2021高考数学一轮习题：专题6+第49练+数列小题综合练

2019版高考数学一轮总复习第六章数列题组训练39 专题研究3 数列的综合应用理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮总复习第六章数列题组训练39 专题研究3 数列的综合应用理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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题组训练39 专题研究3 数列的综合应用1．设｛a n｝是首项为a1，公差为－1的等差数列，S n为其前n项和,若S1,S2，S4成等比数列，则a1＝( ）A．2 B．－2C。

错误!D．－错误!答案D解析S1＝a1,S2＝a1＋a2＝2a1－1，S4＝4a1－6.∵S22＝S1S4，∴(2a1－1)2＝a1(4a1－6)．∴4a12－4a1＋1＝4a12－6a1⇒a1＝－错误!.2．(2017·山西四校联考）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，错误! a3,2a2成等差数列，则错误!＝( )A．1＋错误!B．1－错误!C．3＋2错误!D．3－2错误!答案C解析因为a1，错误!a3,2a2成等差数列，所以错误!a3×2＝a1＋2a2,即a1q2＝a1＋2a1q,所以q2＝1＋2q,解得q＝1＋错误!或q＝1－错误!(舍）,所以错误!＝错误!＝q2＝(1＋错误!）2＝3＋2错误!.3．已知｛a n｝是等差数列,a1＝15，S5＝55,则过点P(3，a2)，Q(4,a4)的直线的斜率为（）A．4 B。

错误!C．－4 D．－14答案C解析S5＝5a1＋错误!d，所以5×15＋10d＝55,即d＝－2.所以k PQ＝错误!＝2d ＝－4.4．(2016·四川）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12％,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1。

