【典型题】高三数学上期中试卷带答案(2)

姓名：__________准考证号：__________2024年赣州市十八县（市､区）二十四校期中联考高三数学试卷说明：1.全卷满分150分，考试时间120分钟.2.全卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上作答，否则不给分.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设2i a a ∈=+R ，则a =（ ）A. 2-B.C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】利用复数的乘法运算进行化简，然后利用复数相等即可得到答案.【详解】由()()()22i i 32i a a a a +-=+-=，所以3a =且220a -=，即a =故选：C.2. 设全集U =Z ，集合{}41,A x x k k ==+∈Z ∣，集合{}41,B x x k k ==-∈Z ∣，则集合{}2,C x x k k ==∈=Z ∣（ ）A. U A B ⋃ðB. U B Að C. ()U A B ð D. ()U A B ⋂ð【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由条件可得A B ，即可得到与集合C 的关系.【详解】由题知{}(){}41,2211,A xx k k x x k k ==+∈==+-∈Z Z ∣∣，{}(){}41,2213,B x x k k x x k k ==-∈==+-∈Z Z ∣∣，所以A B ⋃={}21,Z ,xx k k =+∈∣又{}2,C x x k k ==∈Z ∣，所以()U C A B =⋃ð.故选：C.3. 已知向量,a b满足2,23a a b =-= ，且()b a b -⊥ ，则b = （ ）A.B.C. 3D.【答案】B 【解析】【分析】首先根据向量的垂直关系得到2a b b ⋅= ，然后再将向量的模长转化为向量的数量积进行求解即可.【详解】由()b a b -⊥ ，可知()0b a b -⋅= ，得：2a b b ⋅= ，故2||a b b ⋅= .再由23a b -= ，可得：()2222232341297a b a ba ab b -=-=-⋅+= ，将2a b b ⋅= 代入，可得：223479b a =-= ，解得：b = .故选：B4. “a <<”是“函数()3221f x x ax x =+++在定义域R 上单调递增”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由函数()f x 在定义域R 上单调递增，可得()0f x '≥，再由充分条件以及必要条件的定义，即可得到结果.【详解】由题意，若函数()3221f x x ax x =+++在定义域R 上单调递增，则()23220f x x ax =++≥'，即2Δ44320a =-⨯⨯≤，解得a ≤≤.因为“a <<”是“a ≤≤”的充分不必要条件，所以是充分不必要条件.故选：A5. 已知函数()21ln 1f x x x =-+，记,,a f b f c f ===，则（ ）A. a b c >> B. a c b >>C. b c a >> D. c b a>>【答案】D【解析】【分析】首先分析函数211y x x =-+的单调性，然后结合对数函数ln y x =的单调性求得f (x )的单调性即可判断,a b ，再结合函数f (x )的对称性即可判断,b c ，从而可判断,,a b c 的大小关系.【详解】因为y =x 2−x +1=+34>0恒成立，所以函数定义域为R ，对于二次函数21y x x =-+，其对称轴为12x =，所以函数21y x x =-+在1(,)2-∞上单调递减,1(,)2+∞上单调递增，所以函数211y x x =-+在1(,)2-∞上单调递增,在1(,)2+∞上单调递减，又对数函数ln y x =是增函数，故当x ∈1(,)2-∞时，函数()21ln 1f x x x =-+在1(,2-∞上单调递增；当x ∈1(,)2+∞时，函数()21ln1f x x x =-+在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减.12<<，所以f f <，即b a >；又由2213124x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭得()()1f x f x +=-，故()f x 是关于直线12x =对称的函数，12>，16―2=8―>0，即4―+>0，―=1―=>0，所以1122->-，所以c b >.综上c b a >>.故选：D.6. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为355,26,45n S a a S +==，则下列说法错误的是（ ）A. n na 的最小值为1B. 数列2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列C. 数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列 D. n nS 的最小值为1【答案】B 【解析】【分析】由等差数列的求和公式可得3a ，即可得到等差数列的1,a d ，结合等差数列的通项公式与求和公式可得,n n a S ，然后对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】设数列{}n a 的公差为d ，由()155355452a a S a +===，所以39a =.又3544226,13a a a a +===，所以14,1d a ==，所以()43,21n n a n S n n =-=-.选项A ：()239434816n na n n n ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以当1n =时，n na 的最小值为1，A 正确；选项B ：2234n a n n n =-+，因为122251,124a a ==，所以数列2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递减数列，B 错误.