第十章 定积分的应用
课后习题全解
§1 平面图形的面积（教材上册P242）
1．求由抛物线y=x 2与y=2-x 2所围成图形的面积。 解 该图形如图10-1所示.
先由2
22{
y x y x ==-求出两线交点(±1,1),所求面积为
A=22
211[(2)](22)11
x x dx x dx --=---⎰⎰=()31212|x x --=83. 2.求有曲线|ln |y x =与直线1,10,0x x y ===所围成图形的面积.
解 该图形如图10-2所示.
110ln ln 0.11A xdx xdx =-+⎰
⎰
=1100.11(ln )|(ln )|x x x x x x -++- =110(99ln1081)-
3.抛物线22y x =把圆228x y +≤分成两部分,求这两部分面积之比.
解 先由22228{
y x x y =+=
求出圆与抛物线交点为()2,2±. 设这两部分面积分别为1s 及2s (图10-3)
2
2
120
2)y s dy =⎰
=328
1
026arcsin )|y =432π+
128s s π+= 12/(32)/(92)s s ππ∴=+-
4.求内摆线33cos ,sin (0)x a t y a t a ==>所围成图形的面积.(图10-4).
解 40
a
s ydx =⎰
2
22422
2
460
38
4(3sin cos )12(sin sin )a a t t dt
a t t dt
π
ππ=-=-=
⎰⎰
5.求心形线(1cos )(0)r a a θ=+>所围成图形的面积. 解 如图10-5所示
()2
212
21cos 0
s a d π
θθ
=⋅
+⎰
=
232
a π
6.求三叶形曲线所围成图形的面积. 解 如图10-6所示. 2
2
2
12
4
6sin 3a s
a
d a ππ
θθ=⋅
=
⎰
§2 由平行截面面积求体积(教材上册p246)
1. 如图10-9所示,直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截.试求截得楔形体的体积.
解 如图10-10所示,用垂直Oy 轴的平面截割,得一直角三角形PQR 设OP=z,则
高5
1102OR x x ==从而它的面积为
2
1
112
24x x x ⋅⋅=
xOz 平面上椭圆方程为
2
22
41x z +
=
则PQR ∆面积为()
2
2
4251Z -于是所求体积
()(
)
2
22425100
04422512|0
z z z V dz -=-=⋅
⎰
4003=
2. 求下列平面曲线绕轴旋转所围立体的体积.
2
2
2(1)sin ,0,2,1,y a b y x x t ππθ=≤≤≤≤+=2x 绕x 轴.
(2)x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a<0),0绕x 轴.(3)r=a(1+cos )(a>0),绕极轴。（4）绕y 轴.
解
()21()b V y x dx a
π=⎰
22
2
sin
0V xdx ππ
π
==
⎰
2(2)()()b
V y t dx t a
π=⎰
223
2(1cos )(1cos )50
V a t a t dt a πππ=--=⎰ 3
23
(3)()sin ,0,0()V r d r r π
βθθθαθβπθα=
≤≤≤≤≤≤⎰
3
32283
32(1cos )sin a V
a d ππβθθθα
=⋅
+=⎰
2
2
2
222
2224
31,2(1)0
y x a b b a y a a V y dx b dx ab a ππππ+====-=-⎰⎰(4)由得则 3．以知球半径为r ，验证高为h 的球缺体积（图10-11）
2
3()()h
V h r h r π=-≤
解 22()r h
V
r x dx π-=-⎰
()
22
3
x r r x r h π
=--
()2
3h h r π=-
§3 平面曲线的弧长与曲率（教材上册P252）
1．求下列曲线的弧长
(
)()3
2
33331,04;
1;
(3)cos ,sin (0),02;
(4)cos sin ,(sin cos )(0,02);(5)sin (0,03);(6)(0),02.
y x
x x a t y a t a t x a t t t y a t t t a t r a a r a a θππθπθθπ=≤≤+===>≤≤=+=->≤≤=>≤≤=>≤≤ 解
(1)s =⎰
827
1)s ==⎰
44(2)cos (),sin x t y t ==
s =