2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和-专项训练【原卷版】1．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}的前6项的和为()A．－24B．－3C．3D．82．设1＋2＋22＋23＋…＋2n－1>128(n∈N*)，则n的最小值为()A．6B．7C．8D．93．设数列{a n}(n∈N*)的各项均为正数，前n项和为S n，log2a n＋1＝1＋log2a n，且a3＝4，则S6＝()A．128B．65C．64D．634．已知数列{a n}的前n项和S n＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝()A．－1B．0C．1D．45．已知等比数列{a n}，a1＝1，a4＝18，且a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1<k，则k的取值范围是()A．12，23B．12，＋∞C．12，D．23，＋∞6．(多选)已知数列{a n}满足a1＝1，且对任意的n∈N*都有a n＋1＝a1＋a n＋n，则下列说法中正确的是()A．a n＝n(n＋1)2B2020项的和为20202021C2020项的和为40402021D．数列{a n}的第50项为25507．(多选)设数列{a n}的前n项和为S n，若S2nS4n为常数，则称数列{a n}为“吉祥数列”．则下列数列{b n}为“吉祥数列”的有()A ．b n ＝nB ．b n ＝(－1)n (n ＋1)C ．b n ＝4n －2D ．b n ＝2n8．已知数列{na n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2n ，则使得S n －na n ＋1＋50<0的最小正整数n 的值为________．9．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n n －n 2，n 为偶数，a n ，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．10．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2020项和为()A ．1009B ．1010C ．2019D ．202011．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＝a 2n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)．记数列{a 2n }的前n 项和为A n n 项和为B n ，则下列结论正确的是()A ．A n ＝a n ＋1－32B ．B n ＝23－1a n ＋1C ．A n B n ＝32a nD ．A n B n <32n ＋1412．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．13．已知数列{a n }，其前n 项和为S n ，请在下列三个条件中补充一个在下面问题中，使得最终结论成立并证明你的结论．条件①：S n ＝－a n ＋t (t 为常数)；条件②：a n ＝b n b n ＋1，其中数列{b n }满足b 1＝1，(n ＋1)·b n ＋1＝nb n ；条件③：3a 2n ＝3a 2n ＋1＋a n ＋1＋a n ．数列{a n }中a 1是展开式中的常数项，且________．求证：S n <1∀n ∈N *恒成立．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和-专项训练【解析版】1．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}的前6项的和为()A．－24B．－3C．3D．8解析：A设{a n}的公差为d，根据题意得a23＝a2·a6，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，解得d＝－2，所以数列{a n}的前6项和为S6＝6a1＋6×52d＝1×6＋6×52×(－2)＝－24．2．设1＋2＋22＋23＋…＋2n－1>128(n∈N*)，则n的最小值为()A．6B．7C．8D．9解析：C∵1＋2＋22＋…＋2n－1为公比为2，首项为1的等比数列的前n项和S n，∴S n＝12－1(2n－1)＝2n－1>128＝27，∴n≥8，∴n的最小值为8．故选C．3．设数列{a n}(n∈N*)的各项均为正数，前n项和为S n，log2a n＋1＝1＋log2a n，且a3＝4，则S6＝()A．128B．65C．64D．63解析：D因为log2a n＋1＝1＋log2a n，所以log2a n＋1＝log22a n，即a n＋1＝2a n，即数列{a n}是以2为公比的等比数列，又a3＝4，所以a1＝a34＝1，因此S6＝a1(1－26)1－2＝26－1＝63．故选D．4．已知数列{a n}的前n项和S n＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝()A．－1B．0C．1D．4解析：A显然数列{a n}的公比不等于1，所以S n＝a1·(q n－1)q－1＝a1q－1·q n－a1q－1＝4n＋b，所以b＝－1．5．已知等比数列{a n}，a1＝1，a4＝18，且a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1<k，则k的取值范围是()A．12，23B．12，＋∞C ．12，D ．23，＋∞解析：D设等比数列{a n }的公比为q ，q ≠0，则q 3＝a 4a 1＝18，解得q ＝12，所以a n ＝12n －1，所以a n a n ＋1＝12n －1×12n ＝122n －1，所以数列{a n a n ＋1}是首项为12，公比为14的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝21－14＝<23．因为a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1<k ，所以k ≥23．故k 的取值范围是23，＋D ．6．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则下列说法中正确的是()A ．a n ＝n (n ＋1)2B2020项的和为20202021C2020项的和为40402021D ．数列{a n }的第50项为2550解析：AC因为a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，a 1＝1，所以a n ＋1－a n ＝1＋n ，即a n －a n －1＝n (n ≥2)，所以n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，a 1＝1也适合此式，所以a n ＝n (n ＋1)2，a 50＝1275，A 正确，D 错误；1a n ＝2n(n ＋1)＝2020项和S 2020＝－12＋12－13＋…＋12020－＝40402021，B 错误，C 正确．故选A 、C ．7．(多选)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S2n S 4n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．则下列数列{b n }为“吉祥数列”的有()A ．b n ＝nB ．b n ＝(－1)n (n ＋1)C ．b n ＝4n －2D ．b n ＝2n解析：BC对于A ，S n ＝(1＋n )n 2，S 2n ＝n (1＋2n )，S 4n ＝2n (1＋4n )，所以S2n S 4n ＝n (1＋2n )2n (1＋4n )＝1＋2n 2(1＋4n )不为常数，故A 错误；对于B ，由并项求和法知：S 2n ＝n ，S 4n ＝2n ，S 2n S 4n ＝n 2n ＝12，故B 正确；对于C ，S n ＝2＋4n －22×n ＝2n 2，S 2n ＝8n 2，S 4n ＝32n 2，所以S 2n S 4n ＝14，故C 正确；对于D ，S n ＝2(1－2n )1－2＝2(2n －1)，S 2n ＝2(4n －1)，S 4n ＝2(16n －1)，所以S2n S 4n ＝4n －116n －1＝14n ＋1不为常数，故D 错误．故选B 、C ．8．已知数列{na n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2n ，则使得S n －na n ＋1＋50<0的最小正整数n 的值为________．解析：S n ＝1×21＋2×22＋…＋n ×2n ，则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋n ×2n ＋1，两式相减得－S n ＝2＋22＋ (2)－n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1，故S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1．又a n ＝2n ，∴S n－na n ＋1＋50＝2＋(n －1)·2n ＋1－n ·2n ＋1＋50＝52－2n ＋1，依题意52－2n ＋1<0，故最小正整数n 的值为5．答案：59．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n n －n 2，n 为偶数，a n ，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．解：(1)设数列{a n }的公差为d a 1＋10d ＝20，1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋4d )，化简得1＋2d ＝4，1d ＝0，因为d ≠0，所以a 1＝0，d ＝2，所以a n ＝2n －2(n ∈N *)，S n ＝n 2－n ，n ∈N *，因为S n ＋b n ＝2n 2，所以b n ＝n 2＋n (n ∈N *)．(2)由(1)知，c n n －n 2，n 为偶数，a n ，n 为奇数，n 为偶数，n －1，n 为奇数，所以T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝(2＋4＋…＋2n )＋(40＋42＋…＋42n －2)＝n (2＋2n )2＋1－16n 1－16＝n (n ＋1)＋115(16n －1)．10．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2020项和为()A ．1009B ．1010C ．2019D ．2020解析：D设{a n }的公差为da 1＋6d ＝a 1＋3d ＋7，1＋9d ＝19，1＝1，＝2，∴a n ＝2n－1，设b n ＝a n cos n π，则b 1＋b 2＝a 1cos π＋a 2cos 2π＝2，b 3＋b 4＝a 3cos 3π＋a 4cos 4π＝2，…，∴数列{a n cos n π}的前2020项的和为(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2019＋b 2020)＝2×20202＝2020．11．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＝a 2n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)．记数列{a 2n }的前n 项和为A nn 项和为B n ，则下列结论正确的是()A ．A n ＝a n ＋1－32B ．B n ＝23－1a n ＋1C ．A n B n ＝32a nD ．A n B n <32n ＋14解析：ABD由a n ＝a 2n －1＋a n －1，得a 2n －1＝a n －a n －1≥0，所以a n ≥a n －1≥32，A n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n ＋1－a n ＝a n ＋1－a 1＝a n ＋1－32，故A 正确；由a n ＝a 2n －1＋a n －1＝a n－1(a n －1＋1)，得1a n ＝1a n －1(a n －1＋1)＝1a n －1－1a n －1＋1，即1a n －1＋1＝1a n －1－1a n ，所以B n ＝1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a n ＋1＝1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝1a 1－1a n ＋1＝23－1a n ＋1，故B 正确；易知A n ≠0，B n ≠0，所以A nB n ＝a n ＋1－3223－1a n ＋1＝32a n ＋1，故C 不正确；易知a n ＝a 2n －1＋a n －1<2a 2n －1，所以a n ＋1<2a 2n <23a 4n －1<…<22n －1a 2n 1＝22n－1n ＝12×32n ，所以A n B n＝32an ＋1<32×12×32n ＝32n ＋14，故D 正确．故选A 、B 、D ．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)当n ≥2时，S n ＝3S n －1－2(n －1)＋2，又S n ＋1＝3S n －2n ＋2，两式相减可得S n ＋1－S n ＝3S n －3S n －1－2，即a n ＋1＝3a n －2，即有a n ＋1－1＝3(a n －1)，令n ＝1，可得a 1＋a 2＝3a 1，解得a 2＝2a 1＝4，也符合a n ＋1－1＝3(a n －1)，则数列{a n －1}是首项为1，公比为3的等比数列，则a n －1＝3n －1，故a n ＝1＋3n －1．(2)由(1)知b n ＝na n ＝n ＋n ·3n －1，则T n ＝(1＋2＋…＋n )＋(1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1)，设M n ＝1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1，3M n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，两式相减可得－2M n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1－n ·3n＝1－3n 1－3－n ·3n ，化简可得M n ＝(2n －1)·3n ＋14．所以T n ＝12n (n ＋1)＋(2n －1)·3n ＋14．13．已知数列{a n }，其前n 项和为S n ，请在下列三个条件中补充一个在下面问题中，使得最终结论成立并证明你的结论．条件①：S n ＝－a n ＋t (t 为常数)；条件②：a n ＝b n b n ＋1，其中数列{b n }满足b 1＝1，(n ＋1)·b n ＋1＝nb n ；条件③：3a 2n ＝3a 2n ＋1＋a n ＋1＋a n ．数列{a n }中a 1是展开式中的常数项，且________．求证：S n <1∀n ∈N *恒成立．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．证明：二项展开式的通项为T k ＋1＝C －k＝C －k x12－3k，令12－3k ＝0，得k ＝4，得展开式的常数项为a 1＝12．可选择的条件为①或②或③：若选择①：在S n ＝－a n ＋t 中，令n ＝1，得t ＝1，所以S n ＝－a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝－a n －1＋1．两式相减得a n ＝12a n －1，故{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1<1．所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立．若选择②：由(n ＋1)b n ＋1＝nb n 得b n ＋1b n ＝nn ＋1，所以b n ＝b n b n －1·b n －1b n －2·…·b 2b 1b 1＝1n (n ≥2)，n ＝1时也满足，则a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，S n …1－1n ＋1<1．所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立．若选择③：由题意得3a 2n ＋1－3a 2n ＝－(a n ＋1＋a n )，得a n ＋1－a n ＝－13或a n ＋1＋a n ＝0，又a 1＝12，当a n ＋1＋a n ＝0时，有S n n 为偶数，n 为奇数，所以S n <1，当a n ＋1－a n ＝－13时，有S n ＝n 2－n (n －1)6＝－16(n 2－4n )＝－16(n －2)2＋23，当n ＝2时，S n 有最大值，为23<1．所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立．。

