浙江八年级数学下第二章《一元二次方程》能力提升卷（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）一、单选题(共40分)1．(本题5分)若方程（m 2－1）x 2－mx －x ＋2＝0是关于x 的一元一次方程,则代数式|m －1|的值为（ ） A ．0 B ．2C ．0或2D ．－2【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据一元一次方程的定义知m 2﹣1=0,且﹣m ﹣1≠0,据此可以求得代数式|m ﹣1|的值． 解：由已知方程,得（m 2﹣1）x 2﹣（m+1）x+2=0．∵方程（m 2﹣1）x 2﹣mx ﹣x+2=0是关于x 的一元一次方程, ∵m 2﹣1=0,且﹣m ﹣1≠0, 解得,m=1, 则|m ﹣1|=0． 故选A ．点评：本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1． 2．(本题5分)关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根12,x x ,()1212122(2)2x x x x x x -+--+3=-,则k 的值（ ）A ．0或2B ．-2或2C ．-2D ．2【答案】D 【解析】 【分析】将()1212122(2)2=3x x x x x x -+--+-化简可得,()21212124423x x x x x x +-+=-－,利用韦达定理,()2142(2)3k k ----+=-,解得,k ＝±2,由题意可知∵＞0, 可得k ＝2符合题意. 【详解】解：由韦达定理,得： 12x x +＝k －1,122x x k +＝－,由()1212122(2)23x x x x x x -+--+=-,得：()21212423x x x x --+=-,即()21212124423x x x x x x +-+=-－, 所以,()2142(2)3k k ----+=-, 化简,得：24k =, 解得：k ＝±2,因为关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根, 所以,∵＝()214(2)k k ---+＝227k k +-〉0, k ＝－2不符合, 所以,k ＝2 故选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,熟练掌握并灵活运用是解题的关键. 3．(本题5分)已知关于x 的方程(k ﹣2)2x 2+(2k+1)x+1＝0有实数根,则k 的取值范围是( )A ．k ＞43且k≠2B ．k≥43且k≠2C ．k ＞34D ．k≥34【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论：当k-2=0,解k=2,原方程为一元一次方程,有一个实数根；当k-2≠0,即k≠2,当∵=(2k+1)2-4(k-2)2≥0方程有实数根,然后综合两种情况得到k 的取值范围． 【详解】当k ﹣2＝0,即k ＝2时,原方程为5x+1＝0,解得：x ＝﹣15,∵k ＝2符合题意；当k ﹣2≠0,即k≠2时,∵＝(2k+1)2﹣4×1×(k ﹣2)2＝20k ﹣15≥0,解得：k≥34且k≠2,综上所述：k≥34,故选D ．本题考查了一元二次方程的定义,根的判别式,一元一次方程的解,熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程的根的关系是解题的关键.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式∵=b2-4ac：当∵＞0,方程有两个不相等的实数根；当∵=0,方程有两个相等的实数根；当∵＜0,方程没有实数根．4．(本题5分)在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,则参加酒会的人数为（）A．9人B．10人C．11人D．12人【答案】C【解析】【分析】设参加酒会的人数为x人,根据每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,列出一元二次方程,解之即可得出答案.【详解】设参加酒会的人数为x人,依题可得：1x（x-1）=55,2化简得：x2-x-110=0,解得：x1=11,x2=-10（舍去）,故答案为C.【点睛】考查了一元二次方程的应用,解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.5．(本题5分)如图,某小区计划在一块长为32m,宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm,则下面所列方程正确的是（）A．（32﹣2x）（20﹣x）=570B．32x+2×20x=32×20﹣570C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570D．32x+2×20x﹣2x2=570【解析】 【详解】六块矩形空地正好能拼成一个矩形,设道路的宽为xm,根据草坪的面积是570m 2,即可列出方程:(32−2x )(20−x )=570, 故选A.6．(本题5分)若a≠b,且22410,410a a b b -+=-+=则221111a b +++的值为（ ） A ．14B ．1C ．.4D ．3【答案】B 【解析】 【详解】解：由22410,410a a b b -+=-+=得：2214,14a a b b ++== ∵22111111444a ba b a b ab++=+=++ 又由22410,410a a b b -+=-+=可以将a,b 看做是方程 2410x x -+=的两个根 ∵a+b=4,ab=1 ∵4=144a b ab +=⨯1故答案为B. 【点睛】本题看似考查代数式求值,但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解．7．