第1讲 平面图形计数初步
一．
基本问法
1. 各用了几个：数用的图形个数
2. 共有几个：加上拼成的图形个数
二． 巧数图形方法
1. 边数边做小记号
2. 规则图形： （1）单层图形 图形总数:图形宝宝数开火车依次加到1
注意：图形宝宝必须肩并肩、手拉手站一排
（2）多层图形 分组数
分类：边到边、角到边
3. 不规则图形： 分类数：分大小、分方向、分内外
——李佳珍老师
1. 数数下面的密码图是由哪些图形拼成的，各用了几个？ 三角形（ ）个 正方形（ ）个 长方形（ ）个 梯形（ ）个 平行四边形（ ）个 圆形（ ）个 扇形（ ）个
解析：在数图形的时候，我们可以使用不同的记号对图形进行区分计数，如数三角形个数的时候，我们可以数到一个三角形，就将这个三角形打上勾，避免遗忘或者重复；接着在数正方形时，可以将数过的正方形都打上叉，以此类推，可以数完所有的图形。按照这样的方法，我们可以数出，图中有三角形7个，正方形2个，长方形2个，梯形2个，平行四边形3个，圆形1个，扇形1个。
2. 数一数，图（1）中有多少条线段，图（2）中有多少个锐角。
A B C D
O
A B C D
解析：（1）首先我们先找找哪些是线段，例如AB 、BC 这样的就是线段，那么图中一共有多少条线段呢？我们需要明确一个规则，按照规则来数，才能做到不重不漏。观察可以发现，图中的线段有长有短，那么我们就将短的线段，即AB 、BC 、CD 这样的基本线段叫做“线段宝宝”，我们将其编个号，如下图所示。 1 2 3
数线段时，我们可以按照线段中包含线段宝宝的个数不同来分类数： 单个：1，2，3；有3条；两个两个组合的，我们可以取个名字叫做双拼，那么双拼的就是：1+2，2+3；有2条；同理三拼的就是：1+2+3；有1条。所以加起来一共就有3+2+1=6条线段。
（2）题目中问的是多少个锐角，那么首先我们将所有的角都找出来，再对角的性质进行判断。用前一题中的方法，我们可以将图中的基本角元素编号，如下所示。
按照包含角宝宝的个数不同，我们也可以分类来数。其中，
单个：1，2，3；有3个； 双拼：1+2，2+3；有2个； 三拼：1+2+3；有1个；
A B C D
1
2 3
O
A B C D
所以一共是3+2+1=6个角。
我们已经将所有的6个角都找到了，现在就要判断是否是锐角。我们先观察一下，发现图中最大的角，即1+2+3是一个锐角，那么显然其余的五个角也必然都是锐角，所以这里的锐角就有6个。
至此，我们发现，数共有图形的个数似乎存在规律，3+2+1=6这样的算式就好像是在开火车一样，只要找到火车头，那么依次加到1就可以了，而这里的火车头，恰好就是我们图形宝宝的个数，例如图1中的线段宝宝是3条，那么火车头就是3，线段个数只要用3+2+1=6条就可以了。
3.下图中各有多少个三角形？
解析：（1）观察可以发现，这个图形是有三个小的三角形拼合而成的，我们可以将图中的基本三角形元素进行编号，再按照包含元素个数的多少分为单个、双拼、三拼来一个一个数出来。但是，结合例1中我们得出的结论，这里我们可以直接使用开火车的方法就可以快速求出结果了。首先，我们要确定火车头，主要数出图中的三角形宝宝就好了，这里就是3个，那么我们就从3开始开火车，依次加到1就可以了，即3+2+1=6个三角形。
（2）对图形进行观察我们可以发现，前面几题的图形都有一个共同的特征，即图形宝宝都是肩并肩、手拉手站成一排的单层图形，而这里的图形与前面几题都不相同，所以不能使用开火车的方法，我们还是一样的对三角形进行编号。
分类数一数：单个：1，2，3，4；有4个；
双拼：1+2，2+3，3+4，4+1，有4个； 三拼、四拼：没有； 一共有4+4=8个三角形。
1、
观察下面的小汽车是由什么图形拼成的？数一数。
2、
下图中有多少个正方形？
1 2
3
4
3、数一数，图中三角形和长方形各有几个？
三角形有（）个
长方形有（ )个
1、〔分析与解答〕：
2个正方形，4个长方形，2个三角形，4个圆形
2、〔分析与解答〕：
采用分类的思想，将图形分为两类：先数小的正方形，有7+6=13个；再数4个小正方形组成的大正方形，按从左到右的顺序数有4个，所以一共有13+4=17个正方形。
3、〔分析与解答〕：
（1）数长方形的个数比较简单，可以先数小的，有2个，再数大的，有1个，所以一共是2+1=3个长方形。
（2）数三角形个数时，先将图中的基本三角形进行编号，如下图。
单个：1，2，3，4，5，6；有6个；
双拼：3+4，6+1；有2个；
三拼：2+3+4，3+4+5，5+6+1，6+1+3；有4个；
四拼、五拼、六拼：没有；
所以一共有6+2+4=12个三角形。
第3讲 平面王国大家族 一、 认识平面图形 1、 三角形 ①按角分 直角三角形（一个直角） 钝角三角形（一个钝角） 锐角三角形（三个锐角） ②按边分 等边三角形：三条边相等 等腰三角形：两条边相等 2、 四边形 正方形：四边相等，4个直角 长方形：对边相等，4个直角 平行四边形：对边平行且相等 菱形：四边相等 梯形：只有一组对边相等 二、 画图形 从特点入手
