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稀疏约束的MVC—NMF算法

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第２７卷第６期　２０１０年１２月　测绘科学技术学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｇｅｏｍａｔｉｃｓ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ＶｏＩ．２７　Ｎｏ．６　Ｄｅｃ．２０１０　

文章编号：１６７３—６３３８（２０１０）０６—０４２９—０４　

稀疏约束的ＭＶＣ—ＮＭＦ算法　

李二森　，　邹瑜　，　

（１．信息工程大学测绘学院，河南郑州４５００５２；２　３．６５０１５部队，辽宁大连１１６０２３　战飞。，马智刚　，殷俊河　

武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室，湖北武汉４３００７９　４．河南省驻马店供电公司，河南驻马店４６３０００）　

摘要：高光谱图像中混合像元的存在直接影响基于遥感影像的地物识别精度，光谱解混算法可以有效地解决　混合像元问题。最小体积限制的非负矩阵分解算法（ＭＶＣ－ＮＭＦ）不需要假定纯像元的存在；并且在自动提取　端元的同时，能够获取每种端元所对应的丰度图；然而该方法并没有考虑丰度矩阵的稀疏特性。提出了将平　滑Ｌ０模稀疏约束引入ＭＶＣ－ＮＭＦ算法中，用于进一步提高算法的精度。实验结果表明：改进后的算法在相　同的实验环境条件下比ＭＶＣ—ＮＭＦ算法解混的精度更高。　关键词：混合像元；端元；丰度；稀疏约束；非负矩阵分解　中图分类号：Ｐ２３７；ＴＰ７５　文献标识码：Ａ　Ｄ０Ｉ编码：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３—６３３８．２Ｏ１０．０６．０１０　

Ｓｐａｒｓｅｎｅｓｓ　Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ　ＭＶＣ—ＮＭＦ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　

ＬＩ　Ｅｒ—ｓｅｎ　～，ＺＯＵ　Ｙｕ　，ＺＨＡＮ　Ｆｅｉ。，ＭＡ　Ｚｈｉ—ｇａｎｇ　，ＹＩＮ　Ｊ　ｕｎ—ｈｅ　

（１．Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ　ａｎｄ　Ｍａｐｐｉｎｇ，Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ　４５００５２，Ｃｈｉｎａ　２．Ｎａｔｉｏｎａｌ　Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ　ｆｏｒ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ｉｎ　Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ，Ｍａｐｐｉｎｇ　ａｎｄ　Ｒｅｍｏｔｅ　Ｓｅｎｓｉｎｇ，　Ｗｕｈａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｈａｎ　４３００７９，Ｃｈｉｎａ；３．６６０１５　Ｔｒｏｏｐｓ，Ｄａｌｉａｎ　ｌ１６０２３，Ｃｈｉｎａ　４．Ｚｈｕｍａｄｉａｎ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ　Ｃｏｒｐｏｒａｔｉｏｎ，Ｚｈｕｍａｄｉａｎ　４６３０００，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｍｉｘｅｄ　ｐｉｘｅｌｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｈｙｐｅｒｓｐｅｃｔｒａｌ　ｉｍａｇｅｓ　ｄｉｒｅｃｔｌｙ　ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ　ｔｈｅ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ｏｆ　ｔａｒｇｅｔ　ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ，　ｓｐｅｃｔｒａｌ　ｕｎｍｉｘｉｎｇ　ｃａｎ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ　ｓｏｌｖｅ　ｔｈｉｓ　ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｔｈｅ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｖｏｌｕｍｅ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ　ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ　ｍａｔｒｉｘ　ｆａｃ—　ｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ（ＭＶＣ—ＮＭＦ）ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｉｓ　ｎｏｔ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｕｒｅ　ｐｉｘｅｌｓ’ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ，ａｎｄ　ｃａｎ　ｇｅｔ　ｔｈｅ　ａｂｕｎｄａｎｃｅ　ｍａｐｓ　ａｓ　ｓｏｏｎ　ａｓ　ｔｈｅ　ｅｎｄｍｅｍｂｅｒｓ　ａｒｅ　ａｌｌ　ｅｘｔｒａｃｔｅｄ，ｂｕｔ　ｉｔ　ｄｏｅｓｎ’ｔ　ｔａｋｅ　ａｃｃｏｕｎｔ　ｔｈｅ　ｓｐａｒｓｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｂｕｎｄａｎｃｅ　ｍａｔｒｉｘ，ａｎｄ　ａｆｆｅｃｔｓ　ｔｈｅ　ｕｎｍｉｘｉｎｇ　ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ．Ｔｈｅ　ｓｍｏｏｔｈｅｄ　Ｌ０　ｎｏｒｍ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ　ＭＶＣ—ＮＭＦ　ａｌｇｏ—　ｒｉｔｈｍ　ｗａｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｔＯ　ｉｍｐｒｏｖｅ　ｔｈｅ　ｕｎｍｉｘｉｎｇ　ａｃｃｕｒａｃｙ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｓｃｈｅｍｅ　ｆｏｒ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍｉｘｅｄ　ｐｉｘｅｌｓ　ｏｕｔｐｅｒｆｏｒｍｓ　ｔｈｅ　ＭＶＣ—ＮＭＦ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｕｎｄｅｒ　ｔｈｅ　ｓａｍｅ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｍｉｘｅｄ　ｐｉｘｅｌ；ｅｎｄｍｅｍｂｅｒ；ａｂｕｎｄａｎｃｅ；ｓｐａｒｓｅ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ；ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ　ｍａｔｒｉｘ　ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ　