2021年高考数学一轮复习专题6.4数列求和练(I)A基础巩固训练1．在等差数列中，=,则数列的前11项和=（）．A．24 B．48 C．66 D．132【答案】D2．【xx届河南省郑州市第一中学高三一轮】已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（）A. 10 B. 15 C. 20 D. 25【答案】C【解析】由题意可得：9101112128a a a a S S+++=-，由可得，由等比数列的性质可得：成等比数列，则：，综上可得：()24910111212844444525251021020Sa a a a S S S SS S S++++=-==++≥⨯=，当且仅当时等号成立.综上可得，则的最小值为20.本题选择C选项.3.【xx届南宁二中、柳州高中高三9月联考】已知数列xx，xx，1，-xx，…若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前xx项之和__________.【答案】4017【解析】由题意可知1212,2008,2009,n n na a a a a++=+==345671,2008,2009,1,2008,,a a a a a∴==-=-=-=所以即数列是以6为周期的数列，又1234560,a a a a a a +++++=()()2018123456123364017.S a a a a a a a a ∴=+++++++=4．【xx 届浙江省丽水市高三下质量水平测试】已知数列的相邻两项是关于的方程的两实根，且. （1）求的值；（2）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式. 【答案】（1）， ， （2）证明见解析，试题解析：（1）解：∵是关于的方程的两实根， ∴，因为，所以， ， .（2）∵11111122223331111222333n n n n n n n n nnn n n a a a a a a +++⎛⎫--⨯-⨯--⨯ ⎪⎝⎭===--⨯-⨯-⨯， 故数列是首项为，公比为-1的等比数列. 所以，即.5．【xx 届安徽省蚌埠市第二中学高三7月月考】已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)证明：.【答案】（1）；(2)证明过程见解析试题解析：（1）∵.∴，∴是以为首项，2为公比的等比数列. ∴，即. (2)证明：∵，，∴.B 能力提升训练1．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C【解析】由等差数列前项和的性质知，212114387191272211n n n n a n n b n n n --A ++====+B +++，故当，，，，时，为整数，故使得为整数的正整数的个数是．故应选C ．2．【xx 届河南省洛阳市高三上尖子生第一次联考】已知数列满足()()2222n n na n a n n λ+-+=+，其中，若对恒成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】()()()22+12212+12+11k k a k k k a k k k λλ=+-<=+-恒成立，即恒成立，当时， ，而时，所以即可，当时， 恒成立，综上，故填．3．【xx 届湖北省襄阳四中高三8月月考】用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如:9的因数有1,3,9，则的因数有1,2,5,10， ，那么()()()1221n g g g +++-=__________.【答案】【解析】由g （n ）的定义易知g （n ）=g （2n ），且若n 为奇数则g （n ）=n 令f （n ）=g （1）+g （2）+g （3）+…+g （2n-1） 则f （n +1）=g （1）+g （2）+g （3）+…g （2n +1-1） =1+3+…+（2n +1-1）+g （2）+g （4）+…+g （2n +1-2） =+g （1）+g （2）+…+g （2n +1-2） =4n +f （n ）即f （n +1）-f （n ）=4n ，据此可得：()()()()()()()11,214,328,,144f f f f f f n f n n =-=-=--=-，以上各式相加可得：()()11441143nnf n ⨯--==-. 4．已知为数列前项和, 若()2sin 2cos 2n n a n n ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,且,则 ． 【答案】55．已知数列的前项和为，点在抛物线上，各项都为正数的等比数列满足．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）记,求数列的前n项和．【答案】（1）（2）()91227827 nnn nT+=-++⋅【解析】（Ⅰ），当时，当时，()()22131351112222nS n n n n-=-+-=-+，数列是首项为，公差为的等差数列，又各项都为正数，解得1111,,222nnb q b⎛⎫==∴= ⎪⎝⎭（Ⅱ）()3191121294,27827n nnn a a n nn nC a b n T-+⎛⎫=+=-+=-⨯++⎪⎝⎭C 思维拓展训练1．已知函数的图像在点A(l,f(1))处的切线l与直线x十3y＋2＝0垂直，若数列的前n项和为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】D2．【xx届四川省成都七中高三上入学考试】设等差数列的前项和为，且（是常数，），，又，数列的前项和为，若对恒成立，则正整数的最大值是__________.【答案】2【解析】∵，当n=1时, ，解得a 1=2c ，当n=2时,S 2=a 2+a 2−c ， 即a 1+a 2=a 2+a 2−c ， 解得a 2=3c ，∴3c=6， 解得c=2.则a 1=4,数列{a n }的公差d=a 2−a 1=2， ∴a n =a 1+(n −1)d=2n+2. ∵112222222n n n n n a n nb ++-+-=== 错位相减可得： , 则1112121220222n n n n n n n n T T +++++++⎛⎫⎛⎫-=---=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴数列{T n }单调递增,T 1最小,最小值为， ∴， ∴m<3，故正整数m 的最大值为2.3.【xx 届云南省昆明市高三下第二次统测】在平面直角坐标系上，有一点列()*121,,...,,,...N n nP P P P n -∈，设点的坐标，其中，过点的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为，设表示数列的前项和，则__________． 【答案】4．【xx 届广西南宁市金伦中学高三上期末】已知各项均为正数的数列的的前项和为，对，有． （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，设的前项和为，求证： ． 【答案】（I ）;（Ⅱ）证明过程见解析；当时， ， ，两式相减得 ，所以数列是以1为首相，1为公差的等差数列， ． （Ⅱ）()()()111111n n n n n b a a a a n n n nn n n n++===++++++()()()()1111111n n n n n n n n n nn nn n ++-===+++++-+ 1231223341n n T b b b b nn ⎛=+++=-+-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5．【xx 届广东省揭阳市惠来县第一中学高三上第一次考试】记为差数列的前n 项和，已知， . (1)求的通项公式；(2)令， ，若对一切成立，求实数的最大值. 【答案】（1）（2）2【解析】试题分析：（1）根据等差数列通项公式将条件转化为关于首项与公差的方程组,解方程组可得首项与公差的值,再代入通项公式即得的通项公式；（2）因为()()1211111212322123n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，所以利用裂项相消法可得,再根据最小值得，即得实数的最大值.试题解析：解：(1)∵等差数列中， ， .∴，解得.751392752a a d --∴===-， ()()()*5592521n a a d n n n n N ∴=+-=+-=-∈.(2)()()1211111212322123n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，111111*********21232323n T n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 随着增大而增大， 是递增数列， ，， ∴实数的最大值为2.。

