考前三个月(浙江专版文理通用)高考知识·方法篇练习：专题5 数列 第22练 Word版含解析

第29练双曲线的渐近线和离心率问题[题型分析·高考展望]双曲线作为三种圆锥曲线之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线．考查形式除常考的解答题外，也会在选择题、填空题中考查，一般为中等难度．熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本．体验高考1．(2015·四川)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于() A.433B ．2 3C ．6D ．4 3 答案D解析设A ，B 两点的坐标分别为(x ，y A )，(x ，y B )，将x ＝c ＝2代入渐近线方程y ＝±3x 得到y A ，y B ，进而求|AB |.由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.2．(2016·天津)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为()A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1D.x 24－y 212＝1 答案D解析由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b2，y ＝－2b 4＋b2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b 2. 由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b 2，4b4＋b 2，故8×4b4＋b 2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.3．(2016·浙江)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则() A ．m ＞n 且e 1e 2＞1B ．m ＞n 且e 1e 2＜1 C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜1 答案A解析由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2， 又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n . 又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n2 ＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1.4．(2015·上海)已知点P 和Q 横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线C 1和C 2，若C 1的渐近线为y ＝±3x ，则C 2的渐近线方程为________________． 答案y ＝±32x解析设点P 和Q 的坐标为(x ，y )，(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝2y 0，又因为C 1的渐近线方程为y ＝±3x ， 故设C 1的方程为3x 2－y 2＝λ，把点坐标代入，可得3x 20－4y 20＝λ，令λ＝0⇒3x ±2y ＝0， 即为曲线C 2的渐近线方程， 则y ＝±32x .5．(2015·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.答案33解析直接求解双曲线的渐近线并比较系数．双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±xa ，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a >0，所以1a ＝3，所以a ＝33.高考必会题型题型一双曲线的渐近线问题例1(1)已知直线y ＝1－x 与双曲线ax 2＋by 2＝1(a >0，b <0)的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为－32，则ab的值为() A ．－2327B ．－32C ．－932D ．－233答案B解析双曲线ax 2＋by 2＝1的渐近线方程可表示为ax 2＋by 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，ax 2＋by 2＝0得(a ＋b )x 2－2bx ＋b ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2b a ＋b ，y 1＋y 2＝2aa ＋b，所以原点和线段AB 中点的直线的斜率k ＝y 1＋y 22x 1＋x 22＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝a b＝－32，故选B.(2)如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F .点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．①求双曲线C 的方程；②过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值．解①设F (c,0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1，直线OB 的方程为y ＝－1ax ，直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，解得B (c 2，－c2a )．又直线OA 的方程为y ＝1a x ，则A (c ，ca )，k AB ＝c a －(－c 2a )c －c 2＝3a.又因为AB ⊥OB ，所以3a ·(－1a )＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.②由①知a ＝3，则直线l 的方程为 x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0. 因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M (2，2x 0－33y 0)；直线l 与直线x ＝32的交点为N (32，32x 0－33y 0)．则|MF |2|NF |2＝(2x 0－3)2(3y 0)214＋(32x 0－3)2(3y 0)2＝(2x 0－3)29y 204＋94(x 0－2)2＝43·(2x 0－3)23y 20＋3(x 0－2)2. 因为P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1， 代入上式得|MF |2|NF |2＝43·(2x 0－3)2x 20－3＋3(x 0－2)2 ＝43·(2x 0－3)24x 20－12x 0＋9＝43， 即所求定值为|MF ||NF |＝23＝233.点评(1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法．由y ＝±b a x ⇔x a ±y b ＝0⇔x 2a 2－y 2b 2＝0，所以可以把标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程．(2)已知双曲线渐近线方程：y ＝b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，求出λ即得双曲线方程．变式训练1已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为154，则C 2的渐近线方程为() A ．x ±2y ＝0B.2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0 答案C解析由已知，得e 1＝1－(ba)2，e 2＝1＋(b a)2，所以e 1e 2＝1－(b a )4＝154，解得b a ＝±12，所以C 2的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±12x ，即x ±2y ＝0，故选C. 题型二双曲线的离心率问题例2(1)点A 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于() A.2B. 3 C.5D. 6(2)(2016·课标全国甲)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin F 2＝13，则E 的离心率为()A.2B.32C.3D ．2答案(1)C(2)A解析(1)双曲线的渐近线方程为：y ＝bax ，由题意可求得点A (p 2，p )，代入渐近线得b a ＝pp2＝2，∴(b a )2＝4，∴c 2－a 2a2＝4，∴e 2＝5，∴e ＝5，故选C. (2)离心率e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin Msin F 1－sin F 2＝2231－13＝ 2.故选A.点评在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e ＝ca 是一个比值，故只需根据条件得到关于a 、b 、c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形求e ，并且需注意e >1.同时注意双曲线方程中x ，y 的范围问题．变式训练2已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，过F 1的直线与双曲线C 的右支交于点P ，若线段F 1P 的中点Q 恰好在双曲线C 的一条渐近线上，且F 1P →·F 2P →＝0，则双曲线的离心率为________． 