(本题5分)如图,在∵ABC 中,AB ∵BE ,BD ∵BC ,DE ＝BE ,设BE ＝a ,AB ＝b ,AE ＝c ,则以AD 和AC 的长为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣2cx +b 2＝0B ．x 2﹣cx +b 2＝0C ．x 2﹣2cx +b ＝0D ．x 2﹣cx +b ＝0【答案】A 【解析】根据题意,先要表示出AD、AC的长,AD=AE-DE,然后利用等腰三角形的性质证出DE=BE=CE,则AC=AE+CE,求出AD、AC之后,根据韦达定理判断以它们的长为根的一元二次方程．【详解】解：∵AB∵BE,BD∵BC,∵∵ABE＝∵DBC＝90°,在Rt∵ABE中,a2+b2＝c2,∵DE＝BE＝a,∵∵EBD＝∵EDB,∵∵EBD+∵EBC＝90°,∵EDB+∵C＝90°,∵∵EBC＝∵C,∵CE＝BE＝a,∵AC＝AE+CE＝c+a,∵AD+AC＝c﹣a+c+a＝2c,AD×AC＝（c﹣a）（c+a）＝c2﹣a2＝b2,∵以AD和AC的长为根的一元二次方程可为x2﹣2cx+b2＝0．故选：A．【点睛】本题考查勾股定理,等腰三角形的性质以及一元二次方程根与系数的关系,解题的关键是利用数形结合的方法,先表示出线段长度再根据韦达定理判断原方程．8．(本题5分)若关于x的方程kx2-（k+1）x+1=0的根是整数,则满足条件的整数k的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】当k=0时,可求出x的值,根据x的值为整数可得出k=0符合题意；k≠0时,利用分解因式法解一元二次方程可求出x的值,再根据x的值为整数结合k的值为整数即可得出k的值．综上即可得出结论．【详解】当k=0时,原方程为-x+1=0,解得：x=1,∵k=0符合题意；当k≠0时,kx2-（k+1）x+1=（kx-1）（x-1）=0,解得：x1=1,x2=1 k ,∵方程的根是整数,∵1k为整数,k为整数,∵k=±1．综上可知：满足条件的整数k为0、1和-1．故选C．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程,熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．二、填空题(共30分)9．(本题5分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形的周长为______________.【答案】16【解析】【详解】分析：首先求出方程的根,再根据三角形三边关系定理,确定第三边的长,进而求其周长．详解：解方程x2-10x+21=0得x1=3、x2=7,∵3＜第三边的边长＜9,∵第三边的边长为7．∵这个三角形的周长是3+6+7=16．故答案为16．点睛：本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边,则第三边的范围是：大于已知的两边的差,而小于两边的和．10．(本题5分)关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2,且x12+x22=4,则x12﹣x1x2+x22的值是_____．【答案】4【解析】【分析】根据根与系数的关系结合已知条件可得出关于k的一元二次方程,解之即可得出k的值,再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的不等式,解之即可得出k的取值范围,从而可确定k的值,进而可得答案．【详解】解：∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2,∵x1+x2=2k,x1•x2=k2﹣k,∵x12+x22=4,∵（x1+x2）2-2x1x2=4,（2k）2﹣2（k2﹣k）=4,2k2+2k﹣4=0,k2+k﹣2=0,k=﹣2或1,∵∵=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0,k≥0,∵k=1,∵x1•x2=k2﹣k=0,∵x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4,故答案为4．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系,熟练掌握“当一元二次方程有实数根时,根的判别式△≥0”是解题的关键．11．(本题5分)如图是一张长12cm,宽10cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分（阴影部分）可制成底面积224cm是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______cm．【答案】2【解析】【分析】根据题意设出未知数,列出三组等式解出即可． 【详解】设底面长为a,宽为b,正方形边长为x,由题意得:2()1221024x b a x ab +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩,解得a =10－2x ,b =6－x ,代入ab =24中得: (10－2x )(6－x )=24, 整理得:2x 2－11x +18=0． 解得x =2或x =9(舍去)． 故答案为2． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用,关键在于不怕设多个未知数,利用代数表示列出方程． 12．(本题5分)已知a 是方程2202110x x -+=的一个根,则322202120211a a a --=+____． 【答案】2021- 【解析】 【分析】由方程根的定义可得2202110a a -+=,变形为212021a a +=．再将2202110a a -+=等号两边同时乘a 并变形得322021a a a -=-,代入322202120211a a a --+逐步化简即可． 【详解】∵a 是方程2202110x x -+=的一个根． ∵2202110a a -+=,即212021a a +=． 