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课时达标检测（三十）数列的综合问题[小题常考题点——准解快解］1．(2018·安徽六安一中月考）已知数列{a n}的通项公式为a n＝5－n，其前n项和为S n，将数列{a n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列｛b n｝的前3项,记｛b n}的前n项和为T n.若存在m∈N＊，使对任意n∈N＊，S n≤T m＋λ恒成立，则实数λ的取值范围是（)A．[2，＋∞)B．(3，＋∞)C．［3，＋∞)D．（2，＋∞)解析：选D 依题意得S n＝4＋5－n n2＝错误!,根据二次函数的性质,n＝4，5时，S n取得最大值为10。

另外，根据通项公式得数列{a n}的前4项为a1＝4，a2＝3，a3＝2，a4＝1，观察易知抽掉第二项后，余下的三项可组成等比数列．所以数列{b n｝中,b1＝4，公比q＝错误!，所以T n＝错误!＝8错误!,所以4≤T n〈8。

因为存在m∈N*，对任意n∈N＊,S n≤T m＋λ恒成立，所以10〈8＋λ,所以λ>2。

故选D.2．(2018·北京景山学校段测)已知数列{a n}满足a1＝1，P（a n，a n＋1)（n∈N＊)在直线x－y＋1＝0上，如果函数f（n)＝错误!＋错误!＋…＋错误!(n∈N*，n≥2）,那么函数f(n）的最小值为( ）A.错误!B．错误!C。

姓名，年级：时间：§6。

1 数列的概念与简单表示法最新考纲考情考向分析1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式)．2。

了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.以考查S n与a n的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度为低档。

1．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{a n}的第n项a n通项公式如果数列｛a n}的第n项a n与序号n之间的关系能用公式a n ＝f （n）表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列｛a n}中，S n＝a1＋a2＋…＋a n叫做数列的前n项和2。

数列的表示方法列表法列表格表示n与a n的对应关系图象法把点(n，a n)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项用公式表示递推公式使用初始值a1和a n＋1＝f （a n）或a1,a2和a n＋1＝f (a n,a n－1)等表示数列的方法n n若数列｛a n}的前n项和为S n,则a n＝错误!4．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n＋1>a n其中n∈N＊递减数列a n＋1〈a n常数列a n＋1＝a n概念方法微思考1．数列的项与项数是一个概念吗？提示不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列的通项公式a n＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？提示数列的通项公式a n＝3n＋5是特殊的函数,其定义域为N＊，而函数y＝3x＋5的定义域是R，a n＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在y＝3x＋5的图象上．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ×）（2)所有数列的第n项都能使用公式表达．（×）(3）根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．（√）(4)1,1，1，1，…不能构成一个数列．（×)题组二教材改编2．在数列{a n｝中,已知a1＝1，a n＋1＝4a n＋1，则a3＝________。

