2019版高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测四十六圆锥曲线中的最值范围证明问题

（全国通用版）高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测（四十四）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题文课时达标检测（四十四） 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题[一般难度题——全员必做]1．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 2(1,0)，且该椭圆过定点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，22.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点Q (2,0)，过点F 2作直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且F 2A ―→＝λF 2B ―→，λ∈[－2，－1]，以QA ，QB 为邻边作平行四边形QACB ，求对角线QC 长度的最小值．解：(1)由题易知c ＝1，1a 2＋12b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2， 解得b 2＝1，a 2＝2，故椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l ：x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，x 22＋y 2＝1得(k 2＋2)y 2＋2ky －1＝0，Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则可得y 1＋y 2＝－2k k 2＋2，y 1y 2＝－1k 2＋2. QC ―→＝QA ―→＋QB ―→＝(x 1＋x 2－4，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2＋1k 2＋2，－2k k 2＋2， ∴|QC ―→|2＝|QA ―→＋QB ―→|2＝16－28k 2＋2＋8k 2＋22，由此可知，|QC ―→|2的大小与k 2的取值有关．由F 2A ―→＝λF 2B ―→可得y 1＝λy 2，λ＝y 1y 2，1λ＝y 2y 1(y 1y 2≠0)．从而λ＋1λ＝y 1y 2＋y 2y 1＝y 1＋y 22－2y 1y 2y 1y 2＝－6k 2－4k 2＋2，由λ∈[－2，－1]得⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－2，从而－52≤－6k 2－4k 2＋2≤－2，解得0≤k 2≤27. 令t ＝1k 2＋2，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，12，∴|QC ―→|2＝8t 2－28t ＋16＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －742－172，∴当t ＝12时，|QC |min ＝2.2．(2018·河南洛阳统考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切． 解：(1)∵AB ∥l ，∴|FD |＝p ，|AB |＝2p .∴S △ABD ＝p 2＝1. ∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)证明：显然直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋p2，A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 222p .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py消去y 整理得，x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2. ∴M (kp ，k 2p ＋p2)，N ⎝⎛⎭⎪⎫kp ，－p 2.∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p.又x 2＝2py ，∴y ′＝x p.∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1p. ∴直线AN 与抛物线相切．3．(2018·合肥模拟)已知中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆C ，其上一点P 到两个焦点F 1，F 2的距离之和为4，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的取值范围．解：(1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，e ＝c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，c ＝3，b ＝1，故椭圆C 的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4， 设△OAB 的面积为S ， 由x 1x 2＝－3k 2＋4<0，知S ＝12×1×|x 1－x 2|＝ 12x 1＋x 22－4x 1x 2＝2k 2＋3k 2＋42，令k 2＋3＝t ，知t ≥3，∴S ＝21t ＋1t＋2. 对函数y ＝t ＋1t (t ≥3)，知y ′＝1－1t 2＝t 2－1t2>0，∴y ＝t ＋1t 在t ∈[3，＋∞)上单调递增，∴t ＋1t ≥103，∴0<1t ＋1t＋2≤316，∴0<S ≤32. 故△OAB 面积的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.[中档难度题——学优生做]1．(2018·嘉兴模拟)过离心率为22的椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (1,0)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，设|FA |＝λ|FB |，T (2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若1≤λ≤2，求△ABT 中AB 边上中线长的取值范围．解：(1)∵e ＝22，c ＝1，∴a ＝2，b ＝1， 即椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当直线的斜率为0时，显然不成立． ②设直线l ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－2＝0，x ＝my ＋1得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，则y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2， 由|FA |＝λ|FB |，得y 1＝－λy 2， ∵－λ＋1－λ＝y 1y 2＋y 2y 1，∴－λ＋1－λ＋2＝y 1＋y 22y 1y 2＝－4m 2m 2＋2，∴m 2≤27， 又∵AB 边上的中线长为12 |TA ―→＋TB ―→|＝12x 1＋x 2－42＋y 1＋y 22＝ 4m 4＋9m 2＋4m 2＋22＝2m 2＋22－7m 2＋2＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，13216. 2．(2018·武昌调研)已知椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．(1)若ED ―→＝6DF ―→，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值．解：(1)由题设条件可得，椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB 的方程为x ＋2y －2＝0.设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＝4，解得x 2＝－x 1＝21＋4k2.①由ED ―→＝6DF ―→，得(x 0－x 1，k (x 0－x 1))＝6(x 2－x 0，k (x 2－x 0))，即x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，∴x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2. 由D 在AB 上，得x 0＋2kx 0－2＝0，∴x 0＝21＋2k .∴21＋2k ＝1071＋4k2，化简，得24k 2－25k ＋6＝0， 解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式可知，点E ，F 到AB 的距离分别为 d 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝21＋2k ＋1＋4k 251＋4k2，d 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝21＋2k －1＋4k 251＋4k2，又|AB |＝22＋12＝5， ∴四边形AEBF 的面积为 S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝12×5×41＋2k 51＋4k2＝21＋2k 1＋4k2＝21＋4k 2＋4k1＋4k2＝21＋4k 1＋4k2＝21＋44k ＋1k≤21＋424k ·1k＝22，当且仅当4k ＝1k(k >0)，即k＝12时，等号成立． 故四边形AEBF 面积的最大值为2 2.[较高难度题——学霸做]1．(2018·石家庄市质量检测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆上任意一点，直线TA ，TB 的斜率之积为－34.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点M (0,2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的取值范围．解：(1)设T (x ，y )，由题意知A (－4,0)，B (4,0)， 设直线TA 的斜率为k 1，直线TB 的斜率为k 2，则k 1＝y x ＋4，k 2＝yx －4.由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－34，整理得x 216＋y 212＝1. 故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线PQ 与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，y ＝kx ＋2，消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋16kx －32＝0.所以x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝－324k 2＋3.从而，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＋[x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)]＝2(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－80k 2－524k 2＋3＝－20＋84k 2＋3. 所以－20<OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→≤－523.当直线PQ 的斜率不存在时，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的值为－20. 综上，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－20，－523. 2．(2018·沈阳质量监测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝6，直线y ＝kx 与椭圆交于A ，B 两点．(1)若△AF 1F 2的周长为16，求椭圆的标准方程； (2)若k ＝24，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值； (3)在(2)的条件下，设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，且直线PA 的斜率k 1∈(－2，－1)，试求直线PB 的斜率k 2的取值范围．解：(1)由题意得c ＝3，根据2a ＋2c ＝16，得a ＝5. 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝25，b 2＝16. 所以椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.(2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝24x ，得⎝⎛⎭⎪⎫b 2＋18a 2x 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b2b 2＋18a2，由AB ，F 1F 2互相平分且共圆，易知，AF 2⊥BF 2，因为F 2A ―→＝(x 1－3，y 1)，F 2B ―→＝(x 2－3，y 2)， 所以F 2A ―→·F 2B ―→＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋18x 1x 2＋9＝0. 即x 1x 2＝－8，所以有－a 2b2b 2＋18a2＝－8，结合b 2＋9＝a 2，解得a 2＝12(a 2＝6舍去)， 所以离心率e ＝32. 法二：设A (x 1，y 1)，又AB ，F 1F 2互相平分且共圆， 所以AB ，F 1F 2是圆的直径，所以x 21＋y 21＝9，又由椭圆及直线方程综合可得：⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝9，y 1＝24x 1，x 21a 2＋y 21b 2＝1.由前两个方程解得x 21＝8，y 21＝1，将其代入第三个方程并结合b 2＝a 2－c 2＝a 2－9， 解得a 2＝12，故e ＝32. (3)由(2)的结论知，椭圆方程为x 212＋y 23＝1，由题可设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，k 1＝y 0－y 1x 0－x 1，k 2＝y 0＋y 1x 0＋x 1，所以k 1k 2＝y 20－y 21x 20－x 21，又y 20－y 21x 20－x 21＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2012－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2112x 20－x21＝－14，即k 2＝－14k 1，由－2＜k 1＜－1可知，18＜k 2＜14.即直线PB 的斜率k 2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14.。

第2课时定点、定值、范围、最值问题考点一定点问题2【例1】(2018·临汾一中月考)已知椭圆C：ax2＋y2＝1(a>0)，过椭圆C的右点和上顶点的直线与圆x2＋y2＝23相切.(1)求椭圆C的方程；(2)设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝2，证明：直线AB过定(1)解∵直线过点(a ，0)和(0，1)，∴直线的方程为 x ＋ay －a ＝0，∵直线与x 22 2 3|a | 1＋a 2 ＝ 36，解得 a 2＝2，∴椭圆 C 的方程为x 2＋y 2＝1. ＋y 2＝相切，∴ (2)证明当直线 AB 的斜率不存在时，设 A (x 0，y 0)，则 B (x 0，－y 0)，由k 2＝2 y －1－y 0－1 0 得 ＋ ＝2，解得 x 0＝－1. x x 0当直线 AB 的斜率存在时，设 AB 的方程为 y ＝kx ＋m (m ≠1)，A (x 1，y 1)，B (x y 2)， x 2 2＋y 2＝1， －4km 消去 y ，整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，得 x 1＋x 2＝1＋2k 2， 由 y ＝kx ＋m ，2m 2－2 x 1·x 2＝1＋2k 2，y －1 y －1 （kx 2＋m －1）x 1＋（kx 1＋m －1）x x 1x 2由 k 1＋k 2＝2⇒ 1＋ 2＝2⇒ 2＝2， x x 1 2即(2－2k)x1x2＝(m－1)(x1＋x2)⇒(2－2k)(2m－2)＝(m－21)(－4km)，即(1－k)(m－1)＝－km(m－1)，2由m≠1，得(1－k)(m＋1)＝－km⇒k＝m＋1，即y＝kx＋m＝(m＋1)x＋m⇒m(x＋1)＝y－x，故直线AB过定点(－1，－1).综上，直线AB过定点(－1，－1).规律方法圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.2 2x y 【训练 1】 (2018·西安模拟)设 F 1，F 2分别为椭圆 C ：＋ 2＝1(a >b >0左、右焦2 a b 点，若椭圆上的点 T (2， 2)到点 F 1，F 2的距离之和等于 42. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 y ＝kx (k ≠0)与椭圆 C 交于 E ，F 两点，A 为椭圆 C 的左顶点，直AE ，AF 分别与 y 轴交于点 M ，N .问：以 MN 为直径的圆是否经过定点？若经过求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.解(1)由椭圆上的点T(2，2)到点F1，F2的距离之和是4 2，可得2a＝4 2，a＝2 2.又T(2，2)在椭圆上，因此a42＋b22＝1，所以b＝2.2 2x y所以椭圆C的方程为＋＝1.8 4(2)因为椭圆 C 的左顶点为 A ，所以点 A 的坐标为(－2 2，0).2 2x y 因为直线 y ＝kx (k ≠0)与椭圆＋＝1交于 E ，F 两点，8 4 设点 E (x 0，y 0)(不妨设 x 0>0)，则点 F (－x 0，－y 0).y ＝kx ， 8 由x y 消去 y ，得 x 2＝ 2 2 2， 1＋2k ＋＝ 1 8 42 2，则 y ＝ 2 2k 所以 x 0＝ 1＋2k 2， 1＋2k 20 k 所以直线 AE 的方程为 y ＝1＋ 1＋2k 2(x ＋2 2).因为直线 AE ，AF 分别与 y 轴交于点 M ，N ，2 2k 2 2k 0， 令 x ＝0，得 y ＝1＋ 1＋2k 2，即点 M . 21＋ 1＋2k 2 2（1＋2k 2） . |k| 2 2k2 2k 2 2k .所以|MN |＝0， － 同理可得点 N ＝ 21＋ 1＋2k 2 1－ 1＋2k 21－ 1＋2k 设 MN 的中点为 P ，则点 P 的坐标为0，－ k 2. 2 2 2 则以 MN 为直径的圆的方程为 x 2＋y ＋ k 2＝ 2（1＋2k ） ，|k|2 2 即 x 2＋y 2＋ y ＝4，令 y ＝0，得 x 2＝4，即 x ＝2或 x ＝－2.k 故以 MN 为直径的圆经过两定点 P 1(2，0)，P 2(－2，0).考点二定值问题【例 2】 (2018·长春模拟)已知抛物线 E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为 F ，以抛物E 上点 P (2 2，y 0)y > 为圆心的圆与直线 y ＝p 2相交于 M ，N 两点，且|MN → 3|PM → | p 02＝233|PF →|.(1)求抛物线 E 的方程；(2)设直线 l 与抛物线 E 相交于 A ，B 两点，线段 AB 的中点为 D .与直线行的直线与抛物线 E 切于点 C .若点 A ，B 到直线 CD 的距离之和为 4 2，求证△ABC的面积为定值.(1)解由抛物线的定义得|PF |＝y 0＋p 2，点 P 到直线 y ＝2p 的距离为 y 0－， p 2∵圆 P 与直线 y ＝p 2相交于 M ，N 两点，且|MN → |＝3|PM → |，1 2 |MN → | ∴ ＝ 23，即 cos ∠PMN ＝ 23，∴∠PMN ＝30°， |PM →|∴点 P 到直线 y ＝p 2的距离为12|PM → |，即|PM → |＝2y － ，∵ 3|PM → |＝233|PF →|， p 0 2p 1p ∴y 0－＝ y ＋ ，得 y 0＝p ，将点(2 2，p )代入抛物线方程，得 p ＝2，0 2 3 2 ∴抛物线 E 的方程为 x 2＝4y .(2)证明设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线 l 的方程为 y ＝kx ＋b ，代入抛物线程，得x 2－4kx －4b ＝0，则 x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，则点 D (2k ，2k 2＋b ).设与直线 l 平行且与抛物线 E 相切的直线方程为 y ＝kx ＋m ，代入抛物线方程，得 x 2－4kx －4m ＝0，由 Δ＝16k 2＋16m ＝0， 得 m ＝－k 2，点 C 的横坐标为 2k ，则 C (2k ，k 2)，∴直线 CD 与 x 轴垂直，则点 A ，B 到直线 CD 的距离之和为|x 1－x 2|，即|x 1－4 2，∴（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝4 2，则 16k 2＋16b ＝32，即 b ＝2－k 2，∴|CD |＝|2k 2＋b －k 2|＝2，∴S △ABC ＝ |CD |·|x 1－x 2|＝12×2×4 2＝4 2，即△ABC 的面积为定值. 1 2规律方法圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.