三、 数图形 编号分组法 1. 下图中各有多少个三角形？ （1） （2） 解析：（1）小朋友很容易能发现三个小的单个的三角形，但是数三角形和之前数线段是一样的，2个三角形拼在一起（我们叫它双拼）是个大一点的三角形，三个三角形拼在一起(三拼）是个更大的三角形，为了方便我们区分和书写，我们给每个小三角形编上号码，按照有序思考，先数单个的三角形，再数2个小三角形拼在一起的，最后数3个小三角形拼在一起的。 编号法：数三角形时 ，先编上号如图所示： 1 2 3
1 1个号（单个）的三角形有：①，②，③有3个； 2个号（双拼）的三角形有：①+②，②+③有2个； 3个号（三拼）的三角形有：①+②+③有1个； 所以一共有3+2+1=6个三角形。 （2）这个图像被分成了4部分，我们能发现有4个最小的三角形，同样的要给他们进行编号，再2个三角形拼一拼，3个三角形拼一拼，4个三角形拼一拼。要注意的是这个图像编号的时候要按照一定的顺序，顺时针或者逆时针来写我们的编号1，2，3，4。数双拼的三角形时，要有序思考，从1看起，分别判断1和2，1和3,1和4都拼一拼能不能拼成三角形，看完1再看2,判断2和3,2和4能否拼成三角形，然后看3，最后看4,。 编号法： 先编上号如图所示 1个号（单个）的三角形有：①，②，③，④有4个； 2个号（双拼）的三角形有：①+②，①+④，②+③，③+④有4个； 3个号（三拼）的三角形有：没有； 4个号（四拼）的三角形有：没有； 所以一共有4+4=8个三角形。 2 3 4
数列找规律 【例1】 一块白白的豆腐，帅帅“咣咣咣···咔咔咔”切了六刀，最多能切成多少块？ 【例2】 有一个国家的钱币仅有六元和七元两种，在这个国家里人们买东西时会出现找不开钱的情况。 ⑴出现这种情况的价格共有多少种？ ⑵其中最贵的价格是多少元？ 【例3】 “不好吃”肉串店老板送给帅帅十张优惠券(从1到10分各1张)。在一个风雨交加的下午，帅帅拿着优惠券喜滋滋的去吃肉串了，结果看见了老板在店门口给帅帅留了一个牌子： 【例4】 下列⑴~(20)的二十个加法算式是按一定规律排出的，得数最小的算式是哪个？请写出它的得数。
组合专题：超难组合数学㈠ 1．一棱柱以五边形A1A2A3A4A5与B1B2B3B4B5为上、下底，这两个多边形的每一条边及每一条线段A i B j(i，j＝1，2，3，4，5)分别涂上红色或绿色。若每一个以棱柱顶点为顶点的、以已涂色的线段为边的三角形均有两条边颜色不同。证明上、下底10条边颜色一定相同。 2．设在空间给出20个点，其中某些点涂黄色，其余点涂红色。已知在任何一个平面上同色点不超过3个。求证：存在一个四面体，它的四个顶点同色，且至少有一个侧面内不含异色点。
3．某一天有若干读者去过图书馆。他们是单独去的，但是在任何三个读者中，至少有两个人这天在图书馆相遇。证明：一定可以找到这样两个时刻，使得在这一天到过图书馆的任何一个读者，至少在这两个时刻中的一个时刻是在图书馆的。 4．每一个参加循环赛的人和其余参加比赛的人都要比赛一次。已知任何一次比赛都没有出现平局。证明：可以找到这样的运动员，其他人或被他战胜，或被他胜过的人战胜。 测试题 1．一棱柱以四边形F1I1H1G1与K1L1J1E1为下、上底，这两个多边形的每一条边及每一条线段(所有连接顶点的线段)分别涂上红色或绿色。若每一个以棱柱顶点为顶点的、以已涂色的线段为边的三角形均有两条边颜色不同。证明上、下底8条边颜色一定相同。
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学而思奥数一年级上 第一讲 1．用彩色笔涂色： (1)把左边5朵花涂上色。 (2)按从右到左的顺序数，把第4只五角星涂上色。 2．从前面数，小狗排第几?从后面数，小狗排第几?一共有几只动物? 3．一只小狗在爬台阶，它爬到第( )层，爬到顶层它还要爬( )层。4．图形排队。 (1)从左边起，排第( )，排第( )，排第( )。 (2)从右边起，排第( )，排第( )。 (3)一共有( )个图形。 5．这个小朋友正按体操教练员的口令进行动作训练。教练员的口令依次是：立正，左抬腿，右伸手，右抬腿，左伸手，稍息。你能把图中的这六个动作按口令
的顺序分别用1，2，3，4，5，6数码给操练图标上次序吗? 6．小明和6名同学排成一排。你知道小明左边可能有几名同学?右边可能有几名同学? 7．桌子上摆着三只盘子，盘子里分别放着1、2、3个苹果。老师又分别发给三个小朋友1、2、3个苹果。老师要求小朋友再分取桌子上的三盘苹果，但要求每个人得到一样多的苹果，那么这三个朋友应该各端走哪一盘苹果? 第二讲 1．把同类的物体用线连起来。 2．将下列物品分类。
3．把下图(1)、(2)、(3)中不是同类的分别圈出来。 4．把动物分类。 5．把图中的东西分类，你有几种分法? (1) (2)
6．下图有许多手套，有一只不能配对。请你把能配对的用线连起来。 7、图中每一栏都画了一个与其它三个不同类的东西，把它找出来后用笔画个圈． 8、 你能说说下面各组铅笔是按什么来分组的吗? 第一组是按( )来分的． 第二组是按( )来分的．