答案 5解析由题意可得F 1(－c,0)，设P (m ，n )， 可得m 2a 2－n 2b2＝1，③中点Q 的坐标为(m －c 2，n2)，且点Q 在渐近线y ＝－ba x 上，由F 1P →·F 2P →＝0，可得PF 1⊥PF 2， 即有OQ ⊥PF 1，可得n m ＋c ＝a b ，①又n 2＝－b a ·m －c 2，② 由①②解得m ＝b 2－a 2c ，n ＝2ab c ，代入③可得，(b 2－a 2)2c 2a 2－4a 2c 2＝1，由c 2＝a 2＋b 2，化简可得b ＝2a ，c ＝a 2＋b 2＝5a ，可得e ＝ca＝ 5.题型三双曲线的渐近线与离心率综合问题例3已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ，Q ，若∠P AQ ＝60°，且OQ →＝3OP →，则双曲线C 的离心率为() A.74B.73 C.72D.7 答案C解析如图所示，设∠AOQ ＝α，∴tan α＝b a ⇒cos α＝a c ，sin α＝b c ，∴|OH |＝a ·cos α＝a 2c ，|AH |＝a ·sin α＝ab c ，又∵OQ →＝3OP →，∴|OP |＝|PH |＝|HQ |＝a 22c，∴|AH |＝3|PH |⇒ab c ＝3·a 22c ⇒2b ＝3a ，∴e ＝1＋(b a )2＝72.故选C.点评解决此类问题：一是利用离心率公式，渐近线方程，斜率关系等列方程组．二是数形结合，由图形中的位置关系，确定相关参数的范围．变式训练3已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为()A ．2或233 B.6或233C ．2或3D.3或 6 答案A解析由题意可知，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线的倾斜角为30°或60°，则k ＝b a ＝3或33，则e ＝c a ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2或233. 高考题型精练1．(2015·课标全国Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是() A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 答案A解析由双曲线方程可求出F 1，F 2的坐标，再求出向量MF 1→，MF 2→，然后利用向量的数量积公式求解．由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)， ∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33.故选A. 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的离心率为()A.5B.52C.5或52D ．2 答案A解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，由题意可得ba ＝2，即有b ＝2a .c ＝a 2＋b 2＝5a ， 可得e ＝ca＝5，故选A.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为() A.43B.53 C ．2D.73答案B解析由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，① 又|PF 1|＝4|PF 2|，②联立①②解得|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2，要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值， 当cos ∠F 1PF 2＝－1时，解得e ＝53，即e 的最大值为53，故选B.4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2，若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，则双曲线的离心率是() A.3＋52 B.5＋12C.5－12 D.3－52答案B解析由题意，得直线F 1B 1的方程是bx －cy ＋bc ＝0，因为圆与直线相切，所以点O 到直线F 1B 1的距离等于半径，即bc b 2＋(－c )2＝a ，又b 2＝c 2－a 2，得c 4－3a 2c 2＋a 4＝0，e 4－3e 2＋1＝0，e 2＝3＋52，e ＝1＋52，故选B.5．若双曲线x 2－y 2＝a 2(a >0)的左，右顶点分别为A ，B ，点P 是第一象限内双曲线上的点，若直线P A ，PB 的倾斜角分别为α，β，则α＋β的值是()A.π6B.π4C.π3D.π2答案D解析双曲线的左顶点为A (－a,0)，右顶点为B (a,0)．设P (m ，n )(m >a ，n >0)，则直线P A 的斜率k P A ＝n m ＋a ，直线PB 的斜率k PB ＝n m －a， ∴k P A ·k PB ＝n 2m 2－a 2.① ∵P (m ，n )是双曲线x 2－y 2＝a 2上的点，∴m 2－n 2＝a 2，将n 2＝m 2－a 2代入①式得k P A ·k PB ＝1.∴α＋β＝π2. 6．已知双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的离心率为5，则b ＝________.若以(2,1)为圆心，r 为半径的圆与该双曲线的两条渐近线只有一个公共点，则半径r ＝________.答案2355解析双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的a ＝1，c ＝1＋b 2，由题意可得e ＝c a ＝1＋b 21＝5，解得b ＝2. 由双曲线x 2－y 24＝1可得渐近线方程为y ＝±2x ， 由以(2,1)为圆心，r 为半径的圆与渐近线y ＝2x 相切，可得d ＝r ，即r ＝|2×2－1|1＋4＝355. 7．已知F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 是双曲线C 的中心，直线y ＝mx 是双曲线C 的一条渐近线，以线段OF 为边作正三角形AOF ，若点A 在双曲线C 上，则m ＝________.答案3＋2 3解析因为直线y ＝mx 是双曲线C 的一条渐近线，所以m ＝b 2a 2，又A 在双曲线C 上，三角形AOF 是正三角形，所以A (12c ，32c )，(12c )2a 2－(32c )2b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2，化为a 2＋b 24a 2－3(a 2＋b 2)4b 2＝1， 14＋14m －34－34m＝1， 因为m >0，可解得m ＝3＋2 3.8．设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________. 答案324解析设P (x ，b 3ax )，则由题意，知c ＝|x |， 因为PF 1垂直于x 轴，则由双曲线的通径公式知|b 3a x |＝b 2a ，即b 3a c ＝b 2a ，所以b ＝c 3. 又由a 2＝c 2－b 2，得a 2＝89c 2，所以e ＝c a ＝324. 9．(2016·山东)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．答案2解析由已知得|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ，∴2×2b 2a＝3×2c ，又∵b 2＝c 2－a 2，整理得：2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2得2⎝⎛⎭⎫c a 2－3c a －2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－12(舍去)． 10．已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP →⊥BP →，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．答案(1,2)解析根据条件AP →⊥BP →，可得P 点的轨迹方程x 2＋(y －2)2＝1，求出双曲线的渐近线方程y ＝b ax ，运用圆心到直线的距离大于半径，得到3a 2>b 2， 再由b 2＝c 2－a 2，得出离心率e ＝c a<2， 又双曲线离心率e >1，所以1<e <2.11．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，点F 1关于渐近线的对称点恰好在以F 2为圆心，|OF 2|(O 为坐标原点)为半径的圆上，则该双曲线的离心率为________． 答案2解析设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，设一条渐近线方程为y ＝－b ax ， 则F 1到渐近线的距离为bca 2＋b 2＝b ，设F 1关于渐近线的对称点为M ，F 1M 与渐近线交于点A ，所以|MF 1|＝2b ，A 为F 1M 的中点，又O 是F 1F 2的中点，所以OA ∥F 2M ，∠F 1MF 2是直角，由勾股定理得：4c 2＝c 2＋4b 2，化简得e ＝2.12．已知双曲线C 1：x 2－y 24＝1. (1)求与双曲线C 1有相同焦点，且过点P (4，3)的双曲线C 2的标准方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 分别交双曲线C 1的两条渐近线于A 、B 两点，当OA →·OB →＝3时，求实数m的值．解(1)∵双曲线C 1：x 2－y 24＝1， ∴焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)， ∵双曲线C 2与双曲线C 1有相同焦点，且过点P (4，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1. ∴双曲线C 2的标准方程为x 24－y 2＝1. (2)双曲线C 1的两条渐近线为y ＝2x ，y ＝－2x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，y ＝x ＋m可得x ＝m ，y ＝2m ，∴A (m,2m )， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ，y ＝x ＋m可得x ＝－13m ，y ＝23m ， ∴B (－13m ，23m )， ∴OA →·OB →＝－13m 2＋43m 2＝m 2， ∵OA →·OB →＝3，∴m 2＝3，∴m ＝±3.。

