2020版高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 专题对点练9 2.1~2.4组合练 文

高考数学二轮复习导数及其应用多选题知识点及练习题及答案一、导数及其应用多选题1．已知函数()f x 对于任意x ∈R ，均满足()()2f x f x =-.当1x ≤时()ln ,01,0x x x f x e x <≤⎧=⎨≤⎩，若函数()()2g x m x f x =--，下列结论正确的为（ ）A ．若0m <，则()g x 恰有两个零点B ．若32m e <<，则()g x 有三个零点 C ．若302m <≤，则()g x 恰有四个零点 D ．不存在m 使得()g x 恰有四个零点 【答案】ABC 【分析】设()2h x m x =-，作出函数()g x 的图象，求出直线2y mx =-与曲线()ln 01y x x =<<相切以及直线2y mx =-过点()2,1A 时对应的实数m 的值，数形结合可判断各选项的正误. 【详解】由()()2f x f x =-可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称. 令()0g x =，即()2m x f x -=，作出函数()f x 的图象如下图所示：令()2h x m x =-，则函数()g x 的零点个数为函数()f x 、()h x 的图象的交点个数，()h x 的定义域为R ，且()()22h x m x m x h x -=--=-=，则函数()h x 为偶函数，且函数()h x 的图象恒过定点()0,2-，当函数()h x 的图象过点()2,1A 时，有()2221h m =-=，解得32m =. 过点()0,2-作函数()ln 01y x x =<<的图象的切线， 设切点为()00,ln x x ，对函数ln y x =求导得1y x'=， 所以，函数ln y x =的图象在点()00,ln x x 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 切线过点()0,2-，所以，02ln 1x --=-，解得01x e=，则切线斜率为e ， 即当m e =时，函数()y h x =的图象与函数()ln 01y x x =<<的图象相切. 若函数()g x 恰有两个零点，由图可得0m ≤或m e =，A 选项正确； 若函数()g x 恰有三个零点，由图可得32m e <<，B 选项正确； 若函数()g x 恰有四个零点，由图可得302m <≤，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.2．下列不等式正确的有（ ） A2ln 3< B．ln π<C．15< D．3ln 2e <【答案】CD 【分析】 构造函数()ln xf x x=，利用导数分析其单调性，然后由()2f f >、ff >、(4)f f >、()f f e <得出每个选项的正误.【详解】 令()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，令()0f x '=得x e =易得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减 所以①()2f f>，即ln 22>22ln ln 3>=，故A 错误；②ff >>，所以可得ln π>B 错误；③(4)f f >ln 4ln 242>=，即ln152ln 2=>所以ln15ln >15<，故C 正确；④()f f e <ln e e <3ln 21e<，即3ln 22e <所以3eln 2<，故D 正确； 故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题考查的是构造函数，利用导数判断函数的单调性，解题的关键是函数的构造和自变量的选择.3．已知函数()1ln f x x x x=-+，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（ ） A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．()f x 恰有3个零点C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】ACD 【分析】根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()121()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确. 【详解】由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()2110g x x x''=--<，所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()110,12ln 202g g '=>=-+<，所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确； 由函数()1ln f x x x x=-+， 当0x >时，()1ln f x x x x=-+，可得 ()221x x f x x -+-'=，因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点， 当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()221x x f x x -+-'=，因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减； 又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点， 综上可得函数()1ln f x x x x=-+在定义域内只有2个零点，所以B 不正确； 令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-， 设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-， 可得()1ln 1x x x ϕ'=+-，则 ()2110x x xϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增， 又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增， 当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=， 又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，可得()()12222222211111ln ln 1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()121()f x f x =，因为()f x 在(0,)+∞单调递减，所以 121x x =，即121=x x ， 同理可知，若120,0x x <<时，可得121=x x ，所以D 正确. 故选：ACD.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.4．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： （i ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是（ ）A ．直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线()2:1C y x =+C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【分析】分别求出每个选项中命题中曲线C 对应函数的导数，求出曲线C 在点P 处的切线方程，再由曲线C 在点P 处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足（ii ），由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，由3y x =，可得23y x '=，则00x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为0y =，当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线0y =两侧， A 选项正确；对于B 选项，由()21y x =+，可得()21y x '=+，则10x y =-'=，而直线:1l x =-的斜率不存在，所以，直线l 在点()1,0P -处不与曲线C 相切，B 选项错误；对于C 选项，由sin y x =，可得cos y x '=，则01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，设()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以，函数()f x 为R 上的增函数， 当0x <时，()()00f x f <=，即sin x x <； 当0x >时，()()00f x f >=，即sin x x >.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，C 选项正确； 对于D 选项，由sin tan cos xy x x ==，可得21cos y x'=，01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，设()tan g x x x =-，则()2221sin 10cos cos xg x x x=-=-≤'，所以，函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当02x π-<<时，()()00g x g >=，即tan x x >；当02x π<<时，()()00g x g <=，即tan x x <.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题的关键就是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论.5．