专题6.4 数列求和【基础巩固】一、填空题1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n ＝________.【答案】n 2＋1－12n【解析】该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n. 2．(·南通调研)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝4，S 4＝10，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前2 017项和为________． 【答案】2 0172 0183．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100＝________.【答案】－200【解析】S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.4．(·江西高安中学等九校联考)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16＝________. 【答案】7【解析】根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.5．(·泰州模拟)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________. 【答案】6【解析】由a n ＋a n ＋1＝12＝a n ＋1＋a n ＋2，∴a n ＋2＝a n ，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20， ∴S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21) ＝1＋10×12＝6.6．(·南通、扬州、泰州三市调研)设数列{a n }满足a 1＝1，(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1(n ∈N *)，则∑100k ＝1 (a k a k ＋1)的值为________． 【答案】1001017．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________． 【答案】60【解析】由a 1>0，a 10·a 11<0可知d <0，a 10>0，a 11<0， ∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18 ＝S 10－(S 18－S 10)＝60.8．(·镇江期末)已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝________. 【答案】4n－1【解析】由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4，∴b n ＝(－3)×(－4)n －1，∴|b n |＝3×4n －1，即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列，∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝31－4n1－4＝4n－1.二、解答题9．已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．10．(·苏北四市调研)已知各项均为正数的数列{a n }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足：a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝λa n a n ＋1(λ≠0，n ∈N *)． (1)若a 1，a 2，a 3成等比数列，求实数λ的值； (2)若λ＝12，求S n .解 (1)令n ＝1，a 1S 2－a 2S 1＋a 1－a 2＝λa 1a 2，解得a 2＝21＋λ. 令n ＝2，a 2S 3－a 3S 2＋a 2－a 3＝λa 2a 3，解得a 3＝2λ＋4λ＋12λ＋1.由a 22＝a 1a 3得⎝⎛⎭⎪⎫21＋λ2＝2λ＋4λ＋12λ＋1， 因为λ≠0，所以λ＝1.(2)当λ＝12时，a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝12a n a n ＋1，所以S n ＋1a n ＋1－S n a n ＋1a n ＋1－1a n ＝12，即S n ＋1＋1a n ＋1－S n ＋1a n ＝12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋1a n 是以2为首项，12为公差的等差数列，所以S n ＋1a n ＝2＋(n －1)·12， 即S n ＋1＝n ＋32a n ，①当n ≥2时，S n －1＋1＝n ＋22a n －1，②由①－②得a n ＝n ＋32a n －n ＋22a n －1，即(n ＋1)a n ＝(n ＋2)a n－1，所以a n n ＋2＝a n －1n ＋1(n ≥2)，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋2是首项为13的常数列，所以a n ＝13(n ＋2)． 代入①得S n ＝n ＋32a n －1＝n 2＋5n 6.【能力提升】11．(·长治联考)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________． 【答案】92【解析】a n ＝1＋(n －1)＝n ，S n ＝n 1＋n2，∴S n ＋8a n＝n 1＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时，取等号． ∴S n ＋8a n 的最小值是92. 12．(·盐城中学模拟)在数列{a n }中，a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和为________． 【答案】7813．(·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x －12，0≤x <2，f x －2，x ≥2，若对于正数k n (n ∈N*)，直线y＝k n x与函数y＝f(x)的图象恰有(2n＋1)个不同交点，则数列{k2n}的前n项和为________．【答案】n4n＋4【解析】函数f(x)的图象是一系列半径为1的半圆，因为直线y＝k n x与f(x)的图象恰有(2n＋1)个不同交点，所以直线y＝k n x与第(n＋1)个半圆相切，则2n＋1k n1＋k2n＝1，化简得k2n＝14n n＋1＝14⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋1，则k21＋k22＋…＋k2n＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－1n＋1＝n4n＋4.14．(·苏、锡、常、镇四市调研)正项数列a1，a2，…，a m(m≥4，m∈N*)，满足a1，a2，a3，…，a k－1，a k(k<m，k∈N*)是公差为d的等差数列，a1，a m，a m－1，…，a k＋1，a k是公比为2的等比数列．(1)若a1＝d＝2，k＝8，求数列a1，a2，…，a m的所有项的和S m；(2)若a1＝d＝2，m<2 016，求m的最大值；(3)是否存在正整数k，满足a1＋a2＋…＋a k－1＋a k＝3(a k＋1＋a k＋2＋…＋a m－1＋a m)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．又a1，a m，a m－1，…，a k＋1，a k是公比为2的等比数列，则a k＝a1·2m＋1－k，故a1＋(k－1)d＝a1·2m＋1－k，即(k－1)d＝a1(2m＋1－k－1)．又a 1＋a 2＋…＋a k －1＋a k ＝3(a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a m －1＋a m )，a m ＝2a 1， 则ka 1＋12k (k －1)d ＝3×2a 1×1－2m －k1－2，即ka 1＋12ka 1(2m ＋1－k －1)＝3×2a 1(2m －k－1)，则12k ·2m ＋1－k ＋12k ＝6(2m －k －1)， 即k ·2m ＋1－k＋k ＝6×2m ＋1－k－12，显然k ≠6，则2m ＋1－k＝k ＋126－k ＝－1＋186－k，。