(2)两大解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②引起变量法：其解题流程为2 2x y 【训练 2】 (2016·北京卷)已知椭圆 C ：＋ 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为23，A (a ， 2 a b0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M ，直线 PB 与 x 轴交点 N .求证：|AN |·|BM |为定值.c 3 1 (1)解由已知＝， ab＝1. a 2 2 又 a 2＝b 2＋c 2，解得 a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. 2 所以椭圆方程为x 4＋y 2＝1.(2)证明由(1)知，A (2，0)，B (0，1).2设椭圆上一点 P (x 0，y 0)，则x 40＋y ＝1. 2 0当x0≠0时，直线PA方程为y＝y0x－2(x－2)，－2y 0令x＝0得y M＝x0－2.从而|BM|＝|1－y M|＝2y 0x0－21＋.y－1直线PB方程为y＝0x x＋1. 0－x0令y＝0得x N＝y0－1.x2＋∴|AN|＝|2－x N|＝.y0－1∴|AN |·|BM |＝x y 0－12y 0 0 2＋ 1＋ · x 0－ 2x ＋2y 0－2 x ＋2y 0－ 2 0 0 ＝·x 0－2 y 0－12 2 0x ＋4y ＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋ 4 0＝x 0y 0－x 0－2y 0＋24x y －4x 0－8y 0＋8 0 0 ＝＝ 4. x 0y 0－x 0－2y 0＋ 2当 x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2，所以|AN |·|BM |＝4.故|AN |·|BM |为定值.考点三范围与最值问题2 2 x y 【例 3】 (2018·武汉模拟)已知点 F 为椭圆 E ：＋ 2＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦2 a b 点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线4x ＋2y ＝1与椭圆 E 有且仅一个交点 M .(1)求椭圆 E 的方程；x y (2)设直线＋＝1与 y 轴交于 P ，过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两A ，4 2 B ，若 λ|PM |2＝|PA |·|PB |，求实数 λ的取值范围.2 2x y 解 (1)由题意，得 a ＝2c ，b ＝ 3c ，则椭圆 E 为＋ 2＝1. 2 4c 3c x 2 y 2 ＋＝c 2， 4 3 由得 x 2－2x ＋4－3c 2＝0. x y ＋＝1， 4 2 x y ∵直线＋＝1与椭圆 E 有且仅有一个交点 M ，4 2 ∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0⇒c 2＝1，a ＝2，b ＝3， 2 2 x y ∴椭圆 E 的方程为＋＝1. 4 33(2)由(1)得 M 1， ， 2 ∵直线＋＝1与 y 轴交于 P (0，2)，∴|PM |2＝45， x y 4 2当直线 l 与 x 轴垂直时，|PA |·|PB |＝(2＋ 3)×(2－ 3)＝1，∴λ|PM |2＝|PA |·|PB |⇒λ＝45.当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y ＝kx ＋2， 3x 2＋4y 2－12＝0⇒(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0， 由 4 3＋4k 2 依题意得，x 1x 2＝ ，且 Δ＝48(4k 2－1)>0，4∴|PA |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·3＋4k 2＝1＋3＋14k 2＝45λ， 1 4 1 4 4 5 ，∵k 2>，∴ <λ<1. 1＋ ∴λ＝ 25 3＋4k 4 综上所述，λ的取值范围是5，1.规律方法 1.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.2.处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.2 2x y 【训练 3】 (2018·惠州模拟)已知椭圆 C ：＋ 2＝1(a ＞b ＞0)短轴的两个点与右2 a b 焦点的连线构成等边三角形，直线 3x ＋4y ＋6＝0与圆 x 2＋(y －b )2＝a 2相切(1)求椭圆 C 的方程； (2)已知过椭圆 C 的左顶点 A 的两条直线 l 1，l 2分别交椭圆 C 于 M ，N 两点且l 1⊥l 2，求证：直线 MN 过定点，并求出定点坐标；(3)在(2)的条件下求△AMN 面积的最大值.a ＝2b ，a ＝2， 2 (1)解由题意，得|4b ＋6| 即 C ：x 4＋y 2＝1. ∴b ＝1， ＝a ， 5 (2)证明由题意得直线 l 1，l 2的斜率存在且不为 0. ∵A (－2，0)，设 l 1：x ＝my －2，l 2：x ＝－m 1y －2，x ＝my －2， x 2＋4y 2－4＝0，得(m 2＋4)y 2－4my ＝0， 由2m 2－8 2－8m 24m 4m 2＋1，－4m 2＋1 4m ∴M m 2＋4，m 2＋4.同理，N.5m ①m ≠±1时，k MN ＝ 4（m 2－1）， 5m l MN ：y ＝ 6 6 x ＋ .此时过定点－，0. 4（m 2－1） 5 56 5 6 ②m ＝±1时，l MN ：x ＝－，过点－，0. 5 6 ∴l MN 恒过定点－，0. 51 4 (3)解由(2)知 S △AMN ＝× |y M －y N |2 5 m 3＋m4m 4m 2 5 m ＋4＋4m 2＋1 ＝8 ＝2 4m 4 17m4 ＋ ＋2 18m ＋ m 8 1＝ ＝ . 19 4m ＋ 2＋9 4m ＋ ＋ m m 1m ＋ m 1令 t ＝m ＋ ≥2，当且仅当 m ＝±1时取等号，m 16 25 16 25 ∴S △AMN ≤，且当 m ＝±1时取等号.∴(S △AMN )max ＝ .。

2019-2020年高考数学一轮复习第九章解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题理题型一 范围问题例1 (2015·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解 (1)由已知，有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，233c .由|FM |＝c ＋c2＋⎝⎛⎭⎪⎫233c －02＝433. 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ， 得t ＝yx ＋1，即直线FP 的方程为y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t x ＋，x 23＋y22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6，又由已知，得t ＝6－2x2x ＋2＞2，解得－32＜x ＜－1或－1＜x ＜0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0，因此m ＞0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233. ②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0. 因此m ＜0，于是m ＝－ 2x 2－23， 得m ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．(2016·黄冈模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 23－y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围． 解 (1)∵双曲线的离心率为233， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝32. 又∵直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为(2,0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝m 2－1＋4k 2， 于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，故y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km x 1＋x 2＋m 2x 1x 2＝k 2⇒－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0.由m ≠0得k 2＝14，解得k ＝±12.又由Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1) ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，得0<m 2<2，显然m 2≠1(否则x 1x 2＝0，x 1，x 2中至少有一个为0，直线OM ，ON 中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)．设原点O 到直线的距离为d ， 则S △OMN ＝12|MN |d＝12·|m |1＋k 2·1＋k 2·|x 1－x 2| ＝12|m |x 1＋x 22－4x 1x 2＝－m 2－2＋1.故由m 的取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1)． 题型二 最值问题命题点1 利用三角函数有界性求最值例2 (2016·锦州模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF |·|BF |的最小值是( )A ．2 B. 2 C ．4 D ．2 2 答案 C解析 设直线AB 的倾斜角为θ，可得|AF |＝21－cos θ，|BF |＝21＋cos θ，则|AF |·|BF |＝21－cos θ×21＋cos θ＝4sin 2θ≥4. 命题点2 数形结合利用几何性质求最值例3 (2015·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________________________________________________________________________． 答案22解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋－2＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22. 命题点3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值例4 (2016·山东)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k ′，证明k ′k为定值； ②求直线AB 的斜率的最小值． (1)解 设椭圆的半焦距为c . 由题意知2a ＝4,2c ＝2 2. 所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①证明 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)． 由M (0，m )，可得P (x 0,2m )，Q (x 0，－2m )． 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝mx 0.直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3m x 0.此时k ′k ＝－3.所以k ′k为定值－3. ②解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 直线PA 的方程为y ＝kx ＋m . 直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0， 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝m 2－k 2＋x 0，所以y 1＝kx 1＋m ＝2km 2－k 2＋x 0＋m .同理x 2＝m 2－k 2＋x 0，y 2＝－6k m 2－k 2＋x 0＋m . 所以x2－x 1＝m 2－k 2＋x 0－m 2－k 2＋x 0＝－32k 2m 2－k 2＋k 2＋x 0，y 2－y 1＝－6k m 2－k 2＋x 0＋m －2k m 2－k 2＋x 0－m ＝－8kk 2＋m 2－k 2＋k 2＋x 0，所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫6k ＋1k ，由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”．因为P (x 0,2m )在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 0＝4－8m 2，故此时2m －m4－8m 2－0＝66，即m ＝147，符合题意． 所以直线AB 的斜率的最小值为62. 思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．(2017·开封月考)已知圆(x －a )2＋(y ＋1－r )2＝r 2(r >0)过点F (0,1)，圆心M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设P 为直线l ：x －y －2＝0上的点，过点P 作曲线C 的两条切线PA ，PB ，当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值． 解 (1)依题意，由圆过定点F 可知轨迹C 的方程为x 2＝4y . (2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(其中y 1＝x 214，y 2＝x 224)， 则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)， 即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0. 因为切线PA ，PB 均过点P (x 0，y 0)， 所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解． 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.(3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， 所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0，由一元二次方程根与系数的关系可得y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝y 0＋2， 所以y 20＋x 20－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2(y 0＋12)2＋92，所以当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.1．(2016·昆明两区七校调研)过抛物线y 2＝x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且直线l 的倾斜角θ≥π4，点A 在x 轴上方，则|FA |的取值范围是( )A ．(14，1]B ．(14，＋∞)C ．(12，＋∞)D ．(14，1＋22]答案 D解析 记点A 的横坐标是x 1，则有|AF |＝x 1＋14＝(14＋|AF |cos θ)＋14＝12＋|AF |cos θ，|AF |(1－cos θ)＝12，|AF |＝1－cos θ.由π4≤θ<π得－1<cos θ≤22，2－2≤2(1－cos θ)<4，14<1－cos θ≤12－2＝1＋22， 即|AF |的取值范围是(14，1＋22]．2．已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM →|＝1，且OM →·PM →＝0，则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( ) A.95 B.125 C ．4 D ．5 答案 B解析 由OM →·PM →＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值，当|OP |取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3,0)，而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，∴所求的距离d ＝125，故选B.3．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，对于左支上任意一点P 都有|PF 2|2＝8a |PF 1|(a 为实半轴长)，则此双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(2,3] C ．(1,3] D ．(1,2]答案 C解析 由P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义， 得|PF 2|＝2a ＋|PF 1|，所以|PF 2|2|PF 1|＝|PF 1|＋4a2|PF 1|＋4a ＝8a ，所以|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a ， 在△PF 1F 2中，|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|， 即2a ＋4a ≥2c ，所以e ＝c a≤3. 又e >1，所以1<e ≤3.故选C.4．(2016·成都质检)若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中点和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最小值为________． 答案 6解析 点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，依题意得左焦点F (－1,0)，∴OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )， ∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 29＝19·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234. ∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152，∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤2254， ∴14≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤22536， ∴6≤19·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234≤12，即6≤OP →·FP →≤12.故最小值为6.5．(2017·郑州质检)已知椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 1的取值范围为________． 答案 (22，1) 解析 ∵椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n＝1，∴a 21＝m ＋2，b 21＝－n ，c 21＝m ＋2＋n ，e 21＝m ＋2＋n m ＋2＝1＋n m ＋2. ∵双曲线C 2：x 2m ＋y 2n＝1，∴a 22＝m ，b 22＝－n ，c 22＝m －n ，∴由条件知m ＋2＋n ＝m －n ，则n ＝－1， ∴e 21＝1－1m ＋2. 由m >0得m ＋2>2，1m ＋2<12，－1m ＋2>－12， ∴1－1m ＋2>12，即e 21>12，而0<e 1<1， ∴22<e 1<1. 6．已知双曲线C 的两个焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2的距离差的绝对值等于2. (1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2,1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程；(3)已知定点G (1,2)，点D 是双曲线C 右支上的动点，求|DF 1|＋|DG |的最小值． 解 (1)依题意，得双曲线C 的实半轴长为a ＝1， 半焦距c ＝2，所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3. 又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3.两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为M (2,1)为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0， 即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6， 故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)， 即6x －y －11＝0.(3)由已知，得|DF 1|－|DF 2|＝2， 即|DF 1|＝|DF 2|＋2，所以|DF 1|＋|DG |＝|DF 2|＋|DG |＋2≥|GF 2|＋2， 当且仅当G ，D ，F 2三点共线时取等号， 因为|GF 2|＝－2＋22＝5，所以|DF 2|＋|DG |＋2≥|GF 2|＋2＝5＋2， 故|DF 1|＋|DG |的最小值为5＋2.7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．解 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2， 又a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1，整理得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝m 2＋1－3k 2，可得m 2>3k 2－1且k 2≠13，①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝3km 1－3k 2， ∴y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k 2. 由题意，AB ⊥MN ，∴k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2＝－1k(k ≠0，m ≠0)． 整理得3k 2＝4m ＋1，②将②代入①，得m 2－4m >0，∴m <0或m >4.又3k 2＝4m ＋1>0(k ≠0)，即m >－14. ∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0∪(4，＋∞)． 8．已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值． 解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，2·b 2a ＝1.从而⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1.因此，所求的椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1. (2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′| x ＝t ＝2t .直线MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.①因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.② 设线段MN 的中点的横坐标是x 3， 则x 3＝x 1＋x 22＝t t 2－h ＋t 2. 设线段PA 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12.由题意，得x 3＝x 4，即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1或h ≤－3. 当h ≤－3时，h ＋2<0,4－h 2<0，则不等式②不成立，所以h ≥1.当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1，将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立．所以，h 的最小值为1. 9．如图，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32，且|F 2F 4|＝3－1.(1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．解 (1)因为e 1e 2＝32，所以 a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b,0)，F 4(3b,0)，于是3b －b ＝|F 2F 4|＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2. 故C 1，C 2的方程分别为x 22＋y 2＝1，x 22－y 2＝1. (2)因为AB 不垂直于y 轴，且过点F 1(－1,0)，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 易知此方程的判别式大于0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. 因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2， 于是AB 的中点为M (－2m 2＋2，m m 2＋2)，故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m 2x ， 即mx ＋2y ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－m 2x ，x 22－y 2＝1得(2－m 2)x 2＝4， 所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y 2＝m 22－m 2， 从而|PQ |＝2x 2＋y 2＝2m 2＋42－m2. 设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4. 因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧， 所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝m 2＋y 1－y 2|m 2＋4. 又因为|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝22·1＋m 2m 2＋2， 所以2d ＝22·1＋m 2m 2＋4. 故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |·2d ＝22·1＋m22－m 2＝22·－1＋32－m 2. 而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取得最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.。

第9节 圆锥曲线的综合问题考试要求 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.知 识 梳 理1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b ，k 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 3.求解X 围问题的方法求X 围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的X 围，要特别注意变量的取值X 围. 4.圆锥曲线中常见最值的解题方法(1)几何法，假设题目的条件和结论能明显表达几何特征及意义，那么考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，假设题目的条件和结论能表达一种明确的函数关系，那么可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解. 5.圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·〔x 1＋x 2〕2－4x 1x 2 ＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·〔y 1＋y 2〕2－4y 1y 2.[常用结论与微点提醒]1.直线与椭圆位置关系的有关结论(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切；(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.2.直线与抛物线位置关系的有关结论(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，即两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，即一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，即一条与对称轴平行或重合的直线.诊断自测1.判断以下结论正误(在括号内打“√〞或“×〞)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点.( )(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点.( )(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点.( )(4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么弦长|AB|＝1＋t2|y1－y2|.( )解析(2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.(3)因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切. 答案(1)√(2)×(3)×(4)√2.(老教材选修2－1P71例6改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0，1)且平行于x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0). 答案 C3.(老教材选修2－1P69例4改编)倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，那么弦|AB |＝________. 解析 法一 直线l 的方程为y ＝3x ＋1， 由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么y 1＋y 2＝14， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.法二 如下图，过F 作AD 的垂线，垂足为H ，那么|AF |＝|AD |＝p ＋|AF |sin 60°，即|AF |＝p1－sin 60°＝21－sin 60°.同理，|BF |＝21＋sin 60°，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝16.答案 164.(2019·某某卷)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .假设l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，那么双曲线的离心率为( ) A.2B.3C.2 D. 5解析 由易得，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线l ：x ＝－1，所以|OF |＝1.又双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±b ax ，不妨设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，b a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－b a，所以|AB |＝2b a＝4|OF |＝4，所以ba＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝4a 2.又双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，所以c 2＝5a 2，所以e ＝c a＝ 5.应选D. 答案 D5.(2020·某某七校联考)点P 为椭圆x 216＋y 212＝1的动点，EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一直径，那么PE →·PF →的最大值和最小值分别是( ) A.16，12－43B.17，13－4 3 C.19，12－43D.20，13－4 3解析 ∵EF 是圆N 的直径，∴|NE |＝|NF |＝1，且NF →＝－NE →，那么PE →·PF →＝(PN →＋NE →)·(PN →＋NF →)＝(PN →＋NE →)·(PN →－NE →)＝PN →2－NE →2＝PN →2－1，设P (x 0，y 0)，那么有x 2016＋y 2012＝1，即x 20＝16－43y 20，又N (0，1)，∴|PN →|2＝x 20＋(y 0－1)2＝－13(y 0＋3)2＋20，又∵y 0∈[－23，23]，∴当y 0＝－3时，|PN →|2取得最大值20，那么(PE →·PF →)max ＝20－1＝19.当y 0＝23时，|PN →|2取得最小值13－43，那么(PE →·PF →)min ＝12－4 3.综上，PE →·PF →的最大值和最小值分别为19，12－43，应选C. 答案 C6.(2020·某某五校协作体联考改编)点A (0，2)，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，假设|FM ||MN |＝55，那么p 的值等于________. 解析 过点M 向准线作垂线，垂足为P ，由抛物线的定义可知，|MF |＝|MP |，因为|FM ||MN |＝55，所以|MP ||MN |＝55，所以sin∠MNP ＝55，那么tan∠MNP ＝12，又∠OFA ＋∠MNP ＝90°(O 为坐标原点)，所以tan∠OFA ＝2＝212p ，那么p ＝2.答案 2第一课时 最值、X 围、证明问题考点一 最值问题[例1] (一题多解)(2020·东北三省四市教研模拟)如图，椭圆C ：x 218＋y 29＝1的短轴端点分别为B 1，B 2，点M 是椭圆C 上的动点，且不与B 1，B 2重合，点N 满足NB 1⊥MB 1，NB 2⊥MB 2.(1)(一题多解)求动点N 的轨迹方程； (2)求四边形MB 2NB 1面积的最大值.解 (1)法一 设N (x ，y )，M (x 0，y 0)(x 0≠0)， ∵MB 1⊥NB 1，MB 2⊥NB 2，B 1(0，－3)，B 2(0，3)， ∴直线NB 1：y ＋3＝－x 0y 0＋3x ，① 直线NB 2：y －3＝－x 0y 0－3x ，② ①×②得y 2－9＝x 20y 20－9x 2，又x 2018＋y 209＝1， ∴y 2－9＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 209y 20－9x 2＝－2x 2，整理得点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0).法二 设直线MB 1：y ＝kx －3(k ≠0)， 那么直线NB 1：y ＝－1kx －3，①直线MB 1与椭圆C ：x 218＋y 29＝1的交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2k 2＋1，6k 2－32k 2＋1，那么直线MB 2的斜率为k MB 2＝6k 2－32k 2＋1－312k 2k 2＋1＝－12k ，∴直线NB 2：y ＝2kx ＋3，②由①②解得N 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 2k 2＋1，3－6k 22k 2＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6k2k 2＋1y ＝3－6k22k 2＋1，得点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0).(2)由(1)中法二得，四边形MB 2NB 1的面积S ＝12|B 1B 2|(|x M |＋|x N |)＝3×⎝⎛⎭⎪⎫12|k |2k 2＋1＋6|k |2k 2＋1＝54|k |2k 2＋1＝542|k |＋1|k |≤2722， 当且仅当|k |＝22时，S 取得最大值2722. 规律方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.[训练1] (2020·某某调研)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)经过点M (－2，1)，且右焦点F (3，0).(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)过N (1，0)且斜率存在的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点，记t ＝MA →·MB →，假设t 的最大值和最小值分别为t 1，t 2，求t 1＋t 2的值.解 (1)由椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为(3，0)，知a 2－b 2＝3，即b 2＝a 2－3，那么x 2a 2＋y 2a 2－3＝1，a 2＞3.又椭圆过点M (－2，1)，∴4a 2＋1a 2－3＝1，又a 2＞3，∴a 2＝6.∴椭圆Γ的标准方程为x 26＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1y ＝k 〔x －1〕得x 2＋2k 2(x －1)2＝6， 即(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－6＝0， ∵点N (1，0)在椭圆内部，∴Δ＞0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 21＋2k2，①x 1x 2＝2k 2－62k 2＋1，②那么t ＝MA →·MB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋(kx 1－k －1)(kx 2－k －1) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2－k 2－k )(x 1＋x 2)＋k 2＋2k ＋5③， 将①②代入③得，t ＝(1＋k 2)·2k 2－62k 2＋1＋(2－k 2－k )·4k22k 2＋1＋k 2＋2k ＋5，∴t ＝15k 2＋2k －12k 2＋1， ∴(15－2t )k 2＋2k －1－t ＝0，k ∈R ， 那么Δ1＝22＋4(15－2t )(1＋t )≥0，∴(2t －15)(t ＋1)－1≤0，即2t 2－13t －16≤0，由题意知t 1，t 2是2t 2－13t －16＝0的两根，∴t 1＋t 2＝132.考点二 X 围问题[例2] (2019·某某八所重点中学联考)椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2为其左、右焦点，B 1，B 2为其上、下顶点，四边形F 1B 1F 2B 2的面积为2.(1)求椭圆E 的长轴A 1A 2的最小值，并确定此时椭圆E 的方程；(2)对于(1)中确定的椭圆E ，设过定点M (－2，0)的直线l 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，假设MP →＝λMQ →，当λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12时，求△OPQ 的面积S 的取值X 围.解 (1)依题意四边形F 1B 1F 2B 2的面积为2bc ，∴2bc ＝2， ∵|A 1A 2|＝2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22， 当且仅当b ＝c ＝1时等号成立，此时a ＝2， ∴长轴A 1A 2的最小值为22， 此时椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)依题意，可设直线l ：x ＝ty －2，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －2，x 22＋y 2＝1，得(t 2＋2)y 2－4ty ＋2＝0. 由Δ＞0，得t 2＞2. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4tt 2＋2，y 1·y 2＝2t 2＋2.由MP →＝λMQ →，得y 1＝λy 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧〔1＋λ〕y 2＝4tt 2＋2，①λy 22＝2t 2＋2，②由①2②得λ＋1λ＋2＝8t2t 2＋2， ∵y ＝λ＋1λ＋2在λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12上单调递减，∴λ＋1λ＋2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫92，163， ∴92＜8t 2t 2＋2＜163，187＜t 2＜4，满足Δ＞0. △OPQ 的面积S ＝S △OMQ －S △OMP＝12|OM ||y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝〔y 1＋y 2〕2－4y 1y 2＝22t 2－2t 2＋2. 设m ＝t 2－2，那么m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫277，2，t 2＝m 2＋2， ∴S ＝22m m 2＋4＝22m ＋4m，∵y ＝m ＋4m 在m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫277，2上单调递减，∴S 关于m 单调递增，∴△OPQ 的面积S ∈⎝⎛⎭⎪⎫148，23. 规律方法 解决圆锥曲线中的取值X 围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值X 围；(2)利用参数的X 围，求新参数的X 围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值X 围； (4)利用的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值X 围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值X 围.[训练2] (2020·某某七校联合考试)A ，B 是x 轴正半轴上两点(A 在B 的左侧)，且|AB |＝a (a＞0)，过A ，B 分别作x 轴的垂线，与抛物线y 2＝2px (p ＞0)在第一象限分别交于D ，C 两点. (1)假设a ＝p ，点A 与抛物线y 2＝2px 的焦点重合，求直线CD 的斜率；(2)假设O 为坐标原点，记△OCD 的面积为S 1，梯形ABCD 的面积为S 2，求S 1S 2的取值X 围.解 (1)由题意知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，那么B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋a ，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，那么C ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2＋a ，p 2＋2pa ， 又a ＝p ，所以k CD ＝3p －p3p 2－p 2＝3－1. (2)设直线CD 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b y 2＝2px，得ky 2－2py ＋2pb ＝0， 所以Δ＝4p 2－8pkb ＞0，得kb ＜p2，又y 1＋y 2＝2p k ，y 1y 2＝2pb k ，由y 1＋y 2＝2p k ＞0，y 1y 2＝2pbk＞0，可知k ＞0，b ＞0，因为|CD |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝a 1＋k 2，点O 到直线CD 的距离d ＝|b |1＋k2， 所以S 1＝12·a 1＋k 2·|b |1＋k 2＝12ab . 又S 2＝12(y 1＋y 2)·|x 1－x 2|＝12·2p k ·a ＝apk ，所以S 1S 2＝kb2p， 因为0＜kb ＜p 2，所以0＜S 1S 2＜14.即S 1S 2的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.考点三 证明问题[例3] (2020·某某高三抽测)点A (1，－32)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，O 为坐标原点，直线l ：xa 2－3y2b 2＝1的斜率与直线OA 的斜率乘积为－14. (1)求椭圆C 的方程；(2)(一题多解)不经过点A 的直线y ＝32x ＋t (t ≠0且t ∈R )与椭圆C 交于P ，Q 两点，P 关于原点的对称点为R (与点A 不重合)，直线AQ ，AR 与y 轴分别交于两点M ，N ，求证：|AM |＝|AN |. (1)解 由题意知，k OA ·k l ＝－32·2b 23a 2＝－b 2a 2＝－14， 即a 2＝4b 2，① 又1a 2＋34b2＝1，② 所以联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么R (－x 1，－y 1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，x 24＋y 2＝1，得x 2＋3tx ＋t 2－1＝0，所以Δ＝4－t 2＞0，即－2＜t ＜2， 又t ≠0，所以t ∈(－2，0)∪(0，2)，x 1＋x 2＝－3t ，x 1·x 2＝t 2－1.法一 要证明|AM |＝|AN |，可转化为证明直线AQ ，AR 的斜率互为相反数， 即证明k AQ ＋k AR ＝0.由题意知，k AQ ＋k AR ＝y 2＋32x 2－1＋y 1－32x 1＋1＝〔y 2＋32〕〔x 1＋1〕＋〔y 1－32〕〔x 2－1〕〔x 1＋1〕〔x 2－1〕＝〔32x 2＋t ＋32〕〔x 1＋1〕＋〔32x 1＋t －32〕〔x 2－1〕〔x 1＋1〕〔x 2－1〕＝3x 1x 2＋t 〔x 1＋x 2〕＋3〔x 1＋1〕〔x 2－1〕＝3〔t 2－1〕＋t 〔－3t 〕＋3〔x 1＋1〕〔x 2－1〕＝0，所以|AM |＝|AN |.法二 要证明|AM |＝|AN |，可转化为证明直线AQ ，AR 与y 轴的交点M ，N 连线的中点S 的纵坐标为－32，即AS 垂直平分MN 即可. 直线AQ 与AR 的方程分别为l AQ ：y ＋32＝y 2＋32x 2－1(x －1)，l AR ：y ＋32＝－y 1＋32－x 1－1(x －1)，分别令x ＝0，得y M ＝－y 2－32x 2－1－32，y N ＝－y 1＋32x 1＋1－32，所以y M ＋y N ＝－y 2－32x 2－1＋－y 1＋32x 1＋1－ 3＝〔－32x 1－t ＋32〕〔x 2－1〕＋〔－32x 2－t －32〕〔x 1＋1〕〔x 1＋1〕〔x 2－1〕－ 3＝－3x 1x 2－t 〔x 1＋x 2〕－3〔x 1＋1〕〔x 2－1〕－ 3＝－3〔t 2－1〕－t 〔－3t 〕－3〔x 1＋1〕〔x 2－1〕－ 3＝－3，y S ＝y M ＋y N 2＝－32，即AS 垂直平分MN .所以|AM |＝|AN |.规律方法 圆锥曲线中的证明问题常见的有：(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等. (2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明.[训练3] (2020·某某模拟)如图，圆C 与x 轴相切于点T (2，0)，与y 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的下方)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆x 28＋y 24＝1相交于两点A ，B ，连接AN ，BN ，求证：∠ANM ＝∠BNM .(1)解 设圆C 的半径为r (r >0)，依题意，圆心C 的坐标为(2，r ). 因为|MN |＝3，所以r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝254.所以r ＝52，圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254.(2)证明 把x ＝0代入方程(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254，解得y ＝1或y ＝4，即点M (0，1)，N (0，4).①当AB ⊥x 轴时，可知∠ANM ＝∠BNM ＝0.②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 24＝1消去y 得，(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0.设直线AB 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，那么x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2.所以k AN ＋k BN ＝y 1－4x 1＋y 2－4x 2＝kx 1－3x 1＋kx 2－3x 2＝2kx 1x 2－3〔x 1＋x 2〕x 1x 2＝1x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k1＋2k 2＋12k 1＋2k 2＝0.所以∠ANM ＝∠BNM . 综合①②知∠ANM ＝∠BNM .A 级 基础巩固一、选择题1.直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的交点个数是( )A.1B.2C.1或2D.0解析 由直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线y ＝bax 平行，故直线与双曲线的交点个数是1. 答案 A2.(2019·某某八校联考)抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)交于A ，B 两点，且这两点的横坐标分别为x 1，x 2，直线与x 轴交点的横坐标是x 3，那么( ) A.x 3＝x 1＋x 2B.x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3 C.x 1＋x 2＋x 3＝0 D.x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2，y ＝kx ＋b ，消去y 得ax 2－kx －b ＝0，可知x 1＋x 2＝k a ，x 1x 2＝－b a ，令kx ＋b ＝0得x 3＝－b k，所以x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3. 答案 B3.假设点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，那么OP →·FP→的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8解析 由题意得F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)，那么y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204(－2≤x 0≤2). OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14·(x 0＋2)2＋2.因为－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值，最大值为6. 答案 C4.(2020·某某调研)设F ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点和上顶点，O 为坐标原点，C 是直线y ＝b ax 与椭圆在第一象限内的交点，假设FO →＋FC →＝λ(BO →＋BC →)，那么椭圆的离心率是( ) A.22＋17 B.22－17 C.22－13D.2－1 解析 连接BF ，联立椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线y ＝b a x 的方程，解得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，b 2.因此线段OC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，b 22.∵FO →＋FC →＝λ(BO →＋BC →)，∴线段OC 的中点在BF 上，又直线BF 的方程为x c ＋y b ＝1，∴a 22c ＋b 22b＝1，所以c a ＝122－1＝22＋17.应选A.答案 A5.设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，那么|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( ) A.9，12 B.8，11 C.8，12 D.10，12解析 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA |＋|PB |＝2a ＝10，连接PA ，PB 分别与圆相交于两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|PA |＋|PB |－2R ＝8；连接PA ，PB 并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM |＋|PN |最大，最大值为|PA |＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8，12.答案 C 二、填空题6.(2019·某某二模)抛物线y ＝ax 2(a >0)的准线为l ，l 与双曲线x 24－y 2＝1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，假设|AB |＝4，那么a ＝________.解析 抛物线y ＝ax 2(a >0)的准线l ：y ＝－14a ，双曲线x 24－y 2＝1的两条渐近线分别为y ＝12x ，y ＝－12x ，可得x A ＝－12a ，x B ＝12a ，可得|AB |＝12a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝4，解得a ＝14.答案 147.抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线与x 轴的交点为M ，过点M 作C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，那么∠PMQ ＝________.解析 由题意得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，设过点M 的切线方程为x ＝my －p2，代入y 2＝2px 得y 2－2pmy ＋p2＝0，∴Δ＝4p 2m 2－4p 2＝0，∴m ＝±1，那么切线斜率k ＝±1，∴MQ ⊥MP ，因此∠PMQ ＝π2.答案π28.(2019·某某一模)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，那么此双曲线离心率的取值X 围为________.解析 由过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得b a<2.∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2<1＋4＝5， ∵e >1，∴1<e <5，∴此双曲线离心率的取值X 围为(1，5). 答案 (1，5) 三、解答题9.设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任意一点，且△MF 1F 2的周长是4＋2 3. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左、右顶点分别为A ，B ，过椭圆C 1上的一点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，假设点C 满足AB →⊥BC →，AD →∥OC →，连接AC 交DE 于点P ，求证：|PD |＝|PE |. (1)解 由e ＝32，知c a ＝32，所以c ＝32a ， 因为△MF 1F 2的周长是4＋23，所以2a ＋2c ＝4＋23，所以a ＝2，c ＝3， 所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 1的方程为：x 24＋y 2＝1.(2)证明 由(1)得A (－2，0)，B (2，0)， 设D (x 0，y 0)，所以E (x 0，0)， 因为AB →⊥BC →，所以可设C (2，y 1)，所以AD →＝(x 0＋2，y 0)，OC →＝(2，y 1)， 由AD →∥OC →可得：(x 0＋2)y 1＝2y 0，即y 1＝2y 0x 0＋2.所以直线AC 的方程为：y －02y 0x 0＋2－0＝x ＋22－〔－2〕.整理得：y ＝y 02〔x 0＋2〕(x ＋2).又点P 在DE 上，将x ＝x 0代入直线AC 的方程可得：y ＝y 02，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 02，所以P为DE 的中点，|PD |＝|PE |.10.如图，点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)假设P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值X 围.(1)证明 设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 22，y 2. 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02，即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根. 所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于y 轴.(2)解 由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20， 所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝22〔y 20－4x 0〕.因此，△PAB 的面积S △PAB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32. 因为x 2＋y 204＝1(x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4，5]，因此，△PAB 面积的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤62，15104.B 级 能力提升11.(2020·某某八校联考)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，假设直线l 的倾斜角为2π3，那么|AF ||BF |等于( )A.13B.25C.12D.23解析 由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l 的斜率k ＝tan 2π3＝－3，∴直线l 的方程为y ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，即x ＝－33y ＋p 2，代入抛物线方程得y 2＋233py －p 2＝0，解得y ＝33p 或y ＝－3p ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由点A 在第一象限可知y 1＝33p ，那么y 2＝－3p ，∴|AF ||BF |＝|y 1||y 2|＝13，应选A. 答案 A12.F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上的右支上，如果|PF 1|＝t |PF 2|(t ∈(1，3])，那么双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值X 围是________________.解析 由双曲线的定义及题意可得 ⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝t |PF 2|，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝2att －1，|PF 2|＝2a t －1.又|PF 1|＋|PF 2|≥2c ， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2at t －1＋2a t －1≥2c ， 整理得e ＝c a ≤t ＋1t －1＝1＋2t －1，∵1<t ≤3，∴1＋2t －1≥2，∴1<e ≤2. 又b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1，∴0<b 2a 2≤3，故0<ba≤ 3. ∴双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值X 围是(0，3]. 答案 (0，3]13.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，那么椭圆长轴长的最小值为________.解析 设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，即长轴长2a 的最小值为2 2. 答案 2 214.(2020·某某诊断)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 是以坐标原点O 为圆心，255为半径的圆的切线，且与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求△AOB 面积的最大值.解 (1)将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，结合c 2＝a 2－b 2，得y ＝±b 2a，由题意知2b 2a ＝1，又e ＝c a ＝32，∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵直线l ：y ＝kx ＋m 是以坐标原点O 为圆心，255为半径的圆的切线，∴|m |1＋k2＝255，即m 2＝45(1＋k 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， ∴Δ＝16(1＋4k 2－m 2)＞0，x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k2，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·41＋4k 2－m21＋4k2＝41＋k 2·1＋16k 251＋4k2＝455〔1＋k 2〕〔1＋16k 2〕〔1＋4k 2〕2＝455·1＋9k 216k 4＋8k 2＋1＝4551＋916k 2＋1k2＋8，∵16k 2＋1k2≥216k 2·1k 2＝8，当且仅当k 2＝14时等号成立，∴|AB |max ＝5，∴S △OAB 的最大值为12×255×5＝1.C 级 创新猜想15.(多填题)(2020·某某模拟)不过原点的动直线l 交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于M ，N 两点，O 为坐标原点，F 为抛物线C 的焦点，且|OM →＋ON →|＝|OM →－ON →|，那么直线l 过定点________，假设△MNF 面积的最小值为27，那么p 的值为________.解析 设动直线MN 的方程为x ＝my ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由题意知y 1≠0，y 2≠0，t ≠0，直线MN 的方程与抛物线C 的方程y 2＝2px (p ＞0)联立，消去x ，得y 2－2pmy －2pt ＝0，由Δ＞0得pm 2＋2t ＞0①，y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－2pt .由|OM →＋ON →|＝|OM →－ON →|，得OM →·ON →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即y 212p ·y 222p ＋y 1y 2＝0，可得y 1y 2＝－4p 2，所以t ＝2p ，故直线MN 恒过定点Q (2p ，0)，将t ＝2p 代入①得m ∈R ，又知|QF |＝2p －p 2＝3p 2，故S △MNF ＝12|QF |·|y 1－y 2|＝12·3p 2·4p 2m 2＋16p 2＝3p 22m 2＋4≥3p 2，当且仅当m ＝0时，等号成立，由题意得3p 2＝27，解得p ＝3.答案 (2p ，0) 3。