函数的图象与性质1．(2016·课标全国乙)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为()
答案 D
解析 f (2)＝8－e 2>8－2.82>0，排除A ；f (2)＝8－e 2<8－2.72<1，排除B ；当x >0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈????0，14时，f ′(x )<1
4×4－e 0＝0，因此f (x )在????0，14上单调递减，排除C ，故选D.
2．(2016·山东)已知函数f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >1
2时，f ????x ＋12＝f ????x －12，则f (6)等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2 答案 D
解析 当x >1
2时，f ????x ＋12＝f ????x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1)．当x <0时，f (x )＝x 3－1，且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝2，故选D.
3．(2016·上海)设f (x )，g (x )，h (x )是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均为增函数，则f (x )，g (x )，h (x )中至少有一个为增函数；②若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )，g (x )，h (x )均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( ) A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题 D ．①为假命题，②为真命题 答案 D
解析 ①不成立，可举反例，
f (x )＝?????
2x ，x ≤1，
－x ＋3，x >1，g (x )＝??
???
2x ＋3， x ≤0，－x ＋3， 0 2x ，x ≥1， h (x )＝? ???? －x ，x ≤0，2x ，x >0. ②f (x )＋g (x )＝f (x ＋T )＋g (x ＋T )， f (x )＋h (x )＝f (x ＋T )＋h (x ＋T )， g (x )＋h (x )＝g (x ＋T )＋h (x ＋T )， 前两式作差，可得g (x )－h (x )＝g (x ＋T )－h (x ＋T )， 结合第三式，可得g (x )＝g (x ＋T )，h (x )＝h (x ＋T )， 也有f (x )＝f (x ＋T )． ∴②正确．故选D. 4．(2016·北京)设函数f (x )＝? ???? x 3－3x ，x ≤a ， －2x ，x ＞a . (1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________； (2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1)2 (2)(－∞，－1) 解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝? ???? x 3－3x ，x ≤0， －2x ，x ＞0. 若x ≤0，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x 2－1)． 由f ′(x )＞0得x ＜－1，由f ′(x )＜0得－1＜x ≤0. 所以f (x )在(－∞，－1)上单调递增； 在(－1,0]上单调递减，所以f (x )最大值为f (－1)＝2. 若x ＞0，f (x )＝－2x 单调递减，所以f (x )＜f (0)＝0. 所以f (x )的最大值为2. (2)f (x )的两个函数在无限制条件时图象如图． 由(1)知，当a ≥－1时，f (x )取得最大值2. 当a ＜－1时，y ＝－2x 在x ＞a 时无最大值，且－2a ＞2. 所以a ＜－1. 1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下. 2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题. 3.对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数.常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大. 热点一函数的性质及应用 1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．2．奇偶性 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”或“相反”)． (2)在公共定义域内： ①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数； ③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数． (3)若f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0. (4)若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x )＝f (|x |)． (5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称． 3．周期性 定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x )＝f (x )(a ≠0)，则其一个周期T ＝|a |. 常见结论： (1)f (x ＋a )＝－f (x )?函数f (x )的最小正周期为2|a |.(a ≠0) (2)f (x ＋a )＝1 f (x )?函数f (x )的最小正周期为2|a |.(a ≠0) (3)f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于x ＝a ＋b 2 对称． 例1 (1)已知函数f (x )为奇函数，且在[0,2]上单调递增，若f (log 2m ) 4≤m ≤2 C ．2 (2)已知函数f (x )为奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋1)＋m ，则f (1－2)的值为( ) A ．－12 B ．－log 2(2－2) C.12 D ．log 2(2－2) 答案 (1)A (2)A 解析 (1)因为函数f (x )是奇函数，且在[0,2]上单调递增，所以函数f (x )在[－2,2]上单调递增． 