小学奥数数论讲义 3-整数分拆之分类与计数竞赛集训题

小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆整数的拆分，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。

整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。

在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。

例1.电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。

我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。

如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。

由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。

例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。

所以最多可以播7天。

例2：有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。

问：有多少种不同支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。

因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。

当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。

当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。

总共有5种不同的支付方法。

例3：把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？解：37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5+13+19=7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17，共10种不同拆法，其中3×5×29=435最小。

二年级A 班专属讲义////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////----1----计数第01讲_整数分拆(学生版)计数第01讲_整数分拆一.概念：整数分拆：把一个自然数表示成若干个自然数的和的形式．二.方法：在进行整数分拆时，要按一定的顺序，做到不重复、不遗漏．将一个整数拆分成三个数相加，其实可以先固定第一个数，那剩下两个数的和也是固定的，这样问题就转化成将一个新的整数拆分成两个数相加．三.与分堆的区别整数分拆，分堆无顺序，分人有顺序．重难点：对于整数分拆问题，一定要思考全面，正确的区分分堆与分人的差别，确定正确的拆分方法。

枚举过程中注意题目地限制条件“最少”、“不超过”等．题模一：分2人----2----二年级A 班专属讲义////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////计数第01讲_整数分拆(学生版)例1.1.1老师把9颗糖分给丽丽和阿强，使得他俩每人都有糖，有__________种不同的分法．例1.1.2两个海盗分20枚金币．请问：如果每个海盗最多分到16枚金币，一共有__________种不同的分法．题模二：分3人例1.2.14个鸡蛋分给东东、西西和文文三个人，有人可能没分到，共有__________种不同的分法．例1.2.2三个同学分5个高思积分，每个同学至多分到3个高思积分，也有可能分不到，共有__________种不同的分法．例1.2.3三个海盗分18枚金币，每个海盗至少分到5枚金币，共有__________种不同的分法．题模三：分2堆例1.3.1有10个萨琪玛，把它们分成两堆，一共有__________种不同的分法．例1.3.2有15个玻璃球，要把它们分成两堆，一共有__________种不同的分法．这两堆球的个数可能相差__________个．例1.3.3蕊蕊有20块巧克力，如果她要把这些糖果分成2堆，且每堆最少有2块巧克力，那么一共有多少种不同的分法？题模四：分3堆例1.4.19个金币分成3堆，共有__________种不同的分法．例1.4.2生物老师让大家观察蚂蚁的习性，小高在小区的广场上发现了12只黑蚂蚁，这12只蚂蚁恰好凑成了3堆，每堆至少有2只．这3堆蚂蚁可能各有___________只．例1.4.3把12个金币放入三个相同的袋子中，每个袋子至多放6个金币，也可能有袋子不放金币，共有__________种不同的放法．例1.4.418个苹果分成3堆，每堆至少放4个苹果，至多放9个苹果，共有__________种不同的分法．随练1.1老师给小高14个相同的练习本，如果小高把这些本子全都分给墨莫和卡莉娅，有多少种不同的分法？随练1.2三个同学分6个汉堡，每个同学至多分到4个汉堡，也有可能分不到，共有__________种不同的分法．随练1.3三个同学分4个冰激凌，每个同学至多分到2个冰激凌，也有可能分不到，共有__________种不同的分法．随练1.45个苹果分给东东、西西和文文三个人，有人可能没分到，共有__________种不同的分法．随练1.5现在有7束玫瑰花，要把它们分成2堆，一共有多少种不同的分法？二年级A 班专属讲义////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////----3----计数第01讲_整数分拆(学生版)随练1.67个苹果分成3堆，共有__________种不同的分法．随练1.7（1）小明买回了一袋糖豆，他数了一下，一共有10个．现在他要把这些糖豆分成3堆，一共有多少种不同的分法？（2）如果小明有两袋糖豆，每袋10个．要把这两袋糖豆分成3堆，每堆最少要有5个，一共有多少种不同的分法？随练1.8把14个金币放入三个相同的袋子中，每个袋子至多放7个金币，也可能有袋子不放金币，共有__________种不同的放法．作业1两个海盗分20枚金币．请问：如果每个海盗最少分到5枚金币，一共有__________种不同的分法．作业26个相同的笔记本分给东东、西西和文文三个人，有人可能没分到，共有__________种不同的分法．作业3把9块蛋糕分给果果、蕊蕊、莹莹三个小朋友，每位小朋友至少要有2块蛋糕，共有多少种不同的分法？作业4现在有7束百合花，要把它们放在两个不同的盒子里，每个盒子里面都要有百合花，一共有多少种不同的分法？作业58个金币分成3堆，共有__________种不同的分法．作业6把15个金币放入三个相同的袋子中，每个袋子至多放7个金币，也可能有袋子不放金币，共有__________种不同的放法．作业720个苹果分成3堆，每堆至少放5个苹果，至多放8个苹果，共有__________种不同的分法．作业8雷雷去地里挖红薯，一共挖了11个红薯，现在要把它们分成3堆，一共有多少种不同的分法？。