混合像元分解是解决混合像元问题的有效途　

径。端元提取和丰度估计是混合像元分解的两个　

重要过程。目前主要的端元提取方法有：极小体　积变换ＭＶＴ（Ｍｉｎｉｍｕｍ　Ｖｏｌｕｍｅ　Ｔｒａｎｓ｛ｏｒｍ）口］、　

像元纯度指数ＰＰＩ（Ｐｉｘｅｌ　Ｐｕｒｉｔｙ　Ｉｎｄｅｘ）＿ｚ＿、Ｎ—　ＦＩＮＤＲ［３］、顶点成分分析ＶＣＡ（Ｖｅｒｔｅｘ　Ｃｏｍｐｏ—　

ｎｅｎｔ　Ａｎａｌｙｓｉｓ）　４　以及最小体积约束的非负矩阵　

分解ＭＶＣ—ＮＭＦ（Ｍｉｎｉｍｕｍ　Ｖｏｌｕｍｅ　Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ　

Ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ　Ｍａｔｒｉｘ　Ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ）ｌ５　等。这些算　

法根据是否假设光谱数据中存在纯像元可以分为　两类：假定纯像元存在的算法（ＰＰＩ，Ｎ—ＦＩＮＤＲ和　

ＶＣＡ等）和不需要假定纯像元存在的算法（ＭＶＴ　和ＭＶＣ—ＮＭＦ等）。一般而言，高光谱影像中纯　像元存在的几率比较低。因此，不需要假定纯像　

元存在的算法提取结果精度更高，更能满足实际　

应用的需要。ＭＶＣ－ＮＭＦ算法不需要假定纯像　元的存在，并且在提取端元的同时可以获取每种　

端元对应的丰度图。然而，该方法中没有考虑丰　度矩阵的稀疏特性，即并非所有的端元光谱都是　某个混合像元的组成端元。这在一定程度上影响　了混合像元分解的精度。这里提出将平滑Ｌ０模　

稀疏约束引入ＭＶＣ—ＮＭＦ算法，实现丰度矩阵的　

稀疏化。实验结果表明：该方法在相同的实验环　

境条件下光谱解混的精度比ＭＶＣ—ＮＭＦ算法高。　

收稿日期：２０１０—０６—２８；修回日期：２Ｏ１０—１１－０１。　基金项目：信息工程大学测绘学院“博士生访学”基金资助项目（２０１００２０２）。　作者简介：李二森（１９８４一），男，河南新安人，博士生，主要研究方向为高光谱图像处理与数字摄影测量。