将2202110a a -+=等号两边同时乘a 得： 2(20211)0a a a -+=,即322021a a a -=-．∵2322202120211120212021202112021a aa a a a a a a a a+--=--=--=-=-=-+．故答案为：-2021． 【点睛】本题考查一元二次方程解的定义以及代数式求值．熟练掌握整体代入的思想是解答本题的关键．13．(本题5分)关于x 的方程mx 2+x ﹣m+1=0,有以下三个结论：∵当m=0时,方程只有一个实数解；∵当m≠0时,方程有两个不等的实数解；∵无论m 取何值,方程都有一个负数解,其中正确的是__（填序号）．【答案】∵∵ 【解析】 【详解】试题分析：分别讨论m=0和m≠0时方程mx 2+x ﹣m+1=0根的情况,进而填空． 解：当m=0时,x=﹣1,方程只有一个解,∵正确；当m≠0时,方程mx 2+x ﹣m+1=0是一元二次方程,△=1﹣4m （1﹣m ）=1﹣4m+4m 2=（2m ﹣1）2≥0,方程有两个实数解,∵错误；把mx 2+x ﹣m+1=0分解为（x+1）（mx ﹣m+1）=0,所以x=﹣1是方程mx 2+x ﹣m+1=0的根,∵正确； 故答案为∵∵．考点：根的判别式；一元一次方程的解．14．(本题5分)如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根,且其中一个根为另外一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”,以下关于“倍根方程”的说法,正确的有_____（填序号）．∵方程220x x --=是“倍根方程”；∵若(2)()0x mx n -+=是“倍根方程”,则22450m mn n ++=； ∵若,p q 满足2pq =,则关于x 的方程230px x q ++=是“倍根方程”； ∵若方程20ax bx c ++=是“倍根方程”,则必有229b ac =． 【答案】∵∵∵ 【解析】 【分析】∵求出方程的根,再判断是否为“倍根方程”；∵根据“倍根方程”和其中一个根,可求出另一个根,进而得到m,n 之间的关系； ∵当,p q 满足2pq =时,有23px x q ++=(1)()0px x q ++=,求出两个根,再根据2pq =代入可得两个根之间的关系,讲而判断是否为“倍根方程”；∵用求根公式求出两个根,当122x x =或122x x =时,进一步化简,得出关系式,进行判断即可． 【详解】∵解方程220x x --=,得1221x x ==-，, 122x x ≠,∴方程220x x --=不是“倍根方程”．故∵不正确；∵(2)()0x mx n -+=是“倍根方程”,且12x =, 因此21x =或24x =． 当21x =时,0m n +=, 当24x =时,40m n +=,2245()(4)m mn n m n m n ∴++=++0=,故∵正确；∵2pq =,23(1)()0px x q px x q ∴++=++=,121x x q p∴=-=-，,2122x q x p∴=-=-=, 因此230px x q ++=是“倍根方程”,故∵正确；∵方程20ax bx c ++=的根为12x ==若122x x =,=2,20=,0=,0b ∴+=,b ∴-,()2294b ac b ∴-=,229b ac ∴=,若122x x =,2=0=,0b ∴-+=,b ∴=,()2294b b ac ∴=-,229b ac ∴=．故∵正确,故答案为：∵∵∵．【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式,新定义的倍根方程的意义,理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．三、解答题(共30分)15．(本题6分)已知关于x 的一元二次方程（a+c ）x 2+2bx+（a ﹣c ）=0,其中a 、b 、c 分别为∵ABC 三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根,试判断∵ABC 的形状,并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根,试判断∵ABC 的形状,并说明理由；（3）如果∵ABC 是等边三角形,试求这个一元二次方程的根．【答案】(1) ∵ABC 是等腰三角形；(2)∵ABC 是直角三角形；(3) x 1=0,x 2=﹣1．【解析】【详解】试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a,b 的等式,进而得出a=b,即可判断∵ABC 的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于a,b,c 的等式,进而判断∵ABC 的形状；（3）利用∵ABC 是等边三角形,则a=b=c,进而代入方程求出即可．试题解析：（1）∵ABC 是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根,∵（a+c ）×（﹣1）2﹣2b+（a ﹣c ）=0,∵a+c ﹣2b+a ﹣c=0,∵a ﹣b=0,∵a=b,∵∵ABC 是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根,∵（2b ）2﹣4（a+c ）（a ﹣c ）=0,∵4b 2﹣4a 2+4c 2=0,∵a 2=b 2+c 2,∵∵ABC 是直角三角形；（3）当∵ABC 是等边三角形,∵（a+c ）x 2+2bx+（a ﹣c ）=0,可整理为：2ax2+2ax=0,∵x2+x=0,解得：x1=0,x2=﹣1．考点：一元二次方程的应用．16．(本题8分)关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x1,x2,且|x1|=|x2|﹣2,求m的值及方程的根．