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-【答案】ABC【分析】求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1ee x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=，因为()2321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，所以()1620f a ''=-+=-，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.因为1x >，所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+. 设()()10xg x e x x =-->，则()10xg x e '=->，从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.故选：ABC. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得()3231f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.6．对于定义域为R 的函数()f x ，()'f x 为()f x 的导函数，若同时满足：①()00f =；②当x ∈R 且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ）A ．21()xx f x ee x =--B ．2()1xf x e x =+-C ．31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩D ．42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩【答案】ACD 【分析】结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可得到所求结论． 【详解】条件①()00f =；由选项可得：001(0)00f e e =--=，02(0)010f e =+-=，03(0)10f e =-=，4()ln(10)0f x =-=，即ABCD 都符合；条件②0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； 对于21()xx f x ee x =--，则()()21()11212x x x xf x e e e e =-+-=-'，由0x >可得，()()120(1)1x xf x e e '-=+>，即函数1()f x 单调递增；由0x <可得，()()120(1)1xxf x ee '-=+<，即函数1()f x 单调递减；满足条件②；对于2()1xf x e x =+-，则2()10x f x e =+>'显然恒成立，所以2()1xf x e x =+-在定义域上单调递增，不满足条件②；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，当0x <时，3()f x x =-显然单调递减；当0x ≥时，3()1x f x e =-显然单调递增；满足条件②；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，当0x ≤时，4()ln(1)f x x =-显然单调递减；当0x >时，4()2f x x =显然单调递增，满足条件②； 因此ACD 满足条件②；条件③当120x x <<且12x x =时，12x x -=，都有()()12f x f x <，即()()()()21220f x f x f x f x -=-->，对于21()xx f x ee x =--，()()212122211211x x x x f x f x e e e e x x -=-+--+()()()()22222222222222x x x x x x x x x e e e e e e e x e ----=----=-+-，因为222x x e e -+≥=，当且仅当22x x e e -=，即20x =时，等号成立，又20x >，所以222x x e e -+>， 则()()()()2222122211222xx x x f x f x e ee e xx ----=--->令()xxg x e ex -=--，0x >，所以()1110x x e e g x -'=+->=>在0x >上显然恒成立， 因此()xxg x e ex -=--在0x >上单调递增，所以()()00g x g >=，即()()()222121120xx f x f x e ex -->-->，所以()()1211f x f x >满足条件③；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，()()2232311211x xf x f x e x x e -=--=-+，令()1xh x e x =--，0x >，则()10xh x e '=->在0x >上显然恒成立，所以()()00h x h >=，则()()23231210xf x f x e x --=>-，即()()3231f x f x >满足条件③；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，()()()()212122442ln 12ln 1f x f x x x x x -=--=-+，令()()2ln 1u x x x =-+，0x >， 则()1221101u x x'=->-=>+在0x >上显然恒成立，所以()()00u x u >=， 则()()()1422422ln 10f x f x x x -=-+>，即()()1442f x f x >满足条件③； 综上，ACD 选项是“偏对称函数”， 故选：ACD. 【点睛】 思路点睛：求解此类函数新定义问题时，需要结合函数新定义的概念及性质，结合函数基本性质，利用导数的方法，通过研究函数单调性，值域等，逐项判断，即可求解.（有时也需要构造新的函数，进行求解.）7．已知函数()1ln f x x x x=-+，给出下列四个结论，其中正确的是（ ） A ．曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为10x y ++= B ．()f x 恰有2个零点C ．()f x 既有最大值，又有最小值D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】BD 【分析】本题首先可根据()10f -=以及13f判断出A 错误，然后根据当0x >时的函数单调性、当0x <时的函数单调性、()10f -=以及()10f =判断出B 正确和C 错误，最后根据()()120f x f x +=得出()121f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据函数单调性即可证得121=x x ，D 正确.【详解】函数()1ln f x x x x=-+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 当0x >时，()1ln f x x x x=-+，()2221111x x f x x x x -+-'=--=； 当0x <时，1ln f x x x x，()2221111x x f x x x x -+-'=--=，A 项：1ln 1110f，22111131f，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为031y x ，即33y x =--，A 错误；B 项：当0x >时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，当0x <时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，因为()10f -=，()10f =，所以函数()f x 恰有2个零点，B 正确； C 项：由函数()f x 的单调性易知，C 错误； D 项：当1>0x 、20x >时， 因为()()120f x f x +=， 所以1222222221111ln lnf x f x x x x fx x x x ， 因为()f x 在()0,∞+上为减函数，所以121x x =，120x x >， 同理可证得当10x <、20x <时命题也成立，D 正确， 故选：BD. 【点睛】本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于0，则函数是增函数，若导函数值小于0，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题.8．已知()2sin x f x x x π=--.（ ）A ．()f x 的零点个数为4B ．()f x 的极值点个数为3C ．x 轴为曲线()y f x =的切线D ．若()12()f x f x =，则12x x π+= 【答案】BC 【分析】首先根据()0f x '=得到21cos xx π-=，分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案.【详解】()21cos xf x x π'=--，令()0f x '=，得到21cos x x π-=. 分别画出21x y π=-和cos y x =的图像，如图所示：由图知：21cos xx π-=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，2π，π. 所以(),0x ∈-∞，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数， ,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数， (),x π∈+∞，()21cos 0xf x x π'=--<，()f x 为减函数.所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2x π=时，()f x 取得极小值为14π-，当x π=时，()f x 取得极大值为0， 所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确.因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数， 所以存在1x ，2x 满足1202x x π<<<，且()()12f x f x =， 显然122x x π+<，故D 错误.故选：BC【点睛】 本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.。