第01节 数列的概念与简洁表示法班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.） 1． 已知数列：2，0，2，0，2，0， ．前六项不适合．．．下列哪个通项公式( ) A ．n a ＝()111n ++- B ．n a ＝2|sin2n π| C ．n a ＝()11n-- D ．n a ＝2sin 2n π 【答案】D故选D.2．【改编题】已知数列{}n a ，则“11n n a a +>-”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由题意，若“数列{}n a 为递增数列”，则11n n n a a a +>>-，但11n n a a +>-不能推出1n n a a +>，如11, 1.5n n a a +==，则不能推出“数列{}n a 为递增数列”，所以“11n n a a +>-”是“数列{}n a 为递增数列”的必要而不充分条件.故选B.3． 【改编题】已知数列}{n a 的前n 项和为nS ，且)1(2+=n n a S ，则5a = （ ）A ．16-B ．32-C ．32D ．64-【答案】B ． 【解析】当1n =时，111122,2a S a a ==+∴=-．当2n ≥时，由22n n S a =+得1122n n S a --=+，两式作差得：12n n a a -=，∴数列{}n a 是以2-为首项，2为公比的等比数列，∴452232a =-⨯=-，故选B ．4．【山西晋城市2022届高三下学期第三次模拟考试】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足111,2nn n a a a +==,则20S =（ ）A ．3066B ．3063C ．3060D ．3069 【答案】D 【解析】5．【太原市2022年高三班级模拟试题（三）】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6726a a =+，则9S 的值为（ ）A ．27B ．36C ．45D ．54 【答案】D 【解析】试题分析：由6726a a =+得641=+d a ,故54)4(92899119=+=⨯+=d a d a S ,故应选D. 6．【太原市2022年高三班级模拟试题（三）】已知{}n a 满足11a =，*11()()4n n n a a n N ++=∈，21123444n n n S a a a a -=++++，则54n n n S a -=（ ）A ．1n -B ．nC ．2nD ．2n 【答案】B 【解析】试题分析：由*11()()4n n n a a n N ++=∈得:1441=++n n n n a a ,取n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=,得到n 个等式并两边相加得:n a a a a a a a n nn n =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++)444()4444(132233221,由于21123444n n n S a a a a -=++++,则n a S S n n n n =+-++)41(41,而n n n n a a 4141-=+,所以n a S n n n =-45,应选B.7．【原创题】已知函数()f x 满足：(1)3,(2)6,(3)10,(4)15,f f f f ====，则(12)f 的值为（ ）A ．54B ．65C ．77D ．91【答案】D ．故选D ．8．【2022年安庆市高三二模】数列{}n a 满足：11n n a a λ+=-（n *∈Ν,λ∈R 且0λ≠）,若数列{}1n a -是等比数列,则λ的值等于（ ）A ．1B ．1-C ．12D ．2 【答案】D【解析】由11n n a a λ+=-,得1212()n n n a a a λλλ+-=-=-.由于数列{1}n a -是等比数列,所以21λ=,得2λ=.故选D.9．【浙江省杭州外国语学校高三上学期期中考试】已知函数()f x =⎩⎨⎧>+-≤-)0(,1)1()0(,12x x f x x ,把函数()()g x f x x =-的零点按从小到大的挨次排列成一个数列,则该数列的通项公式为（ ）A ．2)1(-=n n a nB ．1-=n a nC ．)1(-=n n a nD ．22-=n n a【答案】B 【解析】试题分析：当(]0,∞-∈x 时，由()()012=--=-=x x x f x g x，得12+=x x，令x y 2=，1+=x y ，在同一个坐标系内作出两函数在区间(]0,∞-上的图象，由图象易知交点为()1,0，故得到函数的零点为0=x .当(]1,0∈x 时，(]0,11-∈-x ，()()11211211--=+-=+-=x x x f x f ，由()()021=-=-=-x x x f x g x ，得x x =-12，令12-=x y ，x y =，在同一个坐标系内作出两函数在区间(]1,0上的图象，由图象易知交点为()1,1，故函数的零点为1=x .当(]2,1∈x 时，(]1,01∈-x ，10．【2022年江西省四校高三一模测试】已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1611161133,7a a a b b b π⋅⋅=-++=,则3948tan 1b b a a +-⋅的值是（ ）A.1B. 22 C . 22- D. 3【答案】D 【解析】试题分析：数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，，且1611161133,7a a a b b b π⋅⋅=-++=(3366667,3,37,3,3a b a b ππ∴=-=∴=-=,3948tan 1b b a a +-⋅6262tan1b a =-()2723tan13π⨯=-7tantan 2tan 3333ππππ⎛⎫==--=-= ⎪⎝⎭11.【2022年江西师大附中鹰潭一中联考】已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足95S S =，且01>a ，则n S 中最大的是（ ）A ．6SB ．7SC ．8SD ．15S 【答案】B【解析】由95S S =,得()67897820a a a a a a +++=+=,由01>a 知,0,087<>a a ,所以7S 最大，故B 正确. 12．【浙江省桐乡第一等四校高三上学期期中理考】已知函数()121f x x =--，[0,1]x ∈.定义：1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，……，1()(())n n f x f f x -=，2,3,4,n =满足()n f x x =的点[0,1]x ∈称为()f x 的n 阶不动点.则()f x 的n 阶不动点的个数是（ ）A.2n 个B.22n 个 C.2(21)n -个 D.2n 个【答案】D. 【解析】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．【2022年河北石家庄高三二模】数列{}n a 满足：1132,51++⋅=-=n n n n a a a a a ，则数列{}1+⋅n n a a 前10项的和为______.【答案】1021【解析】令2n =,23232a a a a -=⋅,解得213a =,令1n =,则12122a a a a -=⋅,解得11a =,对112n n n n a a a a ++-=⋅两边除以1n n a a +⋅,得1112n na a +-=,故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项,公差为2的等差数列,所以()()111111121,,21212122121n n n n n a a a a n n n n n +⎛⎫=-=⋅==- ⎪--⋅+-+⎝⎭,故其前10项的和为1111111110112335192122121⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 14．【2022年江西九江高三模拟】已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且112,1+==n n n a a S a ，则=n S ______.【答案】2)1(+n n15．【陕西省西安长安区一中高三上学期第三次质检】把正整数按肯定的规章排成了如图所示的三角形数表．124357681012911131517141618202224设(),ij a i j N +∈是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如5211a =．则87a = ．【答案】38【解析】试题分析由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，故87a 表示第8行的第7个数字，即第2+4+6+7=19个正偶数．故8721938a =⨯=.16．【2022年4月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试】已知数列{}n a 的首项11a =，且对任意*n N ∈，1,n n a a +是方程230n x nx b -+=的两实根，则21n b -= .【答案】(31)(32)n n -- 【解析】三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17． 【湖南省2022届高考冲刺卷数学（理）试题（三）】（本小题满分10分）已知数列{}n a 中,()111,3nn n a a a n N a *+==∈+.（1）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列, 并求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足()312nn n n n b a =-,数列{}nb 的前n 项和为n T ,若不等式()112n n n n T λ--<+对一切n N *∈恒成立, 求λ的取值范围. 【答案】（1）231n n a =-（2）()2,3- 【解析】试题分析：（1）证明等比数列，一般从定义动身，即证相邻项的比值是一个与项数无关的非零常数，即1311122=3111122n n n n n a a a a a ++++=++，由112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭通项11133,22n n a -+=⨯得231n n a =-（2）先代入化简得12n n nb -=，所以用错位相减法求和1242n n n T -+=-，对不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，由于有符号数列，所以分类争辩：若n 为偶数, 则min 12(4)32n λ-<-=；若n 为奇数, 则min 12(4)222n λλ--<-=⇒>-，因此求交集得λ的取值范围试题解析：（1）由数列{}n a 中, ()111,3nn n a a a n N a *+==∈+,可得1131311111,322n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫+==+∴+=+ ⎪⎝⎭,112n a ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭是首项为32,公比为3的等比数18．【2022届高三班级第四次四校联考】（本小题满分12分） 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且)(12*∈-=N n S n n(1) 求数列}{n a 的通项公式；(2) 若1232212+⨯-=+nn nn b ，且数列{n b }的前n 项和为n T ，求证：1<n T 。

