重庆大学硕士研究生齿轮啮合原理考题

一、 基本概念（每题4分，共计32分）1．解释齿轮的瞬心线？答：设有两个直齿齿轮，它们的轴线平行，在垂直于轴线的一个截面内，齿轮的中心为1O 及2O （图1.1），齿轮的瞬时角速度为1ω及2ω，从起始位置开始的转角为1ϕ及2ϕ，则1212=,=d d dt dtϕϕϕϕ，瞬时传动比为12i ，11112222d d dt i d d dtϕωϕϕωϕ===。

如果齿轮副不是以等比传动，则12i 是个变数，它可以表示为齿轮1的转角的函数1ϕ，即121=()i f ϕ；当传动比是常值时，111222i ωϕωϕ==。

设平面Ⅰ随同齿轮1绕1O 旋转，平面Ⅱ随同齿轮2绕2O 旋转。

在任意一点M 处，齿轮1对齿轮2的相对运动速度矢量错误！未找到引用源。

V I Ⅱ，M 点随着Ⅰ转动时的线速度矢量为V I ，M 点随着Ⅱ转动时的线速度矢量为V Ⅱ。

M 点的位置不同，该点处的相对运动速度V I Ⅱ也不同。

对于=V V I Ⅱ的点，其相对运动速度为零。

由于这点的V I 与V Ⅱ方向相同，模也相等，它必定在中心联线12O O 上（否则V I 与V Ⅱ的方向不可能相同），设它为图1.1中的P 点，而1122O P r O P r ==，，则从V I 与V Ⅱ的模相等的条件可知，1122r r ωω∙=∙。

所以瞬时传动比成为 121221=r i r ωω= 。

P 点处的相对运动速度为零，所以P 点就是两齿轮的瞬时相对运动中心（瞬心）。

由于P 点在联心线12O O 上，且221211O P r i O P r ==，当传动比12i 是变数时，在齿轮传动过程中，P 点的位置也是在12O O 上变动的。

P 点在平面Ⅰ及Ⅱ上的轨迹就称为齿轮1及齿轮2的瞬心线（图1.2）。

由于两瞬心线在任意瞬时都只接触在一点（瞬心），而在接触点处他们的相对运动速度又等于零，所以它们作相对的纯滚动。

如果把两瞬心线做成摩擦轮并且让它们作纯滚动，那么它们的运动规律和两个齿轮的运动规律是一样的。

图1.1 两齿轮的相对运动 图1.2 瞬心线本题参考文献：吴序堂. 齿轮啮合原理[M]. 北京: 机械工业出版社, 1982.2．解释齿轮的瞬时回转轴？ 答：在平行轴或相交轴的齿轮副中，两齿轮作相对的瞬时回转运动的轴线，称为瞬时回转轴。

在交错轴齿轮副中，两齿轮作相对的瞬时螺旋运动的轴线，也称为瞬时回转轴。

如图1.3。

图1.3 齿轮的瞬时回转轴本题参考文献：减速机信息网. 齿轮基本术语一般定义（GB/T3374-92）[EB/OL]. /2007-5/2007531163824.htm, 2007, 5.3．解释齿轮的瞬轴面？答：图1.4表示回转运动在两个相交轴之间进行传递，两轴线Oa 和Ob 构成夹角γ。

两齿轮朝相反的方向转动，瞬时回转轴线OI 是齿轮1对齿轮2（或齿轮2对齿轮1）相对运动中的角速度(12)ω 的作用线，OI 相对于两齿轮轴线的方向用角1γ和2γ来确定。

瞬时回转轴在与回转齿轮i 刚性固接的动参考标架(1,2)i S i =中的轨迹构成瞬轴面。

在两相交轴之间的回转运动进行传递的情况下，瞬轴面是两个顶角为1γ和2γ的圆锥。

图1.5中，两个构件分别以角速度(1)ω 和(2)ω 绕两个相错轴转动，转动轴线构成相错角γ，两轴线之间的最短距离为E 。

当构件1和2转动时，螺旋运动的瞬时轴线s s -在参考标架1和2中将形成两个曲面——回转双曲面。

这样的曲面是在两相错轴之间传递回转运动情况下的瞬轴面，此时的瞬轴面是螺旋运动瞬时轴线在坐标系(1,2)i S i =中形成的轨迹。

图1.4 瞬轴面：两相交轴之间的回转运动 图1.5 瞬轴面：两相错轴之间的回转运动 本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.4．解释平面曲线的曲率？答：在图1.6中，用s 表示曲线的弧长。

考察曲线上分别与s 和s s +∆对应的两个相邻的点M 和N ，图1.6(a)。

点M 和N 之间的弧长s ∆，而α∆是点M 和N 处的两条切线之间的夹角。

当点N 趋近于点M 时，比值sα∆∆的极限称为曲线在点M 处的曲率（标记为K ），即0lims K s α∆→∆=∆。

在0l i m =s d s d s αα∆→∆∆存在的条件下，d K ds α=。

比值s α∆∆称为曲线在点M 处的曲率半径（标记为c ρ），即=c s ρα∆∆，且1=c K ρ。

这里的c ρ是极限（密切）圆的半径，极限圆是当两个相邻点N 和'N 趋近于点M 时通过点M 和该两个相邻点画出的，图1.6(b)。

圆心C 称为曲率中心。

图1.6 齿轮的瞬时回转轴本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.5．解释共轭齿形？答：在图1.7中Ⅰ、Ⅱ是两齿轮的瞬心线，1、2则是相应的一对齿形。