2020年高考数学 大题专项练习导数与函数 二1.已知函数f(x)=e x－12x 2－ax 有两个极值点x 1，x 2(e 为自然对数的底数)．(1)求实数a 的取值范围； (2)求证：f(x 1)＋f(x 2)>2．2.设函数f(x)=lnx-0.5ax 2-bx.(1)当a=b=0.5时，求f(x)的最大值； (2)令，其图像上任意一点P(x 0,y 0)处切线的斜率k ≤0.5恒成立，求实数a 的取值范围.3.已知函数f(x)=e x-(x+a)ln(x+a)+x,(x ∈R).（1）当a=1时，求函数f(x)的图像在x=0处的切线方程； （2）若函数f(x)在定义域上为单调递增函数， ①求a 的最大整数；②证明：4.已知函数f(x)=kx3+3(k﹣1)x2﹣k2+1在x=0，x=4处取得极值.(1)求常数k的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值；(3)设g(x)=f(x)+c，且∀x∈[﹣1，2]，g(x)≥2c+1恒成立，求c的取值范围.5. (1)已知函数f(x)=x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[-1,2]，求b，c的值.(2)设f(x)=ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围.6.已知函数f （x ）=+x 在x=1处的切线方程为2x ﹣y+b=0．（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）设函数g （x ）=f （x ）+x 2﹣kx ，且g （x ）在其定义域上存在单调递减区间（即g /（x ）＜0在其定义域上有解），求实数k 的取值范围．7.已知f(x)=12x 2-a 2ln x ，a>0.(1)若f(x)≥0，求a 的取值范围；(2)若f(x 1)=f(x 2)，且x 1≠x 2，证明：x 1＋x 2>2a.8.若函数f(x)+g(x)和f(x)·g(x)同时在x=t 处取得极小值，则称f(x)和g(x)为一对“P(t)函数”．（1）试判断f(x)=x 与g(x)=x 2+ax+b 是否是一对“P(1)函数”； （2）若f(x)=e x 与g(x)=x 2+ax+1是一对“P(t)函数”． ①求a 和t 的值；②若a ＜0，若对于任意x ∈ [1，+∞)，恒有f(x)+g(x)<m ·f(x)g(x)，求实数m 的取值范围．9.已知函数f(x)=ae x－ln x －1.(1)设x=2是f(x)的极值点，求a ，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a≥1e时，f (x)≥0.10.已知函数f(x)=x-1-alnx(其中a 为参数)．(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若对任意x ∈(0，＋∞)都有f(x)≥0成立，求实数a 的取值集合；(3) 证明：⎝⎛⎭⎫1＋1n n <e<⎝⎛⎭⎫1＋1n n ＋1(其中n ∈N *，e 为自然对数的底数)．11.已知函数．(1)若a=e ，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a 的取值范围．12.设函数f(x)=e 2x－aln x.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a>0时，f (x)≥2a＋aln 2a.13.已知函数在处的切线与轴平行，（）（1）试讨论在上的单调性；（2）①设，求的最小值；②证明：.14.已知函数①若函数f(x)在定义域内单调递增，求的取值范围； ②若且关于x 的方程在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b取值范围；③设各项为正的数列满足:求证：.15.设函数f(x)=x2e x-1+ax3+bx2，已知x=-2和x=1为f(x)的极值点．(1)求a和b的值.(2)设试比较f(x)与g(x)的大小.答案解析1.解：(1)∵f(x)=e x －12x 2－ax ，∴f′(x)=e x－x －a ．设g(x)=e x －x －a ，则g′(x)=e x－1．令g′(x)=e x－1=0，解得x=0．∴当x ∈(－∞，0)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减； 当x ∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增． ∴g(x)min =g(0)=1－a ．当a≤1时，f′(x)=g(x)≥0，函数f(x)单调递增，无极值点； 当a>1时，g(0)=1－a<0，且当x→＋∞时，g(x)→＋∞； 当x→－∞时，g(x)→＋∞．∴当a>1时，f′(x)=g(x)=e x－x －a 有两个零点x 1，x 2． 不妨设x 1<x 2，则x 1<0<x 2．∴函数f(x)有两个极值点时，实数a 的取值范围是(1，＋∞)． (2)证明：由(1)知，x 1，x 2为g(x)=0的两个实数根， x 1<0<x 2，且g(x)在(－∞，0)上单调递减． 下面先证x 1<－x 2<0，只需证g(－x 2)<0． ∵g(x 2)=ex2－x 2－a=0，得a=ex2－x 2，∴g(－x 2)=e －x2＋x 2－a=e －x2－ex2＋2x 2．设h(x)=e －x －e x ＋2x(x>0)，则h′(x)=－1ex －e x＋2<0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴h(x)<h(0)=0，∴g(－x 2)<0，即x 1<－x 2<0．∵函数f(x)在(x 1，0)上单调递减，∴f(x 1)>f(－x 2)，∴要证f(x 1)＋f(x 2)>2，只需证f(－x 2)＋f(x 2)>2，即证ex2＋e －x2－x 22－2>0．设函数k(x)=e x ＋e －x －x 2－2(x>0)，则k′(x)=e x －e －x－2x ．设φ(x)=k′(x)=e x －e －x －2x ，φ′(x)=e x ＋e －x－2>0，∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴φ(x)>φ(0)=0，即k′(x)>0， ∴k(x)在(0，＋∞)上单调递增，k(x)>k(0)=0，∴当x ∈(0，＋∞)时，e x ＋e －x －x 2－2>0，则ex2＋e －x 2－x 22－2>0，∴f(－x 2)＋f(x 2)>2，∴f(x 1)＋f(x 2)>2．2.解：3.解：4.解：5.解:(1)∵函数f(x)的导函数f′(x)=3x2＋2bx＋c，由题设知-1<x<2是不等式3x2＋2bx＋c<0的解集.∴-1,2是方程3x2＋2bx＋c=0的两个实根，∴-1＋2=-23b，(-1)×2=c3，即b=-1.5，c=-6.(2)∵f′(x)=3ax2＋1，且f(x)有三个单调区间，∴方程f′(x)=3ax2＋1=0有两个不等的实根，∴Δ=02-4×1×3a>0，∴a<0.∴a的取值范围为(-∞，0).6.7.解：(1)f′(x)=x-a 2x =x ＋a x －ax(x>0)．当x ∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．当x=a 时，f(x)取最小值f(a)=12a 2-a 2ln a.令12a 2-a 2ln a≥0，解得0<a< e. 故a 的取值范围是(0，e]．(2)证明：由(1)知，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增， 不失一般性，设0<x 1<a<x 2<2a ，则2a-x 2<a.要证x 1＋x 2>2a ，即x 1>2a-x 2，则只需证f(x 1)<f(2a-x 2)． 因为f(x 1)=f(x 2)，则只需证f(x 2)<f(2a-x 2)． 设g(x)=f(x)-f(2a-x)，a≤x≤2a.则g′(x)=x-a 2x ＋2a-x-a 22a －x =-2a a －x2x 2a －x≤0，所以g(x)在[a,2a)上单调递减，从而g(x)≤g(a)=0. 又a<x 2<2a ，于是g(x 2)=f(x 2)-f(2a-x 2)<0， 即f(x 2)<f(2a-x 2)． 因此x 1＋x 2>2a.8.解：9.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)=ae x－1x.由题设知，f ′(2)=0，所以a=12e2.从而f(x)=12e 2e x －ln x －1，f ′(x)=12e 2e x －1x.当0＜x ＜2时，f ′(x)＜0；当x ＞2时，f ′(x)＞0. 所以f(x)在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．(2)证明：当a≥1e 时，f (x)≥exe －ln x －1.设g(x)=e x e －ln x －1，则g′(x)=e x e －1x.当0＜x ＜1时，g ′(x)＜0；当x ＞1时，g ′(x)＞0.所以x=1是g(x)的最小值点． 故当x ＞0时，g (x)≥g(1)=0.因此，当a≥1e时，f (x)≥0.10.解：(1) f ′(x)=1-a x =x －ax(x>0)，当a ≤0时，f ′(x)=1-a x =x －ax>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数；当a>0时，所以f(x)的增区间是(a ，＋∞)，减区间是(0，a)．综上所述， 当a ≤0时，f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调递增区间是(a ，＋∞)，单调递减区间是(0，a)． (2) 由题意得f(x)min ≥0.当a ≤0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数， 当x →0时，f(x)→-∞，故不合题意；(6分)当a>0时，由(1)知f(x)min =f(a)=a-1-alna ≥0.令g(a)=a-1-alna ， 则由g ′(a)=-lna=0，得a=1，所以g(a)=a-1-alna ≤0，又f(x)min =f(a)=a-1-alna ≥0，所以a-1-alna=0， 所以a=1，即实数a 的取值集合是{1}．(10分)(3) 要证不等式1＋1n n <e<1＋1nn ＋1，两边取对数后，只要证nln1＋1n <1<(n ＋1)ln1＋1n ，即只要证1n ＋1<ln1＋1n <1n，令x=1＋1n ，则只要证1-1x<lnx<x-1(1<x ≤2)．由(1)知当a=1时，f(x)=x-1-lnx 在(1,2]上递增， 因此f(x)>f(1)，即x-1-lnx>0，所以lnx<x-1(1<x ≤2)令φ(x)=lnx ＋1x -1(1<x ≤2)，则φ′(x)=x －1x2>0，所以φ(x)在(1,2]上递增，故φ(x)>φ(1)，即lnx ＋1x -1>0，所以1-1x<lnx(1<x ≤2)．综上，原命题得证．11.解：12.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)=2e 2x－a x(x ＞0)．当a≤0时，f ′(x)＞0，f ′(x)没有零点；当a ＞0时，设u(x)=e 2x，v(x)=－a x，因为u(x)=e 2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)=－a x在(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(a)＞0，当b 满足0＜b ＜a 4且b ＜14时，f ′(b)＜0，故当a ＞0时，f ′(x)存在唯一零点．(2)证明：由(1)可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0， 当x∈(0，x 0)时，f ′(x)＜0；当x∈(x 0，＋∞)时，f ′(x)＞0. 故f(x)在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 所以当x=x 0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x 0)．由于2e2x 0－a x 0=0，所以f(x 0)=a 2x 0＋2ax 0＋aln 2a ≥2a ＋aln 2a.故当a ＞0时，f (x)≥2a＋aln 2a.13.14.解：15.解：。