【答案】（1）证明见解析；（2）x1=﹣2=﹣1或【解析】【详解】试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式∵=b2﹣4ac的结果判断即可,当∵＞0时,有两个不相等的实数根,当∵=0时,有两个相等的实数根,当∵＜0时,方程没有实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-ba,x1•x2=ca,表示出两根的关系,得到x1,x2异号,然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.试题解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0,∵a=1,b=﹣（m﹣3）=3﹣m,c=﹣m2,∵∵=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣35）2+365,∵∵＞0,则方程有两个不相等的实数根；（2）∵x1•x2=ca=﹣m2≤0,x1+x2=m﹣3,∵x1,x2异号,又|x1|=|x2|﹣2,即|x1|﹣|x2|=﹣2,若x1＞0,x2＜0,上式化简得：x1+x2=﹣2,∵m﹣3=﹣2,即m=1,方程化为x2+2x﹣1=0,解得：x1=﹣2=﹣1若x1＜0,x2＞0,上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2,∵x1+x2=m﹣3=2,即m=5,方程化为x2﹣2x﹣25=0,解得：x1=1217．(本题8分)设m是不小于﹣1的实数,关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1、x2,（1）若x 12+x22=6,求m 值；（2）令T=121211mx mx x x +--,求T 的取值范围．【答案】（1）（2）0＜T≤4且T ≠2． 【解析】【分析】由方程方程由两个不相等的实数根求得﹣1≤m ＜1,根据根与系数的关系可得x 1+x 2=4﹣2m,x 1•x 2=m 2﹣3m+3；（1）把x 12+x 22=6化为（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6,代入解方程求得m 的值,根据﹣1≤m ＜1对方程的解进行取舍；（2）把T 化简为2﹣2m,结合﹣1≤m ＜1且m≠0即可求T 得取值范围.【详解】∵方程由两个不相等的实数根,所以△=[2（m ﹣2）]2﹣4（m 2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0,所以m ＜1,又∵m 是不小于﹣1的实数,∵﹣1≤m ＜1∵x 1+x 2=﹣2（m ﹣2）=4﹣2m,x 1•x 2=m 2﹣3m+3；（1）∵x 12+x 22=6,∵（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6,即（4﹣2m ）2﹣2（m 2﹣3m+3）=6整理,得m 2﹣5m+2=0解得m=；∵﹣1≤m ＜1所以m=． （2）T=+=====2﹣2m ． ∵﹣1≤m ＜1且m≠0所以0＜2﹣2m≤4且m≠0即0＜T≤4且T≠2．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．18．(本题8分)如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1, x2,那么x1+x2=﹣p,x1x2=q ,请根据以上结论,解决下列问题：（1）已知a 、b 是方程x2+15x+5=0的二根,则a b b a+=? （2）已知a 、b 、c 满足a+b+c=0,abc=16,求正数c 的最小值．（3）结合二元一次方程组的相关知识,解决问题：已知11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩是关于x,y 的方程组201x y k x y ⎧-+=⎨-=⎩的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k ,使得y1y2﹣1221x x x x -=2？若存在,求出的k 值,若不存在,请说明理由．【答案】（1）43（2）4（3）存在,当k=﹣2时,1212212x x y y x x --= 【解析】【分析】（1）根据a,b 是x 2+15x+5=0的解,求出a+b 和ab 的值,即可求出a b b a +的值． （2）根据a+b+c=0,abc=16,得出a+b=-c,ab=16c ,a 、b 是方程x 2+cx+16c=0的解,再根据c 2-4•16c ≥0,即可求出c 的最小值． （3）运用根与系数的关系求出x 1+x 2=1,x 1•x 2=k+1,再解y 1y 2-1221x x x x -=2,即可求出k 的值．【详解】（1）∵a 、b 是方程x 2+15x+5=0的二根,∵a+b=﹣15,ab=5, ∵a b b a +=()22a b ab ab+-=()215255--⨯=43, 故答案是：43；（2）∵a+b+c=0,abc=16,∵a+b=﹣c,ab=16c, ∵a 、b 是方程x 2+cx+16c =0的解, ∵c 2﹣4•16c ≥0,c 2﹣34c≥0, ∵c 是正数,∵c 3﹣43≥0,c 3≥43 , c≥4,∵正数c 的最小值是4．（3）存在,当k=﹣2时,1212212x x y y x x --= ． 由x 2﹣y+k=0变形得：y=x 2+k,由x ﹣y=1变形得：y=x ﹣1,把y=x ﹣1代入y=x 2+k,并整理得：x 2﹣x+k+1=0, 由题意思可知,x 1 , x 2是方程x 2﹣x+k+1=0的两个不相等的实数根,故有：()()()()()()()212112121221212121212211214101112112k x x x x k y y x x x x x x x x y y x x x x x x =⎧--+>⎪+⎪⎪=+⎪⎪=--⎨⎪+-⎪--=---=⎪⎪⎪⎩即：23420k k k ⎧<-⎪⎨⎪+=⎩ 解得：k=﹣2．【点睛】本题考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。