第49练 不等式小题综合练[基础保分练]1．下列不等式中，正确的是( )A ．若a >b ，c >d ，则a ＋c >b ＋dB ．若a >b ，则a ＋c <b ＋cC ．若a >b ，c >d ，则ac >bdD ．若a >b ，c >d ，则a c >b d2．已知关于x 的不等式x 2－ax －b <0的解集是(2,3)，则a ＋b 的值是( )A ．－11B ．11C ．－1D ．13．已知x 2＋y 2＝1，则下列结论错误的是( )A ．xy 的最大值为12B ．xy 的最小值为－12C ．x ＋y 的最大值为 2D ．x ＋y 没有最小值 4．不等式x ＋12x －1≤0的解集为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 C ．(－∞，－1]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 5．若存在实数x ∈[0,4]使m >x 2－2x ＋5成立，则m 的取值范围为( )A ．(13，＋∞)B ．(5，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(5,13) 6．已知实数x ，y ，若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝2，则x ＋1x ＋2＋y y ＋1的最大值为( ) A.65B.75C.85D.95 7．已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋2b ＋3c ＝4，则ab ＋ac ＋bc ＋c 2的最大值为( )A ．2B ．4C ．6D ．88．(2019·聊城一中月考)不等式[(1－a )n －a ]lg a <0，对任意正整数n 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．{a |a >1}B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ 0<a <12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ 0<a <12或a >1 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪0<a <13或a >1 9．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是____________．10．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．[能力提升练]1．已知实数a ，b ，c 满足a >b >1,0<c <1，则( )A ．(a －c )c <(b －c )cB ．log a (c ＋1)>log b (c ＋1)C ．log a c ＋log c a ≥2D ．a 2c 2>b 2c 2>c 42．已知a ，b 均为正实数，且直线ax ＋by －6＝0与直线(b －3)x －2y ＋5＝0互相垂直，则2a ＋3b 的最小值为( )A ．12B ．13C ．24D ．253．已知3a ＝4b ＝12，则a ，b 不可能满足的关系是( )A ．a ＋b >4B ．ab >4C ．(a －1)2＋(b －1)2>2D ．a 2＋b 2<3 4．(2019·泰安一中检测)已知函数f (x )＝x －m x ＋5，当1≤x ≤9时，f (x )>1恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．m <133B ．m <5C ．m <4D ．m ≤5 5．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________． 6．已知直线2ax －by ＝1(a >0，b >0)过圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0的圆心，则4a ＋2＋1b ＋1的最小值为________．答案精析基础保分练1．A 2.C 3.D 4.A 5.C 6.A 7.A8．C [由题意可知a >0，∴当a >1时，lg a >0.不等式[(1－a )n －a ]lg a <0转化为(1－a )n －a <0，a >nn ＋1＝1－1n ＋1对任意正整数n 恒成立，∴a >1. 当0<a <1时，lg a <0，不等式[(1－a )n －a ]lg a <0转化为(1－a )n －a >0，a <nn ＋1＝1－1n ＋1对任意正整数n 恒成立，∴a <12， ∵0<a <1，∴0<a <12. 当a ＝1时，lg a ＝0，不等式不成立，舍去，综上所述，实数a 的取值范围是a >1或0<a <12.故选C.] 9．(－3,1)∪(3，＋∞) 10.30能力提升练1．D [因为函数y ＝x c 在(0，＋∞)上单调递增，a －c >b －c >0，所以(a －c )c >(b －c )c ，A 不正确；因为当x >1时，log a x <log b x ，c ＋1>1，所以log a (c ＋1)<log b (c ＋1)，B 不正确； 因为log a c <0，log c a <0，所以log a c ＋log c a ≥2不成立，C 不正确；因为a 2>b 2>c 2,0<c 2<1，所以a 2c 2>b 2c 2>c 4，D 正确．故选D.]2．D [由两直线互相垂直可得a (b －3)－2b ＝0，即2b ＋3a ＝ab ，则2a ＋3b＝1. 又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a≥13＋ 26a b ×6b a＝25，当且仅当a ＝b 时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.故选D.] 3．D [∵3a ＝4b＝12，∴a ＝log 312，b ＝log 412，∴1a ＋1b＝log 123＋log 124＝1， 整理得a ＋b ＝ab (a ≠b )．对于A ，由于a ＋b ＝ab <⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 解得a ＋b >4，所以A 成立．对于B ，由于ab ＝a ＋b >2ab ，解得ab >4，所以B 成立．对于C ，(a －1)2＋(b －1)2＝a 2＋b 2－2(a ＋b )＋2＝a 2＋b 2－2ab ＋2＝(a －b )2＋2>2，所以C 成立．对于D ，由于4<a ＋b <2a 2＋b 22 ＝a 2＋b 2， 所以a 2＋b 2>8，因此D 不成立．]4．C [函数f (x )＝x －m x ＋5，令t ＝x ，函数可变为g (t )＝t 2－mt ＋5，当1≤x ≤9时，1≤t ≤3.故f (x )>1恒成立可转化为g (t )>1在1≤t ≤3上恒成立． 令y ＝g (t )－1＝t 2－mt ＋4，t ∈[1,3]①当m 2≤1，即m ≤2时，函数y ＝t 2－mt ＋4在[1,3]上单调递增， 则当t ＝1时，y min ＝1－m ＋4＝5－m >0，解得m <5，又有m ≤2，所以m ≤2.②当1<m2<3，即2<m <6时， y ＝t 2－mt ＋4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，m 2上单调递减， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 2，3上单调递增， 当t ＝m2时，y min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22－m ·m 2＋4＝－m 24＋4>0， 解得－4<m <4，又2<m <6， 则2<m <4.③当m 2≥3，即m ≥6时，函数y ＝t 2－mt ＋4在[1,3]上单调递减， 则当t ＝3时，y min ＝9－3m ＋4＝13－3m >0，解得m <133，又有m ≥6，无解．综上可得m <4，故选C.]5．(－4,2)解析 由2x ＋1y＝1，可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋x y ＋4y x ≥4＋2x y ·4y x＝8. x ＋2y >m 2＋2m 恒成立⇔m 2＋2m <(x ＋2y )min ，所以m 2＋2m <8恒成立，即m 2＋2m －8<0恒成立，解得－4<m <2.6.187解析 圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0的圆心为(1，－2)．由于直线2ax －by ＝1(a >0，b >0)过圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0的圆心，故有2a ＋2b ＝1.所以4a ＋2＋1b ＋1＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋2＋1b ＋1 [2(a ＋2)＋2(b ＋1)]＝17⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋b ＋a ＋2＋a ＋b ＋1 ≥17[10＋216]＝187， 当且仅当8×b ＋1a ＋2＝2×a ＋2b ＋1时等号成立．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

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2 （江苏专用)2018版高考数学专题复习 专题6 数列 第40练 数列综合练

练习 文 训练目标 (1）数列知识的综合应用;（2)学生解题能力的培养．

训练题型 (1）等差数列、等比数列的综合；(2)一般数列的通项与求和；（3）数列与其他知识的综合应用．

解题策略 (1）用方程（组）思想可解决等差、等比数列的综合问题；(2）一般数列的解法思想是转化为等差或等比数列；(3)数列和其他知识的综合主要是从条件中寻找数列的通项公式或递推公式。 1．(2016·重庆月考)已知｛an｝是等差数列,a10＝10,其前10项和S10＝70，则其公差d为________． 2．设f（x)＝错误!，利用倒序相加法，则f错误!＋f错误!＋…＋f错误!＝________. 3．(2016·苏州、无锡、常州、镇江三模)已知等差数列{an｝满足a1＝－8，a2＝－6.若将a1,a4,a5