第27练 直线与圆[题型分析·高考展望] 直线与圆是解析几何的基础，在高考中，除对本部分知识单独考查外，更多是在与圆锥曲线结合的综合题中对相关知识进行考查．单独考查时，一般为选择题、填空题，难度不大，属低中档题．直线的方程，圆的方程的求法及位置关系的判断与应用是本部分的重点．体验高考1．(2015·广东)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 答案 A解析 设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题意有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0，故选A.2．(2015·课标全国Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |等于( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10 答案 C解析 由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A ，B ，C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，选C.3．(2015·山东)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34答案 D解析 由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34，故选D.4．(2016·上海)已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1，l 2的距离为________． 答案255解析 d ＝|1＋1|22＋12＝255.5．(2016·课标全国丙)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________. 答案 4解析 设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23，|AB |＝23，所以|OM |＝3，解得m ＝－33， 由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12解得A (－3，3)，B (0,23)， 则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2,0)，D (2,0)， 所以|CD |＝4.高考必会题型题型一 直线方程的求法与应用例1 (1)若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0(2)直线l 过点(2,2)，且点(5,1)到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋y ＋4＝0 B ．3x －y ＋4＝0 C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0答案 (1)D (2)C解析 (1)由题意知圆心C (3,0)，k CP ＝－12.由k CP ·k MN ＝－1，得k MN ＝2，所以弦MN 所在直线的方程是2x －y －1＝0.(2)由已知，设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0，所以|5k －1＋2－2k |k 2＋(－1)2＝10，解得k ＝3，所以直线l 的方程为3x －y －4＝0，故选C. 点评 (1)两条直线平行与垂直的判定①若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1； ②判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况． (2)求直线方程的常用方法①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；②待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一个待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数．变式训练1 已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0. (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 关于原点O 对称的直线方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.所以点P 的坐标是(－2,2)，又因为直线x －2y －1＝0， 即y ＝12x －12的斜率为k ′＝12，由直线l 与x －2y －1＝0垂直可得k l ＝－1k ′＝－2，故直线l 的方程为：y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0.(2)直线l 的方程2x ＋y ＋2＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是－1与－2， 则直线l 关于原点对称的直线在x 轴、y 轴上的截距分别是1与2， 所求直线方程为x 1＋y2＝1，即2x ＋y －2＝0.题型二 圆的方程例2 (1)(2015·湖北)如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.①圆C 的标准方程为________________．②圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．答案 ①(x －1)2＋(y －2)2＝2 ②－2－1解析 ①由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)， 则r 2＝⎝⎛⎭⎫|AB |22＋12＝2，解得r ＝ 2. 所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.②方法一 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0, 2＋1)．又点C (1, 2)，所以直线BC 的斜率为k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1)． 令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.方法二 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1)．又点C (1，2)，设过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝kx ，即kx －y ＋(2＋1)＝0.由题意，得圆心C (1，2)到直线kx －y ＋(2＋1)＝0的距离d ＝|k －2＋2＋1|k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝1.故切线方程为x －y ＋(2＋1)＝0.令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.(2)已知圆C 经过点A (2，－1)，并且圆心在直线l 1：y ＝－2x 上，且该圆与直线l 2：y ＝－x ＋1相切．①求圆C 的方程；②求以圆C 内一点B ⎝⎛⎭⎫2，－52为中点的弦所在直线l 3的方程． 解 ①设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－1－b )2＝r 2，b ＝－2a ，|a ＋b －1|2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，r ＝ 2.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2. ②由①知圆心C 的坐标为(1，－2)， 则k CB ＝－52－(－2)2－1＝－12.设直线l 3的斜率为k 3，由k 3·k CB ＝－1，可得k 3＝2. 故直线l 3的方程为y ＋52＝2(x －2)，即4x－2y－13＝0.点评求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．变式训练2已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，连接BN.在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.题型三直线与圆的位置关系、弦长问题例3(1)(2015·重庆)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于()A．2 B．4 2 C．6 D．210答案 C解析根据直线与圆的位置关系求解．由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay －1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)．∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.∴|AB|＝6.(2)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.①写出圆C的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小；②是否存在斜率为1的直线m，使m被圆C截得的弦为AB，且OA⊥OB(O为坐标原点)．若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．解①圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，则圆心C的坐标为(1，－2)，半径为3.②假设存在这样的直线m，根据题意可设直线m：y ＝x ＋b .