　４３０　测绘科学技术学报　２０１０年ｌ２月　

１　ＭＶＣ－ＮＭＦ算法分析及其改进算法　

１．１　ＭＶＣ－ＮＭＦ算法分析　

ＭＶＣ—ＮＭＦ算法认为＿５Ｊ：在基于凸面几何端　

元提取算法中，最优的单体或者外接于点云数据　且具有最小的体积，或者内切于点云数据且具有　

最大的体积。它通过将凸面单体的体积约束加入　

到ＮＭＦ中来将最小二乘分析和凸面几何结合起　来，在不假设纯像元存在的情况下实现高光谱混　

合像元分解。其算法的原理和过程如下。　

１）线性光谱混合模型ＬＳＭＭ（Ｌｉｎｅａｒ　Ｓｐｅｃ—　

ｔｒａｌ　Ｍｉｘｉｎｇ　Ｍｏｄｅ１）为　

Ｘ—ＡＳ＋８　（１）　式中，ｘ∈Ｒ以　为观测图像数据；Ａ∈Ｒ　为由端　

元光谱列向量组成的端元矩阵；Ｓ∈Ｒ　为丰度　矩阵；ｚ为波段数；Ｎ为观测向量个数；Ｃ为端元个　

数；ｓ为高斯噪声或者模型误差。ＬＳＭＭ中丰度　

矩阵的限制条件为：丰度非负限制（Ｓ　≥０，ｉ一１，　

２，…，Ｃ；Ｊ＝＝＝１，２，…，Ｎ）和丰度和为一限制　

Ｃ　（＞：Ｓ　一１，Ｊ一１，２，…，Ｎ）。　

２）构建目标函数　

ｒ　１　Ｉｍｉｎｆ（Ａ，ｓ）一寺ｌｌ　Ｘ－－ＡＳ　；＋　Ｊ（Ａ）　…　厶　（Ｚ）　≥ｏ，Ｓ　≥ｏ，１　Ｊｓ一１　

式中，１　和１　分别为元素全为１的Ｃ维和Ｎ维　

列向量；Ｊ（Ａ）为惩罚项，即每次迭代过程中估计　的端元集构成的单体体积；　为正则化参数。　

３）初始化。混合像元分解问题中很重要的　

一个步骤就是确定端元数目ｃ，ＭＶＣ—ＮＭＦ算法　利用虚拟维度ＶＤ（Ｖｒｔｕａｌ　Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｉｔｙ）　方　