都加上同一个数m,所得的三个数依次成等比数列,则实数m的值为________．

1．已知数列{a n }和{b n }的通项公式分別为a n ＝n ＋3，b n ＝24n ，若c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，a n ≥b n b n ，a n <b n ，则数列{c n }中最小项的值为( )A ．46＋3B ．24C ．6D ．72．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为( ) A.32 B.54 C.94D ．4 3．(2019·江西南昌十中月考)在等差数列{a n }中，S 16>0，S 17<0，当其前n 项和取得最大值时，n 等于( )A ．8B ．9C ．16D ．174．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想F n ＝22n ＋1(n ＝0,1,2，…)是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F 5＝641*6 700 417，不是质数.现设a n =log 2(F n -1)(n =1,2,…),S n 表示数列{a n }的前n 项和.则使不等式2S 1S 2＋22S 2S 3＋…＋2n S n S n ＋1<2n 2 020成立的最小正整数n 的值是(提示210＝1 024)( ) A ．11 B ．10 C ．9 D ．85．等差数列{a n }中的a 2，a 4 036是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的两个极值点，则log 2a 2 019等于( )A ．5B ．4C ．3D ．26．(2019·湖北天门月考)在各项均为正数的等比数列{a n } 中a 6＝3，则4a 4＋a 8( )A ．有最小值12B ．有最大值12C ．有最大值9D ．有最小值97．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若1S n ⎝⎛⎭⎫1S n －1＝1a n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝－12，则1S 2 019等于( ) A ．2 019 B ．－2 019 C ．2 020 D ．－2 0208．(2019·湖南长沙一中期中)设各项均不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 10>a 9，且S 10＝0，则使不等式1a 1＋1a 2＋…＋1a n>0成立的正整数n 的最小值是( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．129．已知定义在[0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x )＝3f (x ＋2)，当x ∈[0,2)时，f (x )＝－x 2＋2x .设f (x )在[2n －2,2n )上的最大值为a n (n ∈N *)，且{a n }的前n 项和为S n ，则S n 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫1，32B.⎣⎡⎦⎤1，32C.⎣⎡⎭⎫32，2D.⎣⎡⎦⎤32，2 10．已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝16a 21，则1m＋9n的最小值为( ) A.32 B.114 C.83 D.10311．(多选)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 8<0，S 9＝0.若S n ≥S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 可以为( )A ．3B ．4C ．5D ．612．(多选)已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 的前n 项和为S n ，则下列选项不正确的是( ) A ．S 2 018－1>ln 2 018B ．S 2 018－1<ln 2 018C ．ln 2 018<S 1 009－1D ．ln 2 018>S 2 01713．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，若对任意n ∈N *，总有S n ≤S k ，则k 的值是________．14．(2019·江西上高二中月考)已知下列四个命题：①等差数列一定是单调数列；②等差数列的前n 项和构成的数列一定不是单调数列；③已知等比数列{a n }的公比为q ，若q >1，则数列{a n }是单调递增数列．④记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2k >0，S 2k ＋1<0，则数列S n 的最大值一定在n ＝k 处取得． 其中正确的命题有________．(填写所有正确的命题的序号)15．同学们都有这样的解题经验：在某些数列的求和中，可把其中一项分裂成两项之差，使得某些项可以相互抵消，从而实现化简求和．如已知数列{a n }的通项为a n ＝2(2n －1)(2n ＋1)＝12n －1－12n ＋1，故数列{a n }的前n 项和为S n ＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝2n2n＋1.“斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列，在斐波那契数列{a n}中，a1＝1，a2＝1，a n＋a n＋1＝a n＋2(n∈N*)，若a2 021＝m，那么数列{a n}的前2 019项的和为________．16．(2020·南昌大学附属中学月考)记数列{a n}的前n项和为S n，若不等式a2n＋S2nn2≥2ma21对任意等差数列{a n}及任意正整数n都成立，则实数m的取值范围为__________．答案精析1．D 2.C 3.A 4.C 5.D 6.A 7.D8．C 9.A 10.B 11.BC12．ACD [∵当x >0时，恒有ln(x ＋1)<x ，令x ＝1n ，ln ⎝⎛⎭⎫1n ＋1＝ln n ＋1n <1n， ∴ln 21＋ln 32＋ln 43＋...＋ln n ＋1n <1＋12＋13＋ (1)，故ln(n ＋1)<S n . ∴当n ＝2 017时，ln 2 018<S 2 017，D 错误．设h (x )＝ln x ＋1x－1，x ∈(1，＋∞)， 则h ′(x )＝1x －1x 2>0， ∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增，又x →1时，h (x )→0，∴h (x )>0，即ln x >1－1x，x ∈(1，＋∞)． 令x ＝1＋1n ，则ln ⎝⎛⎭⎫1n ＋1＝ln n ＋1n >1n ＋1， ∴ln 21＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n ＋1n >12＋13＋…＋1n ＋1n ＋1，故ln(n ＋1)>S n ＋1－1. 当n ＝2 017时，S 2 018－1<ln 2 018，B 正确，A ，C 错误．] 13．7 14.④15．m －1解析 ∵a 1＝1，a 2＝1，a n ＋a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N *)，∴a 1＋a 2＝a 3，a 2＋a 3＝a 4，a 3＋a 4＝a 5，…a 2 011＋a 2 012＝a 2 013，…a 2 019＋a 2 020＝a 2 021，以上累加得，a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋a 3＋a 4＋…＋a 2 011＋a 2 012…＋a 2 020＝a 3＋a 4＋…＋a 2 021， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2 011＋…＋a 2 019＝a 2 021－a 2＝m －1.16.⎝⎛⎦⎤－∞，110 解析 a 2n ＋S 2n n 2＝[a 1＋(n －1)d ]2＋1n 2·[na 1＋n (n －1)2d ]2， 令12(n －1)d ＝t ，则a 2n ＋S 2n n 2＝(a 1＋2t )2＋1n 2(na 1＋nt )2＝2a 21＋6a 1t ＋5t 2. 当a 1≠0时，不等式a 2n ＋S 2n n 2≥2ma 21，化为5⎝⎛⎭⎫t a 12＋6·t a 1＋2≥2m ， ∵5⎣⎡⎦⎤t a 1＋352＋15≥15，∴15≥2m ，解得m ≤110. 当a 1＝0时，m ∈R .综上可得，m ≤110.∴实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，110.。