联立直线与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，y ＝x ＋b得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， 因为直线与圆相交，所以Δ>0， 即b 2＋6b －9<0，且满足x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝b 2＋4b －42，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＝x 1＋b ，y 2＝x 2＋b ， 由OA ⊥OB 得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0， 所以x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b ) ＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0， 即b 2＋3b －4＝0得b ＝－4或b ＝1， 且均满足b 2＋6b －9<0，故所求的直线m 存在，方程为y ＝x －4或y ＝x ＋1. 点评 研究直线与圆位置关系的方法(1)研究直线与圆的位置关系的最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题．(2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d 及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．变式训练3 已知以点C (t ，2t )(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程． (1)证明 ∵圆C 过原点O ，且|OC |2＝t 2＋4t 2.∴圆C 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×|4t |×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |，∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，|OC |＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，|OC |＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5. 圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.高考题型精练1．已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为( ) A.45 B.25 C.255 D.105 答案 A解析 (x －1)2＋(y －1)2表示点P (x ，y )到点Q (1,1)的距离的平方．由已知可得点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以|PQ |的最小值为点Q 到直线l 的距离， 即d ＝|1＋2×1－5|1＋22＝255，所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2＝45.故选A.2．“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由l 1⊥l 2得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2.∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件．3．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( ) A ．3 2 B ．2 2 C ．3 3 D ．4 2答案 A解析 依题意知AB 的中点M 的集合是与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离， 设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0， 根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.4．(2016·山东)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离答案 B解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1＝a ， 圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝⎛⎭⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2.∴M (0,2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝(1－0)2＋(1－2)2＝2， r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1.∴r 1－r 2＜|MN |＜r 1＋r 2，∴两圆相交，故选B.5．与圆x 2＋y 2＝1和圆x 2＋y 2－8x ＋7＝0都相切的圆的圆心轨迹是( ) A ．椭圆B ．椭圆和双曲线的一支C ．双曲线和一条直线(去掉几个点)D ．双曲线的一支和一条直线(去掉几个点) 答案 D解析 设所求圆圆心为M (x ，y )，半径为r ， 圆x 2＋y 2－8x ＋7＝0⇒(x －4)2＋y 2＝9，圆心设为C (4,0)，由题意得当动圆与两定圆外切时，即|MO |＝r ＋1，|MC |＝r ＋3， 从而|MC |－|MO |＝2<|OC |，因此为双曲线的一支，当动圆与两定圆一个外切一个内切时， 必切于两定圆切点，即M 必在x 轴上， 但需去掉O ，C 及两定圆切点，因此选D.6．设直线l 1：mx －(m －1)y －1＝0(m ∈R )，则直线l 1恒过定点________；若直线l 1为圆x 2＋y 2＋2y －3＝0的一条对称轴，则实数m ＝________. 答案 (1,1) 2解析 ∵直线l 1：mx －(m －1)y －1＝0(m ∈R )，∴(x －y )m ＋y －1＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，y －1＝0，解得x ＝1，y ＝1，∴直线l 1恒过定点(1,1)．∵直线l 1：mx －(m －1)y －1＝0(m ∈R )为圆x 2＋y 2＋2y －3＝0的一条对称轴， ∴直线l 1：mx －(m －1)y －1＝0(m ∈R )经过圆x 2＋y 2＋2y －3＝0的圆心(0，－1)， ∴m ×0－(m －1)×(－1)－1＝0，解得m ＝2.7．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有三个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的值为________． 答案 ±13解析 因为圆心到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为|c |13，所以由题意得|c |13＝1，c ＝±13.9．如图，已知点A 为圆O ：x 2＋y 2＝9与圆C ：(x －5)2＋y 2＝16在第一象限内的交点．过A 的直线l 被圆O 和圆C 所截得的弦分别为NA ，MA (M ，N 不重合)．若|NA |＝|MA |，则直线l 的方程是______________．答案 7x －24y ＋45＝0解析 由点A 为圆O ：x 2＋y 2＝9与圆C ：(x －5)2＋y 2＝16在第一象限内的交点，可得A (95，125)，设直线l 的方程是y －125＝k (x －95)，即5kx －5y ＋12－9k ＝0，∵|NA |＝|MA |，∴9－(12－9k )225k 2＋25＝16－(16k ＋12)225k 2＋25，∴k ＝724，∴直线l 的方程是7x －24y ＋45＝0.10．已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是________________． 答案 (－24，24) 解析 因为已知直线过点(－2,0)，那么圆的方程x 2＋y 2＝2x 配方为(x －1)2＋y 2＝1，表示的是圆心为(1,0)，半径为1的圆， 设过点(－2,0)的直线的斜率为k ，则直线方程为y ＝k (x ＋2)，则点到直线距离等于圆的半径1，有d ＝|k －0＋2k |k 2＋1＝1，化简得8k 2＝1， 所以k ＝±24，然后可知此时有一个交点，那么当满足题意的时候， 可知斜率的取值范围是(－24，24)， 故答案为(－24，24)． 11．已知过点A (0,1)，且方向向量为a ＝(1，k )的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点．(1)求实数k 的取值范围；(2)若O 为坐标原点，且OM →·ON →＝12，求k 的值． 解 (1)∵直线l 过点A (0,1)且方向向量为a ＝(1，k )， ∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1.由|2k －3＋1|k 2＋1＜1， 得4－73＜k ＜4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12， ∴4k (1＋k )1＋k 2＝4，解得k ＝1. 12．已知圆M ∶x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．(1)若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程；(2)求四边形QAMB 面积的最小值；(3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程． 解 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0， ∴切线QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.(2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA | ＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于点P ，则MP ⊥AB .∵MB ⊥BQ ，∴|MP |＝ 1－⎝⎛⎭⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP |·|MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3. 设Q (x,0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)，∴直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。