故由f (log 2m ) 可得????? －2≤log 2m ≤2， －2≤log 4 (m ＋2)≤2，log 2 m (m ＋2)， m >0，m ＋2>0， 解－2≤log 2m ≤2，得1 4 ≤m ≤4； 解－2≤log 4(m ＋2)≤2，得1 16≤m ＋2≤16， 即－31 16 ≤m ≤14. 由log 2m ? m 2>0，m ＋2>0， m 2 解得－1 综上可知，m 的取值范围是1 4≤m <2，故选A. (2)因为函数f (x )是奇函数， 当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋1)＋m ， 所以f (0)＝log 2(0＋1)＋m ＝m ＝0.又因为1－2<0， 所以f (1－2)＝－f (2－1)＝－log 2(2－1＋1) ＝－log 22＝－1 2 . 思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f (x 1) 跟踪演练1 (1)(2016·四川)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0 ?－5 2＋f (1)＝________. (2)已知函数f (x )＝???? ? f (x ＋2)，x <2，(13)x ，x ≥2，则f (－1＋lo g 35)的值为( ) A.115 B.53 C ．15 D.2 3 答案 (1)－2 (2)A 解析 (1)因为f (x )是周期为2的函数， 所以f (x )＝f (x ＋2)． 而f (x )是奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )． 所以f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0， 又f ????－52＝f ????－12＝－f ????12，f ????1 2＝1 24＝2， 故f ????－52＝－2，从而f ??? ?－5 2＋f (1)＝－2. (2)因为0<－1＋log 35<1，所以f (－1＋log 35)＝f (log 35＋1)＝(13)3log 51＋＝(13)3log 5×13＝115 . 热点二 函数图象及应用 1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点． 例2 (1)(2016·山东部分重点中学高三第二次联考)已知函数f (x )＝cos x 与函数g (x )＝log a (1 a )x (a >0且a ≠1)，则函数F (x )＝f (x ) g (x ) 的图象可能是( ) (2)若正实数a ，b 满足不等式ab ＋1 答案 (1)A (2)B 解析 (1)g (x )＝log a (1a )x ＝log a a － x ＝－x ， F (x )＝f (x )g (x )＝－cos x x ，定义域为{x |x ≠0}，F (－x )＝－cos (－x )－x ＝cos x x ＝－F (x )，F (x )为奇函数．故 选A. (2)由ab ＋11，0 ??? ? 项A ，C ，D ，故选B. 思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要 注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值． 跟踪演练2 (1)(2015·浙江)函数f (x )＝??? ?x －1 x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( ) (2)已知三次函数f (x )＝2ax 3＋6ax 2＋bx 的导函数为f ′(x )，则函数f (x )与f ′(x )的图象可能是( ) 答案 (1)D (2)B 解析 (1)∵f (x )＝(x －1 x )cos x ，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x →π时，f (x )＜0，排除C.故选D. (2)因为f ′(x )＝6ax 2＋12ax ＋b ，则函数f ′(x )的图象的对称轴为x ＝－1，故可排除A 、D ；由选项C 的图形可知，当x >0时，f ′(x )>0，故函数f (x )＝2ax 3＋6ax 2＋bx 在(0，＋∞)上单调递增，但图象中函数f (x )在(0，＋∞)上不具有单调性，故排除C ，选B. 热点三 基本初等函数的图象和性质 1．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． 2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，1 2 ，－1五种情况． 例3 (1)设a ＝(79)14－，b ＝(97)1 5，c ＝log 27 9，则a ，b ，c 的大小顺序是( ) A ．b B ．c C ．c D ．b (2)若函数f (x )＝? ???? log 2x ，x >0， log (－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1,0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 (1)B (2)C 解析 (1)a ＝(79)14－＝(97)1 4，c ＝log 27 9<0. 对于a ，b 构造函数y ＝(97)x ，因为9 7>1， 所以y ＝(9 7)x 在(－∞，＋∞)上单调递增， 所以a >b >0.故有c (2)方法一 由题意作出y ＝f (x )的图象如图． 显然当a >1或－1f (－a )． 故选C. 方法二 对a 分类讨论： 当a >0时，∵log 2a >12 log a ，∴a >1. 当a <0时，∵12 log (－a )>log 2(－a )，∴0<－a <1， ∴－1 12 思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性． 跟踪演练3 (1)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( ) (2)已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x >0时不等式f (x )＋xf ′(x )<0恒成立，若a ＝30.3·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 319·f (log 31 9)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．a >c >b D ．c >b >a 答案 (1)D (2)D 解析 (1)方法一 分a >1,0 当a >1时，y ＝x a 与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a 递增较快，排除C ； 当0 方法二 幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知01，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错． (2)令F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以当x >0时，F ′(x )<0，即F (x )单调递减．