三年级奥数春季班第10讲整数的分拆之强化篇一、引言随着春季班的推进，我们来到了三年级奥数的第10讲——整数的分拆。

整数分拆是数学中一个有趣且实用的领域，通过学习这一讲，同学们将能够掌握整数分拆的基本概念和方法，并在实际问题中灵活运用。

二、整数分拆的概念与方法1.整数分拆的含义整数分拆，指的是将一个整数拆分成若干个正整数的和。

在数学中，整数分拆有着广泛的应用，如求解最值问题、优化问题等。

2.整数分拆的方法整数分拆的方法主要包括：质因数分解、同余分拆、最简分拆等。

这些方法在解决不同类型的问题时有所侧重，接下来我们将通过实例来了解。

三、整数分拆的强化篇1.强化分拆的定义与特点强化分拆，是指在常规整数分拆的基础上，对拆分后的整数进行进一步的优化。

强化分拆的特点如下：（1）强化分拆追求拆分方式的简洁性；（2）强化分拆注重运用数学原理，如数论、组合数学等；（3）强化分拆强调解题策略的多样性。

2.强化分拆的实例解析以下是一个利用强化分拆求解最值问题的实例：题目：已知正整数n，求n(n+1)(n+2)(n+3)的最小值。

解：通过强化分拆，可以将n(n+1)(n+2)(n+3)转化为(n^2+3n)(n^2+3n+2)。

进一步拆分为(n^2+3n)[(n+1)+(n+2)]，然后利用基本不等式，得到最小值为24。

四、整数分拆在奥数中的应用1.题目类型一：利用整数分拆求解问题例题：求解不等式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|≥4。

解：将不等式转化为四个绝对值之和的形式，然后根据整数分拆的原理，讨论x的取值范围，求解得到x∈[-1,4]。

2.题目类型二：利用整数分拆优化问题例题：已知四个数a、b、c、d，求a^2+b^2+c^2+d^2的最小值。

解：利用整数分拆，将a、b、c、d分为两组，使得两组数的和相等。

然后根据平方差公式，将原式转化为一个关于和的形式，进一步求解得到最小值。

3.题目类型三：整数分拆与组合数的联系例题：求解组合数问题C(n,m)=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)/m!的性质。

整数分拆之最值与应用一、拆分的基础知识整数的拆分问题常常以计数问题、最值问题等形式出现，因此除了掌握有关的等差数列、数的整除、平均数等基本知识外，还要求掌握加法原理、乘法原理、枚举法、筛选法等基本的记数原理和方法。

二、拆分基本方法1.题目要求拆质数且乘积最大——若可以拆相同的数字就按照“多拆3，少拆2，不拆1——拆分后乘积最大”原则。

2.若题目要求拆成若干个互不相同的自然数之和——要求这些自然数的乘积尽量大应将数列拆分成：a=2+3+4+…的形式，但是实际计算的时候会发现一般不能拆成恰好相同，则：⑴当多0时，将a拆成a=2+3+4+…+ (n-1)+n；⑵当多1时，将a拆成a=3+4+5+…+ (n-1)+( n-1)；⑶当多2，3，…，n－1中的数时，就将该数从2，3，…，n－1，n中删除，其余数即为所拆之数。

例如：将30拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样拆？2+3+4+5+6+7+8=35比30大5，故将5去掉30被拆成2+3+4+6+7+8【例1】将15拆分成2个数的和，并且使这2个数的乘积最大，应该怎样拆分？最大值是多少？【巩固1】把11拆分成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何拆分？【巩固2】试把14拆分为两个自然数之和，使它们的乘积最大。

【例2】试把14拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。

【巩固】试把19拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。

【例3】试把1999拆分为8个自然数的和，使其乘积最大。

【巩固】试把1553拆分为6个自然数的和，使其乘积最大。

【例4】将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形,共有种不同的做法，其中面积最大的是哪一种长方形？【巩固】有长方形和正方形三块地。

它们的周长是100米，它们的一条边长分别是30米，28米和25米。

这三块中哪一块地最大？面积是多少？【例5】把14拆分成若干个自然数的和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把14如何拆分？这个最大的乘积是多少？【巩固】分别拆分2001、1994、1993三个数，使拆分后的积最大。