齿轮传动过程中，两瞬心线作相对的纯滚动，两齿形则应时时保持相切接触（有相对滑动），它们常称为互相共轭的齿形或共轭齿形。

共轭齿形在传动的任一瞬时，它们在接触点的公法线必然通过该瞬时的瞬心点P 。

P 点在联心线12O O 上，而22112112=O P r i O P r ωω==。

当传动比12i 是常值时，P 点在联心线12O O 上的位置是固定的，因此，共轭齿形在接触点的公法线是通过一个定点（节点）P 的。

图1.7 共轭齿形本题参考文献：吴序堂. 齿轮啮合原理[M]. 北京: 机械工业出版社, 1982.6．解释啮合面？答：配对曲面1∑和2∑（图1.8）在每一个瞬时彼此沿着一条线相接触，该线称作瞬时接触线或者特征线。

齿轮齿面上瞬时接触线的位置决定于运动参数φ。

而啮合面是表示在与机架刚性固定坐标系f S 中的瞬时接触线族。

啮合面用如下方程表示：(,,)(,,)0f f r r f μθφμθφ== 。

式中11f f r M r = ，这里，44⨯矩阵1f M 描述1S 到f S 的坐标变换。

图1.8 齿面上的瞬时接触线 本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.7．解释齿廓渐屈线？答：一条给定齿廓曲线的渐屈线是该齿廓曲线曲率中心的轨迹，也是该齿廓曲线密切圆圆心的轨迹（图1.9）。

齿廓曲线每一点的法线都和其渐屈线相切，因此，齿廓渐屈线也是齿廓法线族的包络。

在齿轮的瞬心线给出的情况下（图1.10），齿轮齿廓的渐屈线可由p r PC =+确定，式中p 为齿廓渐屈线的径矢，r 为瞬心线的径矢。

PC 的模l 由下式确定：s i n ()1s i n P C l r d u d λμλφ-==⎛⎫+ ⎪⎝⎭式中r r =。

在图1.10的直角坐标系中，齿廓的渐屈线方程为：c o s c o s (s i ns i n ()x r l y r l φφλφφλ=++⎧⎨=++⎩图1.9 齿廓的渐屈线 图1.10 齿廓渐屈线坐标系 本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.8．写出Euler 的方程式？答：Euler 方程建立了曲面的法曲率和主曲率之间的关系，并且表示为22cos sin n K K q K q I =+Ⅱ。

式中q 是由矢量MN 和单位矢量e I 构成的夹角（图1.11）。

矢量MN 表示在曲面的切面上选取的方向，而n K 是曲面在这个方向上的法曲率。

单位矢量e I 和e Ⅱ沿着两个主方向，而K I 和K Ⅱ是主曲率。

图1.11 矢量的分解本题参考文献：李特文. 齿轮几何学与应用理论[M]. 国楷, 叶凌云, 范琳等, 译. 上海: 上海科学技术出版社, 2008.二、 采用数学软件推导微分的方法（16分）要求：举实例详细说明，并作图及列出程序。

问题的提出：假设有某数控齿轮加工机床，可以通过机械手实现自动上、下料。

待加工齿轮位于机床坐标系中x 轴上的A 点（10，0），机械手从位于坐标原点的O （0，0）点出发（图2.1），准备去夹持待加工齿轮，机械手在运动过程中，其夹持部位始终对准待加工齿轮。

如果待加工齿轮以平均速度0V (常数)沿着平行于y 轴的直线行驶，机械手的速度是06V 。

求解机械手运行的曲线方程，并求解经过多长时间，机械手能够夹持住待加工齿轮？图2.1 机械手运动路径示意图问题的求解：设机械手在t 时刻夹持住待加工齿轮，此时待加工齿轮的坐标为()(),()X t Y t ，机械手的坐标为()(),()x t y t 。

① 设机械手恒定速度为μ，则222dx dy dt dt μ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ② 由于机械手的夹持部位始终对准待加工齿轮，故机械手的速度平行于待加工齿轮与机械手夹持部位的差向量，即 (0)dx X x dt dy Y y dt λλ⎛⎫ ⎪-⎛⎫=> ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ 消去λ得：dx dt dy dt ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩③ 因为待加工齿轮以平均速度0V 沿着直线=10x 运动，设0=1V ，则=6=10=X Y t μ，，。

因此机械手运行轨迹的参数方程为：(0)0,(0)0dx dt dy dt x y ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪==⎪⎩ ④ 接机械手运行轨迹的参数方程1) 建立m-文件eq2.m 如下：function dy=eq2(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=6*(10-y(1))/sqrt((10-y(1))^2+(t-y(2))^2);dy(2)=6*(t-y(2))/sqrt((10-y(1))^2+(t-y(2))^2);2) 取t 0=0，t f =2，建立主程序chase2.m 如下：[t,y]=ode45('eq2',[0 2],[0 0]);Y=0:0.01:2;plot(10,Y ,'-');hold on;plot(y(:,1),y(:,2),'*')图2.2 在matlab 中编写的文件eq2.m⑤结果输出图2.4 matlab计算得出的结果机械手大致在（10，1.75）处夹持住待加工齿轮。

在chase2.m中，逐步修改t f，即分别取t f=1.9，1.8，1.75，…,直到t f=1.73时，得图2.5。

图2.5 t=1.73时matlab计算得出的结果所以，在t=1.73时刻，机械手在（10，1.73）处夹持住待加工齿轮。

三、推导方程（1题8分，2题12分，共计20分）1. 坐标系错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。