又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以F (x )是奇函数且F (x )为减函数．因为30.3>1,0 1 9＝－2， 所以c >b >a ，故选D. 1．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象只能是图中的( ) 押题依据 指数、对数函数的图象识别问题是高考命题的热点，旨在考查其基本性质的灵活运用，题目难度一般不大，位于试卷比较靠前的位置． 答案 B 解析 因为y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，而y ＝log a x 与y ＝log a (－x )的图象关于y 轴对称，根据图象特征可以判断；也可以根据函数图象的特征进行排除． 方法一 如果注意到y ＝log a (－x )的图象和函数y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，又y ＝log a x 与y ＝a x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，则可直接选定B. 方法二 首先，曲线y ＝a x 只可能在x 轴上方，y ＝log a (－x )只可能在y 轴左边，从而排除A ，C ；其次，y ＝a x 与y ＝log a (－x )的增减性正好相反，排除D ，选B. 2．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1 5，则f (log 220)等于( ) A ．1 B.45 C ．－1 D ．－45 押题依据 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的灵活性． 答案 C 解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)?f (x )＝f (x ＋4)， 因为4 又因为f (－x )＝－f (x )，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ????log 24 5＝－1.故选C. 3．已知函数f (x )＝1 ln (x ＋1)－x ，则y ＝f (x )的图象大致为( ) 押题依据 图象的识别和变换是高考的热点，此类问题既考查了基础知识，又考查了学生的灵活变换能力． 答案 B 解析 方法一 由题意得，? ???? x ＋1>0，x ≠0， 解得f (x )的定义域为{x |x >－1，且x ≠0}． 令g (x )＝ln(x ＋1)－x ，则g ′(x )＝1 x ＋1－1＝－x x ＋1， 当－1 ∴f (x )在区间(－1,0)内为减函数，在区间(0，＋∞)内为增函数，对照各选项，只有B 符合． 方法二 本题也可取特值，用排除法求解： f (2)＝ 1 ln 3－2 <0，排除A. f ??? ?－1 2＝1ln 12＋12＝1 ln e 2 <0， 排除C ，D ，选B. 4．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝????? －x 2 4，0 数t 的取值范围为________． 押题依据 分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点．本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质． 答案 (－2,0)∪(0,2) 解析 因为x >0时，h (x )＝????? －x 2 4，0 4－2x ，x >4. 易知函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 因为函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且h (t )>h (2)， 所以h (|t |)>h (2)，所以0<|t |<2， 所以????? t ≠0，|t |<2，即????? t ≠0， －2 解得－2 综上，所求实数t 的取值范围为(－2,0)∪(0,2)． A 组 专题通关 1．(2015·广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2 B ．y ＝x ＋1 x C ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x ＋e x 答案 D 解析 令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e － 1，即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而A 、B 、C 依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选D. 2．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 1 2 B ．f (x )＝x 3 C ．f (x )＝(1 2)x D ．f (x )＝3x 答案 D 解析 f (x )＝x 12，f (x ＋y )＝(x ＋y )12≠x 12·y 1 2， 不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，A 不满足题意． f (x )＝x 3，f (x ＋y )＝(x ＋y )3≠x 3·y 3， 不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，B 不满足题意． f (x )＝(12)x ，f (x ＋y )＝(12)x ＋y ＝(12)x ·(12)y ，满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，但f (x )＝(1 2)x 不是增函数，C 不 满足题意． f (x )＝3x ，f (x ＋y )＝3x ＋ y ＝3x ·3y ，满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (x )＝3x 是增函数，D 满足题意． 3．函数f (x )＝1ln|x | 的图象大致为( ) 答案 B 解析 函数f (x )＝1 ln|x |的定义域是{x ∈R |x ≠0，x ≠±1}，且定义域关于原点对称．又f (－x )＝ 1ln|－x |＝1 ln|x | ＝f (x )，为偶函数，排除选项A 和C. 当x ∈(0,1)时，f (x )＝1 ln x <0，排除选项D ，故选B. 4．已知函数f (x )＝? ???? (1－2a )x ＋3a ，x <1， ln x ，x ≥1 的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B.????－1，1 2 C.????－1，1 2 D.??? ?0，12 答案 C 解析 要使函数f (x )的值域为R ， 需使???? ? 