法确定高光谱数据中端元数目。ＭＶＣ－ＮＭＦ从　高光谱数据中随机选择Ｐ个像素光谱作为初始端　元集，构成Ａ的初始值，对Ｓ矩阵随机初始化；也　

可以利用ＶＣＡ算法提取的端元作为初始端元，　

再利用全限制最小二乘方法ＦＣＬＳ（Ｆｕｌｌｙ　ｃｏｎ—　

ｓｔｒａｉｎｅｄ　ｌｅａｓｔ　ｓｑｕａｒｅｓ）ｌ７　获取丰度矩阵初始值。　４）停止准则。给定迭代次数和误差阈值。　

５）根据文献［８］中介绍的投影梯度交互的非　

负最小二乘算法（ＡＮＬｓ＿ｕＰＧＭ）计算能够最小　

化目标函数的矩阵Ａ和ｓ，如果满足停止准则，则　

迭代停止；否则，更新矩阵Ａ和ｓ，继续寻找最小　

化目标函数的矩阵。　

１．２平滑ＬＯ模约束的ＭＶＣ－ＮＭＦ算法　实际应用中，并非所有的端元都对某个混合　

像元有所贡献，即：混合像元往往是由某个端元子　集混合而成，相应的丰度矩阵满足一定的稀疏性。　

不失一般性，以某一混合像元　为例，其线性光谱　混合模型为ｘ＝Ａｓ＋ｒ　。其中，　为该混合像元对　

应的丰度向量；８　为像元　对应的高斯噪声。为　

了使得丰度向量ｓ满足一定的稀疏性，通常可以　

采用寻找最小的ＬＯ模（向量　中非０元素的个　

数）的方法。文献［９］认为当维数增加时，寻找最　小的ＬＯ模很难处理并且易受噪声的影响，因而　

采用了最小化ｕ模的方法使向量　满足一定的　稀疏性；而文献［１０］采用平滑ＬＯ模约束来使得　

向量ｓ满足公式　—Ａｓ＋￡　的同时满足稀疏性。　使用ＬＯ模的问题在于向量的ＬＯ模为该向量的　不连续函数，文献［１０］使用连续函数近似ＬＯ模，　

通过最小化连续函数的方法来最小化ＬＯ模。通　常可以采用的函数有指数函数、截平双曲线函数　

等。这里采用指数函数对向量ｓ的ＬＯ模进行分　析，其表达式为　

ｆ　（　）一ｅ　（３）　由式（３）得　

门．　ｖ＝０　一｛ｏ　≠ｏ（４　Ｏ　Ｉ（）．　ｖ；　【】　

，一　㈣　

定义Ｆ　（ｓ）＝＝：∑ｆｏ（ｓ　），对于很小的　

值，丰度向量ｓ的Ｌ０模ｌ＿　Ｉｌ。≈　—ｆａ（ｓ），当　

一０时，ｌＩ　ｓ　ｌＩｏ—ｍ—Ｆ　（ｓ），可以通过最大化　

Ｆ　（　）寻找丰度向量ｓ的最小Ｌ０模。　的大小决　

定了函数Ｆ　（ｓ）的平滑程度，　值越大，Ｆ　（ｓ）越平　滑，对ＬＯ模的近似越差；当　越小，Ｆｖ（ｓ）越接近　

于Ｌ０模。丰度矩阵｜ｓ的平滑Ｌ０模为　

ＩＩ　Ｓ　ｌ＿。＝１一　Ｆ　（ｓ）：　

卜　∑∑，　（ｓ　）　（６）　

平滑Ｌ０模约束的ＭＶＣ－ＮＭＦ算法（这里称　作ＳＣ—ＭＶＣ—ＮＭＦ算法）相比较ＭＶＣ－ＮＭＦ算法　

的改进之处有以下两个方面。　１）目标函数为　

一　１　ｌｌ　Ｘ－－ＡＳ　＋　

Ａ）＋ａ　［１－扣　）］　（＇』　

Ｊ≥Ｏ，ｌ　Ｓ一１　

由于常数项对目标函数的变化没有影响，去　

掉目标函数中的常数项后，式（７）变为

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基于约束非负矩阵分解的图像表示

基于约束非负矩阵分解的图像表示

对于图像的约束非负矩阵分解

摘要：非负矩阵分解(NMF)对于寻找非负数据的块基础和线性表示是一个常用的方法。它已经广泛的应用于各种应用，比如模式识别，信息检索，计算机视觉。但是，NMF本质上是一个非监督方法，不能利用标签信息。在本文中，我们提出一种新的半监督矩阵分解方法，叫约束非负矩阵分解(CNMF)，将标签作为附加约束合并进来。特别地，本文显示出结合标签信息能非常简洁地提高矩阵分解的识别能力。我们利用两个函数公式和提供的相应优化问题的更新解决方法来研究所提出的CNMF方法。通过实际数据的评估，我们所提出的方法和最先进的方法相比更有效。

索引词：非负矩阵分解，半监督学习，降维，聚类

1.简介

许多数据分析中一个基础的问题就是寻找一个合适的表示数据[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]，[7]，[8]。可以应用一个非常有效的方法表示数据之间的潜在结构。矩阵分解技术作为这类数据表示的基础工具已经得到越来越多的注意。运用不同的标准已经得到了大量不同的方法。最流行的技术包括主成分分析(PCA)[9]，奇异值分解(SVD)[10]，和向量量化[11]。矩阵分解的中心是找到两个或者更多的因子产生原始数据的一个好的逼近。在实际应用中，分解之后的矩阵维数通常远远小于原始数据的维数。这就引起了数据的压缩表示，促进了其他研究比如聚类和分类。