第三组是按( )来分的． 第四组是按( )来分的． 9、将下列动物分类： A组 B组 第三讲 1、说说哪种水果第二轻，哪种水果重? 2 从重到轻，说说四种动物排列顺序：
应用题之移多补少 有这样一种问题： 哥哥比弟弟多6块糖，哥哥给弟弟几块后，两人的糖同样多呢 显然，哥哥只能给出比弟弟多的一半，也就是 3块糖才能让两人的糖一样多。 像这样的问题我们简称为“移多补少”的问题。 “移多补少”看起来容易，可在解决具体问题时也容易出错误，现在我们就一起来研究移多补少的学问吧！ (★★★) 二⑴班同学分成两队进行拔河比赛，第一队有31人，如果从第一队中调3人到第二队，这时两队的人数才会一样多。第二队原来有学生多少人 通过“移多补少”使得两者相等时： 如果移动量为n，那么原来两者相差量为2n。 也就是说，相差量是移动量的两倍。 (★★★) 农场有两个兔笼，甲兔笼里的兔子比乙兔笼里的兔子多24只，从甲兔笼里放几只兔子到乙兔笼里之后， ⑴甲乙两笼兔子的数目相等 ⑵甲兔笼里的兔子就比乙兔笼多4只兔子 “移多补少”后两者不相等时： ⑴先假设两者相等，不看不等的量。 ⑵利用“移多补少”使剩下部分相等 (★★★★) 学校合唱队原有68人，比鼓乐队人数多．如果合唱队员中的5人参加鼓乐队，合唱队比鼓乐队少2人。原来鼓乐队有多少人
解决“不相等”问题的关键： ⑴假设相等 ⑵移多补少 ⑶将“假设”还原 (★★★★) 小华有两盒糖果，甲盒有糖78粒，乙盒有糖38粒，每次从甲盒取5粒糖放到乙盒，取几次两盒糖的粒数就同样多 【例4拓展】(★★★★) 哥哥和弟弟集邮，原来两人的邮票张数相等，如果哥哥给弟弟9张邮票，则弟弟的邮票张数是哥哥的3倍，哥哥、弟弟原来各有邮票多少张 “移多补少”＋差倍问题： 1．差倍问题解题 2．“移多补少”定差 (★★★★★) 如果从第二个盒子里拿出4颗放到第一个盒子里面，两个盒子里面的糖果就一样多。如果从第一个盒子里面拿出6颗糖果放到第二个盒子里面，第二个盒子里的糖果是第一个盒子的2倍。你知道两个盒子里各有多少颗糖果吗
二年级超常班第一讲 要想数得快，规律用起来【例1】数一数，下图中共有多少条线段？ 【分析】数一数一共有6个端点，那么基本线段就有（条），这个图中一共就有 条线段． 【例2】数一数，图①中共有多少个锐角？图②中共有多少个 三角形？
【分析】 【例3】数一数，下图中共有多少个长方形？ 【分析】 上面第一层以AB为宽的有6个长方形，下面第二层以BC为宽的也就有6个长方形．另外把第一层和第二层合在一起以AC为宽的长方形还有6个，一层有6个，共3层，这样一共就有 个长方形．
【例4】数一数，下图中共有多少个三角形？ 【分析】 方法一：可以分类来数．具体分析如下： (1)左边：左边三角形ABD中有 个三角形； (2)右边：右边三角形ADC中有 个三角形； (3)左边+右边：左右合起来三角形ABC中有3个三角形；
一共有：个三角形． 方法二：可根据三角形包含基本图形的个数来分类数．具体分析如下： 只含1个基本图形的三角形有6个； 只含2个基本图形的三角形有5个； 只含3个基本图形的三角形有2个； 只含4个基本图形的三角形有1个； 只含5个基本图形的三角形有0个；
个； 一共有：个三角形． 【例5】数一数，下图中共有多少个三角形？ 【分析】根据三角形包含基本图形的个数分类数．先按顺时针的方向给基本图形标上序号，如图：
个，分别是：①、②、③、④、⑤、⑥； 只含2个基本图形的三角形有3个，分别是：②③、④⑤、⑥①；只含3个基本图形的三角形有6个，分别是：①②③、②③④、③④⑤、④⑤⑥、⑤⑥①、⑥①②；只含4个或5个基本图形的三角形有0个；只含6个基本图形的三角形有1个，是：①②③④⑤⑥.图中共有三角形： (个)． 【超常挑战】1.数一数，下图中
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图形算式（） 一、每种水果都表示一个数，你能知道这个数是几吗？ — 6 = 15 = 12 —= 8 = + 12 = 35 = 25 —= 11 = 二、每个图形代表一个数，你能算出这个数是多少吗？？ ( 1 ) △一7=５o+△=１7 ( 2 )☆+☆=12 ☆一△=6 △=( ) o=( ) ☆=( ) △=( ) （3 ）△一4=11 o+△=１6 ( 4 )☆+☆=24 ☆一△=6 △=( ) o=( ) ☆=( ) △=( ) （5）5+o=12 △+o=10 ( 6 ) o 一☆=5 12一☆=8 o=( ) △=( ) o =( ) ☆=( ) ( 7 )5+o=12 △+o=10 ( 8 ) o 一☆=5 12一☆=8 o=( ) △=( ) o =( ) ☆=( ) （9 ）△+△=18 △=( ) （10）口+口+△+△=14 ☆+ o =13 o =( ) △+△+口=10 △+ o =15 ☆=( ) △=( ) 口=( ) 三、每个图形代表一个数，你能算出这个数是多少吗？ （1 ）△＋□=9 ○-△=1 △＋△＋△＝9