1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ， 所以?? ??? a <1 2 ，a ≥－1. 所以－1≤a <1 2 ，故选C. 5．已知函数f (x )为偶函数，当x >0时，f (x )＝ln x ，若M ＝f (－π)，N ＝f (e)，K ＝f (5)，则M ，N ，K 的大小关系为( ) A ．N >M >K B ．K >M >N C ．M >N >K D ．M >K >N 答案 C 解析 当x >0时，f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增．又函数f (x )为偶函数，所以M ＝f (－π) ＝f (π)．因为π>e>5，所以M >N >K .故选C. 6．函数f (x )＝lg(x －1)＋1 2－x 的定义域为________． 答案 (1,2) 解析 要使y ＝f (x )有意义，必须有? ???? x －1>0， 2－x >0，解得1 7．已知y ＝f (x )是定义域为R 的单调递减的奇函数，若f (3x ＋1)＋f (1)≥0，则x 的取值范围是________． 答案 (－∞，－2 3 ] 解析 由y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，得f (3x ＋1)≥－f (1)＝f (－1)．又y ＝f (x )是R 上的单调递减函数，所以3x ＋1≤－1，解得x ≤－23.故x 的取值范围是(－∞，－2 3]． 8．给出下列四个函数： ①y ＝2x ；②y ＝log 2x ；③y ＝x 2；④y ＝x . 当0 f (x 1)＋f (x 2) 2恒成立的函数的序号是________． 答案 ②④ 解析 由题意知，满足条件的函数图象形状为： 故符合图象形状的函数为y ＝log 2x ，y ＝x . 9．已知f (x )＝????? (3－a )x －a (x <1)， log a x (x ≥1)在(－∞，＋∞)上是增函数，那么实数a 的取值范围是 ________． 答案 ???? 32，3 解析 由题意得???? ? 3－a >0，a >1， (3－a )－a ≤log a 1，解得3 2 ≤a <3. 10．已知二次函数 f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝? ?? ?? f (x )，x >0， －f (x )，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数 x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式； (2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0， ∴b ＝a ＋1， ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. ∵f (x )≥0恒成立， ∴????? a >0， Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0， 即? ???? a >0，(a －1)2≤0. ∴a ＝1，从而 b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1， ∴F (x )＝? ???? x 2＋2x ＋1，x >0，－x 2－2x －1，x <0. (2)由(1)知，g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －2 2≥2， 解得k ≤－2或k ≥6. ∴k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)． B 组 能力提高 11．设函数f (x )＝x |x －a |，若对?x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立， 则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3] B ．[－3,0) C ．(－∞，3] D ．(0,3] 答案 C 解析 由题意分析可知条件等价于f (x )在[3，＋∞)上单调递增，又因为f (x )＝x |x －a |，所以 专题二 函数与导数 2.1 函数概念、性质、图象专项练 必备知识精要梳理 1.函数的概念 (1)求函数的定义域的方法是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解. (2)求函数值域要优先考虑定义域,常用方法:配方法、分离常数法(分式函数)、换元法、单调性法、基本不等式法、数形结合法、有界函数法(含有指、对数函数或正、余弦函数的式子). 2.函数的性质 (1)函数奇偶性:①定义:若函数的定义域关于原点对称,则有: f (x )是偶函数?f (-x )=f (x )=f (|x|); f (x )是奇函数?f (-x )=-f (x ). ②判断方法:定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数). (2)函数单调性判断方法:定义法、图象法、导数法. (3)函数周期性的常用结论:若f (x+a )=-f (x )或f (x+a )=± 1f (x ) (a ≠0),则T=2a ;若f (x+a )=f (x-b ),则 T=a+b ;若f (x )的图象有两条对称轴x=a 和x=b (a ≠b ),则T=2|b-a|;若f (x )的图象有两个对称中心(a ,0)和(b ,0),则T=2|b-a|(类比正、余弦函数). 3.函数的图象 (1)函数图象的判断方法:①找特殊点;②看性质:根据函数性质判断图象的位置,对称性,变化趋势等;③看变换:看函数是由基本初等函数经过怎样的变换得到. (2)若y=f (x )的图象关于直线x=a 对称,则有f (a+x )=f (a-x )或f (2a-x )=f (x )或f (x+2a )=f (-x );若y=f (x )对?x ∈R ,都有f (a-x )=f (b+x ),则f (x )的图象关于直线 x=a+b 2 对称;若y=f (x )对?x ∈R 都有 f (a-x )=b-f (x ),即f (a-x )+f (x )=b ,则f (x )的图象关于点 a 2, b 2 对称. (3)函数y=f (x )与y=f (-x )的图象关于y 轴对称,函数y=f (a-x )和y=f (b+x )的图象关于直线x=a -b 2 对 称;y=f (x )与y=-f (x )的图象关于x 轴对称;y=f (x )与y=-f (-x )的图象关于原点对称. (4)利用图象可解决函数的最值、方程与不等式的解以及求参数范围问题. 考向训练限时通关 由2006年高考看如何用导数探讨函数图象的交点问题 2006年高考数学导数命题的方向基本没变，主要从五个方面(①与切线有关的问题②函数的单调性和单调区间问题③函数的极值和最值问题④不等式证明问题⑤与函数的单调性、极值、最值有关的参数问题)考查了学生对导数的掌握水平。 但是，2006年高考数学导数命题在方向基本没变的基础上，又有所创新。