在矩阵分解方法中，非负矩阵分解(NMF)有一个限制即所有的矩阵因子都必须是非负的，即所有的因子必须大于等于零。这个非负性约束使NMF从感觉上只能对原始数据进行加操作不能减。因此，对于图像处理，人脸识别[2][12]，文件聚类[13][14]是一个理想的降维方法，它们就是由部分组成整体的。

NMF是一个非监督学习方法。NMF不能应用于许多实际的问题当专家认为是可行的有限知识中。但是许多机器语言的研究发现未标签的数据当与一些少量的标签数据相结合时在研究精确度上会产生相当大的提高[15][16][17]。全标签训练集的处理过程可能会很昂贵，然而少量的标签数据的获得相对便宜。在这种情况下，半监督学习方法就有很大的实用价值。因此，用半监督学习方法研究NMF很有意义。

非负矩阵分解算法概述之Lee&Seung的世界

非负矩阵分解算法概述之Lee&Seung的世界

非负矩阵分解算法概述

（吴有光）

NOTE：本文为科普文章，尽量做到通俗而不严格，比较适合理论小白补补NMF历史

第一部分Lee&Seung的世界

1 引言

现实生活中的数据，我们总是希望有个稀疏表达，这是从压缩或数据存储的角度希望达到的效果。从另一方面来讲，我们面对大量数据的时候，总是幻想能够发现其中的“规律”，那么在表示或处理的时候，直接操作这些提纲挈领的“规律”，会有效得多。这个事情，让很多的科学家都伤透脑筋，不过也因此有了饭碗。

1.1第一个例子

我们先来看一个简单的例子。在人文、管理或社会学里，实证研究方法是常用的方法。比如我们来考察大学生就业过程，对学生的选择工作类别的动机，我们常说“想吃劳保饭的同学铁了心要考公务员，喜欢轻松自由氛围的同学更趋向于外企，只想稳定的同学认为国企最好，富二代神马的最爱创业然后继承家产了”，这句话如果要严格来论证是不可能的，那么我们转而寻求“调查论证”，即通过设计问卷（问卷上设计了可能影响学生选择的因素，比如家庭情况、学业情况、性格取向、对大城市或家乡的热恋程度、以及人生观价值观等等各种我们可能会影响就业取向的因素）各种我们猜测会影响学生。

问卷上来后，我们通过统计得到如下的列表。

图1 第一个例子的统计表示例

表中的各个因素我们进行了量化，比如性格因素从完全内向到热情奔放分为5个等级（可以用一些问题来直接或间接获得这个等级）。那么剩下的问题就是回答开始的问题： （1）是不是我们设计的每个因素都有效？（显然不是，之所以设计问卷就是要来解决这个问题的）

（2）是什么因素影响了学生的最终选择？或者说，从统计上来看，每个因素占多大比重？

这时，用矩阵来表示可写为，其中就表示那个因素矩阵，表示最终取向，代表我们要求的系数。我们把要求的用代替，写成矩阵形式为：

(1)

更进一步，如果我们不仅调查学生的去向，还想同时调查很多事情，那么就会有，这样上面的式子改写为：

nmf验证方法

nmf验证方法

nmf验证方法

全文共四篇示例，供读者参考

第一篇示例：

nmf验证方法 是研究非负矩阵因子分解的一种重要方法。nmf是一种矩阵分解技朧，用于解决大型数据矩阵中的模式和结构，它将一个非负矩阵分解为两个或多个非负的因子矩阵。nmf在图像处理、文档分类、生物信息学等领域有广泛的应用。

nmf验证方法是指对nmf算法的结果进行验证，评估其有效性和稳定性的一种方法。在实际应用中，nmf算法往往会受到数据噪音、初始值选取、参数设置等因素的影响，导致分解结果不稳定或不准确。为了保证nmf算法的可靠性，需要对其进行充分的验证和评估。

nmf验证方法包括内部验证和外部验证。内部验证是指利用原始数据矩阵本身来评估nmf算法的结果，常用的方法包括重构误差、稀疏性评估、聚类性能评估等。重构误差是指原始数据矩阵与重构矩阵之间的差异度，通过计算重构误差可以评估nmf算法的精度。稀疏性评估是指因子矩阵是否具有稀疏性，稀疏性较好的因子矩阵通常能更好地反映数据的结构。聚类性能评估是指利用因子矩阵进行聚类分析，评估nmf算法在聚类任务上的表现。

外部验证是指利用已知的标签信息对nmf算法的结果进行评估，常用的方法包括准确率、召回率、F值等。准确率是指分类器正确分类的样本数占总样本数的比例，召回率是指真实正例被分类器正确找到的比例，F值是准确率和召回率的加权调和平均。通过比较nmf算法的外部验证指标，可以评估其在真实任务中的性能。

除了内部验证和外部验证，还可以采用交叉验证、指标选择等方法来评估nmf算法的稳定性和泛化能力。交叉验证是指将数据划分为训练集和测试集，多次验证算法的效果，以减少因数据集划分不同而导致的误差。指标选择是指挑选适合特定任务的评估指标，如对于文档分类任务可选用准确率等指标。

nmf验证方法是评估nmf算法有效性和稳定性的重要手段，通过内部验证、外部验证、交叉验证和指标选择等方法，可以全面评估nmf算法在不同任务中的表现，从而提高其实际应用的可靠性和有效性。希望通过不断的研究和实践，能够不断完善nmf验证方法，推动nmf算法在各个领域的应用和发展。

非负矩阵因子分解算法

非负矩阵因子分解算法

非负矩阵因子分解算法

非负矩阵因子分解（Non-negative Matrix Factorization, NMF）是一种常用的非负矩阵分解技术，它在许多领域中都得到广泛应用。NMF的目的是将一个非负矩阵分解为两个非负的低秩矩阵，从而提取出矩阵的潜在特征。

在NMF中，给定一个非负矩阵V，我们希望找到两个非负矩阵W和H，使得V≈W×H，其中W是一个m×r的非负矩阵，H是一个r×n的非负矩阵，r是预先设定的秩。W和H都是非负的这个约束使得NMF能够提取出不具有线性线性相关性的特征。

NMF的优化问题可以定义为最小化目标函数：

min||V - WH||，其中||.||表示矩阵的F范数

为了求解这个优化问题，可以使用迭代的方法逐步优化W和H。具体来说，首先初始化W和H为非负矩阵，然后交替更新W和H，直到满足终止条件。 1.初始化W和H为非负矩阵，可以使用随机值或者根据先验知识给定的初值。

2.更新W：固定H，通过最小化目标函数得到最优的W。

2.1计算乘法更新规则：W = W * (VH^T) / (WHH^T)

2.2对W进行非负约束处理，将所有小于0的元素置为0。

3.更新H：固定W，通过最小化目标函数得到最优的H。

3.1计算乘法更新规则：H = H * (W^TV) / (W^TWH)

3.2对H进行非负约束处理，将所有小于0的元素置为0。

4.判断终止条件，可以设置迭代次数上限或者设定一个阈值，当目标函数下降到一定程度或者迭代次数达到上限时，停止迭代。

5.重复步骤2和3，直到满足终止条件。

NMF的优点是提取到的特征是非负的，因此可以应用于文本挖掘、图像处理和声音信号处理等领域。此外，NMF还具有良好的可解释性，因为W和H可以看作是每个特征在样本中的贡献度和每个样本在特征上的表示。 然而，NMF也存在一些局限性。首先，NMF是一个非凸优化问题，因此可能会陷入局部最优解。其次，NMF对初始值较为敏感，不同的初始值可能会导致不同的结果。此外，NMF的计算复杂度较高，特别是对于大规模矩阵的分解。