第43练 关于计算过程的再优化[题型分析·高考展望] 中学数学的运算包括数的计算，式的恒等变形，方程和不等式同解变形，初等函数的运算和求值，各种几何量的测量与计算，求数列和函数、概率计算等．《高中数学新课程标准》所要求的数学能力中运算求解能力更为基本，运算求解能力指的是要求学生会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算．运算求解能力是思维能力和运算技能的结合．运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等．数学运算，都是依据相应的概念、法则、性质、公式等基础知识进行的，尤其是概念，它是思维的形式，只有概念明确、理解透彻，才能作出正确的判断及合乎逻辑的推理．计算法则是计算方法的程序化和规则化，对法则的理解是计算技能形成的前提．高考命题对运算求解能力的考查主要是针对算法、推理及以代数运算为主的考查．因此在高中数学中，对于运算求解能力的培养至关重要．提高数学解题能力，首先是提高数学的运算求解能力，可以从以下几个方面入手： 1．培养良好的审题习惯． 2．培养认真计算的习惯．3．培养一些常用结论的记忆的能力，记住一些常用的结论，比如数列求和的公式12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，三角函数中的辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)等等．4．加强运算练习是提高基本运算技能的有效途径，任何能力都是有计划、有目的地训练出来的，提高基本运算技能也必须加强练习、严格训练．5．提高运算基本技能，必须要提高学生在运算中的推理能力，这就首先要清楚运算的定理及相关理论．6．增强自信是解题的关键，自信才能自强，在数学解题中，自信心是相当重要的．高考必会题型题型一 化繁为简，优化计算过程例1 过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33 B ．－33 C ．±33D ．－ 3 答案 B解析 由y ＝1－x 2得，x 2＋y 2＝1(y ≥0)， 设直线方程为x ＝my ＋2，m <0(m ≥0不合题意)，代入x 2＋y 2＝1(y ≥0)，整理得， (1＋m 2)y 2＋22my ＋1＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－22m 1＋m 2，y 1y 2＝11＋m 2， 则△AOB 的面积为12×2|y 1－y 2|＝22|y 1－y 2|，因为|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝(－22m 1＋m 2)2－41＋m 2＝2m 2－11＋m 2＝2m 2－12＋m 2－1＝22m 2－1＋m 2－1 ≤22 2m 2－1×m 2－1＝22， 当且仅当2m 2－1＝m 2－1， 即m 2－1＝2，m ＝－3时取等号． 此时直线方程为x ＝－3y ＋2， 即y ＝－33x ＋63， 所以直线的斜率为－33. 点评 本题考查直线与圆的位置关系以及三角形的面积公式，先设出直线方程x ＝my ＋2，表示出△AOB 的面积，然后探讨面积最大时m 的取值，得到直线的斜率． 题型二 运用概念、性质等优化计算过程例2 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.答案 57解析 如图，设|BF |＝m ，由题意知，m 2＋100－2×10m cos ∠ABF ＝36， 解得m ＝8，所以△ABF 为直角三角形， 所以|OF |＝5，即c ＝5，由椭圆的对称性知|AF ′|＝|BF |＝8(F ′为右焦点)， 所以a ＝7，所以离心率e ＝57.点评 熟练掌握有关的概念和性质是快速准确解决此类题目的关键． 题型三 代数运算中加强“形”的应用，优化计算过程 例3 设b >0，数列{a n }满足a 1＝b ，a n ＝nba n －1a n －1＋2n －2(n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n ，a n ≤b n ＋12n ＋1＋1.(1)解 由a 1＝b >0，知a n ＝nba n －1a n －1＋2n －2>0，n a n ＝1b ＋2b ·n －1a n －1. 令A n ＝n a n ，A 1＝1b ，当n ≥2时，A n ＝1b ＋2b A n －1＝1b ＋2b 2＋…＋2n －2b n －1＋2n －1b n －1A 1 ＝1b ＋2b 2＋…＋2n －2b n －1＋2n －1b n . ①当b ≠2时，A n ＝1b [1－(2b )n ]1－2b ＝b n －2n b n (b －2)；②当b ＝2时，A n ＝n2.综上，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧nb n(b －2)b n －2n ，b ≠2，2， b ＝2.(2)证明 当b ≠2时，(2n ＋1＋bn ＋1)b n －2n b －2＝(2n ＋1＋b n ＋1)(b n －1＋2b n －2＋…＋2n －1)＝2n ＋1b n －1＋2n ＋2b n －2＋…＋22n ＋b 2n ＋2b 2n －1＋…＋2n －1b n ＋1 ＝2n b n(2b ＋22b 2＋…＋2n b n ＋b n 2n ＋b n －12n －1＋…＋b 2)>2n b n (2＋2＋…＋2)， ＝2n ·2n b n ＝n ·2n ＋1b n ， ∴a n ＝nb n (b －2)b n －2n <b n ＋12n ＋1＋1.当b ＝2时，a n ＝2＝b n ＋12n ＋1＋1.综上所述，对于一切正整数n ，a n ≤b n ＋12n ＋1＋1.点评 结合题目中a n 的表达式可知，需要构造a n 新的形式n a n ＝1b ＋2b ·n －1a n －1，得到新的数列，根据新数列的形式求和；不等式的证明借用放缩完成．高考题型精练1．已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是一切实数，则m 的取值范围是( ) A ．0<m ≤4 B ．0≤m ≤1 C ．m ≥4 D ．0≤m ≤4答案 D解析 根据题意mx 2＋mx ＋1≥0(x ∈R )恒成立， 当m ＝0时，满足不等式；当m ≠0时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4，综上0≤m ≤4.2．已知函数f (x －1x )＝x 2＋1x 2，则f (3)的值为( )A ．8B ．9C ．11D ．10答案 C解析 ∵f (x －1x )＝(x －1x)2＋2，∴f (3)＝9＋2＝11.3．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >lg 2}B ．{x |－1<x <lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}答案 D解析 由题意知，一元二次不等式f (x )>0的解集为 (－1，12)，即－1<10x <12⇒x <－lg 2.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1x )6，x <0，－x ，x ≥0.则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15 答案 A解析 当x >0时，f [f (x )]＝(－x ＋1x )6＝(1x －x )6的展开式中，常数项为C 36(1x)3(－x )3＝－20.5．在△ABC 中，若AC AB ＝cos Bcos C ，则( )A ．A ＝CB ．A ＝BC ．B ＝CD ．以上都不正确答案 C解析 ∵AC AB ＝sin B sin C ＝cos Bcos C ，∴sin B cos C －cos B sin C ＝0. ∴sin(B －C )＝0. 又∵－π<B －C <π， ∴B －C ＝0，即B ＝C .6．已知直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 答案 x －y ＝0解析 ∵点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y 2＝4x 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 22－y 21＝4x 2－4x 1， 即y 2－y 1x 2－x 1＝4y 2＋y 1. ∵P (2,2)为AB 的中点，所以y 2＋y 1＝4， ∴直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝44＝1，∴直线AB 的方程为x －y ＝0.7．抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________． 答案 [－2，12]解析 易知切线方程为：y ＝2x －1，所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为A (0,0)，B (12，0)，C (0，－1)．易知过C 点时有最小值－2，过B 点时有最大值12.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a .