福建理科卷第21题研究两个函数的交点个数问题，福建文科卷第19题研究分式方程的根的分布问题，湖南卷第19题研究函数的交点问题，四川卷第21题研究函数图象的交点个数问题。从以上试卷我们可以发现导数命题创新的两个方面：一是研究对象的多元化，由研究单一函数转向研究两个函数或多个函数，二是研究内容的多元化，由用导数研究函数的性质（单调性、最值、极值）转向运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究，实际上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题。 试题“以能力立意”的意图表现明显，试题注重了创新、开放、探究性，以所学数学知识为基础，对数学问题进行深入探讨，从数学角度对问题进行探究。考查了学生综合与灵活地应用所学的数学思想方法，进行独立的思考、探索和研究，创造性地解决问题的能力。 如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢？下面我们先看一看今年的高考题。 例1（福建理科第21题）已知函数f(x)=－x 2 +8x,g(x)=6lnx+m （Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t); （Ⅱ）是否存在实数m ，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？ 若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。 解：（Ⅰ）略 （II ）∵函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点， ∴令f(x)= g(x) ∴g(x)－f(x)=0 ∵x>0 ∴函数?(x)=g(x)－f(x) = 2 x －8x+6ln x+m 的图象与x 轴的正半 轴有且只有三个不同的交点。 ∵262862(1)(3) '()28(0),x x x x x x x x x x ?-+--=-+= => 当x ∈(0,1)时，)(1 x ?〉0，)(x ?是增函数；当x ∈(1,3)时，)(1 x ?〈0，)(x ?是减函数；当x ∈(3,+∞)时，)(1 x ?〉0，)(x ?是增函数；当x=1或x=3时，)(1 x ?=0。 ∴?(x )极大值=?(1)=m －7, ?(x )极小值=?(3)=m+6ln 3－15. ∵当x →0+ 时，?(x)→∞-，当x +∞→时，?(x)+∞→ ∴要使?(x)=0有三个不同的正实数根，必须且只须 ?? ?<-=>-=, 0153ln 6)(, 07)(＋极小值极大值m x m x ?? ∴7 导数与函数图像问题 1.函数()y f x =的图像如右图,那么导函数,()y f x =的图像可能是（ ） 2．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f ' 在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ） A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 3．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和 ()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 4若函数f （x ）=x 2+bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x ）的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 5.设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为f′（x ），且函数f （x ）在x=-2处取得极小值，则函数y=xf′（x ）的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． a b x y ) (x f y ?=O 6．设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=-1为函数y=f（x）e x的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（） A．B．C．D． 7.若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（） A．B．C．D． 8．已知函数y=xf′（x）的图象如上中图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中y=f（x）的图象大致是（） A．B．C．D． 9.设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1-x）f′（x）的图象如上右图所示，则下列结论中一定成立的是（） 《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师：同学们，我们上一节课一起研究了二次函数的表达式，那么我们一起来回忆一下表达式是什么？ 学生齐答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a不为0) 教师：好，那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. （学生表现很踊跃，一下写出了十多个） 教师：黑板上这些二次函数大致有几个类型？ 学生：（讨论了3分钟）四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师：太棒了！同学们归纳的很好，今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质！ 教师在学生板书的函数中选了四个，并把复杂的系数换成简单的常数，找到如下函数：y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材！) 教师启发学生利用函数中的“列表，描点，连线”的方法，把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组，一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”，兴趣很大，合作交流充分，课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导，在确认画图全部正确的情况下，提出了要求，开始了探究之旅. 教师：请同学们小组之间比较一下，你们画的图象位置一样吗？ 学生；不一样. 教师：有什么不一样？（开始聚焦矛盾） 学生:开口不一样. 学生A：走向不一样. 学生B：经过的象限不一样. 学生C：我们的图象在原点的上方，他们的图象在原点的下方. 教师：看来是有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么要素决定的？