选项C ：21n S n n =-，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列，C 正确；选项D ：()221n nS nn =-，令()322f x x x =-，所以()262f x x x '=-，令()0f x '>，得0x <或13x >，所以()f x 在区间1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当1n =时，n nS 取得最小值1，D 正确故选：B.7. 已知函数()32ln 3f x x x x =+-，若()210f f b a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则41a b +的最小值为（ ）A. 2B. 4C.D..【答案】D 【解析】【分析】由条件可得()10f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，即2b a =，再利用基本不等式求解.【详解】由()13132ln 32ln 30f x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()210f f b a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以211b a⋅=，即2b a =，所以444222111122a a a b a a a +=+=++≥=.当且仅当4212a a =，即a =时，等号成立.故选：D.8.已知(),cos ,cos ,cos 0a x x b x x ωωωωω⎛==+> ⎝ ，若函数()f x a b =⋅在区间[]0,π上恰好有2025个最大值，2025个最小值，则实数ω的取值范围是（）A. 607412151,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 607412151,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 60746077,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 60746077,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】首先根据向量数量积的坐标公式得到函数()y f x =的解析式，再将函数()y f x =的解析式化简为()πsin 26f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，最后由[]0,πx ∈计算出π26x ω+的取值范围，根据题意可得出关于实数ω的不等式组，进而可解得实数ω的取值范围.【详解】根据题意可得：()211πcos cos cos 2sin 2226f x a b x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=⋅=+-=+=+ ⎪⎝⎭ 由于[]0,πx ∈，可得：πππ2,2π666x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由于函数()f x 恰好有2025个最大值，2025个最小值，则πππ20252π2π20252π262ω⨯-≤+<⨯+，解得60741215136ω≤<.故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列式子中最小值为8的是（ ）A. 2216cos cos x x+B. 422x x-+C 4222171x x x +++ D.2211sin cos x x+【答案】BC 【解析】【分析】对于A 、B 选项，直接根据均值不等式结合取等条件判断正误即可；对于C 选项，先将原式变形为221611x x +++，再根据均值不等式结合取等条件判断正误即可；对于D 选项，根据22sin cos 1x x +=，利用“1”的代换，结合均值不等式和取等条件判断正误即可.【详解】对于选项A：22164cos 2cos 8cos cos x x x x+≥=⋅=，当且仅当4cos cos x x=，即cos 2x =±时等号成立，但cos 2x =±不成立，所以2216cos cos x x+的最小值不为8，故A 错误；对于选项B ：因为420,20x x ->>，则4228x x -+≥=，当且仅当422x x -=，即2x =时，等号成立，所以422x x -+的最小值为8，故B 正确；对于选项C ：42222217161811x x x x x ++=++≥==++，当且仅当221611x x +=+时，即x =8，故C 正确；对于选项D ：由题意22110,0sin cos x x>>，.则()22222222221111sin cos sin cos 224sin cos sin cos cos sin x x x x x x x x x x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2222sin cos cos sin x x x x=，即tan 1x =±时，等号成立，故D 不正确.故选：BC10. 已知9115log log 276a a -=-，则a =（ ）A.181B.C. D. 81【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，由换元法可得3log a t =，然后代入计算，即可得到结果.【详解】设3log a t =，则913log ,log 272a a t t ==，所以原式2536t t =-=-，即225120t t --=，解得123,42t t =-=，所以31323log ,log 42a t a t ==-==，所以323a -==81a =.故选：BD11. 已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()(2026)f x f x f ++=，且(1)1f x +-是奇函数.则（ ）A. (1)(3)2f f += B. (2023)(2025)(2024)f f f +=C. (2023)f 是(2022)f 与(2024)f 等差中项 D.20241()2024i f i ==∑【答案】ACD 【解析】【分析】由(2)()(2026)f x f x f ++=，可推出()f x 的周期为4，由(1)1f x +-是奇函数可推出(1)1f =，通过赋值及函数的周期性可逐个判断各个选项.【详解】因为(2)()(2026)f x f x f ++=，所以(4)(2)(2026)f x f x f +++=，两式相减得(4)()f x f x +=，的所以()f x 周期为4.因为(1)1f x +-是奇函数，所以(1)1(1)1f x f x -+-=-++，所以(1)(1)2f x f x -+++=，即()(2)2f x f x -++=，令=1x -，得(1)1f =.因为(2)()(2026)(2)f x f x f f ++==，令2x =，得(4)(2)(2)f f f +=，所以(4)0f =，即(0)0f =.因为()(2)2f x f x -++=，令0x =，得(0)(2)2f f +=，所以(2)2f =，所以(2)()2f x f x ++=，所以(3)(1)2f f +=，故A 正确.因为()(2)2f x f x -++=，所以(1)(3)2f f -+=，即(3)(3)2f f +=，所以(3)1f =.因为(2023)(2025)(3)(1)2f f f f +=+=，(2024)(0)0f f ==，所以B 错误.因为(2022)(2024)(2)(0)2f f f f +=+=，(2023)(3)1f f ==，所以(2022)(2024)2(2023)f f f +=，所以(2023)f 是(2022)f 与(2024)f 的等差中项，故C 正确.因为(1)(2)(3)(4)f f f f +++()(1)(3)(2)(4)f f f f =+++2204=++=，所以20241()506[(1)(2)(3)(4)]50642024i f i f f f f ==+++=⨯=∑，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：本题的关键是通过其奇偶性得到其周期性，再结合等差中项的含义以及赋值法一一分的析选项即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 在等比数列{}n a 中，公比1q >，且452731,22a a a a +=⋅=，则8a =__________.【答案】8【解析】【分析】根据题意，由条件可得45,a a 是方程()231110222x x x x ⎛⎫-+=--= ⎪⎝⎭的两根，即可得到45,a a ，从而得到结果.【详解】由45274531,22a a a a a a +=⋅=⋅=，知45,a a 是方程()231110222x x x x ⎛⎫-+=--= ⎪⎝⎭的两根.又1q >，所以451,1,22a a q ===，则3858a a q ==.故答案为：813. 在ABC V 中，已知12BC =，点D 为AB 的中点，2211(sin sin )sin sin sin ,,35B C B C A CE CD BF BC -+=== ，则AE AF ⋅的最大值为__________.【答案】3965【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理化简条件式得π3A =，结合基本不等式可得144bc ≤，用,AC AB 表示,AE AF，利用向量的数量积运算求解.【详解】由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，由正弦定理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==.由0πA <<，得π3A =，且22144b c bc +-=，即22144b c bc bc =+-≥，即144bc ≤，当且仅当12b c ==时，等号成立.又()11213336AE AC CE AC CD AC AD AC AC AB =+=+=+-=+，()11145555AF AB BF AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+ ，所以2221142217·3655151560AE AF AC AB AC AB b c bc ⎛⎫⎛⎫⋅=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 28852885396144151215125bc =+≤+⨯=.故答案为：3965.14. 已知点()()1122,,,A x y B x y ，定义AB d =为,A B 的“可测距离”.若点,A B 在曲线2e x y a -=+上，且AB d 的最小值为4，则实数a 的值为__________.【答案】1+##1+【解析】【分析】依题意求出2e x y a -=+的反函数，将“可测距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利用导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果.【详解】由函数可得()ln 2x y a =-+，即()ln 2y x a =-+，所以2e x y a -=+的反函数为()ln 2y x a =-+.由点B (x 2,y 2)在曲线2e x y a -=+上，可知点()122,B y x 在其反函数()ln 2y x a =-+上，所以AB d =相当于2e x y a -=+上的点A (x 1,y 1)到曲线ln()2y x a =-+上点()122,B y x 的距离，即1AB AB d d ==，利用反函数性质可得2e x y a -=+与()ln 2y x a =-+关于y x =对称，所以当1AB 与y x =垂直时，1AB AB d d =取得最小值为4，因此1,A B 两点到y x =的距离都为2.过点1B 作切线平行于直线y x =，斜率为1，由()ln 2y x a =-+，得11y x a'==-，可得()1,ln 122x a y a a =+=+-+=，即()11,2B a +，。

的图象关于原点对称，所以
，解得
，由 8.答案：C
可得 时， 取得最小值，最小值为 .故选 C.
解析：由题知，甲不去 A 村，乙和丙不能去同一个村，则当甲、乙、丙 3 人在不同村，且甲
不在 A 村时，有
种安排方式；当甲和乙在同一个村且不在 A 村时，有
排方式；当甲和丙在同个村且不在 A 村时，有 安排方式. 故选 C.
18. （12 分）某工厂为提高对某零件的加工效率，决定对原有的相关技术进行革新，现经过
该工厂研发人员的努力，研发出了两项技术.为了更好地对这两项研发成果的优劣进行比较，决定将
原有工厂的 40 位员工随机地分为 2 组，第一组采用代号为“甲”的研发技术对零件进行加工，第二
组采用代号为“乙”的研发技术对零件进行加工，对工人采用新技术后 1 小时内完成加工的零件个
“甲”研发技
术
“乙”研发技
术
总计
附：
，其中
0.10
0.05
. 0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
19. （12 分）如图，已知
中，点 为斜边 的中点，沿 把
点 落到点 处，点 为 的中点.
折起来，使
（1）连接 ，则线段 上是否存在一点 ，使 由；
平面
，若存在，请说明理
（2）若
，则
()
C.
D.
是纯虚数，则 a 的值为( )
A. B.3 C.1 D.
3.已知奇函数 范围为( )
，当
时，
单调递增，且
，若
，则 的取值
A.
B.
C.
D.
4.若非零向量 满足

2023-2024学年广东省四校联考高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．已知集合A ＝{x |lgx ≤0}，B ＝{x ||x ﹣1|≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．AB ．BC ．∁R AD ．∁R B2．已知向量a →=（﹣3，m ），b →=（1，﹣2），若b →∥（a →−b →），则m 的值为（ ） A ．﹣6B ．﹣4C ．0D ．63．若函数f （x ）={a x−3，x ≥4−ax +4，x ＜4（a ＞0，a ≠1）是定义在R 上的单调函数，则a 的取值范围为（ ）A ．(0，1)∪(1，54]B ．(1，54]C ．(0，45]D ．[45，1)4．若复数z 满足（1+i ）z ＝|1+i |，则z 的虚部为（ ） A ．−√2iB ．−√22C ．√22i D ．√225．数列{a n }满足a 1＝2019，且对∀n ∈N *，恒有a n+3=a n +2n ，则a 7＝（ ） A ．2021B ．2023C ．2035D ．20376．如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面α，使SB ∥α，设α与SM 交于点N ，则SM SN的值为（ ）A ．43B ．32C ．23D ．347．已知函数f （x ）及其导函数f ′（x ）的定义域均为R ，且f （x ）为偶函数，f(π6)=−2，3f （x ）cos x +f '（x ）sin x ＞0，则不等式f(x +π2)cos 3x +12＞0的解集为（ ）A ．(−π3，+∞)B ．(−2π3，+∞) C ．(−2π3，π3) D ．(π3，+∞)8．已知函数f(x)=√3sin 2ωx 2+12sinωx −√32(ω＞0)，若f （x ）在(π2，3π2)上无零点，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，29]∪[89，+∞)B ．(0，29]∪[23，89]C ．(0，29]∪[89，1]D ．(29，89]∪[1，+∞)二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

镇江市2024~2025学年度第一学期高三期中质量检测数学试卷2024.11注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则的元素个数为A．1B．2C．3D．42．设复数，则的虚部是A．1B．C．i D．3．等比数列的各项均为正数，若，，则A．588B．448C．896D．2244．已知向量，，则向量在上的投影向量为A．B．C．D．5．已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围A．B．C．D．6．已知为第一象限角，且，则A．9B．3C．D．7．设无穷等差数列的公差为，其前项和为．若，则“有最小值”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．在中，角，，的对边分别为，，若，则的最小值为AB．CD．{}1,2,3,4A=(){}2|log12B x x=-≤A B21i izi--=+z1-i-{}na1237a a a++=4322a a a=+789a a a++= a=()1,1b=-a b+=ab11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭()2,2-()2,2-11,22⎛⎫-⎪⎝⎭a∈R()()e,0,ln1,0x a xf xx a x⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩R a()0,+∞()1,+∞[){}1,0+∞(){}1,0+∞θtan tan03⎛⎫++=⎪⎝⎭πθθ1cos21cos2+=-θθ1319{}na d nnS1a<nS0d≥ABC△A B C a b c22BC BC AB=⋅cos A1213二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，则A ．是偶函数B ．的最小正周期为C ．的最大值为D ．在上单调递增10．已知函数的导函数为A ．只有两个零点B ．C ．是的极小值点D ．当时，恒成立11．如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则A ．存在，使得B ．当时，存在，使得平面C ．当，时，四面体D ．当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．镇江的慈寿塔是金山寺的标志性建筑，创建于1400余年前的齐梁时期．某同学为了测量慈寿塔的高，他在山下处测得塔尖点的仰角为，再沿正对塔方向前进20米到达山脚点，测得塔尖点的仰角为，塔底点的仰角为，则慈寿塔高约为________米．，答案保留整数）()cos sin f x x x =⋅()f x ()f x π()f x 12()f x 0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π()()2(1)44f x x x =--+()f x '()f x ()()4f x f x -'='1x =()f x 0x ≥()0f x ≥SO SAB △C AB 2AC CB =SM SC = λ(01,01)SN SB =<<<<μλμ()0,1∈λBC AM ⊥23=μ()0,1∈λ//AM ONC 13=λ23=μSAMN AN SC ⊥57=μED A D 45︒ED B D 60︒E 30︒ 1.7≈13．已知数列是单调递增数列，其前项和为（，为常数），写出一个有序数对________，使得数列是等差数列．14．定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为________；若，则数列的通项公式为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在锐角三角形中，角，，所对的边分别是，，，已知．（1）求的值；（2）若，求的值．16．（15分）已知函数，．（1）求证：直线既是曲线的切线，也是曲线的切线；（2）请在以下三个函数：①；②；③中选择一个函数，记为，使得该函数有最大值，并求的最大值．17．（15分）已知，数列前项和为，且满足；数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）是否存在实数，使得数列是等差数列？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由；（3）求使得不等式成立的的最大值．18．（17分）在四棱锥中，，，平面，，分别为，的中点，．{}n a n 2n S An Bn =+A B (),A B =R ()g x ()212y g x =+-()g x ()*123211111n n a g g g g n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭N {}n a ABC △A B C a b c cos 3cos22A A +=-cos A 23b c =sin C ()21f x x x =+-()e x g x =1y x =+()y f x =()y g x =()()f x g x +()()f x g x ⋅()()f xg x ()yh x =()h x *n ∈N {}n a n n S 21n n S a =-{}n b 12b =112n nb b +=-{}n a λ1n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭λλ2n n nb a ≥n P ABCD -90ABC ACD ∠=∠=︒30BCA CDA ∠=∠=︒PA ⊥ABCD E F PD PC 1AB =（1）求证：平面平面；（2）若，求点到平面的距离；（3）若二面角．19．（17分）已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围；（3）设，证明：．PAC ⊥AEF 2PA =F ACE A PD C --PA ()ln f x ax x x =-1a =()f x 1x >()1f x <-a *n ∈N ()111ln 11nni i n i ==>+>+∑镇江市2024~2025学年度第一学期高三期中质量检测数学试卷答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C 【解析】，共3个元素，选C ．2．【答案】B 【解析】，虚部为，选B ．3．【答案】B 【解析】，∴，∴或（舍），选B ．4．【答案】D 【解析】，∴在上的投影向量，选D ．5．【答案】D 【解析】时，无解，∴或；时，无解，∴则，选D ．6．【答案】C 【解析】，∴，，选C ．7．【答案】A 【解析】“有最小值”“”，∴“有最小值”是“”的充分不必要条件选A ．8．【答案】A 【解析】，∴，∴，∴ ，选A ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【答案】AC 【解析】为偶函数，A 对．，∴为奇函数，B 错．，C 对．，，在单调递增，单调递减，D 错．10．