(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积． (1)证明 由b sin(π4＋C )－c sin(π4＋B )＝a ，应用正弦定理，得sin B sin(π4＋C )－sin C sin(π4＋B )＝sin A ，sin B (22sin C ＋22cos C )－sin C (22sin B ＋22cos B )＝22， 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1， 即sin(B －C )＝1.由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.(2)解 由(1)知，B －C ＝π2，又B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.9. 在如图所示的多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，且AC ＝AD ＝CD ＝DE ＝2，AB ＝1.(1)请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF ∥平面ACD ，并证明； (2)求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角θ的大小．解 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x 轴和z 轴的正半轴分别经过点A 和点E ，则各点的坐标为D (0,0,0)，A (2,0,0)，E (0,0,2)，B (2,0,1)，C (1，3，0)． (1)点F 应是线段CE 的中点，证明如下：设F 是线段CE 的中点，则点F 的坐标为(12，32，1)，DE →＝(0,0,2)，BF →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，0，∴BF →·DE →＝0，∴BF →⊥DE →. 而DE →是平面ACD 的一个法向量． 此即证得BF ∥平面ACD .(2)设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ⊥CB →，且n ⊥CE →，由CB →＝(1，－3，1)，CE →＝(－1，－3，2)，得⎩⎨⎧x －3y ＋z ＝0，－x －3y ＋2z ＝0，不妨设y ＝3，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，z ＝2，即n ＝(1，3，2)， ∴所求角θ满足cos θ＝n ·DE →|n |·|DE →|＝422×2＝22，∴θ＝π4.10. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，O 为坐标原点，离心率e ＝2，点M (5，3)在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)若直线l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP →·OQ →＝0，求1|OP |2＋1|OQ |2的值．解 (1)∵e ＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝3a 2， ∴双曲线方程为x 2a 2－y 23a 2＝1，即3x 2－y 2＝3a 2，∵点M (5，3)在双曲线上， ∴15－3＝3a 2，∴a 2＝4， ∴所求双曲线方程为x 24－y 212＝1.(2)设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，联立x 24－y212＝1得⎩⎨⎧x 2＝123－k 2，y 2＝12k23－k 2，∴|OP |2＝x 2＋y 2＝12(k 2＋1)3－k 2.∵OP →·OQ →＝0，∴直线OQ 的方程为y ＝－1k x ，同理可得|OQ |2＝12(k 2＋1)3k 2－1，∴1|OP |2＋1|OQ |2＝3－k 2＋(3k 2－1)12(k 2＋1) ＝2＋2k 212(k 2＋1)＝16. 11．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)．结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4，a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立， 结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5＜2－a2＜6，即－10＜a ＜－8.12．若正数x ，y 满足x ＋2y ＋4＝4xy ，且不等式(x ＋2y )a 2＋2a ＋2xy －34≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解 ∵正实数x ，y 满足x ＋2y ＋4＝4xy ， 即x ＋2y ＝4xy －4.不等式(x ＋2y )a 2＋2a ＋2xy －34≥0恒成立， 即(4xy －4)a 2＋2a ＋2xy －34≥0恒成立， 变形得2xy (2a 2＋1)≥4a 2－2a ＋34恒成立， 即xy ≥2a 2－a ＋172a 2＋1恒成立．又∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy ＝x ＋2y ＋4≥4＋22xy ， 即2(xy )2－2xy －2≥0， ∴xy ≥2或xy ≤－22(舍去)，可得xy ≥2. 要使xy ≥2a 2－a ＋172a 2＋1恒成立，只需2≥2a 2－a ＋172a 2＋1恒成立，化简得2a 2＋a －15≥0，解得a ≤－3或a ≥52.故a 的取值范围是(－∞，－3]∪[52，＋∞)．合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。

第14练 存在与恒成立问题[题型分析·高考展望] “存在”与“恒成立”两个表示范围的词语在题目中出现是近年高考的一大热点，弄清其含义，适当进行转化来加以解决．此类题目主要出现在函数与导数结合的解答题中，难度高，需要有较强的分析能力和运算能力，训练时应注意破题方法的研究．体验高考1．(2015·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－32e ，1 B.⎣⎡⎭⎫－32e ，34 C.⎣⎡⎭⎫32e ，34D.⎣⎡⎭⎫32e ，1答案 D解析 设g (x )＝e x (2x －1)，y ＝ax －a ，由题知存在唯一的整数x 0，使得当x ＝x 0时，g (x )在直线y ＝ax －a 的下方．因为g ′(x )＝e x (2x ＋1)，所以当x <－12时，g ′(x )<0， 当x >－12时，g ′(x )>0， 所以当x ＝－12时，[g (x )]min ＝－2e －12， 当x ＝0时，g (0)＝－1，g (1)＝e>0，直线y ＝a (x －1)恒过(1,0)且斜率为a ，故－a >g (0)＝－1，且g (－1)＝－3e －1≥－a －a ，解得32e ≤a <1.故选D.2．(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围．(1)证明 f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x .若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1≤0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，f ′(x )＞0.若m ＜0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1＞0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1＜0，f ′(x )＞0.所以，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)解 由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)－f (0)≤e －1，f (－1)－f (0)≤e －1， 即⎩⎪⎨⎪⎧ e m －m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1. ①设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，则g ′(t )＝e t －1.当t ＜0时，g ′(t )＜0；当t ＞0时，g ′(t )＞0.故g (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e ＜0，故当t ∈[－1,1]时，g (t )≤0. 当m ∈[－1,1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立；当m ＞1时，由g (t )的单调性，g (m )＞0，即e m －m ＞e －1；当m ＜－1时，g (－m )＞0，即e －m ＋m ＞e －1. 综上，m 的取值范围是[－1,1]．3．(2016·江苏)已知函数f (x )＝a x ＋b x (a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1)．(1)设a ＝2，b ＝12. ①求方程f (x )＝2的根；②若对任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值；(2)若0＜a ＜1，b ＞1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值．解 (1)①由已知可得2x ＋⎝⎛⎭⎫12x ＝2，即2x ＋12x ＝2. ∴(2x )2－2·2x ＋1＝0，解得2x ＝1，∴x ＝0.②f (x )＝2x ＋⎝⎛⎭⎫12x ＝2x ＋2－x ， 令t ＝2x ＋2－x ，则t ≥2. 又f (2x )＝22x ＋2－2x ＝t 2－2，故f (2x )≥mf (x )－6可化为t 2－2≥mt －6，即m ≤t ＋4t，又t ≥2，t ＋4t ≥2 t ·4t＝4. (当且仅当t ＝2时等号成立)．∴m ≤⎝⎛⎭⎫t ＋4t min ＝4. 即m 的最大值为4.