（教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路，这是明智的） 学生：是由二次项系数的取值确定的. 教师：好了，根据同学们的回答，能得到图象或函数的那些结论？（顺水推舟，放手让学生一搏） 热烈讨论后，学生D回答并板书，当a>0时，图象在原点的上方，当a<0时，图象在原点的下方。 学生E:当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! （这个过程约用了十多分时间，学生体会非常充分，从学生的神情看，绝大多数学生已接受了这几个学生的板书，但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢？短暂停顿后，教师确定了思路） 教师：刚才你们是研究图象的性质，你们能否由图象性质得出相应的函数的性质？ 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师：请看同学们的板书，能揣摩图象“走向”的意思吗？ 学生：（七嘴八舌）当a>0时，图象从左上向下走到原点后在向右上爬；当a<0时，图象从左下向上爬到原点后在向右下走（未出现教师所预期的结论） 教师：好，你们从图象的直观形象来理解的图象性质，很贴切，你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗？ 肥东锦弘中学2014届高三二轮复习专题二——函数与导数 一 函数的概念 1 函数) 12(log 1)(2 1+=x x f 的定义域是 2 函数)(x f 的定义域是][2,0，则函数x x f x g ln )2()(=的定义域是 3 函数?????<+≥=4 ),1(4,)21()(x x f x x f x ，则)5log 1(2+f 的值为 4 求下列函数的值域 （1）1(0)y x x x =+>； （2）4 32++=x x x y （3）2552+++=x x x y ； （4）22232(0)(1) k k y k k ++=>+ 5 设函数2()2()g x x x R =-∈，()4()()()()g x x x g x f x g x x x g x +++-=+-a a a x g x f x x 且1≠a ，若a g =)2(，则=)2(f 3 已知定义在R 的函数)(x f ，且函数)3(-=x f y 的图像关于点)(0,3对称，当0≥x 时，x x x f 2)(2+=，若)()2(2a f a f >-，则实数a 的取值范围 4 设函数1 sin )1()(22+++=x x x x f 的最大值是M ，最小值是m ,则=+m M 5 已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足)2()()4(f x f x f +=+,且在区间[0,2]上是减函数,有下列命题: (1)0)2(=f ； (2) 函数)(x f 的图象关于直线4-=x 对称; (3)函数)(x f 在（8,10）上单调递增; (4)若关于x 的方程m x f =)(在区间[-6,2]的两根为21,x x ,则这两根之和为-8. 函数与导数 1.已知函数 f(x) 4x 3 3tx 2 6tx t 1,x R ，其中 t R . (I)当t 1时，求曲线y f (x)在点(0, f (0))处的切线方程； (n)当t 0时，求f (x)的单调区间； (川)证明：对任意的t (0, ), f(x)在区间(0,1)内均存在零点. 【解析】(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零 点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分 14分。 (I)解：当 t 1 时，f(x) 4x 3 3x 2 6x, f (0) 0, f (x) 12x 2 6x 6 f (0) 6.所以曲线y f (x)在点(0, f(0))处的切线方程为y 6x. (n)解：f (x) 12x 2 6tx 6t 2，令 f (x) 0,解得 x t 或 x -. 2 因为t 0，以下分两种情况讨论： (1)若t 0,则- t,当x 变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表: 所以，f(x)的单调递增区间是, | ；f(x)的单调递减区间是 屮 ⑵若 t 则t ，当 x 变化时， f(x)f(x) 的变化情况如下表: 所以，f(x)的单调递增区间是 ，t ,丄， ；f(x)的单调递减区间是 t,- 2 2 (川)证明：由(n)可知，当 t 0时，f(x)在0,1内的单调递减，在 -, 内单调 2 2 递增，以下分两种情况讨论： (1)当-1即t 2时，f (x)在(0，1)内单调递减， 2 f (0) t 1 0, f (1) 6t 2 4t 3 6 4 4 2 3 0. 所以对任意t [2, ), f(x)在区间(0，1 )内均存在零点。 t (0,1], f 1 7t 3 t 1 7t 3 0. 2 4 4 所以f(x)在-,1 2 内存在零点。 t 若 t (1,2), f - 7t 3 t 1 厶3 1 0 2 4 4 f(0) t 1 所以f(x)在0 2 所以，对任意t (0,2), f(x)在区间(0，1)内均存在零点。 综上，对任意t (0, ), f(x)在区间(0，1)内均存在零点。 2.已知函数 f (x) 2 x 1， h(x) x . 3 2 (I)设函数 F (x ) = 18f (x ) — x 2[h (x )] 2，求F (x )的单调区间与极值； 3 3 (n)设 a R ，解关于 x 的方程 lg[ f(x 1) ] 2lg h(a x) 2lg h(4 x); 2 4 * 1 (川)设 n N ，证明：f(n)h(n) [h(1) h(2) L h(n)] 6 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数 与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力. 解：(I) F(x) 18f(x) x 2[h(x)]2 x 3 12x 9(x 0)， 2 F (x) 3x 12 . (2)当 0 - 1,即0 t 2 时, 2 f (x)在0,-内单调递减，在 2 1,1内单调递增，若 2 f (1) 6t 2 4t 3 6t 4t 3 2t 3 0. 第2讲导数及其应用 配套作业 一、选择题 1．(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝x 3 －3ax ＋14 ，若x 轴为曲线y ＝f (x )的切线，则a 的值为() A.12B ．－12 C ．－34D. 14 答案 D 解析 f ′(x )＝3x 2 －3a ，设切点坐标为(x 0,0)，则 ??? ?? x30－3ax0＋14＝0，3x2 0－3a ＝0，解得????? x0＝1 2，a ＝1 4， 故选D. 2．