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专题对点练9 2.1～2。

4组合练（限时90分钟，满分100分)一、选择题(共9小题，满分45分)1。

设函数f（x)=则f(f（e）)=（)A.0B.1 C。

2 D。

ln(e2+1)2。

设a=60。

4，b=log0.40.5，c=log80.4，则a,b，c的大小关系是（）A.a<b<c B。

c<b<a C.c〈a〈b D。

b〈c<a3.已知函数y=log a(x+c)（a，c为常数，其中a>0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A。

a>1，c>1B.a〉1,0〈c<1C.0<a<1，c>1D.0〈a<1,0<c<14。

（2018全国Ⅲ,文9)函数y=-x4+x2+2的图象大致为（）5.函数y=1+log0.5(x-1）的图象一定经过点()A.（1，1）B。

(1,0) C.(2，1）D.（2，0）6.若函数f(x）=的值域为[—1,1］，则实数a的取值范围是（）A。

[1,+∞）B.（-∞，—1]C。

(0，1］D。

（—1，0)7.已知函数f（x)=,则（)A。

∃x0∈R，使得f (x)〈0B.∀x∈（0,+∞),f（x)≥0C.∃x1，x2∈［0,+∞），使得〈0D.∀x1∈[0,+∞)，∃x2∈[0,+∞）,使得f(x1）〉f（x2)8。

限时规范训练四 函数的图象与性质 限时40分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．函数y ＝x ＋x －2的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,2)∪(2，＋∞)D ．[－1,2)∪(2，＋∞)解析：选C.由题意知，要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －2≠0x ＋1＞0，即－1＜x ＜2或x ＞2，所以函数的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．故选C.2．设函数f ：R →R 满足f (0)＝1，且对任意，x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 017)＝( )A ．0B ．1C ．2 016D ．2 018解析：选D.令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)＋2＝1×1－1＋2＝2，令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2，将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ，所以f (2 017)＝2 018.故选D.3．若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C.根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ； 对于B ，f (x )＝e x在(0，＋∞)上单调递增，排除B ； 对于C ，f (x )＝1x在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D. 4．已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( ) A ．f (x －1)＝2x ＋2(0≤x ≤2)B ．f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)C ．f (x －1)＝2x －2(0≤x ≤2)D ．f (x －1)＝－2x ＋1(2≤x ≤4)解析：选B.因为f (x )＝2x ＋1，所以f (x －1)＝2x －1.因为函数f (x )的定义域为[1,3]，所以1≤x －1≤3，即2≤x ≤4，故f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)．5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 018]，则函数g (x )＝f x ＋x －1的定义域是( ) A ．[－1,2 017]B ．[－1,1)∪(1,2 017]C ．[0,2 019]D ．[－1,1)∪(1,2 018]解析：选B.要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x＋1)的定义域为[－1，2 017]，所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 017x －1≠0，解得－1≤x＜1或1＜x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]． 6．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x 3＋3x 2B ．y ＝e x ＋e －x2C ．y ＝x sin xD ．y ＝log 23－x3＋x解析：选D.依题意，对于选项A ，注意到当x ＝－1时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝4，因此函数y ＝x 3＋3x 2不是奇函数．对于选项B ，注意到当x ＝0时，y ＝1≠0，因此函数y ＝e x ＋e－x2不是奇函数．对于选项C ，注意到当x ＝－π2时，y ＝π2；当x ＝π2时，y ＝π2，因此函数y ＝x sin x 不是奇函数．对于选项D ，由3－x3＋x＞0得－3＜x ＜3，即函数y ＝log 23－x3＋x 的定义域是(－3,3)，该数集是关于原点对称的集合，且log 23－－x3＋－x ＋log 23－x 3＋x ＝log 21＝0，即log 23－－x 3＋－x ＝－log 23－x3＋x，因此函数y ＝log 23－x 3＋x是奇函数．综上所述，选D.7．设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数解析：选B.因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则(m －1)ln3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，在(0,1)上，当x 增大时，1－x 2减小，ln(1－x 2)减小，即f (x )在(0,1)上是减函数，故选B.8．若关于x 的不等式4a x －1＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞)解析：选B.不等式4a x －1＜3x －4等价于ax －1＜34x －1. 令f (x )＝ax －1，g (x )＝34x －1，当a ＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，则f (2)≤g (2)，即a 2－1≤34×2－1，即a ≤12，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，12，故选B.9．已知函数y ＝a ＋sin bx (b ＞0且b ≠1)的图象如图所示，那么函数y ＝log b (x －a )的图象可能是( )解析：选C.由三角函数的图象可得a ＞1，且最小正周期T ＝2πb＜π，所以b ＞2，则y ＝log b (x－a )是增函数，排除A 和B ；当x ＝2时，y ＝log b (2－a )＜0，排除D ，故选C.10．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 124)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解析：选B.函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，∴f (x )在[0，＋∞)为增函数， ∵b ＝f (log 124)＝f (－2)＝f (2)，1＜20.3＜2＜log 25，∴c ＞b ＞a ，故选B. 11．已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a|x ＋b |的图象为( )解析：选A.∵x ∈(0,4)，∴x ＋1＞1， ∴f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥ 29x ＋1x ＋－5＝1，当且仅当x ＝2时取等号，此时函数f (x )有最小值1. ∴a ＝2，b ＝1，∴g (x )＝2|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x ＜－1，此函数可以看成由函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＜0的图象向左平移1个单位得到，结合指数函数的图象及选项可知A 正确．故选A.12．若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x 在区间[－k ，k ](k ＞0)上的值域为[m ，n ]，则m ＋n 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D.∵f (x )＝1＋2·2x2x ＋1＋sin x＝1＋2·2x＋1－12x ＋1＋sin x＝2＋1－22x ＋1＋sin x＝2＋2x－12x ＋1＋sin x .记g (x )＝2x－12x ＋1＋sin x ，则f (x )＝g (x )＋2，易知g (x )为奇函数，g (x )在[－k ，k ]上的最大值a 与最小值b 互为相反数， ∴a ＋b ＝0，故m ＋n ＝4.(a ＋2)＋(b ＋2)＝a ＋b ＋4＝4. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝________. 解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫log 222－1＝32. 答案：3214．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ， x ＞2，－x 2＋2x －2， x ≤2(a ＞0，且a ≠1)的值域是(－∞，－1]，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2－1，f (x )在(－∞，1)上递增，在(1,2]上递减，∴f (x )在(－∞，2]上的最大值是－1， 又f (x )的值域是(－∞，－1]，∴当x ＞2时， log a x ≤－1，故0＜a ＜1，且log a 2≤－1， ∴12≤a ＜1，故答案为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，115．已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质：①直线x ＝1是函数f (x )图象的一条对称轴；②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1＜x 2≤3时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0，则f (2 015)、f (2 016)、f (2 017)从大到小的顺序为______________．解析：由f (x ＋2)＝－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )的周期是4，所以f (2 015)＝f (3)，f (2 016)＝f (0)，f (2 017)＝f (1)．因为直线x ＝1是函数f (x )图象的一条对称轴，所以f (0)＝f (2)．由1≤x 1＜x 2≤3时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0，可知当1≤x ≤3时，函数f (x )单调递减，所以f (1)＞f (2)＞f (3)，即f (2 017)＞f (2 016)＞f (2 015)．答案：f (2 017)＞f (2 016)＞f (2 015)16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x ＜1，log 2x －m ，x ＞1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为________．解析：作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1＜x 2＜x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1＜x 1＋x 2＋x 3＜8，所以2＜x 3＜9.结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.答案：1。