(2)∵0＜a ＜1，b ＞1，∴ln a ＜0，ln b ＞0.g (x )＝f (x )－2＝a x ＋b x －2.∵g ′(x )＝a x ln a ＋b x ln b 为单调递增函数，且值域为R ，∴g ′(x )一定存在零点，∴g (x )为先减后增且有唯一极值点．由题意，g (x )有且仅有1个零点，则g (x )的极值一定为0，而g (0)＝a 0＋b 0－2＝0，故极值点为0.∴g ′(0)＝0，即ln a ＋ln b ＝0.∴ab ＝1.高考必会题型题型一 恒成立问题例1 (2015·福建改编)已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝kx (k ∈R )．(1)证明：当x ＞0时，f (x )＜x ；(2)证明：当k ＜1时，存在x 0＞0，使得对任意的x ∈(0，x 0)，恒有f (x )＞g (x )．证明 (1)令F (x )＝f (x )－x ＝ln(1＋x )－x ，x ∈(0，＋∞)，则有F ′(x )＝11＋x －1＝－x x ＋1. 当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )＜0，所以F (x )在(0，＋∞)上单调递减，故当x ＞0时，F (x )＜F (0)＝0，即当x ＞0时，f (x )＜x .(2)令G (x )＝f (x )－g (x )＝ln(1＋x )－kx ，x ∈(0，＋∞)，则有G ′(x )＝1x ＋1－k ＝－kx ＋(1－k )x ＋1. 当k ≤0时，G ′(x )＞0，故G (x )在(0，＋∞)上单调递增，G (x )＞G (0)＝0，故任意正实数x 0均满足题意．当0＜k ＜1时，令G ′(x )＝0，得x ＝1－k k ＝1k－1＞0，取x 0＝1k－1，对任意x ∈(0，x 0)，有G ′(x )＞0， 从而G (x )在(0，x 0)上单调递增，所以G (x )＞G (0)＝0，即f (x )＞g (x )．综上，当k ＜1时，总存在x 0＞0，使得对任意x ∈(0，x 0)，恒有f (x )＞g (x )．点评 恒成立问题一般与不等式有关，解决此类问题需要构造函数，利用函数单调性求函数最值，从而说明函数值恒大于或恒小于某一确定的值．变式训练1 设f (x )＝e x －a (x ＋1)．(1)若任意的x ∈R ，f (x )≥0恒成立，求正实数a 的取值范围；(2)设g (x )＝f (x )＋a e x ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)是曲线y ＝g (x )上任意两点，若对任意的a ≤－1，直线AB 的斜率恒大于常数m ，求m 的取值范围．解 (1)因为f (x )＝e x －a (x ＋1)，所以f ′(x )＝e x －a .由题意，知a ＞0，故由f ′(x )＝e x －a ＝0，解得x ＝ln a .故当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )的最小值为f (ln a )＝e ln a －a (ln a ＋1)＝－a ln a .由题意，若任意的x ∈R ，f (x )≥0恒成立，即f (x )＝e x －a (x ＋1)≥0恒成立，故有－a ln a ≥0，又a ＞0，所以ln a ≤0，解得0＜a ≤1.所以正实数a 的取值范围为(0,1]．(2)设x 1，x 2是任意的两个实数，且x 1＜x 2，则直线AB 的斜率为k ＝g (x 2)－g (x 1)x 2－x 1. 由已知k ＞m ，即g (x 2)－g (x 1)x 2－x 1＞m . 因为x 2－x 1＞0，所以g (x 2)－g (x 1)＞m (x 2－x 1)，即g (x 2)－mx 2＞g (x 1)－mx 1.因为x 1＜x 2，所以函数h (x )＝g (x )－mx 在R 上为增函数，故有h ′(x )＝g ′(x )－m ≥0恒成立，所以m ≤g ′(x )．而g ′(x )＝e x －a －a e x ， 又a ≤－1＜0，故g ′(x )＝e x ＋(－a )e x －a ≥2 e x ·(－a )ex －a＝2－a －a .而2－a －a ＝2－a ＋(－a )2＝(－a ＋1)2－1≥3，所以m 的取值范围为(－∞，3]．题型二 存在性问题例2 (2015·浙江)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1,1]上的最小值g (a )的表达式； (2)已知函数f (x )在[－1,1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值范围．解 (1)当b ＝a 24＋1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋1， 故对称轴为直线x ＝－a 2. 当a ≤－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2. 当－2＜a ≤2时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1. 当a ＞2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2. 综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 24＋a ＋2，a ≤－2，1，－2＜a ≤2，a 24－a ＋2，a ＞2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧s ＋t ＝－a ，st ＝b ， 由于0≤b －2a ≤1，因此－2t t ＋2≤s ≤1－2t t ＋2(－1≤t ≤1)． 当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t 2t ＋2. 由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t 2t ＋2≤9－45， 所以－23≤b ≤9－4 5. 当－1≤t ＜0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t 2t ＋2， 由于－2≤－2t 2t ＋2＜0和－3≤t －2t 2t ＋2＜0，所以－3≤b ＜0.故b 的取值范围是[－3,9－4 5 ]．点评 证明存在性这类问题的思路是想法找到一个“x 0”使问题成立即可，必要时需要对问题进行转化．若证“存在且唯一”则需说明除“x 0”外其余不能使命题成立，或利用函数单调性证明此类问题．变式训练2 (2015·北京)已知函数f (x )＝ln 1＋x 1－x. (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求证：当x ∈(0,1)时，f (x )＞2⎝⎛⎭⎫x ＋x 33； (3)设实数k 使得f (x )＞k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33对x ∈(0,1)恒成立，求k 的最大值． (1)解 因为f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，所以f ′(x )＝11＋x ＋11－x，f ′(0)＝2. 又因为f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x .(2)证明 令g (x )＝f (x )－2⎝⎛⎭⎫x ＋x 33， 则g ′(x )＝f ′(x )－2(1＋x 2)＝2x 41－x 2. 因为g ′(x )>0(0<x <1)，所以g (x )在区间(0,1)上单调递增．所以g (x )>g (0)＝0，x ∈(0,1)，即当x ∈(0,1)时，f (x )>2⎝⎛⎭⎫x ＋x 33. (3)解 由(2)知，当k ≤2时，f (x )>k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33对x ∈(0,1)恒成立． 当k >2时，令h (x )＝f (x )－k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33， 则h ′(x )＝f ′(x )－k (1＋x 2)＝kx 4－(k －2)1－x 2. 所以当0<x < 4k －2k 时，h ′(x )<0，因此h (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0， 4k －2k 上单调递减． 故当0<x < 4k －2k时，h (x )<h (0)＝0， 即f (x )<k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33. 所以当k >2时，f (x )>k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33并非对x ∈(0,1)恒成立． 综上可知，k 的最大值为2.高考题型精练1．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3m ，x ∈[0，＋∞)，若f (x )＋5≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫179，＋∞B.⎝⎛⎭⎫179，＋∞ C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)答案 A解析 f ′(x )＝x 2－4x ，由f ′(x )＞0，得x ＞4或x ＜0.∴f (x )在(0,4)上递减，在(4，＋∞)上递增，∴当x ∈[0，＋∞)时，f (x )min ＝f (4)．∴要使f (x )＋5≥0恒成立，只需f (4)＋5≥0恒成立即可，代入解得m ≥179. 2．在R 上定义运算：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b cd ＝ad －bc ，若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－12 B ．