计算机辅助求解一元高次方程

ｆ　淳技术　应用研究　
２．２．１弦截泼　
例如：求解方程ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ＝Ｏ。弦截法求解具体思路如下：　（１）取两个不同点ｘ１，ｘ２，如果ｆ（ｘ１）和ｆ（ｘ２）符号相反，则（Ｘ１，ｘ２）　区间内必有一个根。如果ｆ（ｘ１）与ｆ（ｘ２）同符号，则应改变ｘｌ，）【２，直到　ｆ（ｘ１）、ｆ（ｘ２）异号为止。注意ｘ１、）【２的值不应差太大，以保证（ｘｌ，ｘ２）区　间内只有一个根。　（２）连接ｆ（ｘ１）和ｆ（ｘ２）两点，此线（即弦）交Ｘ轴于Ｘ，见图４。　Ｘ点坐标可用下式求出：　型二　竺　，再由ｘ求出ｆ（ｘ）。ｆ（ｘ２）ｆ（ｘｌ　Ａ一　一　、　’ｆ　Ｅｑ＾　Ｌｌ＿ｌ　、五，。　（３）若　ｘ）与ｆ（Ｘ１）同符号，则根必在（ｘ，ｘ２）区间内，此时将Ｘ作为　新的ｘ１。如果　ｘ）与ｒ（ｘ２）同符号，则表示根在（ｘｌ，ｘ）区间内，将Ｘ作为　新的ｘ２。　（４）重复步骤（２）和（３），直到ｌ　ｆ（ｘ）『＜ｅ为止，ｅ为一个很小的　数，例￣１０－６。此时认为ｆ（ｘ）一Ｏ。根据上述思路画出Ｎ—Ｓ流程图，见　图５。　输入ｘｌ、ｘ２，求ｆ（ｘ１）、ｆ（ｘ２）　直到ｆ（ｘ１）和ｆ（ｘ２）异号　程序说明：　程序中分别用几个函数来实现各部分功能：　①用函数ｆ（ｘ）来求Ｘ的函数：ｆ（ｘ）＝ａｘ　＋ｂＸ２＋ｃｘ＋ｄ；　②用函数ｘｐｏｉｎｔ（ｘｌ，ｘ２）来求ｆ（ｘ１）和ｆ（ｘ２）的连线与ｘ轴的交点　Ｘ的坐标；　③用函数ｒｏｏｔ（ｘｌ，ｘａ）来求（ｘｌ，ｘ２）区间的那个实根。显然，执行　ｒｏｏｔ函数过程中要用到函数ｘｐｏｉｎｔ，而执行ｘｐｏｉｎｔ函数过程中要用　Ｎｆ函数。　④若求解具体的一元三次方Ｎｘ３－５ｘ２＋１６ｘ－８０＝０的根，其方程　系数分别是：ａ＝ｌ，ｂ＝－５，ｃ＝１６，ｄ＝－８０，编程时可以用预编译命令　＃ｄｅｆｉｎｅ预先定义。当求解其它方程时，只需更改预编译语句即可。　程序源代码如下：　＃ｉｎｃｌｕｄｅ”ｍａｔｈ．ｈ”　＃ｄｅｆｉｎｅ　ａ　１　＃ｄｅｆｉｎｅ　ｂ－５　＃ｄｅｆｉｎｅ　ｃ　１６　＃ｄｅｆｉｎｅ　ｄ－８０　ｆｌｏａｔ　ｆ（ｆｌｏａｔ　ｘ）／｝定义ｆ函数，实现ｆ（ｘ）＝ａｘ。＋ｂｘ０＋ｃｘ＋ｄ｝／　｛ｆｌｏａｔ　ｙ，ｙ＝ａ　ｘ率ｘ牛ｘ＋ｂ牛ｘ　ｘ＋ｃ水ｘ＋ｄ；ｒｅｔｕｒｎ（ｙ）；｝　ｆｌｏａｔ　ｘｐｏｉｎｔ（ｆｌｏａｔ　ｘｌ，ｆｌｏａｔ　ｘ２）／＊定义ｘｐｏｉｎｔ函数，求出弦与　ｘ轴交点｝／　｛ｆｌｏａｔ　Ｙ；　ｙ＝（ｘｌ｝ｆ（ｘ２）一ｘ２　ｆ（ｘ１））／（ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１））｝　ｒｅｔｕｒｎ　（ｙ）；　｝　ｆｌｏａｔ　ｒｏｏｔ（ｆｌｏａｔ　ｘｌ，ｆｌｏａｔ　ｘ２）／　定义ｒｏｏｔ函数，求近似根　／　｛ｉｎｔ　ｉ｝ｆｌｏａｔ　Ｘ，Ｙ，ｙｌ　Ｉ　ｙｌ＝ｆ（ｘ１）｝　ｄｏ｛ｘ＝ｘｐｏｉｎｔ（ｘｌ，ｘ２）；　ｙ＝ｆ（ｘ）；　ｉｆ（ｙ＊ｙｌ＞Ｏ）　｛ｙｌ＝ｙ；ｘｌ＝ｘ；｝ｅｌｓｅ　ｘ２＝ｘ；　｝ｗｈｉｌｅ（ｆａｂｓ（ｙ）＞＝０．０００００１）；　ｒｅｔｕｒｎ（ｘ）；　｝　ｍａｉｎ（）　／　主函数｝／　｛ｆｌｏａｔ　ｘｌ，ｘ２，ｆ１，ｆ２，Ｘ｝　ｄｏ｛ｐｒｉｎｔｆ（”ｉｎｐｕｔ　ｘｌ，ｘ２：＼ｎ”）；ｓｃａｎｆ（”％ｆ，％ｆ”，＆ｘｌ，　＆ｘ２）；　ｆｌ＝ｆ（ｘ１）Ｉ　ｆ２＝ｆ（ｘ２）｝｝ｗｈｉｌｅ（ｆｌ　ｆ２＞＝Ｏ）｝　ｘ＝ｒｏｏｔ（ｘｌ，ｘ２）＃ｐｒｉｎｔｆ（”Ａ　ｒｏｏｔ　ｏｆ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｉｓ％８．４ｆ”，ｘ）Ｉ　｝　程序运行情况如下：　ｉｎｐｕｔ　ｘｌ，ｘ２：　２，６　Ａ　ｒｏｏｔ　ｏｆ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｉｓ：５．Ｏ０Ｏ０　由程序运行结果可知，此一元三次方程的一个实根为：ｘ＝５。　
２．２．２二分法　
二分法求根的思路与弦截法类似，所不同的唯一就在于弦截法　
中的ｘ是弦与ｘ轴交点，而二分法中取的ｘ是所取区间的中点，因此二　
分法的程序是把上述程序中的ｒｏｏｔ函数作一下更改。　
ｆｌｏａｔ　ｘｐｏｉｎｔ（ｆｌｏａｔ　ｘｌ，ｆｌｏａｔ　ｘ２）／｝定义ｘｐｏｉｎｔ函数，求出区　
间［ｘｌ，ｘ２１的中点（ｘｌ＋ｘ２）／２　／　
｛ｆｌｏａｔ　Ｙ；　ｙ＝（ｘｌ＋ｘ２）／２；　ｒｅｔｕｍ（ｙ）；｝　
２．２．３牛顿切线法　
牛顿切线法的思路是：对方程ｆｉｘ）给定一个初值ｘＯ作为方程的　
近似根，经过若干次迭代后，得到方程高精度的近似根。牛顿切线法　
迭代公式为：　