解：(1)∵f (x )＝ln x ＋ax ，∴f ′(x )＝ ＋a .ax ＋∴函数 f (x )在 0，－ 上单调递增，在－ ，＋∞上单调递减，∴实数 a 的取值范围是－ ，0.解：(1)∵F (x )＝ln x ＋ ，x ∈(0,3]，0∴F ′(x )＝ －2＝，∴k ＝F ′(x 0)＝ 2 ， (2)由(1)知 f ′(x )＝ ＋a ＝(x >0)．当 a ≥0 时，∵f ′(x )＝>0，∴函数 f (x )＝ln x ＋ax 在(0，＋∞)上单调递增，当 a <0 时，∵f ′(x )＝(x >0)，xx x x 0y 函数与导数[课时跟踪检测]1．已知函数 f (x )＝ln x ＋ax ，(1)若函数 f (x )在 x ＝1 处的切线方程为 y ＝2x ＋m ，求实数 a 和 m 的值；(2)若函数 f (x )在定义域内有两个不同的零点 x 1，x 2，求实数 a 的取值范围．1x∵函数 f (x )在 x ＝1 处的切线方程为 y ＝2x ＋m ，∴f ′(1)＝1＋a ＝2，得 a ＝1.又∵f (1)＝ln 1＋a ＝1，∴函数 f (x )在 x ＝1 处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即 y ＝2x －1，∴m ＝－1.1 1＋axx x1＋axx从而函数 f (x )至多有一个零点，不符合题意；1 ax1 1a a1 1 1 1∴函数 f (x )max ＝f －a ＝ln －a ＋a －a ＝ln －a －1，∴要满足函数 f (x )在定义域内有两个不同的零点 x 1，x 2，1 1必有 f (x )max ＝ln －a －1>0，得 a >－e ，1e2．设函数 f (x )＝ln x ＋x .a 1(1)令 F (x )＝f (x )＋x －x (0<x ≤3)，若 F (x )的图象上任意一点 P (x 0，0)处切线的斜率 k ≤2恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)若方程 2mf (x )＝x 2 有唯一实数解，求正数 m 的值．ax1 a x －a x －a 2x 20∴a ≥ ，即实数 a 的取值范围为⎢ ，＋∞⎪.，解得 m ＝ .23．(2019·学军中学检测)已知函数 f (x )＝ (x ＋a ) ＋b ln x ，a ，b∈R. ∴k ＝x 0－a 1 1⎡1 ⎫2则 g ′(x )＝ .令 g ′(x )＝0，则 x －mx －m ＝0. 2 <0(舍去)，x 2＝m ＋ m 2＋4m ⎪⎩g (x 2)＝0， 即 x 2－2m lnx 2－2mx 2＝x 2－mx 2－m ，22∵h (1)＝0，∴方程(*)的解为 x 2＝1，即 1＝m ＋ m 2＋4m 0 0 ⎧⎪1∵F (x )的图象上任意一点 P (x 0，y 0)处切线的斜率 k ≤2恒成立，≤2在 x 0∈(0,3]上恒成立，1∴a ≥－2x 2＋x 0max ，x 0∈(0,3]，1 1当 x 0＝1 时，－2x 2＋x 0 取得最大值2，2 ⎣2 ⎭(2)∵方程 2mf (x )＝x 2 有唯一实数解，∴x 2－2m ln x －2mx ＝0 有唯一实数解．设 g (x )＝x 2－2m ln x －2mx ，2x 2－2mx －2mx∵m >0，∴Δ＝m 2＋4m >0，∵x >0，m － m 2＋4m∴x 1＝2 ，当 x ∈(0，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(0，x 2)上单调递减，当 x ∈(x 2，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(x 2，＋∞)单调递增， 当 x ＝x 2 时，g ′(x 2)＝0，g (x )取最小值 g (x 2)． ∵g (x )＝0 有唯一解，∴g (x 2)＝0， 则⎨g ′(x 2)＝0，∴2m ln x 2＋mx 2－m ＝0，∵m >0，∴2ln x 2＋x 2－1＝0.(*) 设函数 h (x )＝2ln x ＋x －1，∵当 x >0 时，h (x )是增函数，∴h (x )＝0 至多有一解．1 2 212(1)若直线 y ＝ax 是曲线 y ＝f (x )的切线，求 a 2b 的最大值；(2)设 b ＝1，若函数 f (x )有两个极值点 x 1 与 x 2，且 x 1<x 2，求f (x 2)的取值范围．解：(1)因为 f ′(x )＝ ，x 20＋ax 0＋bx 0(2)因为 f ′(x )＝ ，⎧⎪x 1＋x 2＝－a ， x 2f (x 2) 2 2 x 112x20 0 0 ⎩ 2x 2x 2 且 h ′(x )>h ′(1)＝ >0，x 1 x 2＋ax ＋bx又因为 y ＝ax 是曲线 y ＝f (x )的切线，设切点为(x 0，y 0)，则 ＝a ， 故 b ＝－x 2.1因为 y 0＝2(x 0＋a )2＋b ln x 0＝ax 0，即 a 2＝－(x 2＋2b ln x 0)＝x 2(2ln x 0－1)≥0，故 x 0≥e ，所以 a 2b ＝x 4(1－2ln x 0)， 令 g (x )＝x 4(1－2ln x )，x ≥ e ，则 g ′(x )＝2x 3(1－4ln x )<0，所以函数 g (x )在[ e ，＋∞)上单调递减，故 g (x )max ＝g ( e)＝0， 综上，a 2b 的最大值是 0.x 2＋ax ＋1x所以 x 1，x 2 是 x 2＋ax ＋1＝0 的两个根，则⎨⎪x 1·x 2＝1，1 故 a ＝－x 2－ ，1(x ＋a )2＋ln x 21 所以 ＝ ＝ ＋x 2ln x 2. x 2－a ＋ a 2－4 因为 x 2＝ 2>1，1令 h (x )＝ ＋x ln x ，x >1，－1则 h ′(x )＝ ＋ln x ＋1 单调递增，12所以 h (x )在(1，＋∞)上单调递增，故 h (x )>h (1)＝ .的取值范围是 ，＋∞⎪.所以 f (－1)＝(－1＋b ) －a ⎪＝0，所以 a ＝ 或 b ＝1.所以 f ′(－1)＝ －a ＝－1＋ ，若 a ＝ ，则 b ＝2－e<0，与 b >0 矛盾，故 a ＝1，b ＝1.则 h (x )＝ －1⎪(x ＋1)，xx 令 F (x )＝f (x )－h (x )，则 F (x )＝(x ＋1)(e －1)－ －1⎪(x ＋1)，F ′(x )＝(x ＋2)e － ，x当 x ≤－2 时，F ′(x )＝(x ＋2)e － ≤－ <0， x当 x >－2 时，设 G (x )＝F ′(x )＝(x ＋2)e － ，综上，f (x 2) ⎛1 ⎛1⎫⎛1⎫1⎛1 ⎫12⎫x 1 ⎝2 ⎭4．已知函数 f (x )＝(x ＋b )(e x －a )(b >0)的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为(e －1)x ＋e y ＋e －1＝0.(1)求 a ，b ；m (1－2e )(2)若方程 f (x )＝m 有两个实数根 x 1，x 2，且 x 1<x 2，证明：x 2－x 1≤1＋ 1－e .解：(1)由题意得 f (－1)＝0，⎝e ⎭1e又 f ′(x )＝(x ＋b ＋1)e x －a ，b 1e e1e(2)证明：由(1)可知 f (x )＝(x ＋1)(e x －1)，f (0)＝0，f (－1)＝0，设曲线 y ＝f (x )在点(－1,0)处的切线方程为 y ＝h (x )，⎝e ⎭⎝e ⎭ e1 1ee1e则 G ′(x )＝(x ＋3)e x >0，故函数 F ′(x )在(－2，＋∞)上单调递增，又 F ′(－1)＝0，所以当 x ∈(－∞，－1)时，F ′(x )<0，当 x ∈(－1，＋∞)时，F ′(x )>0，所以函数 F (x )在区间(－∞，－1)上单调递减，在区间(－1，＋∞)上单调递增，故 F (x )≥F (－1)＝0，所以 f (x )≥h (x )，所以 f (x 1)≥h (x 1)．m e设 h (x )＝m 的根为 x 1′，则 x 1′＝－1＋1－e，所以 x 2－x 1≤x 2′－x 1′＝m － －1＋m e ⎫⎛1－e ⎭⎝ x e x －(e x －a ) a (e x －a )(x －1)由题意得 f ′(2)＝ ，解得 a ＝0.(e －a )(x －1)x＝1＋m (1－2e )5．已知函数 f (x )＝ －a ln x ，其中 a ∈[0，e]，e ＝2.718 28…是自然对数的底数．(3)设函数 g (x )＝ ，求证：0＜g (x )＜1.解：(1)f ′(x )＝ － ＝ ，f ′(x )＝ .又函数 h (x )单调递减，且 h (x 1′)＝f (x 1)≥h (x 1)， 所以 x 1′≤x 1，设曲线 y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为 y ＝t (x )，易得 t (x )＝x ，令 T (x )＝f (x )－t (x )＝(x ＋1)(e x －1)－x ，则 T ′(x )＝(x ＋2)e x －2，当 x ≤－2 时，T ′(x )＝(x ＋2)e x －2≤－2<0，当 x >－2 时，设 H (x )＝T ′(x )＝(x ＋2)e x －2，则 H ′(x )＝(x ＋3)e x >0，故函数 T ′(x )在(－2，＋∞)上单调递增，又 T ′(0)＝0，所以当 x ∈(－∞，0)时，T ′(x )<0，当 x ∈(0，＋∞)时，T ′(x )>0，所以函数 T (x )在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，所以 T (x )≥T (0)，所以 f (x )≥t (x )，所以 f (x 2)≥t (x 2)． 设 t (x )＝m 的根为 x 2′，则 x 2′＝m ，又函数 t (x )单调递增，且 t (x 2′)＝f (x 2)≥t (x 2)， 所以 x 2′≥x 2.又 x 1′≤x 1，⎪1－e .e x －ax(1)若曲线 y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线为 e 2x －4y ＝0，求 a 的值；(2)求函数 y ＝f (x )的极大值；1＋x ln xe xx 2 x x 2e 24(2)函数 f (x )的定义域为(0，＋∞)，x 2①当 0≤a ≤1 时，f (x )在 (0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，函数f (x )没有极大值；②当 1＜a ＜e 时，令 f ′(x )＝0，解得 x ＝ln a 或 x ＝1.则由 h ′(x )＝ln x ＋1＝0，解得 x ＝ ，∴h (x )在 0， ⎪上单调递减，在 ，＋∞⎪上单调递增，1⎛1⎫ ∴h (x )≥h ⎪＝1－ ＞0，⎛1⎫ ⎛1 ⎫ 即 －ln x ＞0.由(2)知，当 a ＝1 时，f (x )＝－ln x ，于是 f (x )在(0，ln a )，(1，＋∞)上单调递增，在(ln a,1)上单调递减，函数 f (x )的极大值为 f (ln a )＝－a ln(ln a )；③当 a ＝e 时，f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，没有极大值．(3)证明：①要证 g (x )＞0，只需证 1＋x ln x ＞0.令 h (x )＝1＋x ln x ，1e⎝ e ⎭⎝e ⎭⎝e ⎭ e即 g (x )＞0.②要证 g (x )＜1，只要证 1＋x ln x ＜e x ，e x －1xe x －1x此时 f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )≥f (1)＝e －1＞0，∴g (x )＜1.综合①②可知，0＜g (x )＜1 成立．。

专题二 函数、导数及其应用1、设函数2()23f x x x =+-，则()()2(-3)-2f f f 、、的大小关系是（ ）A. (2)()(2)f f x f >>-B. (2)(2)(3)f f f >->-C. (2)(3)(2)f f f <-<-D. (2)(2)(3)f f f <-<- 2、函数y =13x -的定义域为( )A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．()(),33,-∞+∞C ．()3,33,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．()3,+∞ 3、函数()20.4log 34y x x =-++的值域是( ) A. (]0,2- B.[)2,-+∞ C. (,2]-∞- D.[)2,+∞4、已知集合{}1,2,3A =,集合{}4,5B =映射:f A B →且满足1对应的元素是4,则这样的映射有( ) A. 2个 B. 4个 C. 8个 D.9个5、设函数()f x 在R 上可导,其导函数为'()f x ,且函数(1)'()y x f x =-的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )A.函数()f x 有极大值()2f 和极小值()1fB.函数()f x 有极大值(2)f -和极小值()1fC.函数()f x 有极大值()2f 和极小值()2f -D.函数()f x 有极大值()2f -和极小值()2f6、函数23()ln 2f x x x =-的极值点为( ) A.0,1,1-C.7、曲线1e x y x -=在点()1,1处切线的斜率等于( ) A. 2e B. eC. 2D. 18、曲线ln 2()x xf x x-=在点(1,2)-处的切线方程为( ) A.240x y --= B.20x y += C.30x y --=D.10x y ++=9、若函数()ln f x x x a =+的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,2)，则a =__________. 10、函数22,0()26ln ,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是____.11、计算：1lglg52--=_________. 12、函数2(33)x y a a a =-+是指数函数,则有( ) A.1a =或2a =B.1a =C.2a =D.1a >,且2a ≠13、若0.33131(),log 2,log 53a b c -===则，它们的大小关系正确的是 （ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>14、e11d x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰（ ） A.2e B.2e 12+ C.2e 12- D.2e 32+15、已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为31812343y x x =-+-,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件答案以及解析1答案及解析： 答案：A 解析：2答案及解析： 答案：C 解析：3答案及解析： 答案：B解析： 由题意可知, 2340x x -++> 即()()410x x --< 解得-14x <<令223253424u x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭故2504u <≤所以()20.4log 34y x x =-++的值域为[)2,-+∞4答案及解析： 答案：B 解析：5答案及解析： 答案：D解析：由题图可知当2x <-时,()()1'0y x f x =->,所以此时()'0f x >,函数递增.当21x -<<时, ()()1'0y x f x =-<,所以此时()'0f x <,函数递减.当12x <<时, ()()1'0y x f x =->,所以此时()'0f x <,函数递减.当2x >时, ()()1'0y x f x =-<,所以此时()'0f x >,函数递增.所以函数()f x 有极大值()2f -和极小值()2f ,选D .6答案及解析： 答案：B解析：由已知,得()f x 的定义域为2131(0,),'()3x f x x x x-+∞=-=,令'()0f x =,得x (x =舍去).当x >时,'()0f x >;当0x <时,'()0f x <.所以当x时,()f x 取得极小值.从而()f x 的极小值点为x =,无极大值点,选B.7答案及解析： 答案：C解析：∵()()'''111e e 1e x x x y x x x ---=⋅+⋅=+,∴曲线在点()1,1处的切线斜率为'1|2x y ==.故选C.8答案及解析： 答案：C解析：因为21ln '()xf x x -=,所以'(1)1f =,故曲线()f x 在点(1,2)-处的切线方程为(2)1y x --=-,即30x y --=.9答案及解析： 答案：1解析：函数()ln f x x x a =+，可得()ln 1f x x '=+，所以(1)1f '=，又(1)f a =，所以切线方程为：1y x a =-+，切线经过(2,2)，所以221a =-+，解得1a =．故答案为1．10答案及解析： 答案：2 解析：11答案及解析： 答案：32- 解析：12答案及解析： 答案：C解析：由指数函数的概念，得2331a a -+=,解得1a =或2a =.当1a =时,底数是1，不符合题意,舍去；当2a =时,符合题意,故选C.13答案及解析： 答案：A 解析：14答案及解析： 答案：B 解析：e2e222111111e 1()d ln e ln e 1ln12222x x x x x +⎛⎫+=+=+-⨯-= ⎪⎝⎭⎰，故选B.15答案及解析：答案：C解析：2'81y x x =-+,令0y '=得9x =或9x =-(舍去). 当()0,9x ∈时,0y '>, 当()9,x ∈+∞时,0y '<, 则当9x =时,y 有最大值.即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件,故选C.。

回顾2 函数与导数[必记知识]1．函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．②若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；反之，已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a ，b ])的值域．(2)常见函数的值域①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R .②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a ＞0时，值域为⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞，当a ＜0时，值域为⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a ； ③反比例函数y ＝k x(k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}．[提醒] (1)解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则.(2)解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围.2．函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)．(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值，若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期．[提醒] 判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响.3．函数的单调性函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．①单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②若函数f (x )和g (x )都是减函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；若函数f (x )和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f(g(x))的单调性．[提醒]求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“与”连接或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.4．指数函数与对数函数的基本性质(1)定点：y＝a x(a＞0，且a≠1)恒过(0，1)点；y＝log a x(a＞0，且a≠1)恒过(1，0)点．(2)单调性：当a＞1时，y＝a x在R上单调递增；y＝log a x在(0，＋∞)上单调递增；当0＜a＜1时，y＝a x在R上单调递减；y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减．5．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．6．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)＞0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)＜0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立(注意：等号不恒成立)；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I 是其单调区间的子集．[提醒]已知可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f(x)的单调递增(减)区间为(a，b)，则f′(x)＞0(＜0)的解集为(a，b).7．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤①确定函数的定义域；②解方程f ′(x )＝0；③判断f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根x 0两侧的符号变化：若左正右负，则x 0为极大值点；若左负右正，则x 0为极小值点；若不变号，则x 0不是极值点．(2)求函数f (x )在区间[a ，b ]上的最值的一般步骤①求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内的极值；②比较函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[提醒] f ′(x )＝0的解不一定是函数f (x )的极值点.一定要检验在x ＝x 0的两侧f ′(x )的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点.[必会结论]1．函数周期性的常见结论(1)若f (x ＋a )＝f (x －a )(a ≠0)，则函数f (x )的周期为2|a |；若f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，则函数f (x )的周期为2|a |.(2)若f (x ＋a )＝－1f （x ）(a ≠0，f (x )≠0)，则函数f (x )的周期为2|a |；若f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0，f (x )≠0)，则函数f (x )的周期为2|a |.(3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，则函数f (x )的周期为|a －b |.(4)若函数f (x )的图象关于直线x ＝a 与x ＝b (a ≠b )对称，则函数f (x )的周期为2|b －a |.(5)若函数f (x )是偶函数，其图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则函数f (x )的周期为2|a |.(6)若函数f (x )是奇函数，其图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则函数f (x )的周期为4|a |.2．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a ，0)对称；(3)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称． 3．三次函数的相关结论给定三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，求导得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c (a ≠0)，则(1)当4(b 2－3ac )＞0时，f ′(x )＝0有两个实数解，即f (x )有两个极值点；当4(b 2－3ac )≤0时，f (x )无极值点．(2)若函数f (x )的图象存在水平切线，则f ′(x )＝0有实数解，从而4(b 2－3ac )≥0.(3)若函数f (x )在R 上单调递增，则a ＞0且4(b 2－3ac )≤0.[必练习题]1．函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln （x －1）的定义域为( ) A ．[1，10]B ．[1，2)∪(2，10]C ．(1，10]D ．(1，2)∪(2，10]解析：选D.要使原函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋9x ＋10≥0，x －1＞0，x －1≠1，解得1＜x ≤10且x ≠2，所以函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln （x －1）的定义域为(1，2)∪(2，10]，故选D. 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，f （2x ），0＜x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫22的值是( ) A ．0B ．1C ．12D ．－12解析：选C.因为f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ≥1，f （2x ），0＜x ＜1，且0＜22＜1，2＞1，所以f ⎝⎛⎭⎫22＝f (2)＝log 22＝12，故选C. 3．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a ＞0，a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)等于( )A ．2B ．154C ．174D ．a 2解析：选B.由题意知f (－x )＋g (－x )＝a －x －a x ＋2，又f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，所以g (x )－f (x )＝a －x －a x ＋2. ①又g (x )＋f (x )＝a x －a －x ＋2. ②①＋②得g (x )＝2，②－①得f (x )＝a x －a －x ，又g (2)＝a ，所以a ＝2，所以f (x )＝2x －2－x ，所以f (2)＝4－14＝154，故选B. 4．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则( )A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b解析：选B.由y ＝x c 与y ＝c x 的单调性知，C 、D 不正确．因为y ＝log c x 是减函数，得log c a ＜log c b ，B 正确．log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg c lg b，因为0＜c ＜1，所以lg c ＜0.而a ＞b ＞0，所以lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，所以log a c 与log b c 的大小不能确定．5．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )解析：选D.函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (π)＝⎝⎛⎭⎫π－1πcos π＝1π－π＜0，排除选项C ，故选D. 6．已知定义在R 上的奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x ＞0时，f ′(x )＜f （x ）x，且f (－1)＝0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(0，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1，0) 解析：选B.设F (x )＝f （x ）x ，因为f (x )为奇函数，所以F (x )为偶函数．F ′(x )＝1x 2[xf ′(x )－f (x )]，x ＞0时，F ′(x )＜0，所以F (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数，F (1)＝F (－1)＝0，结合F (x )的图象得f (x )＞0的解为(－∞，－1)∪(0，1)．7．已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1，1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意可得f (－1)·f (1)＜0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)＜0，解得a ＜－3或a ＞1. 答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)8．函数y ＝e x －x 在区间[－1，1]上的最大值为________．解析：f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝0，又f (－1)＝1e＋1，f (1)＝e －1，f (0)＝e 0－0＝1，而e －1＞1e＋1＞1，所以函数f (x )＝e x －x 在区间[－1，1]上的最大值为e －1. 答案：e －19．设函数f (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为9x ＋y －1＝0，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为________．解析：由已知得g ′(1)＝－9，g (1)＝－8，又f ′(x )＝12g ′⎝⎛⎭⎫x 2＋2x ，所以f ′(2)＝12g ′(1)＋4＝－92＋4＝－12，f (2)＝g (1)＋4＝－4，所以所求切线方程为y ＋4＝－12(x －2)，即x ＋2y ＋6＝0. 答案：x ＋2y ＋6＝010．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，给出以下四个结论：①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数；④函数f (x )为R 上的单调函数．其中正确结论的序号为________(写出所有正确结论的序号)．解析：f (x ＋3)＝f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )，所以f (x )是周期为3的周期函数，①正确；函数f ⎝⎛⎭⎫x －34是奇函数，其图象关于点(0，0)对称，则f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称，②正确；因为f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称，－34＝－x ＋⎝⎛⎭⎫－32＋x 2，所以f (－x )＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ，又f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ＝ －f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ＋32＝－f (x )，所以f (－x )＝f (x )，③正确；f (x )是周期函数，在R 上不可能是单调函数，④错误．故正确结论的序号为①②③.答案：①②③。