－32 C.12 D.32答案 D解析 由定义知，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1 a －2a ＋1 x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1， ∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立，∵x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34， ∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32， 则实数a 的最大值为32. 3．若x ∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( )A ．e x ≤1＋x ＋x 2 B.11＋x ≤1－12x ＋14x 2 C ．cos x ≥1－12x 2 D ．ln(1＋x )≥x －18x 2 答案 C解析 设f (x )＝cos x ＋12x 2－1， 则f ′(x )＝－sin x ＋x ≥0(x ≥0)，所以f (x )＝cos x ＋12x 2－1是增函数，所以f (x )＝cos x ＋12x 2－1≥f (0)＝0， 即cos x ≥1－12x 2. 4．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )＞1，则不等式e x ·f (x )＞e x ＋1的解集为( )A ．{x |x ＞0}B ．{x |x ＜0}C ．{x |x ＜－1，或x ＞1}D ．{x |x ＜－1，或0＜x ＜1}答案 A解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x ＞e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数．又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )＞g (0)，解得x ＞0.5．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是() A ．[－5，－3] B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]答案 C解析 当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0，恒成立，即a ∈R .当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎡⎦⎤x 2－4x －3x 3max .设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝(2x －4)x 3－(x 2－4x －3)3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4>0，∴φ(x )在(0,1]上单调递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6，∴a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎡⎦⎤x 2－4x －3x 3min .仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－(x －9)(x ＋1)x 4. 当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )<0，当x ∈(－1,0)时，φ′(x )>0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值．而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2. 综上知－6≤a ≤－2.6．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋1，若存在x 0使|f (x 0)|≤14，|f (x 0＋1)|≤14同时成立，则实数a 的取值范围为________．答案 [－6，－2]∪[2，6]解析 由f (x )＝(x ＋a 2)2＋4－a 24， 考察f (x )＝x 2＋h ，当h ＝0时，有|f (－12)|≤14， |f (－12＋1)|≤14同时成立； 当h ＝－12时，有|f (－12)|≤14，|f (－12＋1)|≤14同时成立． 所以－12≤h ≤0，即－12≤4－a 24≤0， 解得－6≤a ≤－2或2≤a ≤ 6.7．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )，f ′(x )>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 答案 2解析 ∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b >0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0， ∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2， 当且仅当a ＝c 时“＝”成立．8．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－2)解析 a ＝0时，不符合题意；a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a. 若a >0，则由图象知f (x )有负数零点，不符合题意．则a <0，由图象f (0)＝1>0知，此时必有0<f ⎝⎛⎭⎫2a <1，即0<a ×8a 3－3×4a 2＋1<1， 化简得a 2>4，又a <0，所以a <－2.9．若在区间[0,1]上存在实数x 使2x (3x ＋a )<1成立，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，1)解析 2x (3x ＋a )<1可化为a <2－x －3x ， 则在区间[0,1]上存在实数x 使2x (3x ＋a )<1成立，等价于a <(2－x －3x )max ，而2－x －3x 在[0,1]上单调递减，∴2－x －3x 的最大值为20－0＝1，∴a <1， 故a 的取值范围是(－∞，1)．10．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对于任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________．答案 ⎣⎡⎭⎫94，＋∞ 解析 由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知，存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立．令h (x )＝x 2＋52x，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋52x 在[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94. 11．已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立． (1)解 任意的x ∈(0，＋∞)，有2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x， 设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2， ①当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，②当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.因为对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4，即a 的取值范围为(－∞，4]．(2)证明 问题等价于证明x ln x >x e x －2e(x ∈(0，＋∞))成立． f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e， 当且仅当x ＝1e时取到． 设m (x )＝x e x －2e(x ∈(0，＋∞))， 则m ′(x )＝1－x e x ，易知m (x )max ＝m (1)＝－1e， 当且仅当x ＝1时取到．从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立． 12．(2016·课标全国丙)设函数f (x )＝ln x －x ＋1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x<x ； (3)设c >1，证明：当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .(1)解 由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0解得x ＝1. 当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．(2)证明 由(1)知f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x <x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln 1x <1x－1， 即1<x －1ln x<x .(3)证明 由题设c >1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x ， 则g ′(x )＝c －1－c x ln c .令g ′(x )＝0，解得x 0＝ln c －1ln c ln c. 当x <x 0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x >x 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．由(2)知1<c －1ln c<c ，故0<x 0<1. 又g (0)＝g (1)＝0，故当0<x <1时，g (x )>0. 所以当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .。