勾股定理习题
1.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，
如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：如图所示：
∵（a+b）2=21，
∴a2+2ab+b2=21，
∵大正方形的面积为13，
2ab=21﹣13=8，
∴小正方形的面积为13﹣8=5．
故选：C．
2.直角三角形有一条直角边为6，另两条边长是连续偶数，则该三角形周长为
（）
A．20 B．22 C．24 D．26
【解答】解：∵两条边长是连续偶数，可设另一直角边为x，则斜边为（x+2），根据勾股定理得：（x+2）2﹣x2=62，
解得x=8，∴x+2=10，
∴周长为：6+8+10=24．
故选C
3.在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）
A．a=15，b=8，c=17 B．a=9，b=12，c=15
C．a=7，b=24，c=25 D．a=3，b=5，c=7
【解答】解：由题意可知，在A组中，152+82=172=289，
在B组中，92+122=152=225，在C组中，72+242=252=625，而在D组中，32+52≠72，故选D．
4.下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（）
A．2，3，4 B．7，24，25 C．8，12，20 D．5，13，15
【解答】解：A、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形；
B、∵72+242=252，∴能构成直角三角形；
C、∵82+122≠202，∴不能构成直角三角形；
D、∵52+132≠152，∴不能构成直角三角形．故选B．
5.下列各组数中，能构成直角三角形的是（）
A．4，5，6 B．1，1，2 C．6，8，11 D．5，12，23
【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12=，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．故选：B．
6.分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10 ②13，5，12 ③1，2，
3 ④9，40，41 ⑤3，4，5．其中能构成直角三角形的有（）组．
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：因为①62+82=102，②132=52+122，④92+402=412，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形的有三组．故选B．
7.△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A=∠B﹣∠C；②∠A：∠B：
∠C=3：4：5；③a2=（b+c）（b﹣c）；④a：b：c=5：12：13，其中能判断△
ABC是直角三角形的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解；①∠A=∠B﹣∠C，∠A+∠B+∠C=180°，解得∠B=90°，故①是直角三角形；
②∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，解得∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，故②不是直角三角形；
③∵a2=（b+c）（b﹣c），∴a2+c2=b2，符合勾股定理的逆定理，故③是直角三角形；
④∵a：b：c=5：12：13，∴a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，故④是直角三角形．
能判断△ABC是直角三角形的个数有3个；故选：C．
8.下列三角形中，是直角三角形的是（）
A．三角形的三边满足关系a+b=c
B．三角形的三边比为1：2：3
C．三角形的一边等于另一边的一半
D．三角形的三边为9，40，41
【解答】解：A、不能判定是直角三角形，此选项错误；
B、由于12+22≠32，所以不是直角三角形，此选项错误；
C、不能判定是直角三角形，此选项错误；
D、由于92+402=412，是直角三角形，此选项正确．故选D．
9.一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，但他把这三
个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（）组．A．13，12，12 B．12，12，8 C．13，10，12 D．5，8，4
【解答】解：A、132≠122+62，错误；B、122≠82+62，错误；C、132=122+52，正确；
D．82≠52+22，错误．故选C．
10.下列说法正确的有（）
①如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；②如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，则三角形是直角三角形；③如果三角形的三边长分别为4、4、6，那么这个三角形不是直角三角形；④有一个角是直角的三角形是直角三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，得∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故①正确；
②设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠A+∠B=∠C，由①知，该三角形是直角三角形，故②正确；
③42=16，62=36，显然42+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，该三角形不是直角三角形，故③正确；
④符合直角三角形的判定方法，故④正确；
所以4个结论都正确，故选D．
11.若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）
A．1cm2B．2cm2C．3cm2D．4cm2
【解答】故选A．
12.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、
BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，则S2的值为（）
A．12 B．18 C．24 D．48
【解答】∵S1=3，S3=9，∴AB=，CD=3，过A作AE∥CD交BC于E，
则∠AEB=∠DCB，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴CE=AD，AE=CD=3，∵∠ABC+∠DCB=90°，∴∠AEB+∠ABC=90°，
∴∠BAE=90°，∴BE==2，∵BC=2AD，∴BC=2BE=4，∴S2=（4）2=48，故选D．
13.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是
_________。
14.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为_________。
【解答】解：设Rt△ABC的第三边长为x，
①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，
由勾股定理得，x=5，此时这个三角形的周长=3+4+5=12；
②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x=，此时这个三角形的周长=3+4+7，
15.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=________。
16.如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=1，CD=2，DA=，且∠ABC=90°，则四边
形ABCD的面积是__________。
17.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是_______。
18.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为_________。
19.如图字母B所代表的正方形的面积是_______。
【解答】解：由题可知，在直角三角形中，斜边的平方=169，一直角边的平方=25，根据勾股定理知，另一直角边平方=169﹣25=144，即字母B所代表的正方形的面积是144．
20.直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则斜边上的高线的长为
_________。
21.一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为
________。
【解答】解：当2和3都是直角边时，则x2=4+9=13；当3是斜边时，则x2=9﹣4=5．故选C．
22.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=17，BD=15，DC=6，则AC的长为_______。
A．11 B．10 C．9 D．8
【解答】解：如图，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．又∵AB=17，BD=15，DC=6，∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD2=AB2﹣BD2=64．
在直角△ACD中，由勾股定理得到：AC===10，即AC=10．故选：B．
23.如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树树高13米，另一棵树高7米，
一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞________。
24.如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角
三角形，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2016的值为_________。
25.如图，2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则
AB边上的高长为___________。
勾股定理全章知识点总结大全 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90 ∠=?，则c， C b=，a=） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 （若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 5：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 6：勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 c b a H G F E D C B A a b c c b a E D C B A b a c b a c c a b c a b 勾股定理全章知识点和典型例习题 一、基础知识点： １．勾股定理 内容： 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： ３.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=?， 则 ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 4.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若 ，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若 ，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 5.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A 中考数学勾股定理知识点-+典型题及解析 一、选择题 1．图中不能证明勾股定理的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( ) A ．121 B ．110 C ．100 D ．90 3．如图，在ABC 中，90A ∠=?，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作⊥OD AB 于点D ，若则AD 的长为( ) A ．2 B ．2 C ．3 D ．4 4．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的面积是( ) A ．2n ﹣2 B ．2n ﹣1 C ．2n D ．2n+1 5．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE 2+BG 2=2a 2+2b 2，其中正确结论有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是l3，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，那么()2 a b +值为（ ） A ．25 B ．9 C ．13 D ．169 7．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=?正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（ ） A ．6 B ．2 C ．8 D ．10 8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） 新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一:直接考查勾股定理 例１.在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理 222a b c += 解:⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二:利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米? 解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,．已 知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理! 根据勾股定理AC 2+BC 2＝AB 2， 即ＡＣ2+9２=1５2,所以AC ２ =144,所以AC=12. 例题２ 如图(8），水池中离岸边D 点１.5米的C 处,直立长着一根芦苇，出水部分B Ｃ的长是0.５米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC. 解析:同例题１一样，先将实物模型转化为数学模型，如图 2. 由题意可知△AC Ｄ中,∠ACD=90°,在Ｒt △ACD 中,只知道CD ＝１．5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下(仅供参考）: 解:如图2,根据勾股定理，AC 2+CD 2=A Ｄ2 设水深AC= x 米，那么AD ＝A Ｂ=AC+CB ＝x +0.5 ｘ２+1．52=( x ＋0.5）2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三:勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ＡＢCD 中，E 是ＢC 边上的中点,F 是AB 上一点，且AB FB 4 1= 那么△ＤEF 是直角三角形吗?为什么? C B D A 第 课时 第十八章 勾股定理 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2 +b 2 ＝c 2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在A B C ?中，90C ∠=?，则 2 2 c a b = +，22 b c a = -，22 a c b = -） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，22 14()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为2 2 1422 S ab c ab c =? +=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2 S a b a b = +?+梯形，2 112S 22 2 ADE ABE S S ab c ??=+=? + 梯形，化简得证 3：勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2 2 21,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2 2 2 2 ,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 c b a H G F E D C B A a b c c b a E D C B A c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的 长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中， . ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB2BE-CD2DE= 类型三：勾股定理的实际应用（一） 用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。（1） 典型例题 知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理 例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（） A.CD、EF、 GH C. AB、CD GH B.AB、EF、GH D. AB、CD EF 愿路分乐屮 1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠 2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断?』 解答过整屮 在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇 EF = Q抡於十￡尸° = Q +F二艮 同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5 计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. * 縮題后KJ思专：* 1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形? 因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口* 2.在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜 迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6 "不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐 3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从 卅形s—个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一 ①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过 程.a 4?在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初 例玉如圏，有一块直角三角形?椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m?现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、* C/) "禎 B. 3cm G-Icni n題童分析，本题着查勾股定理的应用刎 ：）解龜思路；車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ?进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定 理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸 九4 解龜后的思琴尸 勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。 方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。 例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占 明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。 清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。” “是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！” “但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。 张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？” 占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角 新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ?中，90C ∠=?． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理 222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二：利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少 米？ 