2017-2018学年广东省东莞市翰林实验学校高二上学期数学期中试卷带解析(文科)
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第1页（共23页） 2017-2018学年广东省东莞市翰林实验学校高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑．
1．（5分）若a＞b，ab≠0，则不等式恒成立的是（ ）
A．lg（a﹣b）＞0 B． C．2a＞2b D．
2．（5分）不等式≥0的解集为（ ）
A．[﹣2，1] B．（﹣2，1] C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞）
3．（5分）在等比数列{an}中，如果a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8等于（ ）
A．135 B．100 C．95 D．80
4．（5分）若a＞0，b＞0且直线ax+by﹣2=0过点P（2，1），则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．6
5．（5分）原点和点（2，﹣1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则实数a的取值范围是（ ）
A．0≤a≤1 B．0＜a＜1 C．a=0或a=1 D．a＜0或a＞1
6．（5分）朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤．只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”．这个问题中，前5天应发大米（ ）
A．894升 B．1170升 C．1275米 D．1467米
7．（5分）△ABC中，若lga﹣lgc=lgsinB=﹣lg且，则△ABC的形状是（ ）
第2页（共23页） A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
8．（5分）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（ ）
A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2}
C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜﹣lg2}
9．（5分）定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”．若已知正数数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn=，则+++…+=（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（ ）
A． B．5 C．5 D．6
11．（5分）已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2﹣2 D．2
12．（5分）设u（n）表示正整数n的个位数，例如u（23）=3．若an=u（n2）﹣u（n），则数列{an}的前2015项的和等于
（ ）
A．0 B．2 C．8 D．10
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则B= ．
14．（5分）在等差数列{an}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8= ．
15．（5分）已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为3，则实数k的值为 ．
第3页（共23页） 16．（5分）若关于x的不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为[a，b]，那么b﹣a= ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a+c=5，且b=，求△ABC的面积．
18．（12分）某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：
资金 单位产品所需资金（百元） 月资金供应量（百元） 空调机 洗衣机
成本 30 20 300
劳动力（工资） 5 10 110
单位利润 6 8
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？
19．（12分）设等差数列{an}满足a2=9，且a1，a5是方程x2﹣16x+60=0的两根．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{|an|}的前n项和Tn．
20．（12分）解关于x的不等式ax2﹣2≥2x﹣ax（a∈R）．
21．（12分）如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C．假
第4页（共23页） 设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cosA=，cosC=．
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
22．（12分）已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）记Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn，n∈N*，求Tn．
第5页（共23页）
2017-2018学年广东省东莞市翰林实验学校高二（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑．
1．（5分）若a＞b，ab≠0，则不等式恒成立的是（ ）
A．lg（a﹣b）＞0 B． C．2a＞2b D．
【解答】解：A.0＜a﹣b≤1时，不成立；
B．取b＜0时不成立；
C．利用指数函数y=2x的单调性可知成立．
D．取a=﹣1，b=﹣2时不成立．
故选：C．
2．（5分）不等式≥0的解集为（ ）
A．[﹣2，1] B．（﹣2，1] C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞）
【解答】解：不等式≥0
⇔（x﹣1）（2+x）≤0且x≠﹣2
⇔﹣2≤x≤1且x≠﹣2⇔﹣2＜x≤1．
即不等式的解集为：（﹣2，1]．
故选：B．
3．（5分）在等比数列{an}中，如果a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8等于（ ）
A．135 B．100 C．95 D．80
【解答】解：利用等比数列{an}的性质有S2，S4﹣S2，S6﹣S4，S8﹣S6成等比数列，
∴S2=40，S4﹣S2=a3+a4=60，则S6﹣S4=90，S8﹣S6=135
故a7+a8=S8﹣S6=135．
第6页（共23页） 故选：A．
4．（5分）若a＞0，b＞0且直线ax+by﹣2=0过点P（2，1），则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．6
【解答】解：由已知直线ax+by﹣2=0过点P（2，1），得到2a+b=2，a＞0，b＞0，
所以（）（a+）=2+≥2+2=4，当且仅当b=2a时，等号成立；
故选：B．
5．（5分）原点和点（2，﹣1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则实数a的取值范围是（ ）
A．0≤a≤1 B．0＜a＜1 C．a=0或a=1 D．a＜0或a＞1
【解答】解：∵原点和点（2，﹣1）在直线x+y﹣a=0两侧，
∴（0+0﹣a）（2﹣1﹣a）＜0，
即a（a﹣1）＜0，
解得0＜a＜1，
故选：B．
6．（5分）朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤．只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”．这个问题中，前5天应发大米（ ）
A．894升 B．1170升 C．1275米 D．1467米
【解答】解：∵第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，
第7页（共23页） ∴第5天派出：64+4×7=92人，
∴前5天共派出=390（人），
∴前5天应发大米：390×3=1170（升）．
故选：B．
7．（5分）△ABC中，若lga﹣lgc=lgsinB=﹣lg且，则△ABC的形状是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
【解答】解：∵lga﹣lgc=lgsinB=﹣lg，
∴，．
∵，∴．
∴，
∴sinC=sinA==，
化为cosC=0，
∵C∈（0，π），．
∴A=π﹣B﹣C=．
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选：C．
8．（5分）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（ ）
A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2}
C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜﹣lg2}
【解答】解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，
故可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，
由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x＞﹣1，