△=（）□=（）○=（）（2 ）△+ ○= 12 ○+ ☆= 8 △+ ○+ ☆= 21 △=( ) ○= ( ) ☆=( ) （3 ）你+ 我= 7 你+ 他= 18 你+ 我+ 他= 24 你= （）我= （）他= （） （4 ）○+□=10，□+△=12，○+□+△=15。 ○=（），□=（），△=（）。 （5 ）△+○=9 △+△+○+○+○=25 △=（）○=（） 四、每个图形代表一个数，你能算出这个数是多少吗？ （1）△＋△＋△＋△＝28 △＝（）△＋△＋□＝20 □＝（）（2）○＋○＋○＝6 ○＝（）△＋△＋△＝12 △＝（）（3）△－○＝1 △＝（）△＋△－○＝9 ○＝（） △＋○－□＝10 □＝（）二、下图中每种水果各代表一个数，算一算，它们各代表几? ＋= 7 ＋= 10 ＋= 9 =（）=（）=（）
一、每种水果都表示一个数，你能知道这个数是几吗？ — 6 = 15 = 12 —= 8 = + 12 = 35 = 25 —= 11 = 二、每个图形代表一个数，你能算出这个数是多少吗？？ ( 1 ) △一7=５o+△=１7 ( 2 )☆+☆=12 ☆一△=6 △=( ) o=( ) ☆=( ) △=( ) （3 ）△一4=11 o+△=１6 ( 4 )☆+☆=24 ☆一△=6 △=( ) o=( ) ☆=( ) △=( ) （5）5+o=12 △+o=10 ( 6 ) o 一☆=5 12一☆=8 o=( ) △=( ) o =( ) ☆=( ) ( 7 )5+o=12 △+o=10 ( 8 ) o 一☆=5 12一☆=8 o=( ) △=( ) o =( ) ☆=( ) （9 ）△+△=18 △=( ) （10）口+口+△+△=14 ☆+ o =13 o =( ) △+△+口=10 △+ o =15 ☆=( ) △=( ) 口=( ) 三、每个图形代表一个数，你能算出这个数是多少吗？ （1 ）△＋□=9 ○-△=1 △＋△＋△＝9 △=（）□=（）○=（）
（2 ）△+ ○= 12 ○+ ☆= 8 △+ ○+ ☆= 21 △=( ) ○= ( ) ☆=( ) （3 ）你+ 我= 7 你+ 他= 18 你+ 我+ 他= 24 你= （）我= （）他= （） （4 ）○+□=10，□+△=12，○+□+△=15。 ○=（），□=（），△=（）。 （5 ）△+○=9 △+△+○+○+○=25 △=（）○=（） 四、每个图形代表一个数，你能算出这个数是多少吗？ （1）△＋△＋△＋△＝28 △＝（） △＋△＋□＝20 □＝（）（2）○＋○＋○＝6 ○＝（） △＋△＋△＝12 △＝（）（3）△－○＝1 △＝（） △＋△－○＝9 ○＝（） △＋○－□＝10 □＝（） 二、下图中每种水果各代表一个数，算一算，它们各代表几? ＋= 7 ＋= 10 ＋= 9
(第六届2试试题) (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++?++-+++?+=______． 【分析】 换元的思想即“打包”，令0.120.23a =+，0.120.230.34b =++， 原式(1)(1)a b b a =+?-+? b a =- =0.34 (第六届五年级2试试题)计算下面的算式 (7.88 6.77 5.66++)?(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)?(9.3110.98+) ［分析］ 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+， 则 原 式 a =?(10 b +)-(10a +)b ?=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=?(a b -) 10=?(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=?= (第五届2试试题) 1 1111 2005200620072008 +++ 的整数部分是 【分析】 设 1111 2005200620072008a +++=，则 11 4420082004 a ?<>= 所以整数部分是501 (第三届华杯赛复赛试题)求数 1 1111101112 19 +++的整数部分是几？ ［分析］ 1 1 1 11111111110101112 19101010 1010>= =++++++ 1 1 1 1.91111111110101112 19 191919 1919 <= =++++++ 即1＜原式＜1.9，所以原式的整数部分是1. (第四届2试试题)
三角形两大模型(上)
【例1】如图，B处在A处的南偏西57°的方向，C处在A处的 南偏东15°方向 方向，C处在B处的北偏东82°方向 方向，求 求 ∠C的度数。
【例2】已知，如图，D是AB上 点，E是AC上 点，BE、CD 上一点， 上一点， 相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°。∠ABE＝ 20°。 ⑴∠BDC的度数； ⑵∠BFD的度数。
【例3】如图，已知△ABD中，AD是△ABC外角∠EAC的平 分线，且交BC的延长线于 D，你能比较∠ACB与 ∠B的大小吗？说出你的理由。
【例4】如图，△ABC的一条外角平分线是CE，F是CA延长线 上一点， 上 点，FG∥EC交AB于点G，已知∠DCE＝50°， ， ∠ABC＝40°，求∠FGA的度数。
1
【例5】如图，在△ABC中，D是BC上任意一点，E是AD上任 意一点，试说明： 意 点，试说明：∠BEC＞∠BAC。
【例6】如图，△ABC是等边三角形∠CBF∶∠ACD∶∠BAE ＝1∶2∶2，∠DEF－∠DFE＝38°，求出△ ，求出△DEF的 每个内角度数。
【例7】⑴如图，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D ＋∠E＝_____ 。
2
⑵如图，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D ＋∠E＋∠F＝_____ 。
【例8】⑴如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D ＋∠E ＋∠F＝ _____ 。
⑵如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D ＝_____ 。
【例9】如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋ ∠H八个角的和。
3
第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____ 【例２】在－227 ，π，0.033. 3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0 ??????????????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数?????????????????正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926… 是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227 是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】
第一讲 孙行者有几个名字 一、 枚举法 有序思考 目标：不重复，不漏掉 二、 排列（有顺序 ） 1、 类型：名字、卡片、位置 魏雅楠老师 2、 方法：先固定开头，后交替位置 三、 组合（无顺序） 1、 类型：握手、击掌、打电话、搭配 2、 方法：连线法
【例1】布莱克、树桩、简乐、石磊磊合照留念，树桩只能在从左往右的第二个位置，他们一共有多少种不同的排法呢？ 解析：首先四个人肯定有四个位置，先把四个位置写上。看到树桩只能站在②号位置，给它一个特殊的符号，比如▲，布莱克用A 表示，简乐用B 来表示，石磊磊用C 来表示。先确定树桩在②，接下来有序思考，先让A 站在一号位，两种；B 站在①号位，两种；C 站在①号位，两种。一共六种。具体如下： ① ② ③ ④ A ▲ B C A ▲ C B B ▲ A C B ▲ C A C ▲ A B C ▲ B A 2+2+2=6（种） 答：一共有6种不同的站法。 【例3】四只猴子互相击掌庆祝胜利，想一想如果每两只猴子击一次掌（不能重复计数），他们一共需要几次击掌？
解析：首先给四只猴子起个名字，A 、B 、C 、D ，第一个猴子A 先开始，分别找B 、C 、D 击掌；然后第二个猴子B ，已经跟A 击过掌了，那就不用再回去击掌了，只要往后面继续就行，所以找C 、D ；接下来是C ，还是只要往后继续，所以只有找D ，如下图： A B C D 3+2+1=6(次) 【例 5】用下面的服装搭配一下，可以有几种不同的穿法？ 解析：首先上衣穿一件，下装穿一件，两两搭配，由于思考，先看第一件上衣可以搭配几种，连线连出来，再看第二件上衣，同样连线，如下图： 答：可以有6种不同的搭配。 、
第九讲 无敌的剪刀 一． 剪图形：用直线分割图形 1. 边到边（原来图形有几个角，剪完增加一个角） 2. 边到角（原来图形有几个角，剪完角的个数不变） 3. 角到角（原来图形有几个角，剪完减少一个角） 二． 剪绳子 1. 折成几段中间剪一刀 中间剪一刀后段数增加1 2. 对折几次中间剪一刀 先算出对折之后变成几段，中间剪一刀之后段数增加1 对折次数 对折成几段 剪一刀后变成几段 不对折 1段 +1 2段 对折一次 1+1=2段 +1 3段 对折两次 2+2=4段 +1 5段 对折三次 4+4=8段 +1 9段 ? ? ? 三． 拼图形：照着目标补完整 方法：1、把最接近的补齐 2 、从好画的部分下手——王艳老师
例1：一张正方形的纸，剪去一个角，可能还有几个角？ 解析：剪去一个角，其实就是用直线分割图形。我们要考虑的就是剪刀是从 正方形的一条边剪到另外一条边，或者是从正方形的一条边剪到一个角，或 者是从一个角剪到另外一个角。这样一共分别对应了三种情况。 ① ③ ①边到边（原来图形有4个角，剪完增加一个角变成5个角） ②边到角（原来图形有4个角，剪完角的个数不变还是4个角） ③角到角（原来图形有4个角，剪完减少一个角变成3个角） 例2：一根绳子折成3段（如下图）从中间剪一刀，可以剪成多少段？一根 绳子折成5段，从中间剪一刀，可以剪成多少段？折成10段呢？ ① ② ③ ④
解析：将绳子折成3段，是指折完之后变成3段，沿着中间剪一刀，如上图红 色的线，将绳子分成了4段，我们列算式的时候可以写成3+1=4，表示剪后线 段增加1，所以将绳子折成5段的时候，从中间剪一刀，可以变成6段。折成 10段的时候，可以变成11段。 例3：把一根绳子对折，然后从中间一刀剪开，这根绳子剪成了几段？一根绳子 对折2次，然后从中间一刀剪开，这根绳子剪成了几段？对折了三次呢？ 解析：对折一次就是将一根绳子变成相等的两段，然后从中间剪一刀，剪成了几 段只需要拿对折后的段数加1就可以了； 将一根绳子对折两次，就是折成 2+2=4段，从中间剪一刀后，就是4+1=5段； 对折3次，就是折成4+4=8 段，从中间剪一刀后，就是8+1=9段。 共6题：前3题为自编题，后3题按课后作业改编（均需给 出分析与解答） 1、 一张梯形的纸剪一刀， 剪掉一个角后可以让它变成三角形？把它变成一个四边形？可以把它变成一个五边形？ 解析：三角形有三个角，所以就是比梯形少一个角，我们如果要变成三角形，就 要从梯形的一个角剪到另外一个角；四边形有四个角，和梯形的角一样多，所以 我们要从梯形的一个角剪到一条边；五边形有五个角，所以比梯形多了一个角， 所以要从一条边剪到相邻的另外一条边。
第七讲 时间爷爷的胡子去哪了 一、 认识钟表 1、 12个数：1~12 2、 格子：12个大格子，60个小格子 3、 指针：秒针 →数小格子 分针 →数小格子 时针 →数大格子 二、 时间换算 1分=60秒 1时=60分 三、 认识时间 四、 时间的计算 1、 时和时，分和分 2、 求具体时刻
再过几分钟，做“+” 几分钟前，做“-” 3、 求某个时间段 经过的时间等于结束-开始 注：变成24小时制 五、 镜子里的时间 上下不变，左右改变。 1.按要求填写下面的时刻。 解析：
（1）第一辆车发车时间是7时4分，再过6分钟，用加法，第二辆车发车时间是7时4分+6分=7时10分，再过6分，用加法，第三辆车发 车时间是7时10分+6分=7时16分。 （2）第二辆车发车时间是8时，第一辆车在第二辆车8分钟前发出，用减法，分钟是0不够减，所以可以找小时兄弟借过来1小时，将1小时 变成60分，8时变成了7时60分。第一辆车的发车时间是7时60 分-8分=7时52分。第三辆车在第二辆车后面发出，也就是8分钟后， 用加法，第三辆车发车时间是8时+8分=8时8分。 （3）第三辆车发车时间是11时25分，第二辆车在第一辆车15分钟前发出，用减法，第二辆车的发车时间是11时25分-15分=11时10分， 第1辆车在第二辆车15分钟前发出，用减法，我们发现分钟不够减， 怎么办？那咱们就想办法借一借，从哪借？看到小时兄弟时间挺多的， 就找他借过来1小时，将1小时变成60分，将1小时变成60分，第 一辆车发车时间是10时70分-15分=10时55分。 2. 下面钟表上所表示的是什么时刻？用电子计时法表示出来。 解析：首先我们先知道那个是分针，哪个是时针，又矮又胖身材不好的是时针，又瘦又高身材最好的是分针。读时间其实就是数格子，那么分针和时针都是怎么
二年级奥数讲义学而 思
应用题之移多补少 有这样一种问题： 哥哥比弟弟多6块糖，哥哥给弟弟几块后，两人的糖同样多呢？ 显然，哥哥只能给出比弟弟多的一半，也就是 3块糖才能让两人的糖一样多。像这样的问题我们简称为“移多补少”的问题。 “移多补少”看起来容易，可在解决具体问题时也容易出错误，现在我们就一起来研究移多补少的学问吧！ (★★★) 二⑴班同学分成两队进行拔河比赛，第一队有31人，如果从第一队中调3人到第二队，这时两队的人数才会一样多。第二队原来有学生多少人？ 通过“移多补少”使得两者相等时： 如果移动量为n，那么原来两者相差量为2n。 也就是说，相差量是移动量的两倍。 (★★★) 农场有两个兔笼，甲兔笼里的兔子比乙兔笼里的兔子多24只，从甲兔笼里放几只兔子到乙兔笼里之后， ⑴甲乙两笼兔子的数目相等？
⑵甲兔笼里的兔子就比乙兔笼多4只兔子？ “移多补少”后两者不相等时： ⑴先假设两者相等，不看不等的量。 ⑵利用“移多补少”使剩下部分相等 (★★★★) 学校合唱队原有68人，比鼓乐队人数多．如果合唱队员中的5人参加鼓乐队，合唱队比鼓乐队少2人。原来鼓乐队有多少人？ 解决“不相等”问题的关键： ⑴假设相等 ⑵移多补少 ⑶将“假设”还原 (★★★★) 小华有两盒糖果，甲盒有糖78粒，乙盒有糖38粒，每次从甲盒取5粒糖放到乙盒，取几次两盒糖的粒数就同样多？ 【例4拓展】(★★★★)
哥哥和弟弟集邮，原来两人的邮票张数相等，如果哥哥给弟弟9张邮票，则弟弟的邮票张数是哥哥的3倍，哥哥、弟弟原来各有邮票多少张？ “移多补少”＋差倍问题： 1．差倍问题解题 2．“移多补少”定差 (★★★★★) 如果从第二个盒子里拿出4颗放到第一个盒子里面，两个盒子里面的糖果就一样多。如果从第一个盒子里面拿出6颗糖果放到第二个盒子里面，第二个盒子里的糖果是第一个盒子的2倍。你知道两个盒子里各有多少颗糖果吗？
(★★) ⑴ ⑵ 加加减减我会算
(★★) ⑴ ⑵ (★★★) (★★★) ⑴⑵
(★★★★) ⑴把1、2、3、4、5这5个数分别填到下面的每个五角星里，使每条线上三个数的和都为9？(不能重复) ⑵将1，2，3，4，5，7，9分别填在下面的五角星里，使每条线上的三个数的和都为15。 (★★★) 今天早上我刚开门就来了3个客人，接下来又来了9个客人，现在又来了2个客人，那门今天上午一共来了多少客人呢？ (★★★★) 操场上14个小朋友一起玩老鹰捉小鸡的游戏，小红扮鸡妈妈，小明扮老鹰，现在小明已经捉到了7只小鸡，还有多少只小鸡没有被捉到？
在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！ 1．计算：1＋9＝( ) 3＋( )＝10，4＋7＝( ) A．10、10、10 B．10、7、10 C．8、7、11 D．10、7、11 2．计算：15－7＝( )，8＋9＝( ) A．7、17 B．8、17 C．9、15 D．8、16 3．计算：3＋8＋7＝( ) A．18 B．21 C．17 D．15 4．计算：把3、4、5、6、7这5个数分别填到下面的每个五角星内，使每条线上的三个数的和都是14，其中3已经填好。(不能重复)，下面填法正确的是( ) A．B． C．D．
5．把1~6填在下面的圈内，使每条边上的三个数的和都等于11，其中有4个数字已经填好，那么甲、乙两圈内各应该填入( )和( )。 乙 甲6 512 A ．4、3 B ．3、4 C ．3、5 D ．4、2 6．张大爷家有公鸡7只，母鸡6只，那么张大爷家一共有鸡多少只？ A ．12 B ．13 C ．10 D ．15
启用前★绝密 2017年第七届南京学而思综合能力?? 数学（一年级） 考试时间：60分钟满分：200分 考生须知：请将所有的答案写在答题纸 ．．．对应位置上 一、基础过关（每题8分，共40分） 1.计算：13-7+6=_____▲_____ 18+18-12=_____▲_____ 【答案】13-7+6=12 18+18-12=24 2.乐乐去看乐高蝙蝠侠大电影，电影开始时他看了一下墙上的钟，钟面如下图， 那么电影是_____▲_____时_____▲_____分开始的． 【答案】11时30分． 【解析】时针指向11和12之间，所以是11时多，分针指向6，所以是11时30分． 3.算式2+0+1+7+4+4的得数是_____▲_____数．（横线上填“奇”或“偶”） 【答案】偶． 【解析】根据奇偶性特点判断，算式中有2个奇数、4个偶数，所以得数是偶数． 4.甲乙丙三个人一起吃饭，甲吃的比丙多，乙吃的比甲多，_____▲_____吃的 最少． 【答案】丙． 【解析】比较多少，甲＞丙，乙＞甲，所以乙＞甲＞丙；也可以画图（魔法尺）解决此类问题，可以看出丙吃的最少．
5. 妈妈送给奇奇一个特别的正方体，六个面分别印有1、2、3、4、5、6不同 的点数，当它如图放置时，上面与下面点数的和是7，左面与右面点数的和也是7．那么，后面的点数是_____▲_____． 【答案】1． 【解析】观察图形，上面与下面点数的和是7，上面是3，下面是4；左面与右面点数的和是7，右面是2，左面是5；前面是6，后面点数与其他面不同，只能为1． 二、思维训练（每题10分，共50分） 6. 观察下面这串数，在横线上填入合适的数． 2，27，4，23，6，19，8，15，_____▲_____ ，_____▲_____ ，12，7 【答案】10，11． 【解析】双重数列，可以隔一个数看一个，这样就是两个等差数列，可以搭桥找到规律． 7. 用分别写有3、4、5的三张卡片可以组成_____▲_____个不同的三位数． 5 43 【答案】6． 【解析】枚举，可以组成345、354、435、453、534、543共6个不同的三位数．
学而思三年级数学寒假1-6讲课程讲义 第1讲角的认识 模块2：角度计算 例3： (1)若∠A和∠B的和为150°，且∠A是∠B的4倍，那么∠A=. (2)若∠A+∠B+∠C=160°，其中∠C是直角，那么∠B=. 例4： 如图所示，已知∠1的度数是∠2度数的2倍，求∠1、∠2、∠3、∠4分别是多少度？ 练一练 如图所示，已知∠3=30°，求∠2、∠1、∠4分别是多少度？3 1 2 3 1 2
作业2： 10点整的时候，钟面上时针与分针所成的角是度。 作业3： 已知∠1=35°，求∠1的补角是度，余角是是度。 作业4： (1)若∠A+∠B+∠C=120°，其中∠A=28°，∠C=60°，那么∠B=°。 第2讲四则运算 模块1：加减法巧算 例1： 计算 (1)63+294+37+54+6(2)261-43+83-157+39 ==
(3)19+199+1999+19999(4)81+85+78+87+79 == 模块2：乘法的巧算 例2： 计算 (1)33×15÷5(2)1800÷25÷4 == (3)125×(8÷10)(4)(36×21)÷(6×7) == 练一练 (1)36×25(2)32×125 == (3)25÷(10÷8)(4)37000÷125÷8 ==
计算: (1)34×36;78×72(2)13×17;31×39 (3)43×63;87×27(4)25×25;56×56 模块3：提取公因数 例4： 计算: (1)67×66+67×35-67(2)80×15+15×22-30 (3)33×34+34×35+68×66(4)12×38+12×34+24×14
第5讲 网兜里的鱼 一、 加法 求整体用“+” 加数+加数=和 教师姓名：黄田田 部分+部分=整体 变多、变大的过程 二、减法 求部分用“-” 被减数-减数=差 整体 -部分=部分 变少、变小的过程 三、连加、连减、混合运算 最终结果写到“=”后面
[例2] 看图列算式 1． 2． 解析：本题主要是考察小朋友的对于连加运算的理解及运算，运算时可以先加前两个数，所得结果再加最后一个数。仔细看图，发现图中有左中右3部分甜甜圈，而我们所要求的是整体共有多少个，我们发现当三部分的甜甜圈合起来的时候，整体数量是变多了的，而且是变多了两次，变多了应该用加法，所以我们只需要将每次变多的加进去即可，第一小题中整体数量即为：10+4+7=21个，第二小题中整体数量即为：20+3+5=28个。。 [例4] 看图列算式 1.
2. [解析]：本题主要考察小朋友对于连减计算的理解及应用，算式中有连续减法 时，可以先将前两个数相减，所得结果再和最后一个数相减。 第一小题：整体的小鱼有14条，第一次游走了3条，数量减少了用减法，第二次又游走了2条，同样是减法，所以最后剩下的小鱼即为：14-3-2=9条. 第二小题：整体的螃蟹有25只，先爬走了5只，数量减少了用减法，后又爬走了4只，同样用减法，所以最后剩下的螃蟹即为：25-5-4=16只. [例5] 看图列算式
9条 游来18条 ？条 游走7条 26只 飞走6只 飞来3只 [解析]：本题主要考察小朋友进行加减混合运算的能力，当题目中有加法和减 法时，应按照从左往右的顺序依次计算。 第一小题：起初有9条小鱼，然后游来18条，数量变多了，所以要加上18，接着又游走7条，游走后数量变少了，所以要减去7，剩下的小鱼即为：9+18-7=20条. 第二小题：起初有26只小鸟，接着飞走了6只，飞走数量是变少了，所以要减去6，然后又飞来了3只，飞回来数量是增加了，所以要加上3，因此这时的小鸟数量即为：26-6+3=23只. 1.看图列算式
目录 第一讲加减法的巧算（一） (2) 第二讲加减法的巧算（二） (7) 第三讲乘法的巧算 (12) 第四讲配对求和 (16) 第五讲找简单的数列规律 (17) 第六讲图形的排列规律 (19) 第七讲数图形 (23) 第八讲分类枚举 (26) 能力测试（一） (26) 第九讲填符号组算式 (28) 第十讲填数游戏 (31) 第十一讲算式谜（一） (35) 第十二讲算式谜（二） (37) 第十三讲火柴棒游戏（一） (39) 第十四讲火柴棒游戏（二） (40) 第十五讲从数量的变化中找规律 (45) 第十六讲数阵中的规律 (45) 第17讲时间与日期…………… 第18讲推理…………… 能力测试（二） (63) 第19讲循环……………… 第20讲最大和最小………………………… 第21讲最短路线………………………… 第22讲图形的分与合………………… 第23讲格点与面积…………………… 第24讲一笔画……………………… 阶段测试（三）…………………… 第25讲移多补少与求平均数……………… 第26讲上楼梯与植树……………… 第27讲简单的倍数问题…………………… 第28讲年龄问题…………………………… 第29讲鸡兔同笼问题……………………
第30讲盈亏问题………………… 第31讲还原问题…………………… 第32讲周长的计算…………………… 第33讲等量代换…………………… 第34讲一题多解…………………… 能力测试（四）……………………………… 第一讲加减法的巧算 森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。 观众的情绪也影响着两位分数统计者。只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？” 小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+‘零头数’，不足90的表示成90－‘零头数’。于是（93+95+96+88+89+91+93+91）÷8=90+（3+5+6―2―1+1+3+1）÷8=90+2=92。你可以试一试。” 小熊照着小白兔说的去做，果然既快又对。这下小熊明白了，掌握了速算的技巧，在工作和生活中的作用很大。它不仅可以节省运算时间，更主要的是提高了我们的工作效率。 我们在进行速算时，要根据题目的具体情况灵活运用有关定律和法则，选择合理的方法。下面介绍在整数加减法运算中常用的几种速算方法。 例题与方法 例1计算：（1）2458+503 （2）574+798