ｆ（ｘｉ）　
ｘ＿＋ｌ～　一，＾ｔ（ｘ　

其中，ｆ‘（ｘｉ）是ｆ（）【ｉ）的导数，当Ｉ　Ｘｉ＋ｌ－Ｘ　ｒ＜ｌｏ　时，Ｘｉ＋。就作为方　
程的近似解。　
实际上，牛顿切线法的实质是逐步以切线与ｘ轴的交点来作为　
曲线与ｘ轴交点的近似值。　
例如：求解方程３ｘＬ４Ｘ　－５ｘ＋ｌ　３＝０。　
其求解源程序如下：　
＃ｉｎｃｌｕｄｅ＜ｍａｔｈ．ｈ＞　
ｍａｉｎ（）　／　本例将所有功能全放在一个主函数中　／　
｛ｆｌｏａｔ　ｘｌ，ｘ２，ｆｘｌ，ｆｘ２；／｝ｆｘｌ为原方程，ｆｘ２为导数方程　
｝／　
ｘ２＝３；　
ｄｏ｛ｘｌ＝ｘ２；　
ｆｘｌ＝３＊ｘｌ十ｘ１十ｘ１—４十ｘ１＊ｘｌ－５＊ｘｌ＋ｌ３ｌ　
ｆｘ２＝９＊ｘｌ＊ｘｌ－８．ｘｌ－５；　
ｘ２＝ｘｌ－ｆｘ１／Ｉｘ２；｝ｗｈｉｌｅ（ｆａｂｓ（ｘｌ－ｘ２）＞＝１ｅ－６）；　
ｐｒｉｎｆｆ（”Ａ　ｒｏｏｔ　ｏｆ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｉｓ％８．４ｆ”，ｘ２）；｝　
程序运行情况如下：　
Ａ　ｒｏｏｔ　ｏｆ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｉｓ：－Ｉ．５４８９　
由程序运行结果可知，此一元三次方程的一个实根为：Ｘ＝－１．　
５４８９。　

３结语　
３．１两种方法比较　
使用Ｅｘｃｅｌ求解方程较为简便，操作简单，易于理解，但缺点在　
于仅仅知晓最终结果，无法了解求解过程，只能对具体的某一方程　
求解。　
使用Ｃ语言求解方程较为复杂，且解题者须具备Ｃ语言编程的　
相关知识，否则无法运行程序，但此方法可知晓具体程序以及如何　
求解，且可以通过改变预编译命令改变方程的系数，从而适用于不　
同的高次方程。　
３．２总结　
对于一个一元高次方程，我们平时求解只能通过因式分解或其　
它方法去硬凑出其根，但通过这类方法求解的方程有限，而通过上　
述两种方法可帮助我们求得此类方程的近似解，尤其是利用计算机　
的自动计算替代了我们手工计算的繁琐，且精度较高，但总的缺点　
都是只能求解出一个实根，若方程有多个实根时，一次只能计算其　
中的一个。　
参考文献　
［１］邵丽，郭宁．中文版Ｅｘｃｅｌ２０００实用教程．航空工业出版社，２０００．５．　
［２］谭浩强．Ｃ语言程序设计．清华大学出版社，２００１．１　２．