3.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第三节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性． 2．理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x

轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性．

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；

tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

tan 2α＝2tan α1－tan2α.

1．有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；

(2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sinα±π4. 2．三角公式内在关系 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )

(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( ) 答案： (1)√ (2)√ (3)× (4)√

2．若sin α2＝33，则cos α＝( ) A．－23 B．－13 C．13 D．23 解析： 因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin2α2＝1－2×332＝13. 答案： C 3．cos 33°cos 87°＋sin 33°cos 177°的值为( )

A．12 B．－12

C．32 D．－32 解析： cos 33°cos 87°＋sin 33°cos 177° ＝cos 33°sin 3°－sin 33°cos 3°

＝sin(3°－33°)＝－sin 30°＝－12. 答案： B 4．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sinα＋π4＝________. 解析： 由于α是第三象限角且cos α＝－45，∴sin α＝－35， ∴sinα＋π4＝sin αcosπ4＋cos αsin π4＝22－35－45＝－7210. 答案： －7210 5．设sin 2α＝－sin α，α∈π2，π，则tan 2α的值是________． 解析： ∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12，又α∈π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－231－－32＝3. 答案： 3

三角函数公式的基本应用自主练透型 1．(2014·山东威海二模)在△ABC中，若cos A＝45，cos B＝513，则cos C＝( ) A．365 B．3665 C．1665 D．3365 解析： 在△ABC中，00，cos B＝513>0，得0从而sin A＝35，sin B＝1213，所以cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sinA·sin B－cos A·cos B＝35×1213－45×513＝1665. 答案： C 2．已知sin(π－α)＝－1010，则2sin2α＋sin 2αcosα－π4＝( )

A．12 B．－255 C．255 D．2 解析： ∵sin(π－α)＝－1010，∴sin α＝－1010. ∴2sin2α＋sin 2αcosα－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α＝22sin α＝－255.

答案： B 3．(2014·江苏卷)已知α∈π2，π，sin α＝55. (1)求sinπ4＋α的值； (2)求cos5π6－2α的值． 解析： (1)因为α∈π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin2α＝－255. 故sinπ4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×－255＝－45，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×



5

5

2＝35，

所以cos5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin5π6sin 2α ＝－32×35＋12×－45＝－4＋3310. 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的． 三角函数公式的活用互动讲练型

(1)若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．

(2)化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝________. 解析： (1)－1＝tan 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β， ∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β. ∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2， 即(1－tan α)(1－tan β)＝2.

(2)原式＝124cos4x－4cos2x＋12×sinπ4－xcosπ4－x·cos2π4－x

＝2cos2x－124sinπ4－xcosπ4－x＝cos22x2sinπ2－2x ＝cos22x2cos 2x＝12cos 2x. 答案： (1)2 (2)12cos 2x 1.sin 110°sin 20°cos2155°－sin2155°的值为( ) A．－12 B．12 C．32 D．－32 解析： sin 110°sin 20°cos2155°－sin2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°

＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12. 答案： B 2．若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)等于( )

A．14 B．12 C．4 D．12 解析： 由已知得4tan α－16tan αtan β＋1－4tan β＝17， ∴tan α－tan β＝4(1＋tan αtan β)，

∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝4. 答案： C 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用． 角的变换分层深化型

(1)已知tanα－π12＝2，则tanα－π3的值为________． (2)已知α∈－π4，0，β∈π2，π，cos(α＋β)＝－45，cosβ－π4＝513，则cosα＋π4＝( ) A．－5665 B．－1665 C．1665 D．5665 解析： (1)∵tanα－π12＝2， ∴tanα－π3＝tanα－π12－π4 ＝2－11＋2×1＝13. (2)因为α∈－π4，0，β∈π2，π， 所以(α＋β)∈π4，π，β－π4∈π4，3π4. 又因为cos(α＋β)＝－45，cosβ－π4＝513， 所以sin(α＋β)＝35，sinβ－π4＝1213， 所以cosα＋π4＝cosα＋β－β－π4 ＝cos(α＋β)cosβ－π4＋sin(α＋β)sinβ－π4 ＝－45×513＋35×1213＝1665. 答案： (1)13 (2)C

1．设tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，则tanα＋π4＝( ) A．1318 B．1322 C．322 D．16 解析： tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4

＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝322. 答案： C 2．若0

A．33 B．－33 C．539 D．－69 解析： cosα＋β2＝cosπ4＋α－π4－β2