解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，. 已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！ 根据勾股定理AC 2+BC 2=AB 2, 即AC 2+92=152,所以AC 2 =144,所以AC=12. 例题2 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分B C 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到 D 点，并求水池的深度AC. 解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如 图2. 由题意可知△ACD 中,∠ACD=90°,在Rt △ACD 中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾 股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下（仅供参考）： 解：如图2，根据勾股定理，AC 2+CD 2=AD 2 设水深AC= x 米，那么AD=AB=AC+CB=x +0.5 x 2+1.52=（ x +0.5）2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三：勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4 1= 那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？ C B D A 勾股定理课时练（1） 1. 在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2 2 2AC BC+ +的值是（） A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是______ cm（结果不取近似值）. 3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？ 5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米. 6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米? 7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度. 8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。求CD的长. 9. 如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长. 10. 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北 7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？ 勾股定理全章知识点总结大全 一.基础知识点： 1:勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2= c2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主 要应用： （1 ）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中， C 90，则c . a2b2， b .c2a2， a .c2b2） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3 ）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2 :勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c,则有关系a2+b2= c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过 “数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1 ）首先确定最大边，不妨设最长边长为: c ； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2= a2+b2，则△ ABC是以/C为直角的直角三角形 （若c2>a2+b2，则△ ABC是以/C为钝角的钝角三角形；若c2 勾股定理经典例题(含答案)A 经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 类型三：勾股定理的实际应用 （一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从 营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到 达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C 点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? （二）用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线． 举一反三 【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程． 类型四：利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、、的线段。 举一反三【变式】在数轴上表示的点。 类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚． 2．原命题：对顶角相等 3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等． 4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足 勾股定理全章知识点和典型例习题 一、基础知识点： 1?勾股定理 内容：____________________________________________________________ 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b，斜边为c，那么__________________ 2 ?勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 3 ?勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C 90 , 则 __________________________________________ ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定 理解决一些实际问题 4. 勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a , b , c满足a2 b2c，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能 形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以 a , b , c为三边 的三角形是直角三角形；若 _________ ，时，以a , b , c为三边的三角形是钝角三角形；若__________________ ，时，以a , b , c为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a , b , c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a , b , c满足a2 c2 b2, 那么以a , b , c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 5. 勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2 b2 c2中，a , b , c为正整数时，称a , b , c为 一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13; 7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数： 2 2 n 1,2n,n 1 （n 2, n 为正整数）； 2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （n为正整数）m2 n2,2mn,m2 n2（m n, m , n为正整数）7 .勾股定理的应用 勾股定理经典例题 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 类型二：勾股定理的构造应用 2 、如图，已知：在中，， ，. 求：BC的长. 1、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（） A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元 举一反三【变式1】如图，已知： ，，于P. 求证：. 150° 20m 30m 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 类型三：勾股定理的实际应用 （一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? （二）用勾股定理求最短问题 4、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发， XX教育一对一个性化教案 授课日期：2014 年月日学生姓名许XX 教师姓名授课时段2h 年级8 学科数学课型VIP 教学内容勾股定理及逆定理 教学重、难点重点：运用勾股定理判定一个三角形是否为直角三角形。难点：运用用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题。 教学步骤及突出教学方法一、知识归纳 1、勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a，b，c满足222 a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22 a b +与较长边的平方2c作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222 a b c +<，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222 a b c +>，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a，b，c及222 a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222 a c b +=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边。 