第四节 反常积分 无穷限广义积分 无界函数的广义积分

反常积分定义

反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。

简述

的定分数的分数区间都就是非常有限的，被内积函数都就是有界的。但在实际应用领域和理论研究中，还可以碰到一些在无穷区间上定义的函数或非常有限区间上的无界函数，对它们也须要考量类似的定分数的问题。因此，存有必要定分数的概念予以推展，并使之能够适用于于上述两类函数。这种推展的分数，由于它异于通常的定分数，故称作广义分数，也称作反常分数。

积分是微积分的一个重要组成部分。功能积分学包括两个部分：不定积分和定积分。换元积分法和部分积分法是计算积分的最基本方法。单元法是定积分的基本思想，所以作为定积分的应用，必须掌握元素法的基本思想。

重点原产：

(1)基本计算

①不定积分;

②定积分;

③反常分数;

(2)定积分的应用(重要考点)

①平面图形的面积;

②旋转体的体积;

③曲率(数一、二);

④侧面积(数一、二);

⑤物理应用领域(数一、二)。

反常积分的概念

反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。

几何意义：

反常积分存在时的几何意义：函数与X轴所围面积存在有限制时，即便函数在一点的值无穷，但面积可求。

例如的几何意义是：位于曲线之下，X轴之上，直线x=0和x=a之间的图形面积，而x=a点的值虽使无穷，但面积可求。

类型：

1.无穷区间反常积分

每个被积函数只能有一个无穷限，若上下限均为无穷限，则分区间积分。

2.无界函数反常积分

即瑕积分，每个被积函数只能有一个瑕点，多个瑕点则分区间积分。

3.混合反常积分

对于上下限均为无穷，或被积分函数存在多个瑕点，或上述两类的混合，称为混合反常积分。对混合型反常积分，必须拆分多个积分区间，使原积分为无穷区间和无界函数两类单独的反常积分之和。

敛散性判断：

反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。首先要记住两类反常积分的收敛尺度：对第一类无穷限而言，当x→+∞时，f(x)必为无穷小，并且无穷小的阶次不能低于某一尺度，才能保证收敛；对第二类无界函数而言，当x→a+时，f(x)必为无穷大，且无穷大的阶次不能高于某一尺度，才能保证收敛；这个尺度值一般等于1，注意识别反常积分。

反常积分的理解

反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。

反常积分就是积分区间是无界的，也就是区间可以有无穷大，也可以是有限区间函数在某点处无界。

反常积分的出现，是因为在实际应用和理论研究中，还会遇到一些在无限区间上定义的函数或有限区间上的无界函数，对它们也需要考虑类似于定积分的问题。

反常积分和定积分的区别：

反常积分可能出现积分区间无界的情况，而定积分只能在有限的区间上积分。

反常积分的被积函数可能存在瑕点（即无界点），而定积分的被积函数都是有界的。

反常积分可能出现积分后结果为无穷大的情况，而定积分的积分结果总是有限的。

反常积分和定积分的联系：

反常积分和定积分都是用来计算面积的。

反常积分的结果可能是一个数，也可能是一个无穷大，而定积分的结果是一个数。

反常积分和定积分的计算方法有很多相似之处，如换元法、分部积分法等。

反常积分的应用：

在物理学中，反常积分被广泛应用于处理具有无限大能量或质量的系统的问题。

在经济学中，反常积分可以用来计算具有无限时间跨度的投资或消费的累积效应。

在工程学中，反常积分可以用来分析具有无限大尺寸或无界范围的系统的性质。

本科高等数学

42 第四节 定积分的近似计算（略）

第五节 广义积分

㈠．本课的基本要求

掌握无穷区间和无界函数的广义积分的定义并运用

㈡．本课的重点、难点

无穷区间的广义积分为重点，无界函数的广义积分为难点

㈢．教学内容

前面讨论的定积分有二个前提：一是积分区间是有限的；二是被积函数在该区间是有界的。而实际问题中往往要突破这两个限制，这就需要把定积分的概念加以推广而为反常积分。

一．无穷限的反常积分

先考察位于曲线Axxxxy,112轴之上而夹在之下，直线之间的区域的面积。

1)(11)(lim12AIAAxdxAIAA时，有，当

自然，可以把这一极限理解为位于曲线112xxxy轴之上，直线之下，之右向右无限延展的区域的面积。

但是，如果对,1,1xxy考察同样的问题，有)(ln11AAdxxA

在这种情形下，无限延展的区域就没有有限的面积了。

一般地：

定义1 设tatdxxfataxf)(,),[)(lim极限上连续，取在区间称为),[)(axf在区间上的反常积分，记为tatadxxfdxxf)()(lim。

如果等号右端的极限存在，则反常积分adxxf)(收敛；如果等号右端的极限不存在，则称此反常积分发散。

类似地，可以定义],()(bxf在上的反常积分为bttbdxxfdxxf)()(lim

对于),()(在xf上的反常积分定义为dxxf)(cttdxxf)(limtctdxxf)(lim

其中c为介于a,b之间的任意实数，a,b各自独立地趋向于负、正无穷大，且仅当右端两个极限都存在时，反常积分dxxf)(才收敛，否则是发散的。上述反常积分统称为无穷限的反常积分。由定义可见，反常积分的基本思想是先计算定积分，再取极限。