(2018·赣州一模)函数f (x )＝12 x 2 －ln x 的递减区间为() A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 B 解析 f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝x －1 x ＝ x2－1 x ， 令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1， 故函数f (x )在(0,1)上递减．故选B. 3．(2018·安徽示范高中二模)已知f (x )＝ln x x ，则() A ．f (2)＞f (e)＞f (3) B ．f (3)＞f (e)＞f (2) C ．f (3)＞f (2)＞f (e) D ．f (e )＞f (3)＞f (2) 答案 D 解析 f (x )的定义域是(0，＋∞)， 因为f ′(x )＝1－ln x x2 ，所以x ∈(0，e)，f ′(x )>0； x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )<0， 故x ＝e 时，f (x )max ＝f (e)， 而f (2)＝ln 22＝ln 86，f (3)＝ln 33＝ln 9 6 ， f (e)>f (3)>f (2)．故选D. 4．(2018·安徽芜湖模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1 导数与函数图像问题 6． 设 函 数 f（ x） =ax2+bx+c（ a， b， c∈ R）， 若 x=-1为 函 数 y=f（ x） ex 的 一 个 极 值 点 ， 则下列图象不可能为 y=f（x）的图象是（ ） 龙文教育学科导学 教师:学生:年级：日期: 星期: 时段: 学情分析二次函数部分内容中考难度不大，所以本套教案注重于基础知识的准确掌握。 课题二次函数的图像与性质 学习目标与考点分析学习目标：1、理解二次函数的概念；会识别最基本的二次函数并利用二次函数的概念求解析式中的未知数； 2、熟练的画出各种抛物线的图像，根据解析式的变化判断图像的平移方法； 3、熟练的选用合适的解析式利用待定系数法求解析式。 学习重点图像的平移；待定系数法求解析式 学习方法讲练结合、师生讨论、启发引导 学习内容与过程 教学内容： 知识回顾 1.一般地，形如y=ax2 +bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中，x 是自变量， a，b，c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项. 2.二次函数的解析式及其对称轴 （1）二次函数解析式的一般式（通式）：，它的顶点坐标为（，），对称轴为；（2）二次函数解析式的顶点式（通式）：，顶点坐标为（，）对称轴是；（3）二次函数解析式的交 点式：。此时抛物线的对称轴为。其中，（x 1,0）（x 2 ,0）是抛 物线与X轴的交点坐标。显然，与X轴没有交点的抛物线不能用此解析式表示的 3.二次函数y=a(x-h) 2+k的图像和性质 4.二次函数的平移问题 5. 二次函数y=ax2 +bx+c中a，b，c的符号与图像性质的关系： 6.抛物线y=ax2+bx+c与X轴的交点个数与一元二次方程的根的判别式△的符号之间的的关系 二次函数的常规解法： 一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时，可选用y＝ax2+bx+c(a≠0)求解。我们称y＝ax2+bx+c(a≠0)为一般式（三点式）。 例：二次函数图象经过A(1，3)、B(-1，5)、C(2，-1)三点，求此二次函数的解析式。 说明：因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。所以将已知三点的坐标分别代入y＝ax2+bx+c (a≠0)构成三元一次方程组，解方程组得a、b、c的值，即可求二次函数解析式。 二、若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时，可选用y＝a（x＋m）2+k (a≠0)求解。我们称y ＝a（x＋m）2+k (a≠0)为顶点式（配方式）。 例：若二次函数图像的顶点坐标为（－2,3），且过点（－3,5）,求此二次函数的解析式。 说明：由于顶点式中要确定a、m、k的值，而已知顶点坐标即已知了－m、k的值。用顶点式只要确定a的值就可以求二次函数解析式。若已知这两点的坐标用一般式来解是不能确定a、b、c的值的，不妨让学生尝试一下加深印象。 三、若已知二次函数与X轴的交点坐标是A(x1,0) 、B(x2,0)时, 可选用y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)求解。我们称y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)为双根式（交点式）。 例：已知一个二次函数的图象经过点A（－1，0）、B（3，0）和C（0，－3）三点，求此二次函数的解析式。 说明：很多同学看到此例会想到使用一般式来解，将已知三点的坐标分别代入去求a、b、c的值来求此二次函数的解析式。往往忽略A、B两点的坐标就是二次函数图象与x轴的交点坐标，而用双根式来求解就相对比较简单容易。 四、若已知二次函数在X轴上截得的线段长为d时，可选用 或 例：抛物线y＝2x2-mx-6在X轴截锝线段长为4，求此二次函数的解析式。 说明：对于此例主要让学生明白这两种二次函数解析式中线段长d的推导过程，记住公式套进去就行了。注意相互之间不要混淆。 总之，要求一个二次函数的解析式，可以根据不同的已知条件选择恰当的解题方法，使计算过程简单化，达到迅速解题的目的。当然，也只有在平时的练习中对基本解法的适用情况做到心中有数，才能在具体的问题中结合图形及二次函数的相关性质择优选取适当的解法，提高解题能力。 二次函数的概念 如果y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)，那么y叫做x的二次函数 注意：二次函数的表达形式为整式，且二次项系数不为0，b ，c可分别为0，也可同时为0 自变量的取值范围是全体实数 练习： 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。 4.()2 y a x h k =-+的性质： 1.平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对 称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 课时作业(四) 基本初等函数、函数与方程及函数的应用 [授课提示：对应学生用书第77页] 1．已知函数f (x )＝(m 2 －m －5)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( ) A ．－2 B ．4 C ．3 D ．－2或3 解析：f (x )＝(m 2 －m －5)x m 是幂函数?m 2 －m －5＝1?m ＝－2或m ＝3.又在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝3. 答案：C 2．函数y ＝a x ＋2 －1(a >0且a ≠1)的图象恒过的点是( ) A ．(0,0) B ．(0，－1) C ．(－2,0) D ．