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。 2、勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222 a b c +=中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数： 22 1,2,1 n n n -+（2, n≥n为正整数）； 22 21,22,221 n n n n n ++++（n为正整数） 2222 ,2, m n mn m n -+（, m n >m，n为正整数） 第 1 页 共 5 页 勾股定理经典题型(后附答案) 一、经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ?中，90C ∠=?． ⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长. ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长. 题型二：利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？ 例题2 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC. 题型三：勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4 1 = 那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？ 题型四：利用勾股定理求线段长度—— 例题4 如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长. 题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直—— 例题5 如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD 边是否垂直与AB 边和CD 边，他测得AD=80cm ，AB=60cm ，BD=100c m ，AD 边与AB 边垂直吗？怎样去验证AD 边与CD 边是否垂直？ 例题6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要 移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？ 第 2 页 共 5 页 题型六：旋转问题： 例题7 如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，若AP=3，求PP ′的长。 变式1: 如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长. 变式2: 如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°，试探究2 2 2 BE CF EF 、、间的关系，并说明理由. 题型七：关于翻折问题 例题8 如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长. 变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长. 题型八：关于勾股定理在实际中的应用： 例题9 如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点 A 处有一所中学，AP=160 米，点A 到公路MN 的距离为80米，假 使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响， 经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长 是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长， 进而求出BC的长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中， . ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD 勾股定理（基础） 【学习目标】 1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条 边长求出第三条边长． 2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题． 3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题． 【要点梳理】 【高清课堂 勾股定理 知识要点】 要点一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为 a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=. 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线 段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解 决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()2 22c a b ab =+-. 要点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以. 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 要点三、勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 利用勾股定理，作出长为 的线段. 【典型例题】 类型一、勾股定理的直接应用 1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）若a ＝5，b ＝12，求c ； （2）若c ＝26，b ＝24，求a ． 【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长． 【答案与解析】 解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12， 所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13． （2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24， 所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10． 【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式． 举一反三： 【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）已知b ＝2，c ＝3，求a ； （2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ． 【答案】 解：（1）∵ ∠C ＝90°，b ＝2，c ＝3， ∴ 2222325a c b =-=-； （2）设3a k =，5c k =． ∵ ∠C ＝90°，b ＝32， ∴ 222a b c +=． 即222(3)32(5)k k +=． 解得k ＝8． ∴ 33824a k ==?=，55840c k ==?=． 类型二、勾股定理的证明 勾股定理 1．勾股定理 (1)勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方． (2)勾股定理的表达式：如果直角三角形的两直角边用a ，b 表示，斜边用c 表示，那么勾股定理可表示为：2 2 a b c 2 ＋＝. (3) c 注意：勾股定理应用的前提条件必须是在直角三角形中，已知其中的任意两边的长，根据勾股定理可求出第三边的长．在求解时要先画图，标上已知量，如图，分清要求的边是直角边还是斜边，然后再运用勾股定理或其变形进行解答． 【例1】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c . (1)若a ＝3，b ＝4，则c ＝__________； (2)若a ＝6，c ＝10，则b ＝__________； (3)若c ＝34，a ∶b ＝8∶15，则a ＝__________，b ＝__________； (4)若b ＝5，∠B ＝30°，则c ＝__________. 解析：(1)c 2＝a 2＋b 2＝25，则c ＝5. (2)b 2＝c 2－a 2＝64，则b ＝8. (3)∵a ∶b ＝8∶15，∴设a ＝8x (x ＞0)，b ＝15x . 又∵∠C ＝90°，c ＝34， ∴c 2＝a 2＋b 2＝(8x )2＋(15x )2， ∴c ＝17x ，∴17x ＝34，x ＝2， ∴a ＝16，b ＝30. (4)∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴c ＝2b ＝10. 答案：(1)5 (2)8 (3)16 30 (4)10 点拨：在直角三角形中，运用勾股定理求某一边的长时，先分清直角边和斜边，然后 再利用勾股定理，可设未知数，通过建立方程(组)来解决． 2．勾股定理的证明 (1)方法：勾股定理的证明方法较多，仅选取一种加以说明．如图所示网格图形中，每一个小方格的边长为1. 的面积 (2)结论： ①两直角边上的正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积，即S A＋S B＝S C； ②勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和． 因为勾股定理既重要又简单，所以很容易吸引人，才使它成百次地被人反复论证.1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法．实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500 余种． 【例2】如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，P是AC的中点，PD⊥BC，D为垂足，BC＝9，DC＝3，求AB的长． 分析：由题可知∠BAC＝∠PDC＝90°，因此可以利用勾股定理进行计算． 解：连接PB. ∵BC＝9，DC＝3，∴BD＝6. 在Rt△BDP中，由勾股定理，得PB2＝PD2＋BD2，即PD2＝PB2－BD2. 在Rt△PDC中，由勾股定理，得 PC2－CD2＝PD2， ∴PB2－BD2＝PC2－CD2. ∴PB2－36＝PC2－9，∴PB2－PC2＝27. 又∵P为AC的中点，∴PB2－PC2＝PB2－AP2＝AB2＝27，∴AB＝3 3. 3．运用勾股定理求边长 (1)勾股定理：如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用c表示，那么a2＋b2＝c2. (2)意义：勾股定理是直角三角形特有的定理，反映了直角三角形三边之间的数量关系．勾股定理经典例题(教师版)
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