ，都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 3＋a 152(b 3＋b 9)＋a 3b 2＋b 10等于( )A.1941 B.1737 C.715D.2041答案 A 解析a 3＋a 152(b 3＋b 9)＋a 3b 2＋b 10＝2a 92(b 1＋b 11)＋a 3b 1＋b 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝11(a 1＋a 11)211(b 1＋b 11)2＝S 11T 11＝2×11－34×11－3＝1941， 故选A.11.设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞n ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1D.x 264＋y 248＝1 答案 B解析 因为抛物线的焦点为F (2，0)，所以c ＝2， 由离心率e ＝c a ＝12，得m ＝4，所以n 2＝42－22＝12，所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.故选B.12.(2017·湖北荆州中学模拟)已知函数f (x )＝14x 2＋12x ＋a (x ＜0)，g (x )＝ln x (x >0)，其中a ∈R .若f (x )的图象在点A (x 1，f (x 1))处的切线与g (x )的图象在点B (x 2，f (x 2))处的切线重合，则a 的取值范围为( ) A.(－1＋ln 2，＋∞) B.(－1－ln 2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－34，＋∞ D.(ln 2－ln 3，＋∞)答案 A解析 f (x )的图象在点A (x 1，f (x 1))处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫14x 21＋12x 1＋a ＝⎝⎛⎭⎫12x 1＋12·(x －x 1)， 即y ＝⎝⎛⎭⎫12x 1＋12x －14x 21＋a . g (x )的图象在点B (x 2，g (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2·(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是⎩⎨⎧1x 2＝12x 1＋12， ①ln x 2－1＝－14x 21＋a ， ②由①及x 1＜0＜x 2知，－1＜x 1＜0，由①②得a ＝14x 21＋ln x 2－1＝14x 21＋ln 2x 1＋1－1＝14x 21＋ln 2－ln(x 1＋1)－1， 设h (t )＝14t 2＋ln 2－ln(t ＋1)－1(－1＜t ＜0)，则h ′(t )＝12t －1t ＋1＝t (t ＋1)－22(t ＋1)＜0，所以h (t )(－1＜t ＜0)为减函数， 则h (t )＞h (0)＝－1＋ln 2， 所以a ＞－1＋ln 2，而当t ∈(－1，0)且t 趋向于－1时，h (t )无限增大， 所以a 的取值范围是(－1＋ln 2，＋∞).13.(2017·石家庄质检)设样本数据x 1，x 2，…，x 2 017的方差是4，若y i ＝x i －1(i ＝1，2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2 017的方差为________. 答案 4解析 设样本数据的平均数为x ， 则y i ＝x i －1的平均数为x －1，则新数据的方差为12 017[(x 1－1－x ＋1)2＋(x 2－1－x ＋1)2＋…＋(x 2 017－1－x ＋1)2]＝12 017[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 2 017－x )2]＝4. 14.(2017·湖北省荆、荆、襄、宜七校联考)有一长、宽分别为50 m 、30 m 的矩形游泳池，一名工作人员在池边巡逻，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同，一人在池中心(对角线交点)处呼唤工作人员，其声音可传出15 2 m ，则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是________. 答案 38解析 所求概率为几何概型，测度为长度， 如图AB ＝CD ＝50，BC ＝DA ＝30，因为OE ＝152，OS ＝15⇒ES ＝OE 2－OS 2＝15⇒EF ＝MN ＝30， 因此概率为EF ＋MN AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝30×2(50＋30)×2＝38.15.(2017·广东佛山检测)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数).如：6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和.如6＝21＋22，28＝22＋23＋24，…，按此规律，8 128可表示为______. 答案 26＋27＋…＋212 解析 因为8 128＝26×127， 又由1－2n 1－2＝127，解得n ＝7.所以8 128＝26×(1＋2＋...＋26)＝26＋27＋ (212)16.(2017·枣庄期末)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P ()x ，y ，则||P A ＋||PB 的最大值是________. 答案 2 5解析 由题意，得A (0，0)， 因为直线mx －y －m ＋3＝0，即m (x －1)－y ＋3＝0，经过定点B (1，3).又直线x ＋my ＝0与直线mx －y －m ＋3＝0始终垂直， 点P 又是两条直线的交点， 所以P A ⊥PB ，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10.方法一 设∠ABP ＝θ⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 则|P A |＝10sin θ， |PB |＝10cos θ，所以|P A |＋|PB |＝10sin θ＋10cos θ＝25sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， 因为θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以θ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π2，1， 所以|P A |＋|PB |的最大值是2 5.方法二 因为10＝(|P A |＋|PB |)2－2|P A ||PB |≥(|P A |＋|PB |)2－2⎝⎛⎭⎫|P A |＋|PB |22＝12(|P A |＋|PB |)2，所以(|P A |＋|PB |)2≤20，即|P A |＋|PB |≤25， 当且仅当|P A |＝|PB |＝5时等号成立.。