(－2，－1) 解析：法一：因为函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象恒过点(0,1)，将该图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y ＝a x ＋2 －1(a >0，a ≠1)的图象，所以y ＝a x ＋2 －1(a >0，a ≠1) 的图象恒过点(－2,0)，选项C 正确． 法二：令x ＋2＝0，x ＝－2，得f (－2)＝a 0 －1＝0，所以y ＝a x ＋2 －1(a >0，a ≠1)的图 象恒过点(－2,0)，选项C 正确． 答案：C 3．(2017·大同二模)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为 y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到( ) A ．300只 B ．400只 C ．500只 D ．600只 解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只． 答案：A 4．(2017·安徽省两校阶段性测试)函数y ＝x 2ln|x ||x | 的图象大致是( ) （通用版）高考数学复习专题二函数与导数2.1函数的概念、图象和 性质练习理 命题角度1函数的概念及其表示 高考真题体验·对方向 1.(2017山东·1)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=() A.(1,2) B.(1,2] C.(-2,1) D.[-2,1) 答案 D 解析由4-x2≥0,得A=[-2,2],由1-x>0,得B=(-∞,1),故A∩B=[-2,1).故选D. 2.(2014江西·3)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R),若f[g(1)]=1,则a=() A.1 B.2 C.3 D.-1 答案 A 解析由题意可知f[g(1)]=1=50,得g(1)=0, 则a-1=0,即a=1.故选A. 3.(2019江苏·4)函数y=的定义域是. 答案[-1,7] 解析要使式子有意义, 则7+6x-x2≥0, 解得-1≤x≤7. 典题演练提能·刷高分 1.(2019江西新余一中一模)已知f(x)=,则函数f(x)的定义域为() A.(-∞,3) B.(-∞,2)∪(2,3] C.(-∞,2)∪(2,3) D.(3,+∞) 答案 C 解析要使函数f(x)有意义,则 即x<3,且x≠2, 即函数的定义域为(-∞,2)∪(2,3),故选C. 2.设函数f(x)=log2(x-1)+,则函数f的定义域为() A.(1,2] B.(2,4] C.[1,2) D.[2,4) 答案 B 解析f(x)的定义域为?1 导 数 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ). ()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x x x y ??= ??| |，当x ?＞0时，1=??x y ；当x ?＜0时， 1-=??x y ，故x y x ??→?0lim 不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=- 4. 求导数的四则运算法则： 二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质： 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ；开口向上；在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移；当0>k 时向下平移。 （2）抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移；当02021新高考数学二轮总复习专题二函数与导数2.1函数概念性质图象专项练学案含解析.docx
导数探讨函数图像的交点问题
(完整版)导数与函数图像问题
二次函数的图像及性质
2014高考二轮复习函数与导数专题(理科普通班)
函数与导数经典例题--高考压轴题(含答案)
2019高考数学二轮复习第二编专题二函数与导数第2讲导数及其应用配套作业文
导数与函数图像
1.函数 y ? f (x) 的图像如右图,那么导函数 y ? f , (x) 的图像可能是（ ）
2．函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ，导函数 f ?(x) 在 (a, b) 内的图象如图所示，则函数 f (x) 在开区间 (a, b)
内有极小值点（ ）
A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
a
3 ． 设 f ?(x) 是 函 数 f (x) 的 导 函 数 ， 将 y ? f (x) 和
y
y ? f ?(x)
b
O
x
y ? f ?(x) 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
4若 函 数 f（ x） =x2+bx+c 的 图 象 的 顶 点 在 第 四 象 限 ， 则 函 数 f′ （ x） 的 图 象 是 （
）
A．
B．
C．
D．
5.设 函 数 f（ x） 在 R 上 可 导 ， 其 导 函 数 为 f′ （ x）， 且 函 数 f（ x） 在 x=-2处 取 得 极 小 值，则函数 y=xf′（x）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
1
A．
B．
C．
D．
7.若函数 y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数 y=f（x）在区间[a，b] 上的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已 知 函 数 y=xf′（ x）的 图 象 如 上 中 图 所 示（ 其 中 f′（ x）是 函 数 f（ x）的 导 函 数 ），
下面四个图象中 y=f（x）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
9.设函数 f（x）在 R 上可导，其导函数为 f′（x），且函数 y=（1-x）f′（x）的图象如上
右图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数 f（x）有极大值 f（2）和极小值 f（1） 值 f（1） C．函数 f（x）有极大值 f（2）和极小值 f（-2） 值 f（2）
B．函数 f（x）有极大值 f（-2）和极小 D．函数 f（x）有极大值 f（-2）和极小
2初三二次函数的图像与性质
二次函数图像与性质总结
高考数学二轮复习专题二函数与导数课时作业四函数与方程及函数的应用理67
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导数的切线方程和图像知识点与习题
二次函数的图像和性质总结