【答案】ABD 【解析】，或3，在单调递减，单调递{|15}B x x =<≤{}2,3,4A B = 21(1)2122i i i z ii ---====-+1-4322a a a =+22q q =+2q =1-()6678912372448a a a a a a q ++=++=⨯=222282212a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅+= 1a b ⋅=a b 2111,222||a b b b b ⋅⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭0x ≤e x a =0a ≤1a >0x >()ln 1x a +=-0a ≥(){}1,0a ∈+ ∞tan tan 03⎛⎫++= ⎪⎝⎭πθθ3=πθ111cos21211cos2312-+==-+θθn S ⇔0d >n S 0d ≥22BC BC AB =⋅ 22cos a BC AB B =-⋅222222222a c b a ac a c b ac +-=-⋅=--+2222a b c =-22222222211132222cos 222b c b c b c b c a A bc bc bc ⎛⎫+--+ ⎪+-⎝⎭===≥=()f x ()()()()cos sin cos sin |f x x x x x f x +=++=-=-πππ()f x ()11sin cos sin222f x x x x ≤=≤0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π()1sin cos sin22f x x x x ==()f x 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ()()()3130f x x x =--='1x =()f x (),1-∞()1,3增，单调递减，，，∴有且仅有两个零点，A 对．关于对称，B 对．是极大值点，C 错．时，，恒成立，D 对．11．【答案】BCD 【解析】，则与不可能垂直，若，则面，则，则面矛盾，A 错．对于B ，取中点，则，过作交于点，此时为中点，则面平面，∴平面，对．对于D ，如图建系，，，， ，，，，∴，∴，D 对．时，，时，到平面的距离是到平面距离的，其中表示到平面的距离，是到平面距离，，C 对，选BCD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】31 【解析】如图，，，，设，则，，，，∴．13．【答案】（1，0）【解析】，为等差数列，即可以是．()3,+∞()()14f x f ==极大值()()30f x f ==极小值()f x ()f x '2x =1x =0x ≥()00f =()0f x ≥BC AC ⊥BC AM BC AM ⊥BC ⊥SAC BC SA ⊥BC ⊥SAB SN P //AP ON P //PM CN SC M M SC //APM ONC //AM ONC B ()0,A -()B ()0,0,6S (),66N -μ()6AN =+-μ()C 6)SC =- 0AN SC ⋅=6636360+-+=μμ57=μ23=μ23ASN SAB S S =△△13=λM SAB C SAB 1311213333M SAN SAN SAB V S h S h -='=⋅⋅△△h 'M SAB h C SAB 22122113627939932M SAN ABS SAB S ABC V S h S h --==⋅==⨯⨯⨯⨯=△△45DAC ∠=︒60DBC ∠=︒30EBC ∠=︒20AB =BC x =CE x =DC DC AC =20x =+x =31DE ==1A =0B =n =(),A B ()1,014．【答案】 【解析】关于对称，则∴，则关于对称，（第一空），∴，则．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1），∴，而为锐角三角形，，∴．（2），∴，∴，．16．【解析】（1）设与切于，，∴∴切线方程为，令 此时在处的切线方程为，即是的切线 联立，∴，∴在处的切线为∴也是的切线．（2）①中时，，显然无最大值．若选②，，，在上单调递减；上单调递增，上单调递减，时，且，，，∴．若选③， 在上单调递增；上单调递减；上单调递增 时，且，，，∴．17．【解析】（1）①，②，②-①，∴，而，∴∴成首项为1，公比为2的等比数列，∴．（2）假设存在，∴42n a n =+()212y g x =+-()0,0()()2122120g x g x -+-++-=()()12124g x g x -++=()g x ()1,21221111n n a g g g n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭2121111n n n a g g g n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()212444421n n a n +=++⋅⋅⋅+=+共个42n a n =+()2cos 32cos 12A A +-=-26cos cos 10A A +-=()()2cos 13cos 10A A +-=ABC △cos 0A >1cos 3A =()12sin 3sin 2sin 3sin 2sin 3sin 3B C A C C C C C ⎫=⇒+=⇒⋅+=⎪⎪⎭7sin C C =tan C =sin C =1y x =+()e x g x =()00,e x P x ()e x g x '=0e x k =()000e e x x y x x =-+00e 10x x =⇒=()e x g x =0x =1y x =+1y x =+()g x 211y x y x x =+⎧⎪⎨=+-⎪⎩200x x =⇒=()f x 0x =1y x =+1y x =+()f x x →+∞()h x →+∞()h x ()()21e x h x x x =+-()()()()()22121e 2e 21e x x x h x x x x x x x x =-++-=--+=-+-'()h x (),2--∞()2,1-()1,+∞x →-∞()0h x <()0h x →()1e h =e 0>max ()e h x =()21e xx x h x +-=()()()22212e 1e 3e e x x x x x x x x x h x -='-+--=()h x (),0-∞()0,3()3,+∞x →+∞()0h x <()0h x →()01h =10>max ()1h x =21n n S a =-1121n n S a ++=-1122n n n a a a ++⇒=-12n n a a +=1121a a =-110a =≠{}n a 12n n a -=()1111111212n n n n n n nb b b b b b b --=-=---------λλλλλλ为常数，∴ 解得，∴存在使成等差数列，且公差为1．（3）由（2）知，∴ ∴令， ∴在上单调递减，注意到，，∴时，，∴．18．【解析】（1）证明：∵平面，∴，又∵，∴ ，∴平面，又∵，分别为，的中点 ∴，∴平面，∵平面，∴平面平面（2）如图建系∵，，，∴，，，∴，，，，∴，，，，设平面的一个法向量，∴，∴到平面的距离．（3）仿（2）建系，设，∴，，，，设平面和平面的一个法向量分别为，∴，显然二面角平面角为锐角，∴∴，即．()()()()()2221212121n n n n n n n n n b b b b b b b b b ---+-+==⎡⎤⎡⎤------⎣⎦⎣⎦λλλλλλ()121221==--+λλλλ1=λ1=λ11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭()11111n n n b =+-⋅=-11n b n =+122112121212n n n n n n n ---+⎛⎫+≥⇒+≥⇒≥ ⎪⎝⎭212n n n c -+=1121210222n n n n n n n n c c +---++--=-=<{}n c *n ∈N 4514c =>5618c =<5n ≥51n c c ≤<max 4n =PA ⊥ABCD PA CD ⊥90ACD ∠=︒CD AC ⊥PA AC A = CD ⊥PAC E F PD PC //EF CD EF ⊥PAC EF ⊂AEF AEF ⊥APC 1AB =30BCA CDA ∠=∠=︒90ABC ACD ∠=∠=︒2AC =BC =4AD =CD =()0,2,0A ()0,0,0C ()D ()0,2,2P )E()0,1,1F ()0,2,0CA =)CE =ACE (,,)n x y z = (201,0,0y n y z =⎧⇒=++= ()0,1,1CF = F ACE CF n d n⋅==PA m =(0,2,)P m (0,0,)AP m =()2,PD m =-- ()CD = APD PDC ()1111,,n x y z =()2222,,n x y z = ()11111020mz n y mz =⎧⎪⇒=⎨--=⎪⎩ ()22222200,,20z mz n m ⎧--=⎪⇒=-⎨=⎪⎩A PD C --1212cos n n n n ⋅=== θ2m =2PA =19．【解析】（1）时，，，令当时，，单调递减；当时，，单调递增．（2）对恒成立对恒成立而，，当时，，∴．（3）先证右边，证只需证：，由（1）知当时，（当且仅当时取“=”）∴，令，∴此时右边得证再证左边：易知时，，∴∴，∴，左边得证！综上：不等式得证！1a =()ln f x x x x =-()lnf x x '=()01f x x ='⇒=01x <<()0f x '<()f x 1x >()0f x '>()f x ()1f x <-1x ∀>1ln 1ln x ax x x a x x -⇒-<-⇒<1x ∀>10ln x x x->1x >x →+∞10ln x x x-→0a ≤⇔()()()11ln 1ln ln ln 1ln 2ln11ni n n n n i =<+-+--+⋅⋅⋅+-+∑()11ln 1ln ln1n n n n n +<+-=+1a =()ln 1f x x x x =-≥-1x =1ln 1x x ≥-11n x n +=>11ln 111n n n n n +>-=++()()11ln2ln1ln3ln2ln 1ln ln 11ni n n n i =<-+-+⋅⋅⋅++-=++∑1x >11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭1122<=1ln n n +<()ln 1ln n n >+-()()1ln2ln1ln3ln2ln 1ln ln 1ni n n n =>-+-+⋅⋅⋅++-=+。